Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Москва 2013 - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная... 1 309.99kb.
Рабочая программа модуля (дисциплины) математика линейная алгебра... 1 298.27kb.
Программа курса :«Линейная алгебра и аналитическая геометрия» 1 38.97kb.
2638 Задания к контрольной работе по дисциплине «теория механизмов... 1 389.35kb.
Методические указания по их выполнению по дисциплине «Линейная алгебра» 1 147.03kb.
Контрольная работа №1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия... 1 50.69kb.
Методические указания и контрольные задания по курсу «Математика. 2 453.02kb.
Методические указания и оборазцы выполнения контрольных заданий для... 1 163.81kb.
Методические указания к лабораторной работе по курсу «Теория волновых... 1 123.87kb.
Методические указания к лабораторной работе по курсу «Теория волновых... 1 109.46kb.
Методические указания к самостоятельной работе обучающихся Александровск-Сахалинский... 1 24.05kb.
Услуга «Легкий платеж» от мтс стала доступной для абонентов всех... 1 23.54kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и - страница №1/1

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»
Московский институт электроники и математики

Национального исследовательского университета

«Высшая школа экономики»


Кафедра

высшей математики

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Методические указания

к домашней контрольной работе

по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»


Москва

2013
Составители: канд. физ.-мат. наук И. К. Бусяцкая;

канд. физ.-мат. наук К. К. Андреев


УДК 512.8

Линейные операторы в евклидовых пространствах. Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»./ Моск. ин-т электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»; Сост.: И. К. Бусяцкая, К. К. Андреев. М., 2013. – 28 с.

На конкретных примерах излагаются способы решения задач домашней контрольной работы по теме «Линейные операторы в евклидовых пространствах». Приводится ряд дополнительных сведений из теории линейных операторов в евклидовых пространствах, некоторые из которых доказываются, а некоторые предоставляются для доказательства студентам.

Для студентов первого курса всех дневных факультетов.

ISBN 978-5-94506-311-2

Условия задач


Общие условия ко всем вариантам

Дана матрица оператора φ в стандартном базисе евклидова пространства R3.



1. Проверить, что оператор φ − изометрический.

2. Найти спектр оператора Spec φ.

3. Найти канонический вид матрицы оператора φ.

4. Найти канонический базис и матрицу C перехода к этому базису.

5. Проверить, что C − ортогональная матрица.

6. Указать геометрический смысл оператора φ.

Условия вариантов





1. . 2. .


3. . 4. .


5. . 6. .

7. . 8. .


9. . 10. .


11. . 12. .


13. . 14. .


15. . 16. .


17. . 18. .

19. . 20. .


21. . 22. .

23. . 24. .
§ 1. Комплексное евклидово пространство

Этот параграф является естественным дополнением пособия «Евклидовы пространства», М., МИЭМ, 2008, и предполагает знакомство с основными понятиями и идеями, изложенными в нём.

Пусть V – линейное пространство над полем комплексных чисел C.

Определение 1. Скалярным произведением в пространстве V называется отображение, ставящее в соответствие каждой упорядоченной паре векторов a, b из пространства V комплексное число, обозначаемое (a, b), причём так, что выполняются условия:

1. (a, a) > 0 для любого ненулевого вектора aV.

2. (a, b) = b, a для любых a, bV, т. е. (a, b) и (b, a) – комплексно сопряжённые числа.

3. (λa, b) = λ(a, b) для любых a, bV и λ  C.

4. (a1 + a2, b) = (a1, b) + (a2, b) для любых a1, a2, bV.

Из этих свойств следует, что

3*. (a, λb) = λ(a, b). Действительно, (a, λb) = (λb, a) = λ(b, a) = λb, a = = λ(a, b).

4*. (a, b1 + b2) = (a, b1) + (a, b2). Действительно, (a, b1 + b2) =(b 1+ b2, a) = = (b1, a) + (b2, a) = (b1, a) + (b2, a) = (a, b1) + (a, b2).

При выводе свойств 3* и 4* мы воспользовались следующими свойствами комплексного сопряжения.

Если z = α + iβ, z = α − iβ, то

1. z = z.

2. z1+z2 =z1+z2.

3. z1z2 =z1z2.

Свойство 2 и вытекающее из него свойство 3* отличает комплексное евклидово пространство от вещественного. Заметим, что сохранить одновременно положительную определённость и симметрию скалярного произведения при переходе от вещественного пространства к комплексному невозможно, т. к. из (a, b) = (b, a) следует, что (λa, λb) = λ2(a, b) и при λ = i получаем (ia, ia) = = i2(a, a) = −(a, a), т. е. (a, a) и (ia, ia) не могут быть одновременно положительными числами.



Определение 2. Пространство V вместе с заданным в нём скалярным произведением называется комплексным евклидовым пространством и обозначается E.

Сохранив положительную определённость скалярного произведения (свойство 1), можно определить в комплексном евклидовом пространстве длину вектора.



Определение 3. Длиной вектора aE называется число |a| = (a, a).

Отметим, что неравенство (a, a) > 0 подразумевает, что число (a, a) вещественное, так как невещественные комплексные числа сравнивать нельзя. Угол между векторами в комплексном евклидовом пространстве не определяется, так как скалярное произведение (a, b) − комплексное число, однако вводится понятие ортогональных векторов.



Определение 4. Два вектора a, b в комплексном евклидовом пространстве E называются ортогональными (ab), если (a, b) = 0.

