Линейная алгебра

Наименование дисциплины: Линейная алгебра

Направление подготовки: 010200 Математика и компьютерные науки

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

Автор: д-р физ.-мат. наук, профессор, зав.кафедрой алгебры и математической логики Л.С.Казарин.

1. Целью изучения дисциплины «Линейная алгебра» является обеспечение фундаментальной подготовки в одной из основных областей современной математики, освоение языка и методов одного из наиболее мощных инструментов современной математики. Курс лежит в основе большей части численных методов алгебры, имеющих применение во многих областях естествознания. Его главной задачей является обучение основным методам решения алгебраических задач, ознакомление с историей развития линейной алгебры и вкладом в неё российских математиков.

Основная задача дисциплины – научить студентов пониманию языка линейной алгебры, воспитанию культуры вычислений с помощью матричной алгебры, умениям применять основной аппарат линейной алгебры в различном контексте, в том числе в полях положительной характеристики. Вместе с тем предполагается более глубокое освоение геометрических методов, лежащих в основе математической интуиции, скрепляющей содержание курса и являющейся базой для дальнейшего развития содержания дисциплины в специальных курсах.

2. Дисциплина входит в базовую часть цикла Б3.Б5профессиональных дисциплин.

Дисциплина «Линейная алгебра» – одна из основных дисциплин цикла «Общепрофессиональные дисциплины» Учебного плана по специальности «Математика и компьютерные науки». Она обеспечивает приобретение знаний в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов, содействует фундаментализации математического образования, формированию научного мировоззрения, логического мышления.

Она относится к числу основных разделов современной математики. Знание основ дисциплины является важной составляющей общей математической культуры выпускника. Знания дисциплины нужны как при проведении теоретических исследований в области математики и ее приложений, так и при решении практических задач в информатике, программировании, математической экономики, математической лингвистике, обработке сигналов и изображений, дифференциальных уравнений, криптографии. Для понимания необходимы лишь знание модуля «Алгебра» и знаний и умений, приобретенных в результате освоения школьного курса математики.

3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:

основные свойства линейных алгебраических структур;

основы теории линейных операторов, их спектральные характеристики;

линейное векторное пространство, сопряжённое пространство;

классификацию билинейных форм;

классификацию квадрик в аффинном и проективном пространствах;

метрические характеристики пространств, эрмитово и евклидово пространства.
Уметь:

решать задачи с помощью методов линейной алгебры;

находить канонический вид линейного оператора, в частности, Жорданову нормальную форму;

находить канонический вид матрицы билинейной формы, применять классификацию квадрик, в частности, распознавать свойства квадрики по её уравнению;

работать с понятиями факторпространства, ядра и образа оператора, фактороператора;

Владеть:

математическим аппаратом линейной алгебры, методами доказательств утверждений в этой области, основными алгоритмами линейной алгебры, навыками исследования основных моделей линейной алгебры.

4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 288 часов.

5. Содержание дисциплины:

