Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 2 Москва - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная... 1 384.66kb.
Рабочая программа модуля (дисциплины) математика линейная алгебра... 1 298.27kb.
Программа курса :«Линейная алгебра и аналитическая геометрия» 1 38.97kb.
2638 Задания к контрольной работе по дисциплине «теория механизмов... 1 389.35kb.
Методические указания по их выполнению по дисциплине «Линейная алгебра» 1 147.03kb.
Контрольная работа №1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия... 1 50.69kb.
Методические указания и контрольные задания по курсу «Математика. 2 453.02kb.
Методические указания и оборазцы выполнения контрольных заданий для... 1 163.81kb.
Методические указания к лабораторной работе по курсу «Теория волновых... 1 123.87kb.
Методические указания к лабораторной работе по курсу «Теория волновых... 1 109.46kb.
Методические указания по выполнению контрольной работы 3 Варианты... 1 238.26kb.
Учебная программа для специальности: 1-31 03 01 Математика 1 200.61kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и - страница №1/1



М
ИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ


РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

Московский государственный институт электроники и математики

(технический университет)


Кафедра алгебры

и математической логики


ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Методические указания

к домашней контрольной работе

по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Часть 2

Москва

2007

Составители: канд. физ.-мат. наук И.К. Бусяцкая;

канд. физ.-мат. наук К.К. Андреев

УДК 512.8

Линейные операторы: Метод. указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 2 / Моск. гос. ин-т электроники и математики; Сост.: И.К. Бусяцкая, К.К. Ан­дреев. М., 2006. – 23 с.

На конкретных примерах излагаются способы решения задач домашней кон­трольной работы по теме «Линейные операторы». Приводится ряд дополнительных сведений из теории линейных операторов, некоторые из которых доказываются, а неко­торые предоставляются для доказательства студентам.

Для студентов групп М-21 – 26, ЭМ-21 первого курса ФПМ и групп МЭ-21, 22 первого курса ФЭМ.

ISBN


Условия задач
Задача № 2
Общие условия ко всем вариантам
Дана матрица A, которая является матрицей оператора  в стандартном базисе пространства R3.

1. Найти собственные числа и собственные векторы оператора .

2. Убедившись в существовании базиса пространства R3, состоящего из собственных векторов оператора , записать матрицу оператора  в таком базисе.

3. Указать матрицу перехода к новому базису из собственных векторов и проверить справедливость формулы, связывающей матрицы оператора в разных базисах.


Условия вариантов

(матрица A)

1.. 2. . 3. . 4. .
5. . 6. . 7. . 8. .
9. . 10. . 11. . 12. .
13. . 14. . 15. . 16. .
17. . 18. . 19. . 20. .

21. . 22. . 23. . 24. .
25. . 26. . 27. . 28. .
29. . 30. .

§7. Инвариантные подпространства. Собственные векторы
Пусть  – линейный оператор в пространстве V; e1, …, en – некоторый фиксированный базис этого пространства. Тогда, как мы видели выше (см. § 2 первой части, стр. 10–11), (x) = А·, где А − матрица оператора  в данном базисе, а − столбец из координат вектора x в том же базисе.
Определение. Линейное подпространство LV называется инвариантным подпространством оператора , если из xL следует (x)  L.

Примеры.

1. V = R3,  – нулевой оператор, L – линейное подпространство V. Если xL, то (x) = 0L. Следовательно, в этом случае любое линейное подпространство инвариантно.

2. V = R2,  = id – тождественный оператор. Здесь также любое линейное подпространство инвариантно.

3. V = R3,  – ортогональное проектирование на плоскость OXY (см. рис. 2 в первой части). Опишем инвариантные подпространства: всё пространство; нулевое подпространство; плоскость OXY; прямые, лежащие в плоскости OXY и проходящие через начало координат; ось OZ; плоскости, проходящие через ось OZ.

4. V = R2,  – оператор поворота на угол  (см. рис. 1 в первой части). Если   kπ, то нетривиальных (т.е. отличных от V и от {0}) инвариантных подпространств нет. Если  = kπ, то все линейные подпространства инвариантны.

