Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Москва 2013

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»
Московский институт электроники и математики

Национального исследовательского университета

«Высшая школа экономики»

Кафедра

высшей математики

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Методические указания

к домашней контрольной работе

по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

Москва

2013
Составители: канд. физ.-мат. наук И. К. Бусяцкая;

канд. физ.-мат. наук К. К. Андреев

УДК 512.8

Линейные операторы в евклидовых пространствах. Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»./ Моск. ин-т электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»; Сост.: И. К. Бусяцкая, К. К. Андреев. М., 2013. – 28 с.

На конкретных примерах излагаются способы решения задач домашней контрольной работы по теме «Линейные операторы в евклидовых пространствах». Приводится ряд дополнительных сведений из теории линейных операторов в евклидовых пространствах, некоторые из которых доказываются, а некоторые предоставляются для доказательства студентам.

Для студентов первого курса всех дневных факультетов.

ISBN 978-5-94506-311-2

Условия задач

Общие условия ко всем вариантам

Дана матрица оператора φ в стандартном базисе евклидова пространства R³.

1. Проверить, что оператор φ − изометрический.

2. Найти спектр оператора Spec φ.

3. Найти канонический вид матрицы оператора φ.

4. Найти канонический базис и матрицу C перехода к этому базису.

5. Проверить, что C − ортогональная матрица.

6. Указать геометрический смысл оператора φ.

Условия вариантов

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .
§ 1. Комплексное евклидово пространство

Этот параграф является естественным дополнением пособия «Евклидовы пространства», М., МИЭМ, 2008, и предполагает знакомство с основными понятиями и идеями, изложенными в нём.

Пусть V – линейное пространство над полем комплексных чисел C.

Определение 1. Скалярным произведением в пространстве V называется отображение, ставящее в соответствие каждой упорядоченной паре векторов a, b из пространства V комплексное число, обозначаемое (a, b), причём так, что выполняются условия:

1. (a, a) > 0 для любого ненулевого вектора a  V.

2. (a, b) = b, a для любых a, b  V, т. е. (a, b) и (b, a) – комплексно сопряжённые числа.

3. (λa, b) = λ(a, b) для любых a, b  V и λ  C.

4. (a₁ + a₂, b) = (a₁, b) + (a₂, b) для любых a₁, a₂, b V.

Из этих свойств следует, что

3*. (a, λb) = λ(a, b). Действительно, (a, λb) = (λb, a) = λ(b, a) = λb, a = = λ(a, b).

4*. (a, b₁ + b₂) = (a, b₁) + (a, b₂). Действительно, (a, b₁ + b₂) =(b 1+ b2, a) = = (b1, a) + (b2, a) = (b1, a) + (b2, a) = (a, b₁) + (a, b₂).

При выводе свойств 3* и 4* мы воспользовались следующими свойствами комплексного сопряжения.

Если z = α + iβ, z = α − iβ, то

1. z = z.

2. z1+z2 =z1+z2.

3. z1z2 =z1z2.

Свойство 2 и вытекающее из него свойство 3* отличает комплексное евклидово пространство от вещественного. Заметим, что сохранить одновременно положительную определённость и симметрию скалярного произведения при переходе от вещественного пространства к комплексному невозможно, т. к. из (a, b) = (b, a) следует, что (λa, λb) = λ²(a, b) и при λ = i получаем (ia, ia) = = i²(a, a) = −(a, a), т. е. (a, a) и (ia, ia) не могут быть одновременно положительными числами.

Определение 2. Пространство V вместе с заданным в нём скалярным произведением называется комплексным евклидовым пространством и обозначается E.

Сохранив положительную определённость скалярного произведения (свойство 1), можно определить в комплексном евклидовом пространстве длину вектора.

Определение 3. Длиной вектора a  E называется число |a| = (a, a).

Отметим, что неравенство (a, a) > 0 подразумевает, что число (a, a) вещественное, так как невещественные комплексные числа сравнивать нельзя. Угол между векторами в комплексном евклидовом пространстве не определяется, так как скалярное произведение (a, b) − комплексное число, однако вводится понятие ортогональных векторов.

Определение 4. Два вектора a, b в комплексном евклидовом пространстве E называются ортогональными (a  b), если (a, b) = 0.

Эти определения позволяют рассматривать ортогональные и ортонормальные системы (в том числе и базисы) в пространстве E и его линейных подпространствах. Причём свойства ортогональных систем, доказанные для вещественных евклидовых пространств, сохраняются и в комплексном случае, в частности, из любой линейно независимой системы векторов, применяя процесс ортогонализации и нормирование, можно получить ортонормальный базис в линейной оболочке этих векторов, а также разложить евклидово пространство E в прямую сумму E = L  L^, где L − линейное подпространство в E, а L^ − его ортогональное дополнение.

Основным примером комплексного евклидова пространства является линейное пространство Cⁿ = {z1…zn; z_i  C} со стандартным скалярным произведением:

(z, w) = i=1nziwi.

В этом евклидовом пространстве длина вектора z вычисляется по формуле:

|z| = (z, z) = i=1nzizi = i=1n|zi|2,

а векторы e₁ = 10…0, …, e_n = 00…1 образуют ортонормальный базис.

Произвольное n-мерное комплексное евклидово пространство E можно «отождествить» с евклидовым пространством Cⁿ. Для построения изометрического изоморфизма пространств E и Cⁿ зафиксируем в E ортонормальный базис e₁, …, e_n. Если z = i=1nziei − разложение вектора z  E по базису e₁, …, e_n, то, поставив этому вектору в соответствие вектор-столбец комплексных чисел z1…zn  Cⁿ, мы получим биективное и линейное отображение φ пространства E в Cⁿ. Как известно (см. «Евклидовы пространства», М., МИЭМ, 2008, § 2), скалярное произведение векторов z и w пространства E в ортонормальном базисе вычисляется по формуле (z, w) =i=1nziwi. Следовательно, построенное отображение φ является изометрическим изоморфизмом.

