Методы анализа динамических систем - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Теория бифуркаций 1 37.92kb.
Программа курса «Формальные методы разработки программных систем» 1 103.96kb.
Математическое моделирование электорального поведениЯ населения в... 1 54.72kb.
Рабочая программа курса " Методы анализа графических систем" 1 43.38kb.
Рабочая программа учебной дисциплины «Математические основы теории... 1 118.26kb.
1. Лекция: Современные технологии объектно-ориентированного анализа... 1 221.77kb.
Частотные методы анализа и проектирования систем с разрывным управлением... 2 537.32kb.
Келдыш нонна Александровна Доцент кафедры «Математика-1», доцент. 1 24.34kb.
Разработка и Исследование методов и алгоритмов кластеризации для... 1 216.49kb.
Концептуальные основы сравнительного анализа экономических систем 1 76.66kb.
Фрактальный анализ временных рядов и таблиц сопряженности 1 286.54kb.
Программа дисциплины Динамическая макроэкономика для направления... 1 193.49kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Методы анализа динамических систем - страница №1/1

Наименование дисциплины: Методы анализа динамических систем

Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика

Профиль подготовки: Математическое моделирование и вычислительная математика

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

Автор: к.ф.- м. н., доцент кафедры математического моделирования П.Н.Нестеров.



1. Цель освоения дисциплины «Методы анализа динамических систем» – дать представление студентам о методах качественного и количественного анализа динамических систем. Задачами курса являются:

познакомить студентов с качественными методами исследования динамических систем на плоскости;

познакомить студентов с основными понятиями теории бифуркации;

научить студентов использовать локальные методы анализа динамических систем;

познакомить студентов с классом почти периодических функций;

дать представление о методах усреднения;

научить студентов исследовать вопросы существования и устойчивости почти периодических решений у систем в стандартной форме.




2. Дисциплина «Методы анализа динамических систем» входит в вариативную часть профессионального цикла. Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ».



Методы качественной теории необходимы для аналитического исследования нелинейных моделей и могут использоваться студентами в курсовых и дипломных работах, а также в их научно-исследовательской деятельности.

3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:


Знать:

основные методы качественного и количественного анализа динамических систем;



Уметь:

исследовать динамику решений плоских динамических систем; строить нормальные формы для изучения динамики решений в критических и близких к критическим случаям; исследовать вопросы существования и устойчивости почти периодических решений у систем в стандартной форме.


Владеть:

основными методами качественного и количественного анализа динамических систем.


4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 часов.


5. Содержание дисциплины:


п/п

Раздел дисциплины

1

Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Базовые понятия теории динамических систем. Примеры динамических систем на плоскости. Теорема Пуанкаре-Бендиксона, примеры ее использования.

2

Неограниченные траектории динамических систем на плоскости. Сфера Пуанкаре. Исследование систем с полиномиальными правыми частями.

3

Консервативные системы. Понятие о гамильтоновых и консервативных системах. Теорема Лиувилля. Простейшая консервативная система.

4

Элементы теории вращения плоских векторных полей. Понятие о векторных полях. Угловая функция и вращение векторного поля на кривой. Формула Пуанкаре. Вращение поля на замкнутой кривой. Вращение поля на границе многосвязной области. Индекс особой точки, теорема об алгебраическом числе особых точек. Гомотопные векторные поля, признаки гомотопности. Линейные поля. Линеаризация поля в окрестности особой точки. Вычисление индекса простых особых точек. Следствия теории вращения векторных полей применительно к анализу динамических систем на плоскости.

5

Замкнутые траектории. Признаки отсутствия замкнутых траекторий.

6

Грубые и негрубые траектории. Типы состояний равновесия. Теорема Гробмана-Хартмана. Сложные состояния равновесия. Анализ окрестности состояния равновесия с двумя чисто мнимыми характеристическими корнями.

7

Элементы теории бифуркаций. Основные определения. Бифуркации состояний равновесия в скалярных дифференциальных уравнениях. Бифуркации траектории в динамических системах на плоскости. Бифуркации, связанные с рождением цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Возникновение предельного цикла из уплотнения траекторий, метод Понтрягина.

8

Сингулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений. Регулярное и сингулярное возмущение дифференциальных уравнений. Вырожденное уравнение. Быстрые и медленные движения. Релаксационные колебания. Уравнение Ван-дер-Поля.

9

Определение и основные свойства почти периодических функций. Определение почти периодической функции по Бору. Элементарные свойства почти периодических функций (п.п.ф.). Ограниченность и равномерная непрерывность почти периодической функции. Почти периодические функции по Бохнеру. Арифметические действия с почти периодическими функциями. Равномерно сходящиеся последовательности почти периодических функций. Почти периодическая функция как равномерный предел последовательности тригонометрических полиномов. Дифференцирование и интегрирование почти периодических функций. Среднее значение почти периодической функции.

10

Метод усреднения в нелинейных системах на бесконечном промежутке. Метод усреднения в линейных системах с почти периодическими коэффициентами. Нелинейные системы в стандартной форме Боголюбова. Первое приближение. Теоремы о существования и устойчивости почти периодических режимов. Некоторые примеры (уравнение Ван дер Поля, уравнение Дуффинга и др.). Маятниковые системы с колеблющимся подвесом. Высшие приближения метода усреднения. Бифуркация Андронова-Хопфа.

11

Методы упрощения динамических систем. Теорема о существовании центрального многообразия. Теоремы о редукции и приближении центрального многоообразия. Теорема о нормальной форме. Вывод гомологического уравнения. Резонансные соотношения. Нормальные формы векторных полей с параметрами. Бифуркация Андронова-Хопфа.

12

Гиперболическая динамика. Сопряженность, эквивалентность, теорема Гробмана-Хартмана. Свойства сопряженных и эквивалентных линейных систем. Возмущения и структурная устойчивость. Гиперболические неподвижные точки. Теорема об устойчивом многообразии неподвижной точки отображений. Локализация. Теорема о гиперболической неподвижной точке. Устойчивое многообразие неподвижной точки потока. Теорема Адамара-Перрона. Гиперболические множества.

6.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:


а) основная литература:

1.Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1990.

2.Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. ­- М.: Наука, 1975.

3.В. Д. Горяченко. Элементы теории колебаний. – М.: Высшая школа, 2001.

4.М. А. Красносельский и др. Векторные поля на плоскости. – М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1963.

5.Б.М. Левитан. Почти-периодические функции. – М.: Изд-во техн.-теор. лит-ры, 1953. – 396 с.

6.А. Б. Каток, Б. Хассельблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. - М.: МЦНМО, 2005.

7.Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. Методы качествнной теории в нелинейной динамике. Часть 1. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

8.Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
б) дополнительная литература:

1.J. Carr. Applications of Centre Manifold Theory. - Springer-Verlag New York, 1981.

2.S. Wiggins. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. - Springer-Verlag New-York, 1990.

3.Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

4.Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

5.Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

6.Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

7.А. Б. Каток, Б. Хассельблат. Введение в современную теорию динамических систем. - М.: Изд-во "Факториал", 1999.


в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы

Scholarpedia: http://www.scholarpedia.org/