5. Пусть  – произвольный линейный оператор в V, L1 = Ker , L2 = = Im . Тогда линейные подпространства L1 и L2 инвариантны (это вытекает из их определения − докажите!).

6. Пусть V – линейное пространство, в котором действует линейный оператор , L1 и L2 – инвариантные подпространства оператора . Пусть также V = L1L2, т.е. для любого вектора v из V имеем: v = x + y, xL1, y L2, L1L2 = {0}. Выберем базис в V: e1, …, ek – базис L1, ek+1, …, en – базис L2; тогда e1, …, en будет базисом V. Найдем в этом базисе матрицу A нашего оператора . Так как L1 и L2 инвариантны, то (е1), …, (еk)  L1, а (ek+1), …, (еn)  L2, и, следовательно,

(е1) = e1 + … + ek + 0ek+1 + … + 0en;

(е2) = e1 + … + ek+ 0ek+1 + … + 0en;

(еk) = e1 + … + ek + 0ek+1 + … + 0en;



(ek+1) = 0e1 + … + 0ek + ek+1 + … + en;

(en) = 0e1 + … + 0ek + ek+1 + … + en.



А = = .

Здесь – матрица оператора , действующего в пространстве L1; – матрица оператора , действующего в пространстве L2.

Аналогично, если V = L1 L2  …  Lk и L1, L2, …, Lk – инвариантные подпространства оператора , то

А = .

Здесь каждая матрица есть матрица оператора , действующего в пространстве Li.

Рассмотрим одномерное линейное подпространство L, инвариантное относительно оператора , и его базисный вектор e, L = <e>. Так как (e)   L, то (e) = λe.

Пусть xL и, следовательно, x = e для некоторого скаляра (числа из основного поля) ; тогда

(x) = (e) = (e) = λe = λx.

Значит, все векторы из L умножаются на одно и то же число λ, и оператор  действует в L как гомотетия с коэффициентом λ.

Если, в частности, все <ek> (линейные оболочки базисных векторов пространства V) суть инвариантные подпространства оператора , то, т.к. V = <e1>  <e2>  …  <en>, матрица A диагональна:

А = .

Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора , если (x) = λx; число λ (для данного вектора x оно определено однозначно − докажите!) называется собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору x.

Если x − собственный вектор оператора , то <x> − инвариантное подпространство и оператор в нем действует как умножение на число λ − собственное значение.



Теорема 1. Множество всех собственных векторов оператора , соответствующих одному собственному значению λ, если присоединить к нему нулевой вектор 0, является линейным подпространством, которое называется собственным подпространством оператора  и обозначается Vλ.

Доказательство. Vλ содержит нулевой вектор по определению и тем самым непусто. Пусть x, yVλ. Рассмотрим вектор x + βy и покажем, что он является собственным вектором оператора  с тем же самым собственным значением λ (либо равен 0).

Действительно, (x + βy) = (x) + β(y) = λx + βλy = λ(x + βy), т.е. вектор x + βy Vλ.



Теорема 2. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство проведем методом математической индукции. Пусть k − число собственных векторов. При k = 1 x1 0. Следовательно, x1 − линейно независимая система из одного вектора. Пусть для k векторов утверждение верно. Выведем из этого, что теорема верна для k + 1 вектора. Пусть даны собственные векторы x1, x2, …, xk, xk+1 с различными собственными значениями λ1, λ2, …, λk, λk+1 и пусть выполняется соотношение

1x1 + 2x2 + … + kxk + k+1xk+1 = 0. (1)

Требуется доказать, что все i = 0.

(1x1 + 2x2 + … + kxk + k+1xk+1) = 0;

1(x1) + 2(x2) + … + k(xk) + k+1(xk+1) = 0;

1λ1x1 + 2λ2x2 + … + kλkxk + k+1λk+1xk+1 = 0. (2)

Умножим обе части равенства (1) на λk+1:

1λk+1x1 + 2λk+1x2 + … + kλk+1xk + k+1λk+1xk+1 = 0. (3)

Вычитаем из равенства (3) равенство (2):

1k+1 − λ1)x1 + 2k+1 − λ2)x2 + … + kk+1 − λk)xk = 0.

