страница 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы
|
Методические указания к практическому занятию по дисциплине «Математика» Волгоград - страница №1/1
МИНистерство ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» Дискретные цепи Маркова и их применение в экономике 2011 УДК 519.1(07) Д 48 Содержат теоретический материал, примеры решения задач по данной теме и задачи для самостоятельной работы. Предназначены для студентов экономических специальностей. Ил. 7. Библиогр.: 2 назв. Рецензент: А. А. Кулеша Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета Составители: Светлана Васильевна Мягкова, Елена Васильевна Морозова Дискретные цепи Маркова и их применение в экономике Методические указания к практическому занятию по дисциплине «Математика» Под редакцией авторов Темплан 2011 г., поз. № 28К. Подписано в печать 28. 12. 2011 г. Формат 60×84 1/16. Бумага листовая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,73. Тираж 50 экз. Заказ № Волгоградский государственный технический университет 400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1. Отпечатано в КТИ 403874, г. Камышин, ул. Ленина, 5, каб. 4.5 © Волгоградскийгосударственный технический университет, 2011 Цель данной работы привить студентам умение самостоятельно изучать математическую литературу. В начале практического занятия студентам необходимо под руководством преподавателя изучить теоретическую часть и лишь потом, приступить к решению задач. Благодаря сравнительной простоте и наглядности математического аппарата, высокой достоверности и точности получаемых решений, особое внимание марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений. Пусть у нас имеется некоторая система S, которая может находиться в одном из состояний 1, 2, n и может менять свое состояние только в моменты времени t1 , t2 , ..., tm … (t1 t2 tm причем вероятность в момент tm оказаться в состоянии j зависит только от того, в каком состоянии система S находилась в момент времени tm-1. В этом случае говорят, что задана цепь Маркова. Если в момент tm-1 система находилась в состоянии i, то вероятность того, что в следующий момент tm система окажется в состоянии j, называется переходной и обозначается через: . В дальнейшем мы ограничимся так называемыми однородными цепями Маркова, когда переходные вероятности pij(m) не зависят от момента времени tm, а зависят только от индексов i и j. Так как система может находиться в одном из п состояний, то полная вероятностная картина изменений состояния системы S задается матрицей: . Эту матрицу называют матрицей перехода или переходной матрицей. Элементы этой матрицы, удовлетворяют следующим двум условиям:
Такие матрицы называются стохастическими. Пример 1. Некоторая совокупность рабочих семей поделена на три группы: 1 – семьи, не имеющие автомашины и не намеревающиеся ее приобрести; 2 – семьи, не имеющие автомашины, но собирающиеся ее приобрести, и, наконец, 3 – семьи, имеющие автомашину. Статистические обследования дали возможность оценить вероятность перехода семей из одной группы на протяжении года в другую. При этом матрица перехода оказалась такой: . И Рис. 1. Матрицы перехода удобно представлять в виде сигнальных графов, изображая переходы системы их одного состояния в другое. Сигнальный граф для матрицы Р примера 1 изображен на рис. 1.
