Механико-технологические основы создания кормоприготовительных машин с вибрируемым зернистым слоем

На правах рукописи

УДК 534.111:63

Пирожков Дмитрий Николаевич

МЕХАНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

СОЗДАНИЯ КОРМОПРИГОТОВИТЕЛЬНЫХ МАШИН

С ВИБРИРУЕМЫМ ЗЕРНИСТЫМ СЛОЕМ

Специальность 05.20.01 – Технологии и средства

механизации сельского хозяйства

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук

Барнаул 2012

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Алтайский государственный аграрный университет»
Научный консультант: доктор технических наук, профессор

И.Я. Федоренко (ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный аграрный университет»)

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

А.В. Фоминых (ФГБОУ ВПО «Курганская государственная сельскохозяйственная академия имени Т.С. Мальцева»)

доктор технических наук, профессор

О.Д. Черепов (ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова»)

доктор технических наук, профессор

Г.М. Харченко (ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный аграрный университет»)

Ведущее предприятие: ФГБОУ ВПО «Омский государственный агарный

университет им. П.А. Столыпина»

Защита состоится «29» марта 2012 г. в 10⁰⁰ часов на заседании диссертационного совета Д 212.004.02 при ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова» по адресу: 656038, Алтайский край, г. Барнаул, пр. Ленина, 46, тел/факс (8-3852) 36-71-29, htpp://www.altstu.ru, e-mail: elnis@inbox.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова.
Отзывы на автореферат в двух экземплярах с подписью, заверенные печатью Вашего учреждения просим направлять в адрес ученого секретаря диссертационного совета.

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор Л.В. Куликова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Обеспечение продовольственной безопасности страны в части снабжения населения животноводческой продукцией, восстановление и наращивание поголовья сельскохозяйственных животных, высокая продуктивность и эффективность животноводческой отрасли во многом зависят от правильного кормления животных. Исследования ученых зоотехников однозначно сводятся к тому, что основным рационом животных должны быть специальным образом подготовленные корма. Существующие технические средства выполнения основных технологических операций кормоприготовления зачастую не обеспечивают в полной мере заданные зоотехнические требования к готовой продукции, являются материало- и энергоемкими, требуют высоких затрат труда и средств для приготовления кормов. Поэтому все выше перечисленное отрицательно сказывается на себестоимости животноводческой продукции.

Одним из направлений совершенствования кормоприготовительной техники является использование полезного действия вибрации. Вибрация позволяет получать заданные физико-механические свойства обрабатываемого кормового материала. Отсутствие вращающихся частей, контактирующих с кормом, отсутствие дополнительных механических передач между приводящим электродвигателем и рабочими органами вибромашины для осуществления рабочего процесса, простота конструкции и ее высокая надежность также являются основными достоинствами использования вибраций в кормопроизводстве.

Наиболее эффективным является использование механических колебаний при обработке сыпучих материалов, поскольку вибрационное воздействие на зернистый слой заставляет его изменять свои физико-механические свойства в довольно широких пределах. Это обстоятельство позволяет использовать данный эффект для качественного осуществления различных технологических операций кормопроизводства. В то же время, существующий уровень теоретической проработки вопросов взаимодействия зернистого материала с вибрирующими рабочими органами, а также его поведение при таком взаимодействии не объясняет всего многообразия наблюдаемых явлений. Поэтому данная работа посвящена анализу работы существующих кормоприготовительных вибрационных машин и разработке теоретических методов расчета новых, проектируемых машин, работающих с толстыми слоями зернистых материалов.

На основании выше изложенного можно отметить, что повышение эффективности работы вибрационной кормоприготовительной техники, взаимодействующей с зернистыми материалами, путем определения рациональных динамических режимов движения виброожиженного слоя сыпучего материала на основе математического моделирования является актуальной проблемой, имеющей важное значение в кормоприготовительной и животноводческой отраслях.

В диссертации проанализированы и обобщены данные из литературных источников, приводятся результаты научно-исследовательской деятельности автора, а также данные, полученные при совместной работе автора с другими исследователями по этой проблеме.

Работа выполнена на кафедрах «Механизация животноводства» и «Механика машин и сооружений» Алтайского государственного аграрного университета» в соответствии с планом фундаментальных научно-исследовательских работ Российской академии наук на период до 2025 г. «Развитие теории вибрационных машин различного целевого назначения для разработки высокоэффективных технологических процессов в агропромышленном комплексе», с федеральной целевой научно-технической программой, финансируемой из средств госбюджета (регистрационный № 01201157188), с региональной программой прикладных научно-исследовательских работ «Обоснование, разработка и внедрение ресурсосберегающих технологий и технических средств для приготовления кормов (регистрационный № 01201157189).