Так как x1, x2, …, xk − система k собственных векторов с различными собственными значениями λ1, λ2, …, λk, то по предположению индукции все коэффициенты в последнем равенстве равны нулю, т.е. при i = 1, 2, …, k выполняются соотношения ik+1 − λi) = 0, но тогда i = 0, ибо λk+1  λi.

Подставив эти i = 0 в равенство (1), получаем k+1xk+1 = 0. Так как xk+1 − собственный вектор и, следовательно, ненулевой, то k+1 = 0. Теорема доказана.


§8. Метод нахождения собственных векторов линейного оператора

Рассмотрим базис e1, …, en пространства V и запишем вектор x и матрицу оператора  в этом базисе:



x = x1e1 + … + xnen = , А = .

Так как действие оператора  на вектор x описывается с помощью матрицы A следующим образом:

(x) = А,

то для собственного вектора x = оператора , соответствующего собственному значению λ, имеем:



= λ. (1)

Умножая матрицу A на вектор x, получаем:



(2)

Система (2) − это система линейных уравнений для нахождения собственных векторов оператора , соответствующих собственному значению λ. После приведения подобных членов получаем однородную систему из n уравнений с n неизвестными:



(3)

Матрица этой системы имеет вид:



= = A − λE.

Элементы этой матрицы зависят от λ. Так как по определению собственный вектор x0, то нас интересуют ненулевые решения системы (3).

Если det (A − λE)  0, то система (3) по теореме Крамера имеет единственное решение − нулевой вектор. Если же det (A − λE) = 0, то r = = rang (A − λE) < n и размерность подпространства решений системы (3) равна nr > 0, т.е. имеются ненулевые решения системы (3) − собственные векторы, соответствующие собственному значению λ. Линейное подпространство решений системы (3) оказывается в этом случае собственным подпространством Vλ линейного оператора . Оно состоит из собственных векторов, соответствующих собственному значению λ, дополненных вектором 0, и, следовательно, является инвариантным подпространством оператора .

Рассмотрим теперь определитель матрицы A − λE. Это число, которое зависит от λ, т.е. det (A − λE) является функцией от λ. Используя определение детерминанта матрицы, легко понять, что det (A − λE) является многочленом степени n.

Действительно, при n = 1 det (− λ) − многочлен первой степени. Используя формулу

det (A − λE) = ( − λ) + … + (−1)n+1

и рассуждая по индукции, получаем:

P(λ) = det (A − λE) = (−1)nλn + … + det A.

(Свободный член многочлена P(λ) равен P (0) = det A.) Многочлен P(λ) называется характеристическим многочленом матрицы A. Так как собственные векторы существуют только для тех λ, для которых det (A − λE) = 0, то собственные значения линейного оператора являются теми корнями уравнения P(λ) = 0, называемого характеристическим уравнением матрицы A, которые принадлежат полю P (R или C). Пусть λ1, λ2, …, λs − все комплексные корни характеристического уравнения (в случае поля R мы рассматриваем комплексные корни!), k1, k2, …, ks − их кратности. Множество S = {, , …, } называется спектром матрицы A, т.е спектр матрицы A − множество корней характеристического уравнения с указанием их кратностей. Заметим, что k1 + k2 + … + ks = n.

Таким образом, чтобы найти собственные векторы оператора , нужно записать характеристический многочлен его матрицы и найти его корни. Если оператор  действует в линейном пространстве V над полем C, то все корни будут собственными значениями оператора . Соответствующие собственные векторы находятся из системы (3). Таким образом, если  действует в пространстве над полем C, то у него всегда есть собственные векторы.

Если оператор  действует в линейном пространстве над полем R, то только вещественным корням характеристического многочлена соответствуют собственные векторы оператора. Следовательно, оператор, действующий в линейном пространстве над полем R, может вообще не иметь собственных векторов.



