Похожие работы
|
Линейная алгебра - страница №1/1
Часть 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
-
Операции над матрицами и их свойства.
-
Приведение матрицы к ступенчатому виду. Приведение к диагональному виду.
-
Перестановки, транспозиции, четность.
-
Определитель и его свойства как функции столбцов (строк).
-
Определитель транспонированной матрицы.
-
Определитель произведения матриц.
-
Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
-
Невырожденные матрицы. Обратные матрицы. Критерий обратимости матрицы.
-
Явный вид обратной матрицы.
-
Линейное пространство. Определение и примеры. Арифметическое пространство.
-
Линейная зависимость в линейном пространстве.
-
Базис и размерность линейного пространства.
-
Переход к другому базису, матрица перехода.
-
Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
-
Ранг матрицы и линейная зависимость строк и столбцов.
-
Ранг произведения матриц. Ранг матрицы и элементарные преобразования.
-
Эквивалентные матрицы. Критерий эквивалентности.
-
Системы линейных алгебраических уравнений. Эквивалентность систем. Элементарные преобразования систем.
-
Системы с невырожденной матрицей. Правило Крамера.
-
Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. Критерий единственности решения.
-
Метод Гаусса исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений. Число арифметических операций в методе Гаусса.
-
Линейное подпространство. Геометрические свойства множества решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений.
-
Линейное многообразие. Геометрические свойства множества решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Общее решение.
Часть 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
-
Направленные отрезки. Свободный вектор.
-
Линейные операции над векторами. Координаты вектора.
-
Проекции вектора. Свойства линейности проекций.
-
Линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные векторы.
-
Аффинная система координат. Преобразование координат.
-
Преобразования прямоугольных декартовых систем координат и ортогональные матрицы.
-
Скалярное произведение геометрических векторов. Скалярное произведение в прямоугольных декартовых координатах.
-
Векторное произведение векторов.
-
Смешанное произведение векторов.
-
Векторное и смешанное произведения в прямоугольных декартовых координатах.
-
Алгебраические линии и поверхности. Инвариантность порядка линии (поверхности).
-
Параметрические уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве.
-
Общее уравнение прямой на плоскости в аффинной системе координат. Критерий параллельности вектора прямой.
-
Общее уравнение плоскости в пространстве в аффинной системе координат. Критерий параллельности вектора плоскости.
-
Взаимное расположение двух прямых на плоскости и плоскостей в пространстве.
-
Пучок прямых на плоскости и плоскостей в пространстве.
-
Полуплоскости и полупространства.
-
Уравнения прямой в пространстве.
-
Взаимное расположение прямых в пространстве.
-
Метрические задачи на прямую и плоскость в прямоугольных координатах.
-
Общее уравнение линии второго порядка на плоскости. Матричная запись общего уравнения и его квадратичной части.
-
Приведенные уравнения линии второго порядка на плоскости. Метод вращений.
-
Классификация линий второго порядка на плоскости.
-
Эллипс. Фокусы и директрисы.
-
Гипербола. Фокусы и директрисы.
-
Парабола. Фокусы и директрисы.
-
Общее уравнение поверхности второго порядка в пространстве. Матричная запись общего уравнения и его квадратичной части.
-
Приведенные уравнения поверхности второго порядка. Метод вращений.
-
Классификация поверхностей второго порядка. Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, конус и цилиндрические поверхности.
-
Прямолинейные образующие алгебраических поверхностей второго порядка.
Часть 3. ОБЩАЯ АЛГЕБРА
-
Декартово произведение множеств и бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Фактор-множество.
-
Отображения. Обратное отображение.
-
Алгебраические операции. Ассоциативность и скобки.
-
Группы. Основные свойства.
-
Подгруппы. Симметрическая и знакопеременная группы.
-
Группа невырожденных матриц. Группа невырожденных треугольных матриц. Группа ортогональных матриц.
-
Конечные группы. Теорема Лагранжа.
-
Степени элемента. Циклические группы. Подгруппы циклической группы.
-
Подгруппы, смежные классы, нормальные делители.
-
Изоморфизм групп.
-
Гомоморфизм групп.
-
Кольцо.
-
Поле. Характеристика поля. Алгебраическое расширение поля.
-
Кольцо вычетов. Поле вычетов по простому модулю.
-
Линейное пространство над полем. Число элементов в конечном поле.
-
Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость.
-
Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент произведения комплексных чисел.
-
Возведение в степень комплексного числа. Формула Муавра.
-
Извлечение корня из комплексного числа.
-
Группа корней из единицы. Первообразные корни.
-
Кольцо многочленов. Деление с остатком.
-
Наибольший общий делитель, его свойства. Алгоритм Евклида.
-
Значения многочлена и корни. Теорема Безу.
-
Многочлены как формальные выражения и как функции. Эквивалентность двух определений равенства многочленов.
-
Основная теорема алгебры. Разложение многочленов на линейные множители.
-
Каноническое разложение многочленов над полем комплексных чисел. Кратность корня.
-
Каноническое разложение многочленов над полем вещественных чисел.
-
Формулы Виета. Симметрические многочлены.
|