Эти определения позволяют рассматривать ортогональные и ортонормальные системы (в том числе и базисы) в пространстве E и его линейных подпространствах. Причём свойства ортогональных систем, доказанные для вещественных евклидовых пространств, сохраняются и в комплексном случае, в частности, из любой линейно независимой системы векторов, применяя процесс ортогонализации и нормирование, можно получить ортонормальный базис в линейной оболочке этих векторов, а также разложить евклидово пространство E в прямую сумму E = LL, где L − линейное подпространство в E, а L − его ортогональное дополнение.

Основным примером комплексного евклидова пространства является линейное пространство Cn = {z1…zn; ziC} со стандартным скалярным произведением:

(z, w) = i=1nziwi.

В этом евклидовом пространстве длина вектора z вычисляется по формуле:

|z| = (z, z) = i=1nzizi = i=1n|zi|2,

а векторы e1 = 10…0, …, en = 00…1 образуют ортонормальный базис.

Произвольное n-мерное комплексное евклидово пространство E можно «отождествить» с евклидовым пространством Cn. Для построения изометрического изоморфизма пространств E и Cn зафиксируем в E ортонормальный базис e1, …, en. Если z = i=1nziei − разложение вектора zE по базису e1, …, en, то, поставив этому вектору в соответствие вектор-столбец комплексных чисел z1…zn  Cn, мы получим биективное и линейное отображение φ пространства E в Cn. Как известно (см. «Евклидовы пространства», М., МИЭМ, 2008, § 2), скалярное произведение векторов z и w пространства E в ортонормальном базисе вычисляется по формуле (z, w) =i=1nziwi. Следовательно, построенное отображение φ является изометрическим изоморфизмом.



§ 2. Сопряжённый оператор

Пусть φ − линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве E над полем P (R или C).



Определение 5. Оператор φ* называется сопряжённым к оператору φ, если для любых x, yE выполняется соотношение

(φ(x), y) = (x, φ*(y)).



Примеры.

1. φ = id – тождественный оператор: φ (x) = x для любого x.

(id (x), y) = (x, y) = (x, id (y)).

Следовательно, id* = id.

2. φ – изометрический изоморфизм, т. е. биективное линейное отображение, сохраняющее скалярное произведение: (x, y) = (φ (x), φ (y)). У оператора φ существует обратный оператор φ-1 такой, что если φ (x) = y, то φ-1 (y) = x, и, следовательно, φ-1 также является изометрией.

(φ (x), y) = (φ-1(φ (x), φ-1(y)) = ((φ-1φ) (x), φ-1(y)) = (id (x), φ-1(y)) = (x, φ-1(y)).

Таким образом, φ* = φ-1.

Теорема 1 (единственности). Если у оператора φ есть сопряжённый, то он единствен.

Доказательство. Пусть φ1* и φ2* − операторы, сопряжённые к φ; тогда

(φ (x), y) = (x, φ1*(y)) = (x, φ2*(y)) для любых x, y.

Отсюда

(x, φ1*(y) − φ2*(y)) = (x, (φ1* − φ2 *) (y)) = 0 для любых x, y.



Вектор (φ1* − φ2 *) (y)  x для любого x и, следовательно, может быть только нулевым. Равенство (φ1* − φ2 *) (y) = 0 для любого y означает, что оператор φ1* − φ2 * нулевой, т. е. φ1* = φ2*, QED1.

Теорема 2 (существования). У любого линейного оператора φ в конечномерном евклидовом пространстве существует сопряжённый оператор φ*.

Доказательство. Зафиксируем ортонормальный базис e1, …, en в пространстве E; x = i=1nxiei − разложение вектора x по этому базису, Aφ = = a11⋯a1n⋮⋱⋮an1⋯ann − матрица оператора φ в рассматриваемом базисе. Действие оператора φ – это умножение на матрицу Aφ:

φ (x) = Aφx1…xn = k=1na1kxk…k=1nankxk.

Скалярное произведение в ортонормальном базисе имеет стандартный вид:

(φ (x), y) = i=1n(k=1naikxk)yi = k=1n(i=1naikyi)xk = k=1nxki=1naikyk =

= k=1nxkzk = (x, z),

где z = k=1nzkek и zk = i=1naikyk.

Таким образом, вектор z = z1…zn получается из вектора y = = y1…yn умножением на матрицу AφT, = aik, а соответствующий оператор удовлетворяет определению сопряжённого, QED. Таким образом, Aφ* = AφT.

Если оператор φ действует в вещественном евклидовом пространстве и Aφ − его матрица в фиксированном ортонормальном базисе, то матрица сопряжённого оператора φ* в этом базисе − AT, а действие оператора φ* − умножение на транспонированную матрицу AT.

Переход от линейного оператора к сопряжённому обладает следующими свойствами.

1. (φ*)* = φ.

2. (φ + )* = φ* + *.

3. (λφ)* = λφ*.

4. (φ)* = *φ*.

Проверьте эти свойства.



Определение 6. Оператор φ называется самосопряжённым, если φ = φ*.

Примеры.

1. id – самосопряжённый оператор.

2. В пространстве Rn со стандартным скалярным произведением оператор умножения на симметрическую матрицу (AT = A) является самосопряжённым.

3. В пространстве Cn со стандартным скалярным произведением оператор умножения на матрицу A будет самосопряжённым тогда и только тогда, когда aij = aji (A = AT). Матрицы, обладающие этим свойством, называются эрмитовыми.

4. Рассмотрим линейный оператор φ, действующий в одномерном комплексном евклидовом пространстве C1. Такой оператор – оператор умножения на комплексное число α: φ (z) = αz. Оператор φ будет самосопряжённым тогда и только тогда, когда α = α, т. е. α – вещественное число. Этот пример показывает, что самосопряжённые операторы во множестве всех линейных операторов являются как бы аналогами вещественных чисел, принадлежащих множеству всех комплексных чисел.

