Лекция Понятия множества и элементы множества. Способы задания множеств

Лекция 3. Математические понятия. Объем и содержание понятий. Определение понятий.

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла и др. Различают свойства существенные и несущественные.

Существенное свойство - свойство, без которого объект не может существовать.

Несущественное свойство - свойство, отсутствие которого не влияет на существование объекта.

Для квадрата: АВСД существенные свойства: АВ = ВС = СД =ДА, АВ║ ДС, АД ║ ВС;

несущественные свойства: АВ, ДС - горизонтальны, АД, ВС - вер-тикальны.

Если квадрат повернуть, сохранятся только существенные свойства, именно они и составляют понятие об объекте.

Рассмотрим пример для дошкольников, используя наглядный материал

Диалог:

- Опиши фигуру.

- Маленький черный треугольник.

- Большой белый треугольник.

- Чем фигуры похожи?

- Формой.

- Чем фигуры отличаются?

- Цветом, величиной.

- Что есть у треугольника?

- 3 стороны, 3 угла.

Таким образом, дети выясняют существенные и несущественные свойства понятия "треугольник". Существенные свойства - "иметь три стороны и три угла", несущественные свойства - цвет и размеры.

Совокупность всех существеннных свойств объекта называют содер-жанием понятия.

Совокупность всех объектов, обозначаемая одним термином, составляет объем понятия.

Например, содержание понятия «квадрат» - это совокупность всех существенных свойств, которыми обладают квадраты, а в объем этого понятия входят квадраты различных размеров.

Итак, любое понятие характеризуется:

- термином (название);

- объемом (совокупность всех объектов, называемых этим термином);

- содержанием (совокупность всех существенных свойств объектов, входящих в объем понятия).

Между объемом понятия и его содержанием существует связь: чем "больше" объем понятия, тем "меньше" его содержание, и наоборот. Объем понятия «треугольник» "больше", чем объем понятия "прямоугольный треугольник", так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия "треугольник" "меньше", чем содержание понятия "прямоугольный треугольник", так как прямоугольный треугольник обладает всеми свойствами любого треугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользуются, когда понятию дают определение.

Определение понятия – это логическая операция, которая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина. Определение понятия позволяет отличать определяемые объекты от других объектов. Так, например, определение понятия "прямоугольный треугольник" позволяет отличить его от других треугольников.

Различают явные и неявные определения. Явные определения имеют форму равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым другое определяющим.

Например: "Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны". Здесь определяемое понятие – «квадрат», а определяющее - "прямоугольник, у которого все стороны равны".

Самый распространенный вид явных определений - это определение через род и видовое отличие. Приведенное выше определение квадрата относится к таким определениям. Действительно, понятие "прямоугольник", содержащееся в определяющем понятии, является ближайшим родовым понятием по отношению к понятию "квадрат", а свойство "иметь все равные стороны" позволяет из всех прямоугольников выделить один из видов - квадраты.

Следует иметь в виду, что понятия рода и вида относительны. Так, "прямоугольник" – это родовое к понятию "квадрат", но видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Кроме того, для одного понятия могут существовать несколько родовых. Например, для квадрата родовыми являются ромб, четырехугольник, многоугольник, геометрическая фигура. В определении через род и видовое отличие для определяемого понятия принято называть ближайшее родовое понятие.

Таким образом, определение через род и видовое отличие имеет следующую структуру:

Определяемое = Род + Видовое

К явным определениям предъявляются определенные требования.

1) Определение должно быть соразмерным. Например, нельзя говорить, что окружность – это линия, которая начинается и кончается в одной точке. Этому определению удовлетворяют много линий, не являющихся окружностями.

2) В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Это означает, что нельзя определять понятие через само себя. Например, содержит порочный круг определение: «Касательная к окружности – это прямая, которая касается окружности».

3) Определение должно быть ясным и минимальным. Нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено. В определении не должно быть лишних свойств. Например, неправильным будет определение: «Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны». Равенство сторон в определении не нужно указывать, так как оно вытекает из свойств параллелограмма.

Существуют неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее понятия. Среди них выделяют контекстуальные и остенсивные определения.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Например, в начальной школе понятие уравнения можно ввести так: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х (икс): х + 6 = 15 – это уравнение. Решить уравнение – значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9 + 6 = 15».

Остенсивные определения – это определения путем показа. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:

3·8 > 2·8 5·8 = 40

65 + 9 < 82 – 5 6·8 = 5·8 + 8

48 : 8 < 48 18 : 9 = 16 – 14

Это неравенства. Это равенства.

Контекстуальные и остенсивные определения используются на ранних стадиях изучения предмета, когда обучаемые не обладают достаточными теоретическими знаниями.

П р и м е р 1. Назовите несколько свойств, принадлежащих содержанию понятия «треугольник». Принадлежит ли содержанию этого понятия свойство «иметь две равные стороны»?