Научная гипотеза: сыпучая среда при воздействии вибраций может рассматриваться с позиций синергетики как самоорганизующаяся система, формирующая сложные пространственные диссипативные структуры, которые можно использовать в сельскохозяйственной технологии.

Цель работы: повышение эффективности работы кормоприготовительных машин путем определения рациональных динамических режимов движения вибрируемого зернистого слоя на основе математического моделирования.

Для достижения указанной цели работы были поставлены и решены следующие задачи:

1. Изучить совокупность процессов и действие сил, возникающих в слое зернистого материала при вертикальных и горизонтальных колебаниях.

2. Разработать математическую модель вибрируемого зернистого слоя на основе теории сплошной среды, учитывающую отличительные особенности сыпучего материала, подвергаемого воздействию вибрации.

3. Обосновать возможность использования методов синергетики для исследования динамических режимов виброожиженного слоя зернистого материала. Объяснить на основе синергетических подходов существование различных экспериментально наблюдаемых типов динамического состояния вибрируемого зернистого слоя.

4. Разработать алгоритмы и методы расчета вибрационных кормоприготовительных машин на основе созданных математических моделей виброожиженного зернистого материала.

5. Оценить перспективы использования результатов исследования и их экономическую эффективность при создании кормоприготовительных машин с вибрируемым зернистым слоем.

Объектом исследования являются вибрационные технологические процессы обработки кормовых сыпучих материалов и вибрационные кормоприготовительные машины.

Предметом исследования являются математические модели виброожиженного слоя сыпучего материала.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись методы гидродинамики и термодинамики, методы синергетики, методы теоретической механики, методы теории подобия и математического моделирования, методы численного решения дифференциальных уравнений, методы исследования устойчивости динамических систем, методы планирования эксперимента и математической статистики.

Научная новизна. Разработана гидродинамическая модель виброожиженного слоя сыпучего материала, получены критерии подобия, представляющие собой вибрационные аналоги чисел Эйлера, Рейнольдса, Фруда, Релея, Прандтля, позволяющие использовать математический аппарат термо- гидродинамики для моделирования поведения виброожиженного слоя сыпучего материала.

Доказано, что вибрируемый зернистый слой является синергетической системой, то есть для моделирования его поведения применимы законы и методы синергетики.

На основе синергетического подхода выполнено сведение гидродинамической модели виброожиженного материала к модели Лоренца, позволяющей определять динамическое состояние вибрируемого зернистого слоя.

Разработан общий алгоритм расчета кормоприготовительных машин с вибрируемым зернистым слоем, на основе которого созданы методики расчета вибрационного дозатора, вибрационного смесителя и вибрационного очистителя для зернистых кормовых материалов.

Практическая значимость. В результате проведенных исследований разработаны методы и алгоритмы расчета вибрационных кормоприготовительных машин, позволяющие качественно оценивать динамическое состояние обрабатываемого материала, что дает возможность анализировать работу существующего и создавать новое технологическое оборудование с рациональными эксплуатационными характеристиками. Указанные методы и алгоритмы расчета могут быть использованы в проектных организациях, занимающихся разработкой кормоприготовительного оборудования при разработке устройств очистки от примесей, дозирования, смешивания и выполнения других технологических операций с зернистыми кормовыми материалами.

Реализация результатов работы. Результаты работы использованы на предприятии ООО «Сибирский агропромышленный дом», а именно: внедрены методики расчета конструктивно-технологических параметров, эксплуатационных характеристик, а также качественных показателей технологических процессов вибрационных машин различного назначения (вибрационные дозаторы и вибрационные смесители). В ООО «Алтайские вибромашины» внедрены методики расчета конструктивно-технологических параметров, разработаны чертежи и изготовлено 20 шт. многокомпонентных вибрационных дозаторов и 5 шт. вибрационных смесителей сыпучих кормовых материалов. Научные разработки внедрены в учебный процесс Алтайского ГАУ и используются при чтении лекций, а также при подготовке аспирантов и выполнении студентами курсовых и дипломных работ на кафедрах «Механизация животноводства», «Сельскохозяйственные машины», «Тракторы и автомобили».