§ 3. Свойства самосопряжённых операторов

Рассмотрим линейное подпространство L в евклидовом пространстве E, инвариантное относительно линейного оператора φ. Это означает, что φ (x)  L для любого xL, т. е. образы векторов из линейного подпространства L не выходят за пределы подпространства L. Пусть L − ортогональное дополнение пространства L, т. е.



L = {y; (x, y) = 0 для любого xL}.

Теорема 1. Если φ − самосопряжённый оператор и L инвариантно относительно φ, то L также инвариантно относительно φ.

Доказательство. Требуется доказать, что для любого yL φ (y)  L, т. е. (φ (y), x) = 0 для любого xL. (φ (y), x) = (y, φ* (x)) = (y, φ (x)). L инвариантно, и, следовательно, для любого xL φ (x)  L. Поэтому (y, φ (x)) = 0 для любого yL, QED.

Евклидово пространство E раскладывается в прямую сумму любого линейного подпространства L и его ортогонального дополнения L. Причём, если x = y + z, где yL, zL, то y = prLx, а z = ortLx. Таким образом, наличие у самосопряжённого оператора φ инвариантного подпространства L позволяет рассматривать его действие во всём пространстве E как совокупность независимых действий в пространствах меньшей размерности L и L. Напомним, что в этом случае матрица Aφ оператора φ в базисе e1, …, en, при условии e1, …, ekL, ek+1, …, enL, имеет вид Aφ = Aφ'00Aφ'', где Aφ' − матрица оператора φ, действующего в пространстве L в базисе e1, …, ek, а Aφ'' − матрица оператора φ, действующего в L в базисе ek+1, …, en.

Естественными инвариантными подпространствами любого линейного оператора φ являются собственные подпространства Vλ этого оператора, т. е. множества собственных векторов оператора φ, соответствующих одному собственному значению λ, пополненные нулевым вектором. В комплексном линейном пространстве собственные векторы у линейного оператора существуют всегда, в то время как в вещественном линейном пространстве их может не быть, например, если характеристический многочлен не имеет вещественных корней.

Теорема 2. Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора φ вещественны.

Доказательство.

Случай 1. Пусть E − евклидово пространство над полем C. В этом случае любой корень характеристического многочлена будет собственным значением, т. е. для любого λ0 такого, что Pφ0) = 0, существует соответствующий собственный вектор x0 и (φ (x0), x0) = (λx0, x0) = λ (x0, x0). Так как оператор φ самосопряжённый, то

(φ (x0), x0) = (x0, φ* (x0)) = (x0, φ (x0)) = (x0, λx0) = λ (x0, x0).

Собственный вектор всегда (по определению) ненулевой и, следовательно, (x0, x0)  0. Из равенства λ (x0, x0) = λ (x0, x0) получаем λ = λ, т. е. λ вещественно.

Случай 2. Пусть E – конечномерное евклидово пространство над полем R. Фиксируем e1, …, en − ортонормальный базис в этом пространстве. Соответствие x = i=1nxiei  x1…xn задаёт изометрический изоморфизм E и Rn. При этом если Aφ − матрица оператора в базисе e1, …, en, то соответствующее действие оператора в Rn − умножение на матрицу Aφ:

φ: x1…xn  Aφx1…xn.

Причём матрица Aφ − матрица оператора в стандартном базисе пространства Rn. Матрица Aφ, как матрица самосопряжённого оператора в ортонормальном базисе, симметрическая.

Пространство Rn является подмножеством пространства Cn:



Rn = {x1…xn, xiR}  Cn = {z1…zn, ziC}.

Определим в Cn оператор φ − оператор умножения на матрицу Aφ:

φ: z1…zn  Aφz1…zn.

Aφ − матрица оператора φ в стандартном базисе. Это самосопряжённый оператор в Cn, т. к. все элементы aij вещественны и, следовательно, aij = aij и aij = aji, т. к. Aφ – симметрическая матрица. Поэтому AφT = Aφ.

Характеристический многочлен Pφ (λ) вычисляем, используя матрицу Aφ:

Pφ (λ) = det (Aφ – λE) = Pφ (λ).

Характеристические многочлены операторов φ и φ совпадают, и, следовательно, совпадают их корни. Как было доказано в случае 1, все эти корни вещественны, QED.

Из теоремы 2 следует, что у самосопряжённого оператора всегда есть инвариантные подпространства. Это, например, собственные подпространства Vλ. Спектр любого оператора φ − множество корней характеристического многочлена с указанием их кратностей

Spec φ = {λ1[k1], …, λs[ks]} −

можно изобразить на комплексной плоскости точками. Так как спектр самосопряжённого оператора φ содержит только вещественные числа, то все точки спектра этого оператора располагаются на вещественной оси.

§ 4. Канонический вид самосопряжённого оператора

Теорема 3. У любого самосопряжённого оператора φ в конечномерном евклидовом пространстве E существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора диагональна.

Доказательство. Применим метод математической индукции по размерности n евклидова пространства E. Если dim E = n = 1, то оператор φ − умножение на вещественное число λ и Aφ = (λ).

Пусть утверждение теоремы верно для любого евклидова пространства E размерности n. Покажем, что при этом условии теорема справедлива для пространства E размерности n + 1.

Итак, оператор φ (φ = φ*) действует в евклидовом пространстве E, dim E = n + 1. По теореме 2 все корни характеристического уравнения вещественны и, следовательно, существует вещественное собственное значение λ1 и соответствующий собственный вектор x1. Рассмотрим линейную оболочку этого вектора L = x1. Это инвариантное подпространство в пространстве E, в котором оператор действует как умножение на λ1. По теореме 1 ортогональное дополнение L инвариантно. dim L = 1, dim L = n. По предположению индукции в L существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора φ как оператора, действующего в пространстве L, диагональна. Это e2, …, en+1 − ортонормальный базис из собственных векторов оператора φ. Обозначим через e1 = x1|x1|  L, e1L, и мы получили e1, e2, …, en+1 − ортонормальный базис в E, в котором матрица оператора φ диагональна, QED.