§ 2. Сопряжённый оператор

Пусть φ − линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве E над полем P (R или C).

Определение 5. Оператор φ* называется сопряжённым к оператору φ, если для любых x, y  E выполняется соотношение

(φ(x), y) = (x, φ*(y)).

Примеры.

1. φ = id – тождественный оператор: φ (x) = x для любого x.

(id (x), y) = (x, y) = (x, id (y)).

Следовательно, id* = id.

2. φ – изометрический изоморфизм, т. е. биективное линейное отображение, сохраняющее скалярное произведение: (x, y) = (φ (x), φ (y)). У оператора φ существует обратный оператор φ^-1 такой, что если φ (x) = y, то φ^-1 (y) = x, и, следовательно, φ^-1 также является изометрией.

(φ (x), y) = (φ^-1(φ (x), φ^-1(y)) = ((φ^-1φ) (x), φ^-1(y)) = (id (x), φ^-1(y)) = (x, φ^-1(y)).

Таким образом, φ* = φ^-1.

Теорема 1 (единственности). Если у оператора φ есть сопряжённый, то он единствен.

Доказательство. Пусть φ1* и φ2* − операторы, сопряжённые к φ; тогда

(φ (x), y) = (x, φ1*(y)) = (x, φ2*(y)) для любых x, y.

Отсюда

(x, φ1*(y) − φ2*(y)) = (x, (φ1* − φ2 *) (y)) = 0 для любых x, y.

Вектор (φ1* − φ2 *) (y)  x для любого x и, следовательно, может быть только нулевым. Равенство (φ1* − φ2 *) (y) = 0 для любого y означает, что оператор φ1* − φ2 * нулевой, т. е. φ1* = φ2*, QED¹.

Теорема 2 (существования). У любого линейного оператора φ в конечномерном евклидовом пространстве существует сопряжённый оператор φ*.

Доказательство. Зафиксируем ортонормальный базис e₁, …, e_n в пространстве E; x = i=1nxiei − разложение вектора x по этому базису, A_φ = = a11⋯a1n⋮⋱⋮an1⋯ann − матрица оператора φ в рассматриваемом базисе. Действие оператора φ – это умножение на матрицу A_φ:

φ (x) = A_φx1…xn = k=1na1kxk…k=1nankxk.

Скалярное произведение в ортонормальном базисе имеет стандартный вид:

(φ (x), y) = i=1n(k=1naikxk)yi = k=1n(i=1naikyi)xk = k=1nxki=1naikyk =

= k=1nxkzk = (x, z),

где z = k=1nzkek и z_k = i=1naikyk.

Таким образом, вектор z = z1…zn получается из вектора y = = y1…yn умножением на матрицу AφT, = aik, а соответствующий оператор удовлетворяет определению сопряжённого, QED. Таким образом, Aφ* = AφT.

Если оператор φ действует в вещественном евклидовом пространстве и Aφ − его матрица в фиксированном ортонормальном базисе, то матрица сопряжённого оператора φ* в этом базисе − A^T, а действие оператора φ* − умножение на транспонированную матрицу A^T.

Переход от линейного оператора к сопряжённому обладает следующими свойствами.

1. (φ*)* = φ.

2. (φ + )* = φ* + *.

3. (λφ)* = λφ*.

4. (φ)* = *φ*.

Проверьте эти свойства.

Определение 6. Оператор φ называется самосопряжённым, если φ = φ*.

Примеры.

1. id – самосопряжённый оператор.

2. В пространстве Rⁿ со стандартным скалярным произведением оператор умножения на симметрическую матрицу (A^T = A) является самосопряжённым.

3. В пространстве Cⁿ со стандартным скалярным произведением оператор умножения на матрицу A будет самосопряжённым тогда и только тогда, когда aij = aji (A = AT). Матрицы, обладающие этим свойством, называются эрмитовыми.

4. Рассмотрим линейный оператор φ, действующий в одномерном комплексном евклидовом пространстве C¹. Такой оператор – оператор умножения на комплексное число α: φ (z) = αz. Оператор φ будет самосопряжённым тогда и только тогда, когда α = α, т. е. α – вещественное число. Этот пример показывает, что самосопряжённые операторы во множестве всех линейных операторов являются как бы аналогами вещественных чисел, принадлежащих множеству всех комплексных чисел.

§ 3. Свойства самосопряжённых операторов

Рассмотрим линейное подпространство L в евклидовом пространстве E, инвариантное относительно линейного оператора φ. Это означает, что φ (x)  L для любого x  L, т. е. образы векторов из линейного подпространства L не выходят за пределы подпространства L. Пусть L^ − ортогональное дополнение пространства L, т. е.

L^ = {y; (x, y) = 0 для любого x  L}.

Теорема 1. Если φ − самосопряжённый оператор и L инвариантно относительно φ, то L^ также инвариантно относительно φ.

Доказательство. Требуется доказать, что для любого y  L^ φ (y)  L^, т. е. (φ (y), x) = 0 для любого x  L. (φ (y), x) = (y, φ* (x)) = (y, φ (x)). L инвариантно, и, следовательно, для любого x  L φ (x)  L. Поэтому (y, φ (x)) = 0 для любого y  L^, QED.