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на XXXII Уральском семинаре по механике и процессам управления (г. Миасс, 2002), XLII научно-технической конференции (г. Челябинск, 2003), Юбилейной международной научно-практической конференции «Современные проблемы и достижения аграрной науки в животноводстве и растениеводстве» (г.Барнаул, 2003), II международной научно-технической конференции «Энергетика, экология, энергосбережение, транспорт» (г. Тобольск, 2004), Международной научно-практической конференции «Машинно-технологическое, энергетическое и сервисное обеспечение сельхозтоваропроизводителей Сибири» (п.Краснообск, 2008), II, III и VI Международной научно-практической конференции «Аграрная наука – сельскому хозяйству» (г.Барнаул, 2007, 2008, 2011 гг.)

На защиту выносятся:

- синергетический подход к рассмотрению динамики виброожиженного слоя зернистого материала, позволяющий применять методы синергетики к описанию динамического поведения виброожиженного зернистого слоя;

- гидродинамическая модель виброожиженного слоя зернистого материала, позволяющая адекватно описать динамику этого слоя и объяснить причины наблюдаемых явлений при воздействии вибрации на зернистый материал;

-общий алгоритм и частные методики расчета вибрационных машин на основе гидродинамической модели виброожиженного слоя зернистого материала;

- оценка экономической эффективности и применимость результатов работы в животноводстве и перерабатывающей промышленности.

Достоверность теоретических исследований обеспечивается математической корректностью постановки задач, соответствием полученных критериев подобия положениям термо- и гидродинамики, количественным и качественным совпадением результатов численных решений с экспериментальными данными.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 25 печатных работах, в том числе: 10 статей в изданиях из перечня ВАК РФ, 6 патентов РФ на изобретение, одна монография, 8 статей в других изданиях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных выводов, библиографического списка из 210 наименований, восьми приложений. Общий объем работы составляет 292 страницы, в том числе 29 таблиц, 78 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы работы, сформулированы научная гипотеза и цель, поставлены задачи исследования, отмечена научная новизна и практическая значимость, приведены основные положения работы, выносимые на защиту.

В первой главе дается краткий обзор и анализ явлений и фактов, экспериментально наблюдаемых в вибрируемом зернистом слое, а также анализ существующих математических моделей для описания наблюдаемых явлений.

В наши дни машины вибрационного принципа действия получили большое распространение. На предприятиях сельского хозяйства и перерабатывающей промышленности вибрации успешно применяются при обработке различных зернистых (по другой терминологии - сыпучих, дисперсных) материалов и продуктов: зерна, муки, сахара песка, крахмала, крупы, какао-бобов, мясных фаршей, сухих смесей и т.д. В процессе их просеивания, центрифугирования, сепарирования, транспортирования, смешивания, дозирования, измельчения, обжарки, сушки, резки, уплотнения вибрационные рабочие органы взаимодействуют с некоторой порцией этих материалов  загрузкой машины. При этом сыпучий материал представлен в технологической машине в виде слоя той или иной толщины, обычно существенно меньшей, чем длина волны распространения вибрационных возмущений.

Применение виброметода в различных отраслях хозяйства стало возможным благодаря усилиям многих ученых, в числе которых крупнейшие советские и российские механики И.И. Артоболевский, В.В. Андронов, В.И. Бабицкий, И.И. Блехман, И.И. Быховский, Р.Ф. Ганиев, И.Ф. Гончаревич, Э.Э. Лавендел, Н.В. Михайлов, Р.Ф. Нагаев, Ю.И. Неймарк, Е.А. Непомнящий, П.Ф. Овчинников, Я.Г. Пановко, К.М. Рагульскис, П.А. Ребиндер, Н.Б. Урьев, К.В. Фролов, К.Ш. Ходжаев, В.Н. Челомей, В.А. Членов, С.Ф. Яцун.

Из зарубежных ученых своими трудами по данной проблеме выделяются Р. Бишоп, Д. Кумабэ, К. Магнус, П. Ребю, С.П. Тимошенко, Я. Ден Хартог.

Существенный вклад в разработку вибрационных машин и процессов агропромышленного комплекса внесли Н.А. Буренков, П.М. Василенко, В.П. Горячкин, В.В. Гортинский, А.А. Дубровский, П.М. Заика, П.Н. Лапшин, П.И. Леонтьев, Г.Е. Лимонов, Г.Е. Листопад, С.А. Мачихин, Ю.А. Мачихин, М.А. Талейсник, Г.Д. Терсков, В.М. Усаковский, И.М. Федоткин, И.Я. Федоренко, А.В. Фоминых, и другие ученые.