Ортонормальный базис, в котором матрица самосопряжённого оператора диагональна, естественно назвать каноническим, хотя он и не определён однозначно. Например, для тождественного оператора любой ортонормальный базис канонический.

Заметим, что сам факт существования базиса, в котором матрица оператора диагональна с вещественными числами на диагонали, не гарантирует самосопряжённости оператора. Так, если матрица оператора Aφ в стандартном базисе в евклидовом пространстве Rn не симметрическая, а оператор φ диагонализируемый, то φ не будет самосопряжённым оператором, однако будет обладать базисом из собственных векторов. Этот базис не будет ортонормальным.

Из теоремы 3 следует, что любая симметрическая (эрмитова) матрица A подобна диагональной матрице с вещественными числами, стоящими на диагонали:



A  λ1⋯0⋮⋱⋮0⋯λn.

Матрица A задаёт самосопряжённый оператор φ − оператор умножения на эту матрицу – и является матрицей оператора φ в стандартном ортонормальном базисе пространства Rn (Cn).

Если P – матрица перехода от стандартного базиса к каноническому, то

A = Pλ1⋯0⋮⋱⋮0⋯λnP-1.

При нахождении канонического базиса для самосопряжённого оператора может оказаться полезным утверждение следующей теоремы.



Теорема 4. Собственные векторы самосопряжённого оператора φ, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть λ1 и λ2 − различные собственные значения оператора φ (они вещественны по теореме 2), x1 , x2 − соответствующие собственные векторы.

(φ (x1), x2) = (x1, φ (x2));

(φ (x1), x2) = (λ1x1, x2) = λ1(x1, x2);

(x1, φ (x2)) = (x1, λ2x2)) = λ2(x1, x2) = λ2(x1, x2).

Итак, λ1(x1, x2) = λ2(x1, x2) и так как λ1  λ2, то (x1, x2) = 0, QED.

Таким образом, если корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора различны и имеют кратность 1, канонический базис можно получить, выбирая по собственному вектору единичной длины для каждого собственного значения.



Пример. Найти канонический вид и канонический базис оператора умножения на матрицу


в пространстве C2.



Пусть φ − рассматриваемый оператор, тогда матрица является матрицей оператора φ в стандартном ортонормальном базисе e1, e2 стандартного комплексного евклидова пространства C2, т. е. Аφ = = . Матрица Аφ – эрмитова, т. к. Aφ = , следовательно, оператор φ − самосопряжённый. Найдём характеристический многочлен и спектр оператора φ: Pφ(λ) = det = (3 − λ)(1 − λ) – (2 + 2i)(2 − 2i) = λ2 − − 4λ + 3 – 8 = λ2 − 4λ – 5 = (λ + 1)(λ − 5). Корнями характеристического многочлена будут числа λ1 = −1 и λ2 = 5. Спектр оператора φ имеет вид: Spec φ = = {−1[1], 5[1]}. Найдём собственные подпространства V-1 и V5 оператора φ.

Подпространство V-1 – это множество решений системы:






Решая систему, например, методом Гаусса, получаем множество векторов вида α. Подпространство V5 − это множество решений системы:




Множество решений этой системы – векторы вида α.

Векторы а1 = , а2 = , порождающие, соответственно, подпространства V-1 и V5, ортогональны и имеют длины 6 и 3 (проверьте это самостоятельно!). Поделив векторы а1 и а2 на их длины, получим канонический базис оператора φ, в котором матрица φ имеет канонический диагональный вид:

.
§ 5. Изометрический оператор

Рассмотрим φ – линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве E над полем P (R или C). У каждого такого оператора φ существует сопряжённый оператор φ* (см. теорему 2 § 2).



Определение 7. Оператор φ называется изометрическим, если φφ* = = φ*φ = id.

Это определение означает, что оператор φ обратим, а сопряжённый оператор φ* является обратным к оператору φ, т. е. φ* = φ-1. В примере 2 § 2 было показано, что изометрический изоморфизм, т. е. биективное линейное отображение, сохраняющее скалярное произведение, обладает этим свойством. Верно и обратное.



Теорема 1. Если φ – изометрический оператор, то отображение φ биективно и сохраняет скалярное произведение.

Доказательство. Биективность отображения φ вытекает из существования обратного оператора φ-1= φ*. Проверим, что скалярное произведение сохраняется при отображении φ:

(φ(x), φ(y)) = (x, φ*(φ(y))) = (x, (φ*φ) (y)) = (x, id y) = (x, y),

QED.

Зафиксируем некоторый ортонормальный базис e1, e2, …, en в евклидовом пространстве E. Пусть Aφ − матрица изометрического оператора φ в этом базисе. Так как матрица сопряжённого оператора φ* в этом же базисе имеет вид Aφ* = AφT (или Aφ* = AφT в вещественном случае), то матрица изометрического оператора φ обладает свойством:



Aφ AφT = E.

Изучим подробнее такие матрицы.



Определение 8. Матрица OMn (R) называется ортогональной, если O-1 = OT. Матрица UMn (C) называется унитарной, если U -1 = U T.

Теорема 2. Строки и столбцы унитарной (ортогональной) матрицы – попарно ортогональные векторы единичной длины.

Доказательство. Пусть

U = , = .