Евклидово пространство E раскладывается в прямую сумму любого линейного подпространства L и его ортогонального дополнения L^. Причём, если x = y + z, где y  L, z  L^, то y = pr_Lx, а z = ort_Lx. Таким образом, наличие у самосопряжённого оператора φ инвариантного подпространства L позволяет рассматривать его действие во всём пространстве E как совокупность независимых действий в пространствах меньшей размерности L и L^. Напомним, что в этом случае матрица A_φ оператора φ в базисе e₁, …, e_n, при условии e₁, …, e_k  L, e_k₊₁, …, e_n  L^, имеет вид A_φ = Aφ'00Aφ'', где Aφ' − матрица оператора φ, действующего в пространстве L в базисе e₁, …, e_k, а Aφ'' − матрица оператора φ, действующего в L^ в базисе e_k₊₁, …, e_n.

Естественными инвариантными подпространствами любого линейного оператора φ являются собственные подпространства V_λ этого оператора, т. е. множества собственных векторов оператора φ, соответствующих одному собственному значению λ, пополненные нулевым вектором. В комплексном линейном пространстве собственные векторы у линейного оператора существуют всегда, в то время как в вещественном линейном пространстве их может не быть, например, если характеристический многочлен не имеет вещественных корней.

Теорема 2. Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора φ вещественны.

Доказательство.

Случай 1. Пусть E − евклидово пространство над полем C. В этом случае любой корень характеристического многочлена будет собственным значением, т. е. для любого λ₀ такого, что P_φ (λ₀) = 0, существует соответствующий собственный вектор x₀ и (φ (x₀), x₀) = (λx₀, x₀) = λ (x₀, x₀). Так как оператор φ самосопряжённый, то

(φ (x₀), x₀) = (x₀, φ* (x₀)) = (x₀, φ (x₀)) = (x₀, λx₀) = λ (x₀, x₀).

Собственный вектор всегда (по определению) ненулевой и, следовательно, (x₀, x₀)  0. Из равенства λ (x₀, x₀) = λ (x₀, x₀) получаем λ = λ, т. е. λ вещественно.

Случай 2. Пусть E – конечномерное евклидово пространство над полем R. Фиксируем e₁, …, e_n − ортонормальный базис в этом пространстве. Соответствие x = i=1nxiei  x1…xn задаёт изометрический изоморфизм E и Rⁿ. При этом если A_φ − матрица оператора в базисе e₁, …, e_n, то соответствующее действие оператора в Rⁿ − умножение на матрицу A_φ:

φ: x1…xn  A_φ_x1…xn.

Причём матрица A_φ − матрица оператора в стандартном базисе пространства Rⁿ. Матрица A_φ, как матрица самосопряжённого оператора в ортонормальном базисе, симметрическая.

Пространство Rⁿ является подмножеством пространства Cⁿ:

Rⁿ = {x1…xn, x_i  R}  Cⁿ = {z1…zn, z_i  C}.

Определим в Cⁿ оператор φ − оператор умножения на матрицу A_φ:

φ: z1…zn  A_φ_z1…zn.

A_φ − матрица оператора φ в стандартном базисе. Это самосопряжённый оператор в Cⁿ, т. к. все элементы aij вещественны и, следовательно, aij = aij и aij = aji, т. к. A_φ – симметрическая матрица. Поэтому AφT = A_φ.

Характеристический многочлен Pφ (λ) вычисляем, используя матрицу A_φ:

Pφ (λ) = det (A_φ – λE) = Pφ (λ).

Характеристические многочлены операторов φ и φ совпадают, и, следовательно, совпадают их корни. Как было доказано в случае 1, все эти корни вещественны, QED.

Из теоремы 2 следует, что у самосопряжённого оператора всегда есть инвариантные подпространства. Это, например, собственные подпространства V_λ. Спектр любого оператора φ − множество корней характеристического многочлена с указанием их кратностей

Spec φ = {λ1[k1], …, λs[ks]} −

можно изобразить на комплексной плоскости точками. Так как спектр самосопряжённого оператора φ содержит только вещественные числа, то все точки спектра этого оператора располагаются на вещественной оси.

§ 4. Канонический вид самосопряжённого оператора

Теорема 3. У любого самосопряжённого оператора φ в конечномерном евклидовом пространстве E существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора диагональна.

Доказательство. Применим метод математической индукции по размерности n евклидова пространства E. Если dim E = n = 1, то оператор φ − умножение на вещественное число λ и A_φ = (λ).

Пусть утверждение теоремы верно для любого евклидова пространства E размерности n. Покажем, что при этом условии теорема справедлива для пространства E размерности n + 1.

Итак, оператор φ (φ = φ*) действует в евклидовом пространстве E, dim E = n + 1. По теореме 2 все корни характеристического уравнения вещественны и, следовательно, существует вещественное собственное значение λ₁ и соответствующий собственный вектор x₁. Рассмотрим линейную оболочку этого вектора L = x₁. Это инвариантное подпространство в пространстве E, в котором оператор действует как умножение на λ₁. По теореме 1 ортогональное дополнение L^ инвариантно. dim L = 1, dim L^ = n. По предположению индукции в L^ существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора φ как оператора, действующего в пространстве L^, диагональна. Это e₂, …, e_n₊₁ − ортонормальный базис из собственных векторов оператора φ. Обозначим через e₁ = x1|x1|  L, e₁  L^, и мы получили e₁, e₂, …, e_n₊₁ − ортонормальный базис в E, в котором матрица оператора φ диагональна, QED.

Ортонормальный базис, в котором матрица самосопряжённого оператора диагональна, естественно назвать каноническим, хотя он и не определён однозначно. Например, для тождественного оператора любой ортонормальный базис канонический.