Экспериментально установлено, что при вибрационном воздействии в сыпучем материале изменяются механизмы взаимодействия между его частицами.

Многими исследователями были отмечены изменения в поведении материала при изменении параметров вибрации. Характерной величиной, оценивающей интенсивность вибрации, является произведение амплитуды колебаний на квадрат частоты колебаний . При после некоторого движения, связанного с уплотнением среды, наступает относительный покой, и материал движется вместе с сосудом (рисунок 1 а, начальный уровень материала показан пунктирной линией). При начинается упорядоченное движение сыпучей среды в виде циркуляционных потоков (рисунок 1 б). В зависимости от высоты слоя может возникать одна или целый ансамбль ячеек циркуляции. Скорость циркуляции в этом режиме имеет постоянное по модулю значение, что можно трактовать как детерминированное (ламинарное) движение материала. При режимах, в которых , характеризующихся интенсивным вибровоздействием, наступает стохастическое (турбулентное) движение зернистого материала и его интенсивное перемешивание по всему объему (рисунок 1 в).

Для объяснения наблюдаемых явлений и определения кинематических и динамических характеристик вибрируемого слоя различными авторами было разработано большое количество математических моделей, которые можно разделить на несколько основных групп.

1. Модели единичной частицы. Рассматривают движение одной частицы сыпучего материала на шероховатой вибрируемой поверхности.

2. Специальные модели. Предназначены для описания процессов, происходящих только в какой-то одной, узкоспециализированной группе вибрационных машин. К таким моделям можно отнести рассмотрение сыпучего материала как двухмассовой системы, снабженной системой вязких демпферов и упругих элементов; как систему тонких горизонтальных слоев, проскальзывающих друг относительно друга; модель в которой слой материала рассматривается как поршень с отверстием в центре, взаимодействующий при своем движении с прослойкой воздуха.

3. Модели сплошной среды. Рассматривают вибрируемый зернистый слой как сплошное тело, вязкую жидкость или идеальный газ.

Рисунок 1  Виды движения зернистого материала под действием вибрации
недостаткам первой группы моделей можно отнести то, что в них не учитываются силы взаимодействия частицы с другими, окружающими ее частицами, силы сопротивления воздушной среды и объемные силы, возникающие в сплошной среде (силы типа архимедовой). Подобные модели пригодны лишь для описания движения отдельных достаточно крупных тел, а также слоя, состоящего из крупных частиц, толщина которого не превышает 20-30-кратного среднего размера частиц. При рассмотрении слоя материала большей толщины модели единичной частицы являются непригодными.

Недостатками моделей второй группы является их сложность и узкоспециализированная направленность, объясняющая процессы, протекающие в материале, обрабатываемом только в отдельно взятых вибрационных машинах.

Наиболее правильным, на наш взгляд, подходом к описанию поведения вибрируемого зернистого слоя является его описание на основе моделей сплошной среды. В этих моделях учитывается взаимодействие частиц или элементарных объемов материала друг с другом и с воздушным потоком, присутствуют объемные силы, возникающие в сплошных средах. Но из всех существующих моделей подобного типа можно выделить лишь одну – модель на основе уравнений Лоренца, объясняющую все три экспериментально наблюдаемые типа поведения вибрируемого зернистого слоя, а именно: дрожание частиц с последующим уплотнением материала; циркуляционные движения; стохастическое поведение.

Во второй главе проводятся параллели между поведением нагреваемого снизу слоя вязкой жидкости и виброожиженным сыпучим материалом. Приводятся основные понятия из современной нелинейной динамики и синергетики и доказывается их применимость к описанию динамики вибрируемого зернистого слоя.

Краеугольным камнем синергетики является понятие о диссипативных структурах как пространственно-временных упорядоченных организациях в физических, механических, химических и биологических системах. Диссипативные структуры включают в себя все типы процессов самоорганизации: колебательные процессы, пространственную упорядоченность, пространственно-временное структурирование, хаотические состояния, что и наблюдается в процессах и аппаратах вибрационного типа.

Для возникновения диссипативных структур необходимы следующие условия, которые выполняются во многих технологических машинах и аппаратах:

Система должна быть открытой и постоянно обмениваться веществом и энергией с окружающей средой, т.е. система должна находиться в неравновесном состоянии.
В системе должно быть регулирование по типу обратной связи, что отображается нелинейными дифференциальными уравнениями.
Отклонения от равновесия превышают критические значения, то есть рассматриваются состояния, лежащие вне термодинамической (равновесной) ветви.
Процессы рассматриваются в таком диапазоне параметров, когда для их описания необходимы нелинейные математические модели.