Примеры.

1.  − оператор поворота на угол  в R2,   kπ;

A = − матрица  в базисе i, j;

P(λ) = det = (cos − λ)2 + sin2 = cos2 − − 2λcos + λ2 + sin2 = λ2 − 2λcos + 1.

D = 4cos2 − 4 = 4(cos2 − 1) < 0, и у характеристического уравнения вещественных корней нет, а, следовательно, нет и собственных векторов.

Отсутствие собственных векторов у оператора поворота вытекает также и из геометрического смысла собственного вектора. Вектор x собственный, если его образ (x) ему коллинеарен. При повороте на угол   kπ (x) не коллинеарен x, если x0.

2.  – ортогональное проектирование на плоскость OXY в пространстве R3.

A = − матрица оператора  в базисе i, j, k;
P(λ) = det = −λ(1 − λ)2;

λ1 = 0, λ2 = 1 − корни характеристического уравнения −λ(1 − λ)2 = 0; S = = {0[1], 1[2]} − спектр матрицы A. Все корни вещественны, и для каждого можно найти собственное подпространство. Пусть λ1 = 0. Рассмотрим систему (3) с этим λ. Матрица этой системы совпадает с A = и имеет главный ступенчатый вид. Решения соответствующей системы − векторы вида



= =  = k,

то есть собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1 = 0, − ненулевые векторы, коллинеарные вектору k. Собственное подпространство V0 − ось OZ; dim V0 = 1.

Для второго собственного значения λ2 = 1 собственные векторы также находим из системы (3), матрица которой

A − 1E = ,

т.е. система (3) имеет вид: x3 = 0.

Отсутствующие неизвестные x1, x2 − свободные, а общее решение записывается в виде:

= =  + β =i + βj.

Собственное подпространство V1 − плоскость OXY; dim V1 = 2.


Пусть Vn-мерное линейное пространство над полем P (R или C),  − линейный оператор и характеристический многочлен P(λ) имеет n различных корней в поле P; тогда спектр матрицы A имеет вид:

S = {, , …, }.

Пусть V, V, …, V − соответствующие собственные подпространства оператора  и e1V, e2V, …, enV − собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям; тогда по теореме 2 (§7) e1, …, en линейно независимы и, следовательно, образуют базис пространства V, а все подпространства V одномерны. Запишем матрицу оператора  в этом новом базисе.

(e1) = λ1e1 = λ1e1 + 0e2 + … + 0en;

(e2) = λ2e2 = 0e1 + λ2e2 + … + 0en;

(en) = λnen = 0e1 + 0e2 + … + λnen.



Получаем:

A = .

Матрица A диагональна, и на диагонали стоят соответствующие собственные значения. Вообще, если в пространстве V удается найти базис из собственных векторов, то матрица оператора в этом базисе будет диагональной, а на диагонали будут стоять соответствующие собственные значения оператора .


§9. Канонический вид линейного оператора
Рассмотрим линейный оператор  в пространстве V. Согласно определению (§2), матрица A оператора зависит от выбора базиса в линейном пространстве. Пусть e1, …, en и f1, …, fn − различные базисы пространства V. Векторы f1, …, fn, как и все остальные векторы пространства V, имеют свои координаты в базисе e1, …, en и записываются как линейные комбинации базисных векторов:

f1 = e1 + e2 + … + en;

f2 = e1 + e2 + … + en;



fn = e1 + e2 + … + en.

Матрица P = называется матрицей перехода от базиса e1, …, en к базису f1, …, fn. Это матрица, в столбцах которой стоят координаты векторов второго базиса в первом базисе. Столбцы матрицы P − векторы f1, …, fn, которые являются линейно независимыми, т.к. образуют базис. Следовательно, rang P = n, det P  0 и существует обратная матрица P−1.

Рассмотрим произвольный вектор x пространства V и разложим его по базисам e1, …, en и f1, …, fn:



x = xiei = fi.

P = () − матрица перехода от первого базиса ко второму, и

fi = ek;

x =xkek =ek =ek =

=ek =()ek.