Заметим, что сам факт существования базиса, в котором матрица оператора диагональна с вещественными числами на диагонали, не гарантирует самосопряжённости оператора. Так, если матрица оператора A_φ в стандартном базисе в евклидовом пространстве Rⁿ не симметрическая, а оператор φ диагонализируемый, то φ не будет самосопряжённым оператором, однако будет обладать базисом из собственных векторов. Этот базис не будет ортонормальным.

Из теоремы 3 следует, что любая симметрическая (эрмитова) матрица A подобна диагональной матрице с вещественными числами, стоящими на диагонали:

A  λ1⋯0⋮⋱⋮0⋯λn.

Матрица A задаёт самосопряжённый оператор φ − оператор умножения на эту матрицу – и является матрицей оператора φ в стандартном ортонормальном базисе пространства Rⁿ (Cⁿ).

Если P – матрица перехода от стандартного базиса к каноническому, то

A = Pλ1⋯0⋮⋱⋮0⋯λnP^-1.

При нахождении канонического базиса для самосопряжённого оператора может оказаться полезным утверждение следующей теоремы.

Теорема 4. Собственные векторы самосопряжённого оператора φ, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть λ₁ и λ₂ − различные собственные значения оператора φ (они вещественны по теореме 2), x₁ , x₂ − соответствующие собственные векторы.

(φ (x₁), x₂) = (x₁, φ (x₂));

(φ (x₁), x₂) = (λ₁x₁, x₂) = λ₁(x₁, x₂);

(x₁, φ (x₂)) = (x₁, λ₂x₂)) = λ2(x₁, x₂) = λ₂(x₁, x₂).

Итак, λ₁(x₁, x₂) = λ₂(x₁, x₂) и так как λ₁  λ₂, то (x₁, x₂) = 0, QED.

Таким образом, если корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора различны и имеют кратность 1, канонический базис можно получить, выбирая по собственному вектору единичной длины для каждого собственного значения.

Пример. Найти канонический вид и канонический базис оператора умножения на матрицу

в пространстве C².

Пусть φ − рассматриваемый оператор, тогда матрица является матрицей оператора φ в стандартном ортонормальном базисе e₁, e₂ стандартного комплексного евклидова пространства C², т. е. А_φ = = . Матрица А_φ – эрмитова, т. к. A_φ = , следовательно, оператор φ − самосопряжённый. Найдём характеристический многочлен и спектр оператора φ: P_φ(λ) = det = (3 − λ)(1 − λ) – (2 + 2i)(2 − 2i) = λ² − − 4λ + 3 – 8 = λ² − 4λ – 5 = (λ + 1)(λ − 5). Корнями характеристического многочлена будут числа λ₁ = −1 и λ₂ = 5. Спектр оператора φ имеет вид: Spec φ = = {−1^[1], 5^[1]}. Найдём собственные подпространства V_-1 и V₅ оператора φ.

Подпространство V_-1 – это множество решений системы:

Решая систему, например, методом Гаусса, получаем множество векторов вида α. Подпространство V₅ − это множество решений системы:

Множество решений этой системы – векторы вида α.

Векторы а₁ = , а₂ = , порождающие, соответственно, подпространства V_-1 и V₅, ортогональны и имеют длины 6 и 3 (проверьте это самостоятельно!). Поделив векторы а₁ и а₂ на их длины, получим канонический базис оператора φ, в котором матрица φ имеет канонический диагональный вид:

.
§ 5. Изометрический оператор

Рассмотрим φ – линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве E над полем P (R или C). У каждого такого оператора φ существует сопряжённый оператор φ* (см. теорему 2 § 2).

Определение 7. Оператор φ называется изометрическим, если φφ* = = φ*φ = id.

Это определение означает, что оператор φ обратим, а сопряжённый оператор φ* является обратным к оператору φ, т. е. φ* = φ^-1. В примере 2 § 2 было показано, что изометрический изоморфизм, т. е. биективное линейное отображение, сохраняющее скалярное произведение, обладает этим свойством. Верно и обратное.

Теорема 1. Если φ – изометрический оператор, то отображение φ биективно и сохраняет скалярное произведение.

Доказательство. Биективность отображения φ вытекает из существования обратного оператора φ^-1= φ*. Проверим, что скалярное произведение сохраняется при отображении φ:

(φ(x), φ(y)) = (x, φ*(φ(y))) = (x, (φ*φ) (y)) = (x, id y) = (x, y),

QED.

Зафиксируем некоторый ортонормальный базис e₁, e₂, …, e_n в евклидовом пространстве E. Пусть A_φ − матрица изометрического оператора φ в этом базисе. Так как матрица сопряжённого оператора φ* в этом же базисе имеет вид Aφ* = AφT (или Aφ* = AφT в вещественном случае), то матрица изометрического оператора φ обладает свойством:

A_φ AφT = E.

Изучим подробнее такие матрицы.

Определение 8. Матрица O  M_n (R) называется ортогональной, если O^-1 = O^T. Матрица U  M_n (C) называется унитарной, если U ^-1 = U ^T.

Теорема 2. Строки и столбцы унитарной (ортогональной) матрицы – попарно ортогональные векторы единичной длины.

Доказательство. Пусть

U = , = .

Перемножим эти матрицы:

U=

То есть элемент произведения, стоящий в i-й строке и в j-м столбце,, равен − соответствующему элементу матрицы E. Но − скалярное произведение векторов, стоящих в i-й и j-й строках матрицы U. Следовательно, строки матрицы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Перемножим теперь матрицы U и в другом порядке:

U =

Элемент произведения, стоящий в i-й строке и в j-м столбце, имеет вид и равен . Но − скалярное произведение j-го и i-го столбцов матрицы U. Следовательно, и столбцы матрицы U попарно ортогональны и имеют единичную длину, QED.