Р е ш е н и е. В содержание понятия «треугольник» входят только те свойства, которые являются общими для всех треугольников, например, такие: 1) имеет три вершины, 2) имеет три угла, 3) имеет три стороны, 4) ограничен замкнутой ломаной линией. Свойство «иметь две равные стороны» в содержание понятия «треугольник» не входит, так как этим свойством обладают не все треугольники.

Задания для самостоятельной работы по теме 3:

1. Каков объем понятий: «цифра», «автомобиль», «снегурочка», «волк», «столица России», «двузначное число».

2. Решите анаграммы. Исключите лишнее слово. Ответ обоснуйте:

Каут, кабоса, цикурка, кайнеди;

Релоказ, начик, меро, лекосо;

Вианд, лексор, слот, самик, фебут.

3. Дополните определение:

Портной – это …., который шьет одежду.

…. – это человек, который рисует картины.

Врач - ….

Масленка - …

Улей - …

Лекция 4. Математические предложения. Высказывания и высказывательные формы.

Взаимосвязи между объектами и свойствами выражаются с помощью предложений. Предложения могут быть сформулированы при помощи слов и записаны при помощи математических символов:

«У квадрата все стороны равны»;

«5 < 7».

Каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической структурой. По структу ре различают элементарные и составные предложения.

Элементарные: 1) «20 – четное число»; 2) «х > 8».

Составные: 1)" 20 четное и делится на 5 "; 2) «х 8»,

Составные предложения образуются из элементарных с помощью слов "и", "или", частицы "не". Эти слова называются логическими

связками.

Пример : " 20 четное и делится на 5 "

Логическая структура: "А и В" , где А - "20 четное число", В -"20 делится на 5"

Среди предложений выделяют высказывания и высказывательные формы.

Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Высказывания обычно обозначают большими латинскими буквами. Если высказывание А истинно, то записывают: А – «и» или присваивают А значение 1, если высказывание А ложно, то пишут А – «л» или А имеет значение 0. «Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказываний. Например, предложение «Саратов расположен на берегу реки Волги» является высказыванием, причем истинным высказыванием. Предложение «Число 25 делится на 3» – ложное высказывание. Выражение «25 + 6» высказыванием не является, так как о нем нельзя сказать истинно оно или ложно. Не являются высказываниями предложения, содержащие переменную величину, например: «Число х больше числа 8».

Слова «неверно, что», «и», «или», «если … , то», «тогда и только тогда, когда» называются логическими связками. Высказывания делятся на простые (элементарные) и составные . Составные высказывания содержат логические связки и могут быть разбиты на простые высказывания. Например, высказывание «6 > 3» является простым, а высказывание «5 < 8 < 12» является составным, так как его можно разбить на два простых высказывания: «5 < 8» и «8 < 12».

Определение. Высказывательной формой или предикатом называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание, если вместо переменных подставить их значения.

По числу переменных, входящих в предикат, различают одноместные, двухместные и т. д. предикаты и обозначают: А( х ), А( х , у ) и т. д. Например, х + 5 = 9 – одноместный предикат, а предложение «Число х делится на число у » – двухместный.

П р и м е р 1. Выясните, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие предикатами: а) 452 < 237; б) 5 х – 6 = 4; в) Сколько стоит эта книга?; г) Число кратно 7?

Р е ш е н и е.

а) Предложение 452 < 237 является высказыванием, так как можно утверждать, что оно ложно.

б) Предложение 5 х – 6 = 4 является предикатом, так как это предложение содержит переменную х и при подстановке конкретного значения х превращается в высказывание. Если х = 3 , то 5·3 – 6 = 4 – ложное высказывание, если х = 2, то 5·2 – 6 = 4 – истинное высказывание.

в) Предложение «Сколько стоит эта книга?» не является высказыванием, так как о вопросительных предложениях бессмысленно ставить вопрос об их истинности или ложности. Данное предложение не является и предикатом.

г) Несмотря на то, что в предложении «Число кратно 7» переменная не содержится в явном виде, ее наличие подразумевается, поэтому данное предложение является предикатом. Оно превращается в высказывание при подстановке в него конкретного числа.

Задания для самостоятельной работы по теме 4:

1. Укажите среди следующих предложений высказывания:

а) Луна – спутник Земли;

б) все учащиеся любят математику;

в) принеси мне, пожалуйста, книгу;

г) некоторые люди имеют голубые глаза;

д) окружностью называется множество всех точек плоскости, расстояние которых от данной точки плоскости имеет заданную величину;

е) вы были в театре?

2. Верно ли высказывание?

а) Два часа больше семи тысяч секунд;

б) в двух квадратных метрах содержится 200 сантиметров ;

в) пять гирь по 3 кг тяжелее 3 гирь по 5 кг ;

г) число 0 меньше любого натурального числа;

д) семью девять – сорок девять;

е) число 8 удовлетворяет равенству х· х – х = 56.