Перемножим эти матрицы:



U=

То есть элемент произведения, стоящий в i-й строке и в j-м столбце,, равен − соответствующему элементу матрицы E. Но − скалярное произведение векторов, стоящих в i-й и j-й строках матрицы U. Следовательно, строки матрицы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Перемножим теперь матрицы U и в другом порядке:

U =

Элемент произведения, стоящий в i-й строке и в j-м столбце, имеет вид и равен . Но − скалярное произведение j-го и i-го столбцов матрицы U. Следовательно, и столбцы матрицы U попарно ортогональны и имеют единичную длину, QED.

Это утверждение о столбцах матрицы U можно получить и из геометрических соображений, если U − матрица изометрического оператора в ортонормальном базисе. Столбцы матрицы состоят из координат образов базисных векторов e1, e2, …, en в рассматриваемом базисе. Изометрический оператор сохраняет скалярное произведение. Следовательно, столбцы – векторы φ (e1), …, φ (en) − также образуют ортонормальный базис.



Заметим, что унитарные (ортогональные) матрицы встречаются также при рассмотрении матриц перехода от одного ортонормального базиса к другому. Действительно, пусть e1, e2, …, en и e1, e2, …, en − два таких базиса и P − матрица перехода от первого базиса ко второму. Столбцы матрицы P состоят из координат векторов e1, e2, …, en в базисе e1, e2, …, en. Столбцы матрицы P тем самым − попарно ортогональные векторы единичной длины. Поэтому P − матрица, состоящая из попарных скалярных произведений столбцов, − равна E, P = E. Таким образом, является обратной матрицей P-1, а сама матрица P оказывается унитарной (ортогональной).

Рассмотрим теперь определитель унитарной матрицы U. det U (сумма с соответствующими знаками произведений элементов матрицы, взятых из разных строк и разных столбцов) является комплексным числом.



det U = , где  = −

подстановка степени n, sgn  − её знак, а Sn − множество всех таких подстановок.



det = .

Так как комплексное сопряжение перестановочно с операциями сложения и умножения комплексных чисел, то det =.

Вычислим модуль комплексного числа det U.



Теорема 3. Пусть U − унитарная матрица, тогда |det U| = 1.

Доказательство. det (U) = det Udet = det Udet = det U= = |det U|2.

Но U = E, следовательно, |det U|2 = 1 и |det U| = 1, т. к. модуль комплексного числа – вещественное положительное число. Определитель унитарной матрицы – комплексное чиcло, по модулю равное единице, − может быть записан в виде:

det U = = cos α + i sin α, QED.

Если O − ортогональная матрица, то все её элементы вещественны и = = O. det O – вещественное число, а из доказательства теоремы 3 получаем |det O|2 = 1. Следовательно, в вещественном случае det O = 1.

Замечание. Пусть e1, e2, …, en и e1, e2, …, en − два ортонормальных базиса в вещественном евклидовом пространстве, P − матрица перехода от первого базиса ко второму. P – ортогональная матрица, и, следовательно, det P = = 1. Будем говорить, что базисы e1, e2, …, en и e1, e2, …, en имеют одинаковую ориентацию, если det P = 1, и противоположную, если det P = −1. Рассмотрим стандартный базис e1 = , e2 = , …, en = в стандартном евклидовом пространстве Rn. Любой базис, имеющий одинаковую ориентацию со стандартным базисом, будем называть положительно ориентированным. Противоположно ориентированные базисы будем называть отрицательно ориентированными. Эти определения обобщают понятия положительно и отрицательно ориентированных троек векторов трёхмерного векторного пространства на случай ортонормальных базисов в стандартном евклидовом пространстве Rn.

§ 6. Свойства изометрического оператора

Рассмотрим линейное подпространство L в евклидовом пространстве E и его ортогональное дополнение L.



Теорема 1. Если L − инвариантное подпространство изометрического оператора φ, то L − также инвариантное подпространство этого оператора.

Доказательство. Для любых xL и yL имеем: (x, y) = 0. Пусть y   L; тогда для проверки инвариантности подпространства L относительно действия оператора φ нужно убедиться, что (x, φ (y)) = 0 для любого xL. Подпространство L инвариантно относительно действия оператора φ, следовательно, φ: LL − изометрический оператор в пространстве L, т. е. биективное и линейное отображение. Поэтому любой вектор xL можно записать как φ (x), где x = φ-1 (x). Таким образом,

(x, φ (y)) = (φ (x), φ (y)) = (x, y) = 0,

т. к. x  L, а yL, QED.

Напомним, что если линейный оператор (не обязательно изометрический) имеет собственные векторы, то у него есть и инвариантные подпространства, например, собственные подпространства Vλ. Поэтому поиски инвариантных подпространств изометрического оператора φ целесообразно начать с изучения его спектра.



Теорема 2. Корни характеристического уравнения изометрического оператора по модулю равны единице.

Доказательство. Случай 1. Пусть φ – изометрический оператор в комплексном евклидовом пространстве E.

Многочлен Pφ (λ), как всякий многочлен степени n  1 над полем C, имеет хотя бы один корень λ0 (точнее, n корней с учётом их кратности). Этот корень является собственным значением оператора φ, соответствующим собственному вектору x0.



(x0, x0) = (φ (x0), φ (x0)) = (λ0x0, λ0x0) = λ0(x0, x0).

λ0 = |λ0|2. Так как x0 − собственный вектор, то (x0, x0)  0 и |λ0|2 = 1. Следовательно, |λ0| = 1.