Решение: Марковский процесс задают графы г) и д) (рис.2), так как только у этих графов сумма вероятностей, исходящих из всех вершин равна 1. Оценка переходных матриц, аналогичных рассмотренной в примере 1, имеет большое практическое значение: она дает возможность существенно уточнить экономические методы составления прогнозов опроса на некоторые потребительские товары длительного пользования. Наряду с переходной матрицей P на один шаг важна и матрица перехода за n шагов, она равна P(n) = рn. Пример 3. По данным примера 1 вычислить: а)вероятность того, что семья, не имевшая машины и не собиравшаяся ее приобрести, будет находиться в той же ситуации через 2 года; б) вероятность того, что семья, не имевшая автомашины и намеревающаяся ее приобрести, будет иметь автомашину через 2 года. Таким образом, первая из искомых вероятностей равна 0,64, а вторая – 0,51. Пример 4. Предположим, что некая фирма осуществляет доставку оборудования по Москве: в северный округ (обозначим А), южный (В) и центральный (С). Фирма имеет группу курьеров, которая обслуживает эти районы. Понятно, что для осуществления следующей доставки курьер едет в тот район, который на данный момент ему ближе. Статистически было определено следующее:
Таким образом, район следующей доставки определяется только предыдущей доставкой. Матрица вероятностей перехода будет выглядеть следующим образом: Например, р12 = 0,4 – это вероятность того, что после доставки в район В следующая доставка будет производиться в районе А. Допустим, что каждая доставка с последующим перемещением в следующий район занимает 15 минут. Тогда, в соответствии со статистическими данными, через 15 минут 30% из курьеров, находившихся в А, будут в А, 30% будут в В и 40% – в С. Так как в следующий момент времени каждый из курьеров обязательно будет в одном из округов, то сумма по столбцам равна 1, И поскольку мы имеем дело с вероятностями, каждый элемент матрицы 0 ij . Наиболее важным обстоятельством, которое позволяет интерпретировать данную модель как цепь Маркова, является то, что местонахождние курьера в момент времени t + 1 зависит только от местонахождения в момент времени t. Теперь зададим простой вопрос: если курьер стартует из С, какова вероятность того, что осуществив две доставки, он будет в В, т.е. как можно достичь В в 2 шага? Итак, существует несколько путей из С в В за 2 шага: 1) сначала из С в С и потом из С в В; 2) С В и В В; 3) С А и А В. Учитывая правило умножения независимых событий, получим, что искомая вероятность равна: Р = Р(СА) Р(АВ) + Р(СВ) Р(ВВ) + Р(СС) Р(СВ). Подставляя числовые значения: Р = 0,5 0,3 + 0,3 0,4 + 0,2 0,3 = 0,33. Полученный результат говорит о том, что если курьер начал работу из С, то в 33 случаях из 100 он будет в В через две доставки. Ясно, что вычисления просты, но если Вам необходимо определить вероятность через 5 или 15 доставок – это может занять довольно много времени. Покажем более простой способ вычисления подобных вероятностей. Для того, чтобы получить вероятности перехода из различных состояний за 2 шага, возведем матрицу Р в квадрат: Тогда элемент (2, 3) – это вероятность перехода из С в В за 2 шага, которая была получена выше другим способом. Заметим, что элементы в матрице Р2 также находятся в пределах от 0 до 1, и сумма по столбцам равна 1. Т.о. если Вам необходимо определить вероятности перехода из С в В за 3 шага: где р(СА) – вероятность перехода из С в А за 2 шага (т.е. это элемент (1, 3) матрицы Р2). 2 способ. Вычислить матрицу Р3: Матрица переходных вероятностей в 7 степени будет выглядеть следующим образом: Легко заметить, что элементы каждой строки стремятся к некоторым числам. Это говорит о том, что после достаточно большого количества доставок уж не имеет значение в каком округе курьер начал работу. Таким образом, в конце недели приблизительно 38,9% будут в А, 33,3% будут в В и 27,8% будут в С. Подобная сходимость гарантировано имеет место, если все элементы матрицы переходных вероятностей принадлежат интервалу (0, 1). Пример 5. Две машины А и В сдаются в аренду по одной и той же цене. Эти машины имеют следующие матрицы переходных вероятностей: где 1 – состояние, когда машина работает хорошо; 2 – состояние, когда машина требует регулировки. Определить вероятности для обеих машин. Какую машину стоит арендовать? Рeшeние Сделаем чертеж графа матрицы А переходных вероятностей. Д Рис. 3. pA1 0,8 + pA2 0,7 = pA1; pA1 0,2 + pA2 0,3 = pA1; pA1 + pA2 = pA1. Отсюда рА1 = 7/9, рА2 = 2/9. Для второй машины аналогично находим pВ1 = 2/3, pВ2 = 1/3. Сравнивая между собой рА1 и рВ1 заключаем, что 1-ая машина будет более часто в исправном состоянии, чем 2-ая, поэтому лучше всего арендовать именно эту машину. Пример 6. Машина может находиться в одном из двух состояний: 1 – машина работает хорошо и 2 – машина нуждается в регулировке. На следующий день работы машина меняет свое состояние в соответствии со следующей матрицей переходных вероятностей: Пусть, если машина работает нормально до перехода и после перехода, мы имеем прибыль в 40 р; в тех случаях, когда она начинает работу в нормальном состоянии, но затем требует регулировки (либо наоборот), прибыль равна 20 р; наконец, если машина не отрегулирована ни до, ни после перехода, то потери составят 20 р. Найти ожидаемую прибыль. Решение Матрица вознаграждений имеет вид: Графическое изображение марковского процесса будет: Рис. 4. Обозначим ожидаемую прибыль в каждом состоянии как q1 и q2. Тогда, согласно рис. 4, имеем: q1 = 0,7 40 + 0,3 20 = 34, q2 = -20 0,4 + 20 0,6 = 4, а q1 + q2 = 38. Значит ожидаемая прибыль равна 38 р. Пример 7. Состав исправных (состояние S1) и требующих ремонта (состояние S2) машин в автопарке в начале года определятся состоянием k = N(S1) : N( S2) = 4 : 1, а вероятность переходов между этими состояниями по истечении года характеризуются матрицей: . Тогда в конце года (или в начале следующего года) состояние k будет равно … 1) 7 : 2. 2) 3 : 2. 3) 36 : 11.