Так как координаты вектора в данном базисе определены однозначно, то

x1 = + + … + ;

x2 = + + … + ;



xn = + + … + .

В матричном виде эти соотношения записываются как

= P; (4)

= P−1. (5)

Формулы (4) и (5) называются формулами преобразования координат вектора при переходе от одного базиса к другому.

Рассмотрим линейный оператор , и пусть A и − матрицы этого оператора в первом и во втором базисах. Пусть x − произвольный вектор пространства V и y = (x); тогда в первом и во втором базисах можно записать:

= A; = .

Используя формулу (4), первое из равенств запишем в виде:



P = AP ,

или, так как матрица P обратима, в виде:



= P−1AP .

Отсюда получаем:



P−1AP = .

Следовательно,



P−1AP = . (6)

Определение. Две матрицы A и B называются подобными (A ~ B), если существует невырожденная матрица P такая, что B = P−1AP.

Отношение подобия обладает следующими свойствами.

1. A ~ A, т.к. A = EAE (E−1 = E).

2. Если A ~ B, то B ~ A. Действительно, из B = P−1AP следует, что A = = PBP−1 = (P−1)−1BP−1.

3. Если A ~ B и B ~ C, то A ~ C. Действительно, B = P1−1AP1, C = = P2−1BP2; следовательно, C = P2−1P1−1AP1P2 = (P1P2)−1AP1P2. Заметим, что (P1P2)−1 = P2−1P1−1, т.к. P1P2P2−1P1−1 = P2−1P1−1P1P2 = E.

Из этих свойств следует, что подобие является отношением эквивалентности и множество всех квадратных матриц порядка n разбивается на непересекающиеся классы подобных матриц. Среди этих классов есть такие, которые состоят только из одной матрицы. Например, классы матриц, подобных матрице E или матрице 0. (Найдите все такие классы!)

Из формулы (6) следует, что матрицы линейного оператора  в различных базисах подобны. Верно и обратное. Пусть B = P−1AP, т.е. A ~ B. Рассмотрим оператор  в пространстве Rn, действующий следующим образом:

: A,

т.е. оператор умножения на матрицу A. Матрица A этого оператора в стандартном базисе совпадает с матрицей A. (См. §2.) Рассмотрим столбцы матрицы P. Это n векторов, записанных в координатном виде в стандартном базисе, причем эти n векторов линейно независимы, т.к. существует P−1. Рассмотрим новый базис p1, p2, …, pn, составленный из столбцов матрицы P. Матрица перехода от стандартного базиса к базису p1, p2, …, pn совпадает с матрицей P, и, следовательно, по формуле (6) = = P−1AP = P−1AP = B, то есть подобные матрицы суть матрицы одного оператора в различных базисах. Итак, имеется взаимно однозначное соответствие между линейными операторами, действующими в пространстве V (dim V = n), и классами подобных матриц порядка n.

Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц равны.

Доказательство. Обозначим характеристические многочлены: PA(λ) = det (A − λE), PB(λ) = det (B − λE); нам дано, что A ~ B, т.е. B = = C−1AC. Имеем: PB(λ) = det (B − λE) = det (C−1ACC−1E)C) = = det (C−1(A − λE)C) = det C−1det (A − λE)det C = det (A − λE) = PA(λ), что и требовалось доказать.

Следствие. Спектры подобных матриц совпадают.

Из этой теоремы следует, что можно ввести понятия характеристического многочлена Pφ (λ), характеристического уравнения и спектра Sφ оператора , вычисляя их по матрице A, взятой в произвольном базисе пространства V.



Определение. Оператор  называется диагонализируемым, если существует базис, в котором его матрица диагональна.

Если A − матрица такого оператора в произвольном базисе, то она подобна матрице



D = ,

AD.

Как же по матрице A узнать, диагонализируем ли оператор ? Мы уже знаем, что если Sφ = {, , …, }, то оператор диагонализируем. Если оператор диагонализируем, а характеристические многочлены подобных матриц равны, то



Pφ (λ) = PD(λ) = det = (−1)n(λ − λ1)…( λ − λn).