Случай 2. Рассмотрим изометрический оператор в вещественном евклидовом пространстве E. Зафиксируем ортонормальный базис e1, e2, …, en и установим изометрический изоморфизм пространства E и стандартного евклидова пространства Rn (см. «Евклидовы пространства», М., МИЭМ, 2008, стр. 12). Пусть O − матрица изометрического оператора в рассматриваемом базисе; тогда φ:  O. Пространство Rn является подмножеством стандартного комплексного евклидова пространства Cn. Определим оператор в этом пространстве, :  O. Оператор совпадает с φ на подмножестве Rn. Матрица O является матрицей оператора в стандартном базисе, и так как O вещественна, то O= OOT = E и − изометрический оператор в пространстве Cn. Характеристические многочлены операторов и φ одинаковы, т. к.

P (λ) = det (O – λE), Pφ (λ) = det (O – λE).

Но в случае 1 было показано, что все корни характеристического многочлена оператора по модулю равны 1, QED.

Так как в комплексном линейном пространстве любой корень характеристического уравнения является собственным значением, то изометрический оператор имеет инвариантные подпространства. Если x0 – собственный вектор, соответствующий собственному значению λ0, то его линейная оболочка L = = x0 − одномерное инвариантное подпространство изометрического оператора.



В вещественном случае, как показывает пример оператора поворота на плоскости на угол α  k, у изометрического оператора может не быть нетривиальных инвариантных подпространств (т. е. подпространств, отличных от нулевого и всего пространства). Это связано с отсутствием вещественных корней у характеристического уравнения.

Рассмотрим изометрический оператор φ в вещественном евклидовом пространстве. Корни его характеристического уравнения по модулю равны единице. Если они вещественны, то это числа 1, которые будут собственными значениями оператора, а соответствующие собственные подпространства будут инвариантными. Если корень характеристического уравнения λ не является вещественным, то λ = , α  k.

Теорема 3. Пусть λ = (α  k) – корень характеристического уравнения Pφ (λ) = 0 изометрического оператора φ, действующего в вещественном евклидовом пространстве E; тогда существует двумерное инвариантное подпространство LE , в котором оператор φ есть поворот на угол α.

Доказательство. Зафиксируем ортонормальный базис e1, e2, …, en в пространстве E; O – матрица оператора в этом базисе. Как и в доказательстве теоремы 2, установим изометрический изоморфизм между пространством E и стандартным евклидовым пространством Cn, φ:  O. – оператор, продолжающий это действие в стандартное евклидово пространство Cn, :  O. Как было показано в доказательстве теоремы 2, − изометрический оператор с тем же спектром, т. е. Spec φ = Spec . Поэтому λ = = − собственное значение оператора , а z = − соответствующий собственный вектор.

z = = = + i= x + iy, где x, yRn;

(z) = (x + iy) = O(+ i )= O+i O= φ (x) + iφ (y);

(z) = z = (cos α + i sin α)(x + iy) = (xcos α − ysin α) + i(xsin α + ycos α).

Отсюда получаем:



φ (x) = xcos α − ysin α, φ (y) = xsin α + ycos α.

Рассмотрим двумерное подпространство, порождённое векторами x и y: L = x, y  Rn. Это подпространство инвариантно относительно оператора φ. Пусть = xiy − вектор, сопряжённый вектору z = x + iy. () = O = = в силу вещественности матрицы O и вышеуказанных свойств комплексного сопряжения.

() = =  = .

Вычислим скалярное произведение векторов z и :

(z, ) = ((z), ()) = (z, ) = λ2(z, ).

Но = e2iα  1, т. к. α  k. Следовательно, (z, ) = 0, т. е. векторы z и ортогональны.

(z, ) = (x + iy, xiy) = (x, x) – (y, y) + 2i(x, y) = 0.

Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю. Получаем: (x, x) = (y, y), (x, y) = 0. Векторы x и y ортогональны и имеют одинаковую длину: |x| = |y| = a. В подпространстве L рассмотрим два вектора e1 = и e2 = . Это ортогональные векторы единичной длины, т. е. ортонормальный базис в линейном подпространстве L. Найдём матрицу оператора φ в этом базисе:

φ (e1) = φ () = (xcos α − ysin α) = cos α − sin α = e1cos α − e2sin α.

Аналогичным образом



φ (e2) = φ () = e1sin α + e2cos α.

Матрица оператора φ, действующего в инвариантном подпространстве L, − это , т. е. матрица оператора поворота на угол α, QED. (Подчеркнём, что эта матрица задаёт поворот, только если это матрица оператора в ортонормальном базисе.)

§ 7. Канонический вид изометрического оператора

Теорема 1. Пусть φ – изометрический оператор в комплексном евклидовом пространстве E; тогда в E существует ортонормальный базис из собственных векторов оператора.

Доказательство (методом математической индукции). Если оператор φ действует в одномерном пространстве, то он есть умножение на число. Это число λ = eiα, любой вектор пространства E собственный, в том числе любой вектор e единичной длины, являющийся ортонормальным базисом E. Предположим, что теорема верна для евклидовых пространств E таких, что dim E = k, и покажем, что из этого предположения следует справедливость теоремы для евклидовых пространств размерности k + 1.

Пусть φ – изометрический оператор в пространстве E, у которого dim E = = k + 1, λ0 = eiα − собственное значение оператора φ, соответствующее собственному вектору x0. Рассмотрим линейную оболочку этого вектора L = x0. Это одномерное линейное подпространство, базисом которого будет вектор e1 = = . L – инвариантное подпространство оператора φ, и по теореме 1 § 6 его ортогональное дополнение L также инвариантно относительно оператора φ. dim L = k, т. к. E = LL и dim E = dim L + dim L. Оператор φ действует в пространстве L, и, следовательно, по предположению индукции в пространстве L существует ортонормальный базис e2, …, ek+1 из собственных векторов оператора φ. Тогда e1, e2, …, ek+1 − ортонормальный базис в пространстве E, состоящий из собственных векторов оператора φ, QED.