Это утверждение о столбцах матрицы U можно получить и из геометрических соображений, если U − матрица изометрического оператора в ортонормальном базисе. Столбцы матрицы состоят из координат образов базисных векторов e₁, e₂, …, e_n в рассматриваемом базисе. Изометрический оператор сохраняет скалярное произведение. Следовательно, столбцы – векторы φ (e₁), …, φ (e_n) − также образуют ортонормальный базис.

Заметим, что унитарные (ортогональные) матрицы встречаются также при рассмотрении матриц перехода от одного ортонормального базиса к другому. Действительно, пусть e₁, e₂, …, e_n и e₁^, e₂^, …, e_n^ − два таких базиса и P − матрица перехода от первого базиса ко второму. Столбцы матрицы P состоят из координат векторов e₁^, e₂^, …, e_n^ в базисе e₁, e₂, …, e_n. Столбцы матрицы P тем самым − попарно ортогональные векторы единичной длины. Поэтому P − матрица, состоящая из попарных скалярных произведений столбцов, − равна E, P = E. Таким образом, является обратной матрицей P^-1, а сама матрица P оказывается унитарной (ортогональной).

Рассмотрим теперь определитель унитарной матрицы U. det U (сумма с соответствующими знаками произведений элементов матрицы, взятых из разных строк и разных столбцов) является комплексным числом.

det U = , где  = −

подстановка степени n, sgn  − её знак, а S_n − множество всех таких подстановок.

det = .

Так как комплексное сопряжение перестановочно с операциями сложения и умножения комплексных чисел, то det =.

Вычислим модуль комплексного числа det U.

Теорема 3. Пусть U − унитарная матрица, тогда |det U| = 1.

Доказательство. det (U) = det Udet = det Udet = det U= = |det U|².

Но U = E, следовательно, |det U|² = 1 и |det U| = 1, т. к. модуль комплексного числа – вещественное положительное число. Определитель унитарной матрицы – комплексное чиcло, по модулю равное единице, − может быть записан в виде:

det U = = cos α + i sin α, QED.

Если O − ортогональная матрица, то все её элементы вещественны и = = O. det O – вещественное число, а из доказательства теоремы 3 получаем |det O|² = 1. Следовательно, в вещественном случае det O = 1.

Замечание. Пусть e₁, e₂, …, e_n и e₁^, e₂^, …, e_n^ − два ортонормальных базиса в вещественном евклидовом пространстве, P − матрица перехода от первого базиса ко второму. P – ортогональная матрица, и, следовательно, det P = = 1. Будем говорить, что базисы e₁, e₂, …, e_n и e₁^, e₂^, …, e_n^ имеют одинаковую ориентацию, если det P = 1, и противоположную, если det P = −1. Рассмотрим стандартный базис e₁ = , e₂ = , …, e_n = в стандартном евклидовом пространстве Rⁿ. Любой базис, имеющий одинаковую ориентацию со стандартным базисом, будем называть положительно ориентированным. Противоположно ориентированные базисы будем называть отрицательно ориентированными. Эти определения обобщают понятия положительно и отрицательно ориентированных троек векторов трёхмерного векторного пространства на случай ортонормальных базисов в стандартном евклидовом пространстве Rⁿ.

§ 6. Свойства изометрического оператора

Рассмотрим линейное подпространство L в евклидовом пространстве E и его ортогональное дополнение L^.

Теорема 1. Если L − инвариантное подпространство изометрического оператора φ, то L^ − также инвариантное подпространство этого оператора.

Доказательство. Для любых x  L и y  L^ имеем: (x, y) = 0. Пусть y   L^; тогда для проверки инвариантности подпространства L^ относительно действия оператора φ нужно убедиться, что (x, φ (y)) = 0 для любого x  L. Подпространство L инвариантно относительно действия оператора φ, следовательно, φ: L  L − изометрический оператор в пространстве L, т. е. биективное и линейное отображение. Поэтому любой вектор x  L можно записать как φ (x), где x = φ^-1 (x). Таким образом,

(x, φ (y)) = (φ (x), φ (y)) = (x, y) = 0,

т. к. x  L, а y  L^, QED.

Напомним, что если линейный оператор (не обязательно изометрический) имеет собственные векторы, то у него есть и инвариантные подпространства, например, собственные подпространства V_λ. Поэтому поиски инвариантных подпространств изометрического оператора φ целесообразно начать с изучения его спектра.

Теорема 2. Корни характеристического уравнения изометрического оператора по модулю равны единице.

Доказательство. Случай 1. Пусть φ – изометрический оператор в комплексном евклидовом пространстве E.

Многочлен P_φ (λ), как всякий многочлен степени n  1 над полем C, имеет хотя бы один корень λ₀ (точнее, n корней с учётом их кратности). Этот корень является собственным значением оператора φ, соответствующим собственному вектору x₀.

(x₀, x₀) = (φ (x₀), φ (x₀)) = (λ₀x₀, λ₀x₀) = λ₀(x₀, x₀).

λ₀ = |λ₀|². Так как x₀ − собственный вектор, то (x₀, x₀)  0 и |λ₀|² = 1. Следовательно, |λ₀| = 1.

Случай 2. Рассмотрим изометрический оператор в вещественном евклидовом пространстве E. Зафиксируем ортонормальный базис e₁, e₂, …, e_n и установим изометрический изоморфизм пространства E и стандартного евклидова пространства Rⁿ (см. «Евклидовы пространства», М., МИЭМ, 2008, стр. 12). Пусть O − матрица изометрического оператора в рассматриваемом базисе; тогда φ:  O. Пространство Rⁿ является подмножеством стандартного комплексного евклидова пространства Cⁿ. Определим оператор в этом пространстве, :  O. Оператор совпадает с φ на подмножестве Rⁿ. Матрица O является матрицей оператора в стандартном базисе, и так как O вещественна, то O= OO^T = E и − изометрический оператор в пространстве Cⁿ. Характеристические многочлены операторов и φ одинаковы, т. к.