Диссипативные структуры характеризуют поведение системы в целом, которое никак нельзя было предвидеть или понять на основе свойств отдельных ее элементов.

Условия возникновения, устойчивости, перехода из одного неравновесного стационарного состояния в другое были достаточно хорошо изложены И. Пригожиным, который разработал свою теорию на основе термодинамики неравновесных процессов.

За функцию состояния термодинамической системы принимается изменение энтропии:

, (1)

где − производство энтропии; − поток энтропии.

Энтропия обладает следующими свойствами.

1) Энтропия является экстенсивной величиной. Если система состоит из нескольких частей, полная энтропия равна сумме энтропий этих частей. Производство энтропии вызвано изменениями внутри системы, а поток энтропии возникает за счет взаимодействия системы с внешней средой.

2) Производство энтропии в реальных необратимых процессах всегда положительно:

. (2)

В термодинамике неравновесных процессов на основе уравнения (2) записывается полное условие термогидродинамической устойчивости:

. (3)

где  производство избыточной энтропии в любой произвольной части объема термодинамической системы, равновесие которой рассматривается;  плотность;  число Релея;  коэффициент, характеризующий изменение температуры в направлении вертикальной оси ;  ускорение свободного падения; − коэффициент теплового расширения;  высота слоя вязкой жидкости;  кинематическая вязкость;  теплопроводность;  частная производная от перепада температуры по соответствующей пространственной координате;  i-тая компонента перепада скорости центра масс системы;  перепад скорости потока по высоте слоя.

Применяя условие (3) для исследования конвективной неустойчивости Бенара можно использовать наименьшее из возможных значений числа Релея, при котором возникает неустойчивость. Такое значение числа Релея называется критическим и обозначается . То есть, среда переходит в неустойчивое состояние при условии:

. (4)

Для проверки применимости термогидродинамического математического аппарата в целом, и условия (4) в частности, к описанию динамики вибрируемого зернистого слоя были проведены экспериментальные исследования.

Экспериментальные установки, позволяющие получать прямолинейные вертикальные (рисунок 2а) и горизонтальные (рисунок 2б) колебания оснащались прозрачными сосудами кубической и цилиндрической форм. Изменяя параметры вибрационного воздействия на зернистый материал (просо), находящийся в сосуде, проводились наблюдения за его динамическим состоянием. При переходе материала от одного типа движения к другому фиксировались параметры вибрационного воздействия на него.

В качестве факторов, влияющих на динамическое состояние вибрируемого материала, использовались амплитуда и частота колебаний, а также высота слоя материала. Параметры вибрации измерялись акселерометром Analog Devices ADXL278, позволяющим измерять ускорения одновременно в двух взаимоперпендикулярных направлениях величиной ± 50 g с погрешностью не более 5 %. Показания акселерометра вы-

а) б)

Рисунок 2  Общий вид экспериментальных установок

водились на компьютер (рисунок 3), где подвергались дальнейшей обработке.

Проведенные экспериментальные исследования подтвердили работоспособность критерия (4), который указывает на переход материала из состояния уплотнения к регулярным циркуляциям, применительно к вибрируемому зернистому материалу.

Т
Рисунок 3  Графическое представление измеряемых параметров вибрации
ретья глава посвящена разработке гидродинамической модели вибрируемого зернистого слоя. В ней получены критерии подобия, позволяющие моделировать поведение виброожиженного сыпучего материала на гидродинамическом программном обеспечении. На основе методов синергетики производится сведение гидродинамической модели к модели Лоренца. Приводятся результаты компьютерного моделирования динамического поведения вибрируемого зернистого слоя и сравнение с экспериментом.

В предыдущих разделах упоминалось, что виброожиженный слой сыпучего материала напоминает вязкую жидкость и его поведение может быть описано при помощи уравнения Навье-Стокса:

, (5)

где  скорость;  давление;  оператор Набла;  силы, отличающие виброожиженный сыпучий материал от вязкой жидкости.

Для определения последнего слагаемого в правой части выражения (5) было рассмотрено движение частицы материала в сплошной среде виброожиженного сыпучего материала при прямолинейных вертикальных колебаниях (рисунок 4), где:  архимедова сила от действия воздуха,  архимедова сила от действия сыпучего материала;  сила сухого трения;  сила динамического напора со стороны воздушного потока;  сила тяжести.