Мы видим, что характеристический многочлен диагонализируемого оператора разлагается на линейные множители в рассматриваемом поле (в последнем выражении возможны повторения сомножителей). Для поля C это условие, как известно, выполняется всегда. Для поля R оно означает, что все корни характеристического многочлена являются действительными числами, причем равными тем самым λi, которые стоят на диагонали матрицы D.

Заметим, однако, что условие принадлежности всех корней характеристического уравнения рассматриваемому полю еще не является достаточным для диагонализируемости оператора. Рассмотрим, например, матрицу порядка n:

Jn () = ,

называемую жордановой клеткой, и оператор  умножения на эту матрицу в пространстве Rn.



P () = = (  )n,

  корень характеристического уравнения кратности n, и спектр оператора  имеет вид S = {[n]}. Если бы матрица Jn () была подобна диагональной матрице D, то



D = ,

так как спектры подобных матриц совпадают, и, следовательно, оператор  был бы гомотетией с коэффициентом , что неверно, так как умножение на матрицу Jn () переводит вектор x = в вектор



y = Jn () =  .
Теорема. Оператор  диагонализируем тогда и только тогда, когда выполняются два условия.

1. Характеристический многочлен разлагается на линейные множители в рассматриваемом поле.

2. Размерность каждого собственного подпространства равна кратности соответствующего корня характеристического многочлена.

Эту теорему мы оставляем без доказательства.

Отметим, что если матрица оператора  в некотором базисе диагональна (A = D), то этот базис состоит из собственных векторов оператора . Действительно, пусть e1, …, en – базис, в котором A = D; тогда ei = (1 на i-м месте) и

φ(ei) = = = λi ei.


Следовательно, у диагонализируемого оператора должен быть базис из собственных векторов.

Рассмотрим снова оператор  умножения на жорданову клетку и найдем собственные векторы оператора . Единственное собственное значение оператора  − число , и система (3) §8 в этом случае принимает вид:





x1 − свободное неизвестное. Пространство V = , dim V = 1, и собственных векторов не хватает, чтобы составить из них базис пространства Rn. Второе условие теоремы о диагонализируемости оператора не выполняется, т. к. кратность корня  равна n, а dim V = 1 (мы предполагаем, что n > 1).
§10. Примеры
Рассмотрим конкретные примеры на применение изложенных методов.

1. Дана матрица A = , и известно, что она в стандартном базисе является матрицею некоторого линейного оператора , действующего в пространстве R3: A = A. Найдем собственные числа и собственные векторы оператора .

Составляем матрицу A − λE:



A − λE =

и вычисляем ее определитель, т.е характеристический многочлен оператора :



= 2 − 2 + + (1 − λ) = 2(2 − 3 − λ) − 2(4 + 2λ − 2) + + (1 − λ)(6 + 5λ + λ2 − 2) == 2(−1 − λ) − 2(2λ + 2) + (1 − λ)(λ2 + 5λ + 4) = −2 − − 2λ − 4λ − 4 + λ2 + 5λ + 4 − λ3 − 5λ2 − 4λ = −λ3 − 4λ2 − 5λ − 2. (Мы разложили определитель по третьему столбцу.)

Собственные числа нашего оператора суть корни этого многочлена, Нам, стало быть, надо решить кубичное уравнение:

−λ3 − 4λ2 − 5λ − 2 = 0.

В надежде отыскать целый корень этого уравнения испытаем делители свободного члена. Немедленно обнаруживаем, что, например, число −1 является корнем. Для нахождения остальных корней делим наш многочлен «уголком» на λ + 1. Получаем в частном − λ2 − 3λ − 2, а это уже квадратный трехчлен, и мы легко находим его корни: −1 и −2. Имеем разложение: − λ2 − 3λ − 2 = −(λ + 1)(λ + 2), а характеристический многочлен разлагается так:



PA(λ) = −λ3 − 4λ2 − 5λ − 2 = −(λ + 1)2(λ + 2),

так что у нас два собственных значения, одно из которых двукратно, и спектр таков: S = {(−1)[2], (−2)[1]}.