P (λ) = det (O – λE), P_φ (λ) = det (O – λE).

Но в случае 1 было показано, что все корни характеристического многочлена оператора по модулю равны 1, QED.

Так как в комплексном линейном пространстве любой корень характеристического уравнения является собственным значением, то изометрический оператор имеет инвариантные подпространства. Если x₀ – собственный вектор, соответствующий собственному значению λ₀, то его линейная оболочка L = = x₀ − одномерное инвариантное подпространство изометрического оператора.

В вещественном случае, как показывает пример оператора поворота на плоскости на угол α  k, у изометрического оператора может не быть нетривиальных инвариантных подпространств (т. е. подпространств, отличных от нулевого и всего пространства). Это связано с отсутствием вещественных корней у характеристического уравнения.

Рассмотрим изометрический оператор φ в вещественном евклидовом пространстве. Корни его характеристического уравнения по модулю равны единице. Если они вещественны, то это числа 1, которые будут собственными значениями оператора, а соответствующие собственные подпространства будут инвариантными. Если корень характеристического уравнения λ не является вещественным, то λ = , α  k.

Теорема 3. Пусть λ = (α  k) – корень характеристического уравнения P_φ (λ) = 0 изометрического оператора φ, действующего в вещественном евклидовом пространстве E; тогда существует двумерное инвариантное подпространство L  E , в котором оператор φ есть поворот на угол α.

Доказательство. Зафиксируем ортонормальный базис e₁, e₂, …, e_n в пространстве E; O – матрица оператора в этом базисе. Как и в доказательстве теоремы 2, установим изометрический изоморфизм между пространством E и стандартным евклидовым пространством Cⁿ, φ:  O. – оператор, продолжающий это действие в стандартное евклидово пространство Cⁿ, :  O. Как было показано в доказательстве теоремы 2, − изометрический оператор с тем же спектром, т. е. Spec φ = Spec . Поэтому λ = = − собственное значение оператора , а z = − соответствующий собственный вектор.

z = = = + i= x + iy, где x, y  Rⁿ;

(z) = (x + iy) = O(+ i )= O+i O= φ (x) + iφ (y);

(z) = z = (cos α + i sin α)(x + iy) = (xcos α − ysin α) + i(xsin α + ycos α).

Отсюда получаем:

φ (x) = xcos α − ysin α, φ (y) = xsin α + ycos α.

Рассмотрим двумерное подпространство, порождённое векторами x и y: L = x, y  Rⁿ. Это подпространство инвариантно относительно оператора φ. Пусть = x − iy − вектор, сопряжённый вектору z = x + iy. () = O = = в силу вещественности матрицы O и вышеуказанных свойств комплексного сопряжения.

() = =  = .

Вычислим скалярное произведение векторов z и :

(z, ) = ((z), ()) = (z, ) = λ²(z, ).

Но = e²ⁱ^α  1, т. к. α  k. Следовательно, (z, ) = 0, т. е. векторы z и ортогональны.

(z, ) = (x + iy, x − iy) = (x, x) – (y, y) + 2i(x, y) = 0.

Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю. Получаем: (x, x) = (y, y), (x, y) = 0. Векторы x и y ортогональны и имеют одинаковую длину: |x| = |y| = a. В подпространстве L рассмотрим два вектора e₁ = и e₂ = . Это ортогональные векторы единичной длины, т. е. ортонормальный базис в линейном подпространстве L. Найдём матрицу оператора φ в этом базисе:

φ (e₁) = φ () = (xcos α − ysin α) = cos α − sin α = e₁cos α − e₂sin α.

Аналогичным образом

φ (e₂) = φ () = e₁sin α + e₂cos α.

Матрица оператора φ, действующего в инвариантном подпространстве L, − это , т. е. матрица оператора поворота на угол α, QED. (Подчеркнём, что эта матрица задаёт поворот, только если это матрица оператора в ортонормальном базисе.)

§ 7. Канонический вид изометрического оператора

Теорема 1. Пусть φ – изометрический оператор в комплексном евклидовом пространстве E; тогда в E существует ортонормальный базис из собственных векторов оператора.

Доказательство (методом математической индукции). Если оператор φ действует в одномерном пространстве, то он есть умножение на число. Это число λ = eⁱ^α, любой вектор пространства E собственный, в том числе любой вектор e единичной длины, являющийся ортонормальным базисом E. Предположим, что теорема верна для евклидовых пространств E таких, что dim E = k, и покажем, что из этого предположения следует справедливость теоремы для евклидовых пространств размерности k + 1.

Пусть φ – изометрический оператор в пространстве E, у которого dim E = = k + 1, λ₀ = eⁱ^α − собственное значение оператора φ, соответствующее собственному вектору x₀. Рассмотрим линейную оболочку этого вектора L = x₀. Это одномерное линейное подпространство, базисом которого будет вектор e₁ = = . L – инвариантное подпространство оператора φ, и по теореме 1 § 6 его ортогональное дополнение L^ также инвариантно относительно оператора φ. dim L^ = k, т. к. E = L  L^ и dim E = dim L + dim L^. Оператор φ действует в пространстве L^, и, следовательно, по предположению индукции в пространстве L^ существует ортонормальный базис e₂, …, e_k₊₁ из собственных векторов оператора φ. Тогда e₁, e₂, …, e_k₊₁ − ортонормальный базис в пространстве E, состоящий из собственных векторов оператора φ, QED.