№ п/п	Раздел дисциплины
1	Предмет и методы линейной алгебры. Некоторые проблемы. Краткий исторический очерк. Основные периоды развития линейной алгебры. Группы и геометрии. Программа Ф. Клейна. Место алгебры в системе математического знания. Алгоритмические вопросы линейной алгебры
2	Пространства и формы Векторные пространства. Определения. Примеры векторных пространств. Геометрическая интерпретация. Линейные оболочки.
3	Подпространства. Размерность векторного пространства и базис. Координаты. Изоморфизм линейных векторных пространств.
4	Сумма и пересечение подпространств. Размерность прямой суммы. Факторпространства
5	Линейные функционалы Линейные функционалы. Двойственное пространство и двойственный базис.
6	Рефлексивность. Пространство решений однородной системы линейных уравнений и линейные функционалы.
7	Полилинейные отображения. Билинейные формы. Задание билинейных отображений матрицами.
8	Связь между матрицами билинейного отображения в различных базисах. Симметрическая и кососимметрическая билинейные формы
9	Квадратичные формы. Полярная билинейная форма. Приведение симметрической квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
10	Закон инерции квадратичных форм. Метод Якоби приведения невырожденной квадратичной формы к каноническому виду. Вещественные квадратичные формы. Положительно определённые квадратичные формы и матрицы. Критерий Сильвестра.
11	Кососимметрические квадратичные формы. Их классификация. Пфаффиан
12	Линейные отображения и действия над ними Линейные отображения и их матрицы. Ядро и образ линейного отображения. Определение и примеры линейных операторов. Размерность пространства линейных отображений одного пространства в другое.
13	Алгебра линейных операторов. Матрица линейного отображения в разных базисах
14	Ранг линейного оператора. Подобие матриц. Определитель и след линейного оператора. Критерии невырожденности линейного оператора.
15	Инвариантные подпространства. Примеры. Характеристический многочлен. Собственные векторы. Проблема собственных значений. Критерий диагонализируемости матрицы линейного оператора
16	Каноническая форма матрицы линейного оператора. Понятие о теореме Гамильтона-Кэли (частные случаи). Фактороператор и факторпространство. Теорема о треугольной форме.
17	Нильпотентный оператор. Теорема о представлении оператора в виде суммы нильпотентного и невырожденного. Теорема Гамильтона-Кэли (общий случай). Теорема о существовании жордановой нормальной формы для нильпотентного оператора Жорданова нормальная форма. Жорданова клетка. Корневые подпространства. Существование разложения в сумму корневых подпространств. Теорема о жордановой нормальной форме. Алгоритм нахождения жордановой нормальной формы. Форма Фробениуса. Размерность пространства F[A]. Другие подходы к жордановой нормальной форме.
18	Алгоритм нахождения жордановой нормальной формы. Форма Фробениуса. Размерность пространства F[A]. Другие подходы к жордановой нормальной форме
19	Векторные пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства Основные метрические понятия. Неравенство Коши-Буняковского. Его следствия. Теорема о существовании ортонормированного базиса.
20	Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Изоморфизм евклидовых пространств. Ортонормированные базисы и орто-нормированные матрицы. Симплектические пространства
21	Эрмитовы пространства и формы. Метрические соотношения. Ортогональность. Унитарные матрицы. Нормированные векторные пространства
22	Сопряжённый оператор. Линейность оператора, сопряжённого к линейному. Свойства операции сопряжения. Матрица сопряжённого и самосопряжённого оператора. Критерий равенства операторов на языке скалярных произведений.
23	Важные специальные классы линейных операторов и их приложения. Теорема о каноническом виде матрицы самосопряжённого оператора.
24	Приведение квадратичной формы к главным осям. Матричная формулировка. Нормальный оператор. Канонический вид изометрий.
25	Спектральная теорема для нормального оператора. Теорема о разложении невырожденного оператора в произведение положительно определённого и ортогонального
26	Комплексификация и овеществление. Введение комплексной структуры на вещественном пространстве (комплексификация). Овеществление
27	Норма оператора. Свойства нормы. Связь между различными нормами. Ограниченность линейного оператора на конечномерном векторном пространстве. Функции от матриц и операторов
28	Аффинные и евклидовы точечные пространства Общие свойства. Определение аффинного пространства. Примеры. Изоморфизм аффинных пространств. Координаты. Аффинные подпространства.
29	Барицентрические координаты. Аффинно-линейные функции и системы линейных уравнений. Параметрическое задание плоскости. Взаимное расположение плоскостей
30	Евклидовы точечные пространства. Евклидова метрика. Расстояния и углы. Теорема Пифагора. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между плоскостями. Случай един-ственности перпендикуляра. Расстояние от точки до плоскости.
31	Объём параллелепипеда. Индефинитная метрика. Псевдоевклидовы пространства. Группа Лоренца. Аффинная группа. Группа изометрий.
32	Выпуклое множество. Теорема о выпуклой оболочке. Максимум линейной функции на выпуклом многограннике. Задача линейного программирования. Идея Левина-Хачияна
33	Квадратичные функции на аффинном пространстве. Центральные точки для квадратичной функции. Приведение квадратичной функции к каноническому виду. Квадратичные функции на евклидовом пространстве.
34	Квадрики. Центр квадрики. Канонические уравнения квадрик. Квадрики в евклидовом пространстве.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература:
1.Кострикин А.И. Введение в алгебру. Линейная алгебра. М.: Физико-математическая литература, 2000, 2004.

2.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984,2002,2003.

б) дополнительная литература:
1.Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999.

2.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.-- 5-е изд. М.: Наука, 1998

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

4.Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1956.

5.Сборник задач по алгебре./Под редакцией А.И. Кострикина. М: Факториал, 1995.

6.Фаддеев Д.К, Соминский И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М: Наука, 1987.

7. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Мир , 1970.

8.Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.

9.Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М.: Наука, 1991.

10.Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980.

11.Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика /под ред. Л.С. Казарина. М: Мир, 1999.

12.Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М: Наука, 1984.

13.Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.

14.Халмош П.Р. Конечномерные векторные пространства. М.: Мир, 1970.

15.Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. М.: Наука, 1956.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы

http://mech.math.msu.su/department/algebra

Квадрики. Центр квадрики. Канонические уравнения квадрик. Квадрики в евклидовом пространстве.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы