Похожие работы
|
Материалы для студентов заочного отделения спбгэту (лэти) Курс «Математический анализ» - страница №1/1
МАТЕРИАЛЫ
для СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ СПбГЭТУ (ЛЭТИ)
Курс «Математический анализ»
Кафедра ВМ-2
Курс 2
Семестр 4
Санкт-Петербург
2007 г
1. ВВЕДЕНИЕ
В программе для курса «Математический анализ» перечислены изучаемые темы, литература, экзаменационные вопросы и варианты контрольных работ по программе 4-го семестра 2-го курса.
2. ПРОГРАММА КУРСА
ИНТЕГРАЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ И ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
-
Двойные интегралы. Условия интегрируемости функций.[1] n588-590; [3] п 7.1, 7.2. Основные свойства интегралов: нормировка, монотонность, аддитивность. [1]- n592-593; [3]- п 7.3. Сведение двойных интегралов к повторным.[1] n594; [3] п 7.4. Формулы замены переменных в двойном интеграле. Полярные координаты. [1] n603; [3] п 7.5. Приложения двойных интегралов. [1] n598; [3] п 7.6.
-
Тройные интегралы: определения и свойства. [1] n642-644; [3] п 8.1. Вычисление тройного интеграла. [1] n645; [3] п 8.2. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты. [1] n655-656; [3] п8.3. Приложения тройного интеграла. [1] n649; [3] п8.6.
-
Криволинейные интегралы первого рода. [1] n543; [3] п 9.1. Свойства и методы их вычисления. [1] n544; [3] п 9.2. Приложения криволинейных интегралов первого рода. [1] n545, 554; [3] п 9.3. Криволинейные интегралы второго рода. [1] n546; [3] п 10.1. Свойства и методы их вычисления. [1] n547; [3] п 10.2. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Формула Грина. [1] n555-558, 601; [3] п 10.3, 10.4. Приложения криволинейных интегралов второго рода. [1] n554; [3] п 10.5.
-
Поверхностные интегралы первого типа. [1] n630; [3] п 11.1. Методы их вычисления. [1] n631; [3] п 11.2. Приложения поверхностных интегралов первого типа. [1] n632; [3] п 11.3. Поверхностные интегралы второго типа. [1] n634; [3] п 12.1. Методы их вычисления. [1] n635; [3] п 12.2. Приложения поверхностных интегралов второго типа. [1] n638; [3] п 12.5. Формула Остроградского – Гаусса. Формула Стокса. [1] n639, 651; [3] п 12.3, 12.4.
-
Основные понятия и формулы векторного анализа. Скалярные и векторные поля. [1] n664, 665; [3] п24.1, 25.1. Градиент функции нескольких переменных, поток вектора через поверхность, дивергенция векторного поля, циркуляция векторного поля,. потенциал векторного поля, ротор векторного поля. [1] n666 - 669; [3] п 24.3, 25.2 – 25.5. Основные классы векторных полей. [1] n670; [3] п 27.1, 27.2.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
-
Функции комплексной переменной (ФКП): предел, непрерывность, производная, ее геометрический смысл. [6]- §3,5, [3] п 28.1, 28.2. Условия Коши - Римана существования производной ФКП. [6] §6,8, [3] п 28.4, 28.5. Интеграл от ФКП. Теорема Коши. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Интегральная формула Коши. [6] §15 - 18, [3] п 29.1 - 29.3. Ряды с комплексными членами. Разложение аналитической ФКП в ряд Тейлора. Ряд Лорана.[6] §22, §25, [3] п 30.2 -30.5. Классификация особых точек. Вычеты: определение, методы вычисления. [6] §26,27, [3] п 30.6, п 31.1, 31.2. Вычисление интегралов при помощи вычетов. [6] §28; [3] п 31.2.
3. ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
-
Г.М Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т.3 М.: Физматлит, 2001.
-
Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Ч.3 М.: Дрофа, 2003.
-
Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Ч.2 И 3. М.: Айрис-пресс, 2004.
-
Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. Под редакцией А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. М.,"Наука", 1986.
-
Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Тома 1, 2.