Теперь для каждого собственного значения надо найти соответствующие собственные векторы. Для λ1 = −1 вычисляем:

A ─ λ1E = A + E = .


Для нахождения собственных векторов мы должны решить однородную систему линейных уравнений с найденной матрицей. Для этого приводим матрицу к главному ступенчатому виду:

 (1 2 −2).

Такой матрице соответствует система из одного уравнения:



x1 + 2x2 ─ 2x3 = 0.

Неизвестные x2 и x3 являются свободными, следовательно, подпространство решений двумерно. Находим его базис:



, .

Окончательно множество всех собственных векторов с собственным значением −1 можно описать в виде следующей формулы:

α + β, α2 + β2 ≠ 0.

А теперь всю эту работу надо проделать заново с собственным значением −2. Вычисляем:


A ─ λ2E = A + 2E =


и приводим матрицу к главному ступенчатому виду:

.

Соответствующая система состоит из двух уравнений:



Теперь свободное неизвестное одно (x3), и подпространство решений одномерно. Находим его базис:



.

Множество всех собственных векторов с собственным значением −2 можно описать в виде формулы:

α, α ≠ 0.

Мы видим, что у нас выполняются все условия теоремы из §9 (стр. 14), так что должен существовать базис из собственных векторов. Для нахождения такого базиса достаточно объединить найденные нами базисы в подпространствах решений двух однородных систем. Матрица перехода к такому базису есть матрица, столбцы которой суть найденные базисные векторы:



T = .

Матрица нашего линейного оператора в этом новом базисе будет диагональной:



A = .

Нам осталось только проверить выполнение формулы (6) на стр. 13. Вместо этой формулы удобнее, однако, проверять эквивалентную ей формулу:


AT = TA.

Вычисляя обе части этой формулы, имеем:

AT = TA = .


2. Дана матрица A = , которая является матрицей линейного оператора  в пространстве R3: A = A. Требуется найти собственные числа и собственные векторы оператора .

Составляем матрицу A − λE:



A − λE =

и вычисляем ее определитель:



= (2 − λ)(λ2 − 3λ + 2) = −(λ − 2)2(λ − 1). (Мы разложили определитель по третьему столбцу.)

У нас два собственных значения, одно из которых двукратно, и спектр таков: S = {1[1], 2[2]}.

Теперь для каждого собственного значения ищем соответствующие собственные векторы. Для λ1 = 1 вычисляем:

Aλ1E = A E = .


Приводим эту матрицу к главному ступенчатому виду:

.

Соответствующая система состоит из двух уравнений:



У нас одно свободное неизвестное (x3), и подпространство решений одномерно. Находим его базис:



.

Множество всех собственных векторов с собственным значением 1 можно описать в виде формулы:

α, α ≠ 0.

Для λ2 = 2:


A − λ2E = A − 2E = .


Приводим матрицу к главному ступенчатому виду:

 (2 −1 0).

Такой матрице соответствует система из одного уравнения:

2x1x2 = 0.

Базис подпространства решений:



, .

Здесь также выполняются условия теоремы из §9, так что должен существовать базис из собственных векторов. Матрица перехода к такому базису:



T = .

Матрица нашего линейного оператора в этом новом базисе будет диагональной:



A = .

Проверим выполнение формулы: AT = TA. Имеем:



AT = TA = .

Учебное издание

Линейные операторы. Часть 2
Составители: БУСЯЦКАЯ Ирина Константиновна

АНДРЕЕВ Кирилл Кириллович

Редактор

Технический редактор

Подписано в печать Формат 6084/16.

Бумага Усл. печ. л. Уч.-изд. л.

Изд. № . Тираж 200 экз. Заказ Бесплатно.

Московский государственный институт электроники и математики.

109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3/12.

Отдел оперативной полиграфии Московского государственного

института электроники и математики.

113054, Москва, ул. М.Пионерская, 12.