Матрица изометрического оператора в базисе из собственных векторов диагональна, и на диагонали стоят числа, по модулю равные единице. Таким образом, для любой унитарной матрицы U существует другая унитарная матрица V такая, что V^-1UV − диагональная матрица. Матрица V − это матрица перехода от исходного стандартного ортонормального базиса, в котором оператор задаётся как оператор умножения на матрицу U, к каноническому базису из собственных векторов, существование которого доказано в теореме 1. Другими словами, можно сказать, что любая унитарная матрица подобна диагональной специального вида:

U ~ .

Если φ – изометрический оператор в вещественном евклидовом пространстве, то у него может не существовать ортонормального базиса из собственных векторов, как, например, у оператора поворота на угол α  k на плоскости. Однако и в вещественном случае у изометрического оператора существует специальный (канонический) ортонормальный базис.

Теорема 2. Пусть φ – изометрический оператор в вещественном евклидовом пространстве E; тогда в этом пространстве существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора имеет вид:

,
называемый каноническим.

Это клеточно-диагональная матрица, одномерные клетки которой суть числа 1 или −1, а двумерные – матрицы поворота на углы α_i.

Доказательство (методом математической индукции). Пусть φ действует в одномерном евклидовом пространстве E. В этом случае оператор φ − умножение на число, которое в силу изометрии равно 1. Вектор e единичной длины в пространстве E и есть требуемый базис.

Предположим, что теорема верна для евклидовых пространств E размерности, меньшей n (dim E n), и рассмотрим евклидово пространство E размерности n (dim E = n) и спектр оператора φ. Если в спектре оператора есть вещественные числа λ₀ (а это могут быть только числа 1), то это собственное значение, которому соответствует собственный вектор x₀. Рассмотрим L = x₀, dim L = 1. Вектор e₁ = − базис пространства L. По теореме 1 § 6 подпространство L^ инвариантно относительно φ, т. е. φ действует в пространстве L^. dim L^ = n − 1, и по предположению индукции пространство L^ обладает ортонормальным базисом e₂, …, e_n, в котором матрица оператора φ имеет требуемый клеточно-диагональный вид. Векторы e₁, e₂, …, e_n − ортонормальный базис пространства E, в котором матрица оператора φ имеет требуемый клеточно-диагональный вид.

Если в спектре оператора φ нет вещественных чисел, то рассмотрим комплексный корень λ₀ = характеристического уравнения. Согласно теореме 3 § 6 в пространстве E существует двумерное инвариантное подпространство L, в котором оператор φ действует как поворот на угол α₀. Пусть e₁, e₂ − ортонормальный базис подпространства L. Ортогональное дополнение L^ инвариантно относительно оператора φ, и dim L^ = n − 2. По предположению индукции в L^ существует ортонормальный базис e₃, …, e_n, в котором матрица оператора φ имеет канонический вид. Заметим, что в этом случае все клетки на диагонали двумерны, QED.

Из этой теоремы следует, что для каждой ортогональной матрицы O существует другая ортогональная матрица Q (матрица перехода к каноническому базису) такая, что Q^-1OQ − клеточно-диагональная матрица, описанная в теореме 2.

Наконец, заметим, что канонический вид ортогональной матрицы определён однозначно с точностью до перестановки местами клеток на диагонали.

§ 8. Изометрические операторы на плоскости и в пространстве

Теорема 2 предыдущего параграфа даёт возможность классифицировать изометрические операторы на плоскости и в трёхмерном пространстве, описав не только все ортогональные матрицы размерности 2 и 3 с точностью до подобия, но и геометрическое действие соответствующих операторов.

Рассмотрим изометрический оператор φ на плоскости, т. е. в двумерном стандартном евклидовом пространстве R². Канонический вид матрицы оператора φ определён однозначно с точностью до порядка клеток на диагонали. Пусть e₁, e₂ − ортонормальный базис пространства R², в котором матрица оператора φ имеет канонический вид. Если O = , т. е. совпадает с матрицей E, то φ = id и Spec φ = {1^[2]}.

Если O = , то φ = −id и Spec φ = {(−1)^[2]}. В этом случае оператор φ является центральной симметрией: φ (x) = −x.

Если O = , то Spec φ = {1^[1], (−1)^[1]}. Вектор e₁ является собственным с собственным значением 1, а вектор e₂ − собственным вектором с собственным значением −1. Оператор φ осуществляет симметрию относительно прямой, проходящей через начало координат на плоскости, направление которой задаёт вектор e₁. Наконец, если O = , то оператор φ – поворот на угол α, Spec φ = {eⁱ^α ^[1], e^-ⁱ^α ^[1]}.

Других изометрических операторов на плоскости нет.

Пусть φ – изометрический оператор, действующий в стандартном евклидовом пространстве R³, e₁, e₂, e₃ − ортонормальный базис, в котором матрица O оператора φ имеет канонический вид. (Теорема 2 § 7.)

Если O = , т. е. O = E, то φ = id и Spec φ = {1^[3]}. Если O = = , то Spec φ = {1^[2], (−1)^[1]}.

В двумерном подпространстве L = e₁, e₂ оператор φ действует как тождественный, а в пространстве осуществляет симметрию относительно плоскости, порождённой векторами e₁ и e₂, проходящей через начало координат.

Если O =, то Spec φ = {1^[1], (−1)^[2]}. L₁ = e₁ − собственное подпространство, соответствующее собственному значению 1, а L₂ = e₂, e₃ − собственное подпространство, соответствующее собственному значению −1. Оператор φ действует в пространстве как симметрия относительно прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора e₁.

Если O =, то φ = −id, Spec φ = {(−1)^[3]}. Все векторы пространства, кроме 0, являются собственными векторами оператора φ с собственным значением −1. Оператор φ осуществляет в пространстве центральную симметрию относительно начала координат: φ (x) = −x.