Матрица изометрического оператора в базисе из собственных векторов диагональна, и на диагонали стоят числа, по модулю равные единице. Таким образом, для любой унитарной матрицы U существует другая унитарная матрица V такая, что V-1UV − диагональная матрица. Матрица V − это матрица перехода от исходного стандартного ортонормального базиса, в котором оператор задаётся как оператор умножения на матрицу U, к каноническому базису из собственных векторов, существование которого доказано в теореме 1. Другими словами, можно сказать, что любая унитарная матрица подобна диагональной специального вида:



U ~ .

Если φ – изометрический оператор в вещественном евклидовом пространстве, то у него может не существовать ортонормального базиса из собственных векторов, как, например, у оператора поворота на угол α  k на плоскости. Однако и в вещественном случае у изометрического оператора существует специальный (канонический) ортонормальный базис.



Теорема 2. Пусть φ – изометрический оператор в вещественном евклидовом пространстве E; тогда в этом пространстве существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора имеет вид:

,
называемый каноническим.

Это клеточно-диагональная матрица, одномерные клетки которой суть числа 1 или −1, а двумерные – матрицы поворота на углы αi.



Доказательство (методом математической индукции). Пусть φ действует в одномерном евклидовом пространстве E. В этом случае оператор φ − умножение на число, которое в силу изометрии равно 1. Вектор e единичной длины в пространстве E и есть требуемый базис.

Предположим, что теорема верна для евклидовых пространств E размерности, меньшей n (dim E < n), и рассмотрим евклидово пространство E размерности n (dim E = n) и спектр оператора φ. Если в спектре оператора есть вещественные числа λ0 (а это могут быть только числа 1), то это собственное значение, которому соответствует собственный вектор x0. Рассмотрим L = x0, dim L = 1. Вектор e1 = − базис пространства L. По теореме 1 § 6 подпространство L инвариантно относительно φ, т. е. φ действует в пространстве L. dim L = n − 1, и по предположению индукции пространство L обладает ортонормальным базисом e2, …, en, в котором матрица оператора φ имеет требуемый клеточно-диагональный вид. Векторы e1, e2, …, en − ортонормальный базис пространства E, в котором матрица оператора φ имеет требуемый клеточно-диагональный вид.

Если в спектре оператора φ нет вещественных чисел, то рассмотрим комплексный корень λ0 = характеристического уравнения. Согласно теореме 3 § 6 в пространстве E существует двумерное инвариантное подпространство L, в котором оператор φ действует как поворот на угол α0. Пусть e1, e2 − ортонормальный базис подпространства L. Ортогональное дополнение L инвариантно относительно оператора φ, и dim L = n − 2. По предположению индукции в L существует ортонормальный базис e3, …, en, в котором матрица оператора φ имеет канонический вид. Заметим, что в этом случае все клетки на диагонали двумерны, QED.

Из этой теоремы следует, что для каждой ортогональной матрицы O существует другая ортогональная матрица Q (матрица перехода к каноническому базису) такая, что Q-1OQ − клеточно-диагональная матрица, описанная в теореме 2.

Наконец, заметим, что канонический вид ортогональной матрицы определён однозначно с точностью до перестановки местами клеток на диагонали.

§ 8. Изометрические операторы на плоскости и в пространстве

Теорема 2 предыдущего параграфа даёт возможность классифицировать изометрические операторы на плоскости и в трёхмерном пространстве, описав не только все ортогональные матрицы размерности 2 и 3 с точностью до подобия, но и геометрическое действие соответствующих операторов.



Рассмотрим изометрический оператор φ на плоскости, т. е. в двумерном стандартном евклидовом пространстве R2. Канонический вид матрицы оператора φ определён однозначно с точностью до порядка клеток на диагонали. Пусть e1, e2 − ортонормальный базис пространства R2, в котором матрица оператора φ имеет канонический вид. Если O = , т. е. совпадает с матрицей E, то φ = id и Spec φ = {1[2]}.

Если O = , то φ = −id и Spec φ = {(−1)[2]}. В этом случае оператор φ является центральной симметрией: φ (x) = −x.

Если O = , то Spec φ = {1[1], (−1)[1]}. Вектор e1 является собственным с собственным значением 1, а вектор e2 − собственным вектором с собственным значением −1. Оператор φ осуществляет симметрию относительно прямой, проходящей через начало координат на плоскости, направление которой задаёт вектор e1. Наконец, если O = , то оператор φ – поворот на угол α, Spec φ = {eiα [1], e-iα [1]}.

Других изометрических операторов на плоскости нет.

Пусть φ – изометрический оператор, действующий в стандартном евклидовом пространстве R3, e1, e2, e3 − ортонормальный базис, в котором матрица O оператора φ имеет канонический вид. (Теорема 2 § 7.)

Если O = , т. е. O = E, то φ = id и Spec φ = {1[3]}. Если O = = , то Spec φ = {1[2], (−1)[1]}.

В двумерном подпространстве L = e1, e2 оператор φ действует как тождественный, а в пространстве осуществляет симметрию относительно плоскости, порождённой векторами e1 и e2, проходящей через начало координат.



Если O =, то Spec φ = {1[1], (−1)[2]}. L1 = e1 − собственное подпространство, соответствующее собственному значению 1, а L2 = e2, e3 − собственное подпространство, соответствующее собственному значению −1. Оператор φ действует в пространстве как симметрия относительно прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора e1.