Дифференциальное уравнение движения частицы с учетом всех сил, действующих на нее (рисунок 4) выглядит следующим образом:

(6)

Рисунок 4  Силы, действующие на частицу в виброожиженном сыпучем материале

Рисунок 5  Перемещение частицы под действием вибрации в сыпучем материале

де  коэффициент сопротивления;  плотность воздуха;  плотность частицы;  эквивалентный диаметр частицы;  амплитудное значение скорости воздуха в сечении Х = 0;   коэффициент пространственного затухания скорости воздушного потока;   частота колебаний; t – время;  – плотность виброожиженного сыпучего материала; k – коэффициент подвижности материала; f – коэффициент внутреннего трения материала; h – высота слоя материала над частицей; – максимальная высота слоя материала в сосуде; х – текущая координата частицы;  амплитуда колебаний;  – коэффициент затухания колебаний в сыпучем материале.

Численное решение уравнения (6) дает траекторию движения частицы (рисунок 5).

Анализ рисунка 5 показывает, что частица поднимается под действием объемных сил на некоторую высоту и «зависает», совершая колебания на высоте, близкой к поверхности слоя материала.

Подставив выражения для сил, указанных на рисунке 4 в уравнение (5) и записав его в координатной форме для плоской картины движения, получим:

. (7)

К уравнениям (7) необходимо добавить уравнение неразрывности:

. (8)

Для того, чтобы модель была полной и законченной, к выражениям (7), (8) добавим граничные условия в соответствии с рисунком 6:

(9)

Рисунок 6  Расположение координатных осей при решении плоской задачи
ля решения системы (7) при помощи специальных компьютерных программ, моделирующих поведение жидкостей и газов, необходимо получить критерии подобия между виброожиженным сыпучим материалом и вязкой жидкостью. Воспользовавшись методикой из теории подобия и обозначив штрихом безразмерные значения скорости, времени, координат и сил ; ; ; ; ; ; ; ; , получим:

В системе уравнений (10) полученные безразмерные критерии подобия обведены прямоугольными рамками. По их виду можно судить об аналогии процессов движения, происходящих в псевдожидкости под действием вибрации и в вязкой жидкости. Так, безразмерная величина представляет собой не что иное, как вибрационный аналог числа Эйлера, величина  вибрационный аналог числа Рейнольдса, величина  вибрационный аналог числа Фруда и, наконец, величина  коэффициент перегрузки.

В результате преобразований получили следующие критерии подобия:

, , , , , , , . (11)

Наибольший интерес среди выявленных критериев подобия представляет вибрационный аналог числа Фруда:

. (12)

Само же число Фруда в гидродинамике определяется выражением:

, (13)

где V – характерная скорость; L – характерный размер (длина);   коэффициент теплового расширения; Т – перепад температуры.

Сравнивая выражения (12) и (13), можно провести аналогию:

, , (14)

то есть изменение высоты слоя материала аналогично перепаду температуры, а коэффициент теплового расширения пропорционален произведению коэффициента подвижности материала на коэффициент внутреннего трения. В гидродинамике, при подогреве слоя жидкости снизу и при возникновении конвекционных течений, движущей силой является сила Архимеда, выталкивающая вверх нагретые у нижней кромки жидкости частицы, которые вследствие нагревания становятся легче. При виброожижении движущей силой является подъемная сила от возникающего при вибрации стенок сосуда воздушного потока. Из вышеизложенного можно сделать вывод о том, что перепад температуры в жидкости аналогичен изменению скорости воздушного потока по высоте слоя сыпучего материала.

Моделирование поведения виброожиженного слоя сыпучего материала при помощи программы для гидродинамических расчетов Flow 3D показало все три типа экспериментально наблюдаемых динамических состояния материала: уплотнение (рисунок 7), циркуляционные течения (рисунок 8), стохастическое движение (рисунок 9). Результаты моделирования и их соответствие натурному эксперименту (рисунок 7 - 9) подтверждают справедливость гидродинамической модели и полученных критериев подобия, и дает возможность использования ее для проектирования вибрационных машин с вибрируемым зернистым слоем.

