Математическая модель фазового перехода для четырехслойной среды - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Вальковского Михаила Викторовича «Модель Изинга фазового перехода... 1 21.53kb.
Об использовании фазового перехода металл-полупроводник оксидов металлов... 1 27.53kb.
Математическая модель надежности объекта 1 60.29kb.
Математическая модель и алгоритм управления качеством в кластерных... 1 111.42kb.
Модель многокомпонентной среды для численного моделирования процессов... 1 19.12kb.
Математическая модель термоупругого деформирования слоистых композитных... 1 59.6kb.
Математическая модель 1 206.94kb.
Физико-математическая модель стационарных процессов горения горючей... 1 109.03kb.
Среды (водная, воздушная, климатическая, акустическая) 1 92.07kb.
Математическая модель барабанной перепонки 1 59.12kb.
Хархурина Анна Олеговна студент группы эп-м-10 1 67.94kb.
Статистическая физика и термодинамика осень 2010-12-10 1 29.84kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Математическая модель фазового перехода для четырехслойной среды - страница №1/1

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА ДЛЯ ЧЕТЫРЕХСЛОЙНОЙ СРЕДЫ

К.Ю. Суковатов

Институт водных и экологических проблем СО РАН, Барнаул
MATHEMATICAL MODEL OF PHASE TRANSFER IN FOUR-LAYER MEDIUM

K.Y. Sukovatov

Institution for water and environmental problems SB RAS, Barnaul
Usage of parabolic nonlinear equation of heat transfer permit to model the process of heat transfer with finite speed. In most cases it is impossible to obtain analytical solution of system of nonlinear partial differential equations. It is known that there is a connection between linear hyperbolic and nonlinear parabolic operators of heat transfer. This connection allows to obtain solutions of nonlinear parabolic equation of heat transfer by solving the linear hyperbolic equation of heat transfer with constant coefficient. Analytical solutions of nonlinear heat transfer equations for Stefan problem were obtained.
Введение

Несмотря на то, что теория теплопроводности развивается достаточно давно, в ней до сих пор существуют трудности фундаментального характера. Известно о существовании парадоксов в классической теории теплопроводности [1-4], в частности о том, что в рамках этой теории температурная неоднородность среды распространяется с бесконечной скоростью. Долгое время господствовало мнение о том, что множество явлений переноса тепла может быть описано с использованием линейного уравнения теплопроводности параболического типа при наличии широкого спектра начальных и граничных условий. Немецкий физик Риман в своей работе [5] показал, что температурное поле следует характеризовать видом изотермических поверхностей или операторов теплопроводности.

Для устранения парадокса о бесконечной скорости распространения тепла использовались разные подходы [6-8]: вводилась гипотеза о релаксации теплового потока, использовались нелинейные операторы теплопроводности с коэффициентами температуропроводности, зависящими от температуры.

В настоящей работе рассмотрена модель промерзания почвы под снегом представляющая собой систему нелинейных уравнений теплопроводности и на основе связи между нелинейным параболическим и линейным гиперболическим операторами теплопроводности получены совместные аналитические решения.


Постановка задачи

Математическая формулировка классической задачи Стефана о промерзании почвы под снегом с учетом зависимости тепловых характеристик снежного покрова от температуры является следующей. Запишем систему уравнений теплопроводности для четырехслойной среды (снег, мерзлая, промерзающая и талая почва) с условиями баланса тепла и неразрывности температур на границах между зонами:


(1)

(2)

(3)

(4)

где - температуры снега, мерзлой, промерзающей и талой почв соответственно, z – глубина, t – время, - глубина промерзания.

Предполагается, что коэффициенты температуропроводности снега и промерзающей почвы, а также почвы в мерзлом и талом состоянии зависят от температуры. Существуют различные формулы, позволяющие выражать коэффициент температуропроводности через температуру, влажность и коэффициент теплопроводности среды. В настоящей работе предполагается, что - коэффициент температуропроводности среды функционально зависит от температуры среды и от постоянного коэффициента теплопроводности среды как от параметра.
(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)
Связь между операторами теплопроводности

В общем случае аналитическое решение системы уравнений, в которую входят нелинейные уравнения теплопроводности получить невозможно. Однако такие решения могут быть получены при использовании некоторых упрощающих предположений.

Рассмотрим нелинейное уравнение теплопроводности параболического типа
(11)
и сопоставим его волновые решения с волновыми решениями уравнения теплопроводности гиперболического типа
(12)
которое описывает распространение тепловых волн без диссипации.

Для нахождения волновых решений необходимо перейти к волновой переменной в уравнении параболического типа.


(13)
Формулы перехода будут иметь вид:
(14)

(15)
Далее будем предполагать, что .
(16)

, (17)

(18)
Уравнение (16) должно быть либо алгебраическим, либо обыкновенным дифференциальным. Чтобы уравнение (16) стало алгебраическим можно использовать следующую подстановку.
, , (19)
Решение этой системы имеет вид:





После подстановки полученных соотношений,


Решение для прямой волны имеет вид:
. (20)
Решение для обратной волны имеет вид:
. (21)
Используя найденные решения можно получить нелинейные алгебраические уравнения для определения параметра в классической формуле, определяющей скорость промерзания почвы для различных случаев.
Вывод

Таким образом, если волновое уравнение (12) имеет решения в форме (20), (21), то они определяют класс незатухающих волновых решений нелинейного уравнения теплопроводности (11). Очевидно, что линейное волновое уравнение теплопроводности допускает принцип суперпозиции, в отличие от нелинейного уравнения параболического типа. Поэтому, используя комбинации решений (20) и (21) с различными значениями параметров можно получать решения нелинейного уравнения теплопроводности представляющие собой суперпозицию двух функций.



Понятно, что автомодельное решение получено при большом количестве упрощающих предположений. Однако существующие экспериментальные данные свидетельствуют в пользу того, что закон изменения температуры почвы имеет волновой характер. По этой причине, несмотря на то, что автомодельные решения уравнения теплопроводности являются довольно частным случаем, решения волнового уравнения даже в таком приближении, по крайней мере, качественно могут соответствовать экспериментальным данным. Кроме того, используя аналогичный подход, могут быть получены более сложные и содержательные с физической точки зрения волновые решения уравнения теплопроводности.
Список литературы

  1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967 г.

  2. Планк М. введение в теоретическую физику (часть пятая, теория теплоты). М.; Л.: Изд-во НКТП СССР, 1935 г.

  3. Baumeister K.J. Hamill T.D. // J. Of Heat Transfer. 1969. Vol. 91, N 4. P. 543-548.

  4. Bubnov V.A. // Int. J. Heat Mass Transfer. 1976. Vol. 19, N 1. P. 175-184.

  5. Риман Б. Математическое сочинение, в котором содержится попытка дать ответ на вопрос, предложенный знаменитейшей Парижской Академией: Соч. М.; Л.: Гос. Техн.-теор. Изд-во, 1948 г.

  6. Vernotte P. // Computes Rendus. 1958. Vol. 246, N 22. P. 3154-3155.

  7. Лыков А.В. Теплопроводность и диффузия. М.: Гизлегпром, 1941 г.

  8. Cattaneo C. // Computes Rendus. 1958. Vol. 247, N 4. P. 431-433.