Рис. 5. Тогда: N(S1 )= 4 0,7 + 1 0,2 = 3, N(S1) = 1 0,8 + 4 0,3 = 0,8 + 1,2 = 2. Значит k = 3 : 2. 2. Задачи ДЛЯ самостоятельной работЫ Задача 1. Пусть (Е1, Е2, Е3) – возможные состояния системы, Р – матрица вероятностей перехода из состояния в состояние за один шаг: Построить граф, соответствующий матрице Р. Задача 2. Рассмотрим марковскую цепь с двумя состояниями Е1 и Е2 с матрицей вероятностей перехода: С помощью особого устройства случайного выбора мы выбираем состояние, с которого начинается процесс. Это устройство выбирает Е1 с вероятностью 1/2 и Е2 с вероятностью 1/2. Требуется: а) найти вероятность того, что после первого, шага этот процесс перейдет в состояние Е1; б) то же самое для случая, когда это устройство выбивает Е1 с вероятностью 1/3 и Е2 с вероятностью 2/3. Задача 3. Погода на некотором острове через длительные периоды времени становится то дождливой (Д), то сухой (С). Вероятности ежедневных изменений заданы матрицей: а) Если в среду погода дождливая, то какова вероятность, что она будет дождливой в ближайшую пятницу? б) Если в среду ожидается дождливая погода с вероятностью 0,3, то какова вероятность, что она будет дождливой в ближайшую пятницу? а) принимая в качестве состояний цепи различные виды погоды Д, Я, С, выписать матрицу Р вероятностей перехода; б) построить граф, соответствующий матрице Р. Рис. 6. Составить переходную матрицу. Задача 6. Какие из следующих матриц являются стохастическими и пригодны для описания Марковского процесса? а) ; б) ; с) ; д) ; е) . Построить граф данной матрицы. Задача 8. В любой данный день человек здоров или болен. Если человек здоров сегодня, то вероятность того, что он будет здоров и завтра оценивается в 98%. Если человек сегодня болен, то завтра он будет здоров лишь в 30% случаев. Описать последовательность состояний здоровья как Марковскую цепь. Определить: а) вероятность того, что человек выздоровеет завтра, послезавтра и на третий день, если сегодня он болен; б) ожидаемое число дней, в течение которых больной на сегодняшний день человек остается больным. а) матрицы прогноза погоды на данном острове на три дня вперед; б) вероятность солнечной погоды в ближайшую субботу, если в среду погода была дождливой. a) построить матрицу вероятностей перехода, вычислив переходные вероятности pij, если состояниями цепи являются комбинации кораблей, оставшихся в строю: е1 – оба корабля в строю; е2 – в строю корабль А; е3 – в строю корабль В; е4 – оба корабля поражены. б) построить граф этой системы. Рис. 7. Требуется: a) описать данный процесс как Марковскую цепь и построить переходную матрицу; б) найти среднее время получения положительного и отрицательного результата. № 3 а) 0,61 б) 0,547
№ 5 Литература 1. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студентов экономических специальностей вузов. – Минск: «Высшая школа», 2001. 2. Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. II: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения. М.: МЦНМО, 2009. – 295 с.: ил. Содержание Введение…………………………………………………………………3
|
|