Если O =, то φ = −id, Spec φ = {(−1)[3]}. Все векторы пространства, кроме 0, являются собственными векторами оператора φ с собственным значением −1. Оператор φ осуществляет в пространстве центральную симметрию относительно начала координат: φ (x) = −x.

Пусть теперь в спектре оператора φ есть невещественные числа. Оператор φ – изометрический, поэтому по теореме 2 § 1 это числа вида eiα. Характеристический многочлен Pφ(λ) имеет вещественные коэффициенты. Как известно, невещественные корни вещественных многочленов встречаются парами, т. е. если z0 – корень, то − также корень. Следовательно, Spec φ = = {eiα [1], e-iα [1], 1[1]} или Spec φ = {eiα [1], e-iα [1], (−1)[1]}. В первом случае канонический вид матрицы оператора φ в ортонормальном базисе e1, e2, e3: O = = . Вектор e1 − собственный вектор, соответствующий собственному значению 1, L = e1, e2 − двумерное инвариантное подпространство, в котором оператор φ действует как поворот на угол α. В трёхмерном пространстве R3 оператор φ осуществляет поворот вектора вокруг оси, проходящей через начало координат и идущей в направлении вектора e1, на угол α. Направление вращения зависит от ориентации базиса e1, e2, e3.

Если матрица оператора φ имеет канонический вид O = = в базисе e1, e2, e3, то e1 − собственный вектор, соответствующий собственному значению −1, а L = e2, e3 − инвариантное подпространство, в котором φ действует как поворот на угол α. Оператор φ осуществляет поворот вокруг оси, проходящей через начало координат в направлении вектора e1, на угол α с последующей симметрией относительно перпендикулярной к вектору e1 плоскости, проходящей через начало координат.

Описав все возможные изометрические операторы в пространстве R3, можно по матрице O изометрического оператора φ, заданной в некотором базисе, описать действие оператора в пространстве геометрически.



§ 9. Пример

Рассмотрим конкретный пример (вариант № 24). Дано, что некоторый линейный оператор φ в стандартном базисе стандартного евклидова пространства R3 имеет матрицу



A = .

1. Проверим, что оператор φ является изометрическим. Для этого достаточно убедиться в том, что матрица A является унитарной, в данном случае ортогональной, так как все её элементы вещественны. Убеждаемся в этом непосредственным вычислением скалярных произведений строк (и столбцов) друг на друга.

2. Найдём спектр оператора φ. Спектр Spec φ – это совокупность всех собственных значений с указанием их кратностей. Вычисляем собственные значения. Для этого надо следующий определитель

det (A – λE) =

приравнять нулю и решить полученное уравнение. Здесь удобно положить λ = = . Тогда имеем:

= −μ3 – 729 = 0,

откуда λ = −1 и ещё двум невещественным кубическим корням из −1:



Spec φ = {−1, = cos + isin}.

3. Канонический вид матрицы нашего линейного оператора (т. е. матрицы оператора в каноническом базисе), как это следует из § 6, будет таков:

= .

4. Сам же канонический базис ищется следующим образом. Первый его вектор – это собственный вектор нашего оператора с собственным значением −1. Он ищется обычным образом, т. е. составляем матрицу

A – λE = A + E = =

и рассматриваем её как матрицу линейной однородной системы. Все решения этой системы, кроме нулевого, суть собственные векторы. Так как решений бесконечно много, ищем базис подпространства решений (фундаментальную систему решений, ФСР). В данном случае мы можем взять, конечно, матрицу . Приведём её к главному ступенчатому виду:. Из вида этой матрицы ясно, что подпространство решений одномерно и базисом в нём будет вектор . Это и есть собственный вектор, все остальные будут ему коллинеарны.

Для нахождения других векторов канонического базиса вспомним, что остальные два вектора являются базисом двумерного подпространства L, где L = . Геометрически это есть плоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная вектору {5; −1; −1}. Из аналитической геометрии мы знаем, что уравнение такой плоскости есть 5xyz = 0. Это и есть подпространство L. Теперь надо найти в этой плоскости два ненулевых ортогональных вектора. Первый вектор просто подбираем, например, вектор {0; 1; −1} лежит в нашей плоскости (точнее, компланарен ей). В качестве второго вектора можно взять векторное произведение двух уже найденных, т. е. вектор {2; 5; 5}; он автоматически будет лежать в указанной плоскости. Остаётся нормировать найденные три вектора, и это будет канонический базис нашего оператора.

Что же касается матрицы перехода от стандартного базиса к найденному каноническому, то надо просто записать три наших нормированных вектора в столбцы матрицы:



C = .

5. Убеждаемся, что матрица C ортогональна, непосредственным вычислением скалярных произведений строк (и столбцов) друг на друга.

6. Геометрический смысл нашего оператора φ, как это ясно из § 6, заключается в том, что этот оператор осуществляет поворот вокруг оси, проходящей через начало координат в направлении вектора , на угол с последующей симметрией относительно плоскости 5xyz = 0.

Учебное издание


Линейные операторы в евклидовых пространствах


Составители: БУСЯЦКАЯ Ирина Константиновна

АНДРЕЕВ Кирилл Кириллович

Редактор Е. С. Резникова

Технический редактор О. Г. Завьялова

Подписано в печать 02.04.2013. Формат 6084/16.

Бумага офсетная № 2. Ризография. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,58.

Изд. № 22. Тираж 200 экз. Заказ . Бесплатно.

Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

109028, Москва, Б. Трёхсвятительский пер., 3/12.

Редакционно-издательский отдел Московского института электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

Участок МИЭМ типографии НИУ ВШЭ.

113054, Москва, ул. М. Пионерская, 12.



1 Quod erat demonstrandum (лат.) ‘что и требовалось доказать’.