Моделирование поведения виброожиженного слоя сыпучего материала при разработке каждой конкретной вибрационной машины при помощи уравнений Навье-Стокса и использовании гидродинамического программного обеспечения представляет собой весьма непростую задачу. Часто для проектирования вибрационной машины нет необходимости точно знать, как распределяются поля скоростей, ускорений и давлений в объеме материала. Достаточно информации лишь о том, какой режим движения материала будет осуществляться при решении конкретной задачи. Представление о режиме движения материала может дать модель Лоренца. Поэтому для упрощения уравнений Навье-Стокса можно использовать некоторую методику, основанную на принципах синергетики и приводящую к системе более простых дифференциальных уравнений. Такая методика была предложена американским физиком-метеорологом Эдвардом Лоренцом и впоследствии была названа моделью Лоренца. Используем данную методику для сведения уравнений (7) к системе Лоренца.

К системе уравнений (7) добавим уравнение неразрывности (8), граничные условия (9) и уравнения, описывающие изменение скорости воздушного потока и давления по высоте слоя виброожиженного слоя сыпучего материала. Скорости воздушного потока , генерируемого вибрирующим контейнером, в сечениях и (рисунок 6) считаем заданными (для данного режима вибрации), поэтому закономерности распределения этих скоростей внутри слоя материала записываем в форме уравнения переноса:

, (15)

где   некоторый коэффициент.

Примем, что скорость воздушного потока изменяется по высоте слоя по следующему закону:

, (16)

где  отклонение скорости от линейного профиля.

Приведем пояснения к выражению (16). Будем считать, что скорость воздушного потока у вибрирующего рабочего органа (днища) равна , а у верхней кромки виброожиженного слоя материала высотой она уменьшается на некоторую величину и равна . Тогда в любом текущем уровне по высоте слоя с координатой у линейное изменение скорости будет составлять величину .

Предположим, что плотность материала зависит от скорости воздушного потока, проходящего через материал, и изменяется по зависимости

, (17)

где   коэффициент расширения материала от скорости воздушного потока (аналог коэффициента теплового расширения).

Положим, что давление в слое материала изменяется по следующим образом:

, (18)

где  отклонение поля давлений от гидростатического давления.

Сведем все представленные уравнения в одну систему, которая и будет оценивать динамику виброожиженного слоя:

(19)

Рисунок 7  Поле скоростей в режиме движения с уплотнением

материала и экспериментально наблюдаемое уплотнение зерен проса

Рисунок 8  Поле скоростей в режиме циркуляции и циркуляционное движение зерен

проса с образованием ячеек Бенара, наблюдаемое в эксперименте

Используя методику Лоренца, сводим систему уравнений (19) к более простой системе нелинейных дифференциальных уравнений, именуемых моделью Лоренца, представляющую собой динамическую систему с трехмерным фазовым пространством (х, у, z):

, (20)

где , и  параметры модели Лоренца.

Рисунок 9  Хаотический режим движения зернистого слоя с

выбрасыванием материала за пределы сосуда

Параметры модели Лоренца определяются из выражений:

; ; , (21)

где , , m и n – целые, с – отношение высоты ячейки циркулирующего материала к ее ширине .

Физический смысл переменных, входящих в уравнения системы (20) определяется следующим образом. Переменная х характеризует скорость вращения псевдожидкости в ячейке Бенара, переменная у характеризует изменение скорости воздушного потока по высоте слоя, переменная z характеризует отклонение вертикального профиля скорости воздушного потока от линейной зависимости. Из физического смысла этих переменных следует, что абсолютную скорость движения материала можно получить, сочетая все три переменных одновременно. Параметр есть отношение эффективной кинематической вязкости к коэффициенту , то есть . Если провести аналогию с гидродинамикой, где знаменатель рассмотренного выражения является коэффициентом температуропроводности, то при виброожижении сыпучего материала можно назвать «коэффициентом проводимости скорости воздушного потока» или, наоборот, «коэффициентом затухания скорости воздушного потока». Любая из предложенных формулировок говорит о том, что коэффициент влияет на интенсивность изменения скорости воздуха по высоте слоя материала. Параметр в гидродинамике называют числом Прандтля, мы назовем его вибрационным аналогом числа Прандтля. В главе 2 было рассмотрено условие устойчивости стационарного состояния (4), которое характеризуется числом Рэлея, при определенных критических значениях которого в конвекционных потоках жидкости возникают ячейки Бенара. В классической гидродинамике число Релея записывается следующим образом:

, (22)

где   коэффициент температуропроводности.