Пусть теперь в спектре оператора φ есть невещественные числа. Оператор φ – изометрический, поэтому по теореме 2 § 1 это числа вида eⁱ^α. Характеристический многочлен P_φ(λ) имеет вещественные коэффициенты. Как известно, невещественные корни вещественных многочленов встречаются парами, т. е. если z₀ – корень, то − также корень. Следовательно, Spec φ = = {eⁱ^α ^[1], e^-ⁱ^α ^[1], 1^[1]} или Spec φ = {eⁱ^α ^[1], e^-ⁱ^α ^[1], (−1)^[1]}. В первом случае канонический вид матрицы оператора φ в ортонормальном базисе e₁, e₂, e₃: O = = . Вектор e₁ − собственный вектор, соответствующий собственному значению 1, L = e₁, e₂ − двумерное инвариантное подпространство, в котором оператор φ действует как поворот на угол α. В трёхмерном пространстве R³ оператор φ осуществляет поворот вектора вокруг оси, проходящей через начало координат и идущей в направлении вектора e₁, на угол α. Направление вращения зависит от ориентации базиса e₁, e₂, e₃.

Если матрица оператора φ имеет канонический вид O = = в базисе e₁, e₂, e₃, то e₁ − собственный вектор, соответствующий собственному значению −1, а L = e₂, e₃ − инвариантное подпространство, в котором φ действует как поворот на угол α. Оператор φ осуществляет поворот вокруг оси, проходящей через начало координат в направлении вектора e₁, на угол α с последующей симметрией относительно перпендикулярной к вектору e₁ плоскости, проходящей через начало координат.

Описав все возможные изометрические операторы в пространстве R³, можно по матрице O изометрического оператора φ, заданной в некотором базисе, описать действие оператора в пространстве геометрически.

§ 9. Пример

Рассмотрим конкретный пример (вариант № 24). Дано, что некоторый линейный оператор φ в стандартном базисе стандартного евклидова пространства R³ имеет матрицу

A = .

1. Проверим, что оператор φ является изометрическим. Для этого достаточно убедиться в том, что матрица A является унитарной, в данном случае ортогональной, так как все её элементы вещественны. Убеждаемся в этом непосредственным вычислением скалярных произведений строк (и столбцов) друг на друга.

2. Найдём спектр оператора φ. Спектр Spec φ – это совокупность всех собственных значений с указанием их кратностей. Вычисляем собственные значения. Для этого надо следующий определитель

det (A – λE) =

приравнять нулю и решить полученное уравнение. Здесь удобно положить λ = = . Тогда имеем:

= −μ³ – 729 = 0,

откуда λ = −1 и ещё двум невещественным кубическим корням из −1:

Spec φ = {−1, = cos + isin}.

3. Канонический вид матрицы нашего линейного оператора (т. е. матрицы оператора в каноническом базисе), как это следует из § 6, будет таков:

= _.

4. Сам же канонический базис ищется следующим образом. Первый его вектор – это собственный вектор нашего оператора с собственным значением −1. Он ищется обычным образом, т. е. составляем матрицу

A – λE = A + E = =

и рассматриваем её как матрицу линейной однородной системы. Все решения этой системы, кроме нулевого, суть собственные векторы. Так как решений бесконечно много, ищем базис подпространства решений (фундаментальную систему решений, ФСР). В данном случае мы можем взять, конечно, матрицу . Приведём её к главному ступенчатому виду:. Из вида этой матрицы ясно, что подпространство решений одномерно и базисом в нём будет вектор . Это и есть собственный вектор, все остальные будут ему коллинеарны.

Для нахождения других векторов канонического базиса вспомним, что остальные два вектора являются базисом двумерного подпространства L^, где L = . Геометрически это есть плоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная вектору {5; −1; −1}. Из аналитической геометрии мы знаем, что уравнение такой плоскости есть 5x – y – z = 0. Это и есть подпространство L^. Теперь надо найти в этой плоскости два ненулевых ортогональных вектора. Первый вектор просто подбираем, например, вектор {0; 1; −1} лежит в нашей плоскости (точнее, компланарен ей). В качестве второго вектора можно взять векторное произведение двух уже найденных, т. е. вектор {2; 5; 5}; он автоматически будет лежать в указанной плоскости. Остаётся нормировать найденные три вектора, и это будет канонический базис нашего оператора.

Что же касается матрицы перехода от стандартного базиса к найденному каноническому, то надо просто записать три наших нормированных вектора в столбцы матрицы:

C = .

5. Убеждаемся, что матрица C ортогональна, непосредственным вычислением скалярных произведений строк (и столбцов) друг на друга.

6. Геометрический смысл нашего оператора φ, как это ясно из § 6, заключается в том, что этот оператор осуществляет поворот вокруг оси, проходящей через начало координат в направлении вектора , на угол с последующей симметрией относительно плоскости 5x – y – z = 0.

Учебное издание

Линейные операторы в евклидовых пространствах

Составители: БУСЯЦКАЯ Ирина Константиновна

АНДРЕЕВ Кирилл Кириллович

Редактор Е. С. Резникова

Технический редактор О. Г. Завьялова

Подписано в печать 02.04.2013. Формат 6084/16.

Бумага офсетная № 2. Ризография. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,58.

Изд. № 22. Тираж 200 экз. Заказ . Бесплатно.

Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

109028, Москва, Б. Трёхсвятительский пер., 3/12.

Редакционно-издательский отдел Московского института электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

Участок МИЭМ типографии НИУ ВШЭ.

113054, Москва, ул. М. Пионерская, 12.

1 Quod erat demonstrandum (лат.) ‘что и требовалось доказать’.