МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕРМОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН

А.Н. Андреев

Кемеровский государственный университет, 650043, г. Кемерово, Россия

В последние десятилетия теория термоупругости получила существенное развитие в связи с важными проблемами, возникающими при проектировании ответственных инженерных конструкций и сооружений современной техники. В различных ее областях – авиационной, ракетной, судостроительной, энергетическом и химическом машиностроении и т.д. - широко используются тонкостенные элементы конструкций типа слоистых композитных оболочек и пластин. Во многих случаях - в энергетических установках, реактивных двигателях аэрокосмической техники и т.д. - такие несущие тонкостенные элементы работают в условиях высокотемпературного неравномерного нестационарного нагрева, приводящего к возникновению тепловых напряжений, знание величины и характера которых необходимо для всестороннего анализа несущей способности конструкции. Тепловые напряжения, как сами по себе, так и в сочетании с механическими напряжениями от внешних сил, могут вызвать появление трещин в элементах конструкций из хрупких материалов, возникновение и развитие пластических деформаций, ведущих к полному или прогрессирующему разрушению композитных тонкостенных конструкций, их термовыпучивание. В ряде случаев – неравномерный нагрев, сложная структура армирования оболочки и т.д. - теория температурных напряжений недостаточна для адекватного описания полей ее деформаций и температур. Учет взаимного влияния этих полей [2 - 6] и корректный расчет их характеристик возможен лишь на основе дифференциальных уравнений связанной задачи термоупругости. Отметим также специфические особенности оболочек из композитных материалов – резко выраженную анизотропию их деформативных свойств, ослабленное сопротивление поперечным деформациям, существенное различие механических и теплофизических характеристик слоев. Эти факторы имеют принципиальное значение [1, 2] при определении полей напряжений тонкостенных слоистых элементов конструкций и их корректный учет требует привлечения неклассических уравнений механики оболочек.

Таким образом, разработка математической модели, адекватно описывающей процесс термоупругого деформирования слоистых композитных оболочек и пластин, является актуальной и сложной задачей механики деформируемого твердого тела. Построение уравнений такой модели требует разрешения ряда вопросов, а именно:

- разработки методики определения интегральных коэффициентов теплопроводности армированного слоя и построения эффективных определяющих уравнений его термоупругого поведения;

- разработки неклассической модели деформирования слоистой оболочки и нелинейной модели распределения теплового потока по толщине оболочки, позволяющих учесть поперечные сдвиговые деформации, обеспечить условия механического и теплового сопряжения слоев и условия термомеханического нагружения на лицевых поверхностях оболочки;

- построения замкнутой системы дифференциальных уравнений и соответствующих им краевых и начальных условий связанной задачи термоупругого деформирования слоистой композитной оболочки.

 А.Н. Андреев, 2013

Рассмотрению этих вопросов посвящены материалы данной работы. В первом ее разделе представлена структурная модель термоупругого поведения однонаправлено армированного слоя. На основе весьма общих допущений о структуре композита и термомеханическом поведении его элементов разработаны методики определения компонент тензора интегральных коэффициентов теплопроводности армированного слоя и компонент тензоров эффективных тангенциальных поперечных упругих жесткостей, температурных жесткостей . Указанные величины представлены в виде функций механических, теплофизических характеристик элементов субструктуры, структурных параметров армирования.

Во втором разделе приведена замкнутая система дифференциальных уравнений связанной пространственной задачи термоупругости для анизотропного тела, включающая в себя следующие группы зависимостей [4]:

- закон Дюамеля – Неймана

(1)

- закон сохранения энергии

(2)

(точка – знак частного дифференцирования по времени );

_{- линейный закон Фурье для анизотропной среды}

(3)

_{- зависимость между энтропией, деформациями и приращением температуры}

(4)

_{- обобщенное уравнение теплопроводности}

(5)

_{- уравнения движения сплошной среды}

(6)

- соотношения деформации – перемещения

(7)

Формулируются также начальные и краевые условия

(8)

(9)

В (9) - вектор единичной внешней нормали к поверхности ограничивающей трехмерное термоупругое тело и - части этой поверхности, на которых заданы перемещения и напряжения соответственно, причем Аналогично, и - части поверхности на которых заданы температура и плотность теплового потока соответственно, причем Отметим еще, что из (7), (8) можно вычислить поле начальных деформаций

Зависимости (1) – (9) составляют полную систему дифференциальных уравнений связанной задачи термоупругости трехмерного анизотропного тела и соответствующих им начальных и краевых условий, путем применения к которым преобразования Лапласа получены дифференциальные уравнения и соответствующие им краевые условия в изображениях по Лапласу (последние отмечены звездочками). Построен функционал [2]

(10)

условия стационарности которого заключают в себе как дифференциальные уравнения связанной задачи термоупругого деформирования в изображениях, так и соответствующие им естественные краевые условия.

Уравнения связанной задачи термоупругого деформирования слоистых композитных оболочек и пластин строятся на основе следующих законов распределения компонент вектора перемещений и тензора деформаций по толщине слоистого пакета [1]:

(11)

и закона распределения температуры [2, 3]:

(12)

позволяющих учесть поперечные сдвиговые деформации, удовлетворить кинематическим, силовым и тепловым условиям контакта слоев и условиям на лицевых поверхностях оболочки. В (12) - порядковый номер слоя, независимая характеристика, учитывающая отклонение поля температур от линейного закона, заданная непрерывно дифференцируемая функция [2, 3 ] такая, что



- поперечная компонента тензора теплопроводности - го слоя. Законы (11), (12) остаются справедливыми и для изображений по Лапласу компонент вектора перемещений, тензора деформаций, температуры.

Подставив (11), (12) в (10), выполнив интегрирование по поперечной координате, потребовав обращения в нуль вариации функционала и возвращаясь от изображений к оригиналам, приходим [2] к системе дифференциальных уравнений связанной задачи термоупругого деформирования слоистой композитной оболочки





(13)




(14)

и к соответствующей ей системе граничных условий, требующей задания в каждой точке контура значений семи величин, альтернативно выбираемых из следующих семи пар:

(15)




Начальные условия для системы дифференциальных уравнений (13), (14) имеют вид

(16)

Сопряжение полей деформаций и температур в (14) осуществляется подчеркнутыми слагаемыми. Обсуждаются предельные переходы к уравнениям теории температурных напряжений, к уравнениям квазистатической задачи и т.д.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость, колебания. – Новосибирск: Наука, 2001.
   
2. 
   Андреев А.Н. Упругость и термоупругость слоистых композитных оболочек: математическая модель и некоторые аспекты численного анализа. – Saarbrucken: Palmarium Academic Publishing, 2013 г.
   
3. 
   Андреев А.Н. Уравнения термоупругого деформирования многослойной композитной оболочки// Динамика сплошной среды. Сб. науч. тр./ Ин-т гидродинамики. СО РАН. –Новосибирск, 2012.- Вып. 127. Механика структурно неоднородных сред
   
4. 
   Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. – М: Мир, 1970.
   
5. 
   Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. – Киев: Наукова думка, 1976.
   
6. 
   Коваленко А.Д. Термоупругость. – Киев: Вища школа, 1975.