-
В. Я. Эйдерман. Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления. М., Физматлит, 2002
4. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
-
Двойные интегралы. Определение двойного интеграла, как предела интегральных сумм.
-
Геометрический и физический смысл двойного интеграла..
-
Основные свойства двойного интеграла: нормировка, монотонность, аддитивность.
-
Сведение двойного интеграла к повторному.
-
Формула замены переменной в двойном интеграле.
-
Двойной интеграл в полярных координатах.
-
Приложения двойного интеграла.
-
Тройной интеграл и его свойства: нормировка, монотонность, аддитивность.
-
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
-
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
-
Приложения тройных интегралов.
-
Криволинейные интегралы первого рода. Методы их вычисления. Приложения криволинейных интегралов первого рода.
-
Криволинейные интегралы второго рода. Методы их вычисления. Приложения криволинейных интегралов второго рода.
-
Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Формула Грина.
-
Поверхностные интегралы первого типа. Методы их вычисления. Приложения поверхностных интегралов первого типа.
-
Поверхностные интегралы второго типа. Методы их вычисления. Приложения поверхностных интегралов второго типа
-
Формула Остроградского – Гаусса. Формула Стокса.
-
Скалярное и векторное поля. Градиент скалярного поля.
-
Поток вектора через поверхность. Дивергенция. векторного поля.
-
Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля.
-
Основные классы векторных полей.
-
Функции комплексной переменной: предел, непрерывность.
-
Основные элементарные функции комплексного переменного.
-
Производная и дифференциал функции комплексной переменной. Условия Коши- Римана.
-
Интеграл от функции комплексной переменной.
-
Теорема Коши.
-
Неопределенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.
-
Интегральная формула Коши.
-
Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
-
Ряд Лорана.
-
Классификация особых точек.
-
Определение вычета. Методы вычисления вычетов (в простых и кратных полюсах).
-
Теорема о вычетах.
-
Вычисление интегралов при помощи вычетов.
Контрольные работы.
Вариант №1
Контрольная работа №1
-
Вычислите, перейдя к полярным координатам, , где область D ограничена линиями:. Сделайте рисунок.
-
Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: . Сделайте рисунок.
-
Вычислите, перейдя к цилиндрическим координатам , где область ограничена линиями: .
-
Вычислите криволинейный интеграл , где L – отрезок прямой от точки А(0;-2) до точки В(4;0).
-
Вычислите криволинейный интеграл , где L первый виток винтовой линии x=cost; y=sint; z=t.
-
Вычислите поверхностный интеграл , где S-часть плоскости , заключенной в первом октанте.
-
Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность, образованную поверхностями:
Контрольная работа №2
-
Найдите геометрическое место точек, изображающих на комплексной плоскости числа z, удовлетворяющих системе неравенств .
-
Найдите аналитическую функцию f(z), если задана ее действительная часть Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. и .
-
Вычислите Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.
-
Вычислите , где l – прямолинейный отрезок, соединяющий точки и .
-
Вычислите , где АВ – часть параболы от точки до точки .
-
Вычислите .
-
Вычислите .
Вариант №2
Контрольная работа №1
-
Вычислите, перейдя к полярным координатам, , где область D ограничена линиями:. Сделайте рисунок.
-
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделайте рисунок.
-
Вычислите, перейдя к цилиндрическим координатам, , где область ограничена линиями: .
-
Вычислите криволинейный интеграл , где L –часть параболы от точки А(0;0) до точки В(2;4).
-
Вычислите криволинейный интеграл Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования., где L – часть кривой от точки А(0;0;0) до точки В(1;1;1).
-
Вычислите поверхностный интеграл , где S - часть плоскости , заключенной в первом октанте.
-
Вычислите по формуле Остроградского - Гаусса поток векторного поля через замкнутую поверхность, образованную поверхностями:
Контрольная работа №2
-
Найдите геометрическое место точек на комплексной плоскости, изображающих числа z, удовлетворяющие системе неравенств .
-
Найдите аналитическую функцию f(z), если задана ее мнимая часть и .
-
Вычислите
-
Вычислите , где l – прямолинейный отрезок, соединяющий точки и .
-
Найдите , где АВ –отрезок прямой от точки до точки .
-
Вычислите .
-
Вычислите Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования..
7
|