Критическое значение числа Релея определяется по формуле:

. (23)

В соответствии с (14) и (22) запишем вибрационный аналог числа Релея:

. (24)

Параметр r, входящий во второе уравнение системы (20) и представленный в (21), есть не что иное, как отношение вибрационного аналога числа Релея к его критическому значению:

. (25)

То есть при значениях в виброожиженном сыпучем материале не должно возникать циркуляционных потоков материала, подобных ячейкам Бенара в жидкости, а при значениях такие ячейки должны появиться. Тогда условие (14) применительно к модели Лоренца можно записать как:

. (26)

Условие (26) показывает, что модель Лоренца учитывает энтропийный подход к определению характера движения вибрируемого зернистого слоя. Кроме того, многими исследователями экспериментально подтверждены факты работоспособности условия (26). В нашей работе также проведен эксперимент, подтверждающий справедливость условия (26). Данное обстоятельство указывает на то, что методы, предлагаемые синергетикой, дают возможность адекватно оценить динамическое состояние вибрируемого зернистого слоя.

Параметр b, входящий в третье уравнение системы (20), определяется размерами возникающих в материале ячеек.

В работах Федоренко И.Я. имелись попытки привести гидродинамическую модель виброожиженного слоя зернистого материала, основанную на использовании уравнения Навье-Стокса, к модели Лоренца. Также были получены три управляющих параметра , и , входящие в модель Лоренца, при которых происходят бифуркационные переходы, подтвержденные экспериментально. Параметры модели Лоренца, полученные в работах Федоренко И.Я. выглядят следующим образом:

, , , (27)

где D – характерный поперечный размер сосуда.

Попробуем несколько уточнить параметры (27), прояснив смысл коэффициента , входящего в выражение для (21).

Сравнивая выражения (21) и (27), можно видеть, что параметр имеет абсолютно одинаковое значение, параметры , и несколько отличаются, но довольно схожи. Для того, чтобы унифицировать параметры и , в выражениях (21) и (27), введем некоторые коэффициенты. Для унификации параметра коэффициент затухания скорости воздушного потока примем равным

. (28)

Выражение (28) не лишено смысла, так как скорость воздушного потока зависит от параметров вибрации и , от высоты слоя и от физико-механических свойств зернистого материала, которые представляет эффективная кинематическая вязкость . Тогда выражение для параметра с учетом (28) будет выглядеть как

или , (29)

где

. (30)

Для определения типа движения сыпучего материала при разработке вибрационной машины необходимо определять параметры модели Лоренца (21), соответствующие конкретной машине и решать систему (20) при полученных значениях этих параметров. Система уравнений (20) допускает только численное решение. Результаты этого решения удобнее всего выводить в графическом виде (рисунок 10).

Решение системы (20) можно получить в любом современном математическом пакете, в нашем случае использовался MATLAB.

а) б) в)

Рисунок 10  Графическое решение системы Лоренца

По построенным графикам (рисунок 10) можно судить о режиме движения материала. Поскольку переменная в системе Лоренца (20) характеризует скорость вращения зернистого материала в ячейке Бенара, то именно по ее величине и можно определить режим движения материала. Так, графики с неподвижной точкой (рисунок 10а) или предельным циклом с короткой траекторией, конечная точка которой лежит вблизи нулевого значения по оси , соответствуют неподвижному режиму с уплотнением материала. Предельный цикл с длинной траекторией (рисунок 10б), конечная точка которой соответствует постоянному по величине и ненулевому значению переменной , говорят о циркуляционном движении материала. Если же на графике отображается странный аттрактор, который показывает постоянно изменяющуюся скорость циркуляции материала, то режим движения является хаотическим (рисунок 10в).

Использование графического представления результатов решения системы Лоренца не очень удобно применять на практике, так как сложно провести границу, скажем, между предельным циклом с короткой либо длинной траекторией или между аттракторами с плотным наложением траекторий или с их широким спектром. Поэтому в математике существует критерий, по которому оценивается степень хаотичности динамической системы. Таким критерием является показатель Ляпунова.

Система Лоренца имеет фазовую размерность равную трем, поэтому для нее вычисляется три показателя Ляпунова ₁, ₂, ₃. Степень хаотичности определяется по знакам показателей Ляпунова следующим образом. Если знаки показателей Ляпунова получаются в виде <�  >, то вид траектории – притягивающая неподвижная точка, <0  >  предельный цикл с короткой траекторией, <0 0 >  предельный цикл с длинной траекторией или аттрактор с плотным наложением траекторий, <+ 0 > - странный аттрактор с широким спектром траекторий.

Таким образом, получив решение уравнений (20) в графическом виде, либо вычислив степень хаотичности этого решения при помощи показателей Ляпунова можно совершенно точно определить тип движения сыпучего материала в конкретной вибрационной машине.
следующая страница >>