3. Какие из следующих высказываний верны, а какие неверны:

а) у всех львов есть хвосты;

б) некоторые люди дошли на лыжах до Северного полюса;

в) ни в одном месяце нет 50 дней;

г) все деревья растут в лесу;

д) Ни одно дерево не растет в лесу;

е) Некоторые деревья растут в лесу;

ж) некоторые ученики нашего класса были на Луне.

Лекция 5. Высказывания с кванторами. Отношения следования и равносильности между предложениями.

Слова, превращающие высказывательную форму или предикат в высказывание, называются кванторами . Выражение «для всех х » («для любого х », «для каждого х ») называется квантором общности и обозначается " х . Выражение «существует такое х » («для некоторых х », «хотя бы для одного х », «найдется такое х ») называется квантором существования и обозначается ∃х .

Высказывание, полученное из предиката P( х ) при помощи квантора общности, записывается в виде (∀ х ∈ Х) P( х ) и читается: «Для любого (каждого, всякого) значения х из множества Х имеет место P( х )» или «Любой (каждый, всякий) элемент х из множества Х обладает свойством P». Например, если P( х ) – «Натуральное число х является целым числом», то высказывание с квантором общности будет выглядеть так: «Любое натуральное число х является целым числом».

Высказывание, полученное из предиката P( х ) при помощи квантора существования, записывается в виде (∃ х ∈Х) P( х ) и читается: «Для некоторого значения х из множества Х имеет место P( х )» или «Найдется элемент х из множества Х, который обладает свойством P», или «Существует элемент х в множестве Х, для которого выполняется свойство Р». Например, если P( х ) – «Натуральное число х делится на 2», то высказывание с квантором существования будет выглядеть так: «Найдется натуральное число х , которое делится на 2».

Чтобы установить истинность утверждения с квантором общности, надо провести доказательство, чтобы установить его ложность – достаточно привести опровергающий его пример. Высказывание, содержащее квантор общности, может быть представлено в виде конъюнкции высказываний.

Высказывание с квантором существования истинно, если можно привести пример, то есть найти такое значение переменной, при котором предикат обращается в истинное высказывание. Ложность высказывания с квантором существования устанавливается путем доказательства. Высказывание, содержащее квантор существования, может быть представлено в виде дизъюнкции высказываний.

Для построения отрицаний с кванторами надо: 1) квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования – на квантор общности; 2) предикат заменить его отрицанием. Таким образом, справедливы формулы:

и .

Если задана словесная формулировка высказывания с квантором, то нужно: 1) слово «любой» («каждый», «всякий», «все») заменить на слово «существует» («найдется», «некоторый», «хотя бы один») и наоборот; 2) поставить перед глаголом частицу «не».

Это правило сохраняется и в том случае, если высказывание содержит не один, а несколько кванторов, например:

.

П р и м е р 1. Найти значения истинности высказываний:

а) среди чисел множества Х = {1, 2, 3, 4} найдется простое число;

б) любое число из множества А = {6, 8, 12, 28} кратно 2.

Р е ш е н и е. а) Высказывание «Среди чисел множества Х = {1, 2, 3, 4} найдется простое число» содержит квантор существования и поэтому может быть представлено в виде дизъюнкции высказываний: «1 – простое число», или «2 – простое число», или «3 – простое число» или «4 – простое число». Для доказательства истинности дизъюнкции достаточно истинности одного из высказываний, например: «2 – простое число», которое истинно. Следовательно, истинно и исходное высказывание.

б) Высказывание «Любое число из множества А = {6, 8, 12, 28} кратно 2» содержит квантор общности и поэтому может быть переформулировано в виде конъюнкции «6 кратно 2, и 8 кратно 2, и 12 кратно 2 и 28 кратно 2». Так как все четыре высказывания истинны, то истинна и вся конъюнкция, а, следовательно, и исходное высказывание.

П р и м е р 2. Выявить логическую структуру следующих высказываний:

а) некоторые четные числа делятся на 3;

б) сумма двух любых нечетных чисел кратна 2;

в) в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

Р е ш е н и е. а) В этом предложении имеется квантор существования, он выражен словом «некоторые», и предикат «четные числа делятся на 3», заданный на множестве Х четных чисел. Обозначим предикат через А( х ), тогда логическая структура данного предложения такова: (∃х∈ Х) А( х ).

б) В данном предложении имеется квантор общности, он представлен словом «любой», и двухместный предикат «сумма двух нечетных чисел кратна 2», заданный на множестве нечетных натуральных чисел Х. Обозначим предикат через P( х , у ), тогда логическая структура данного предложения может быть записана в виде: (∀ х∈ Х) (∀ у∈ Х) P( х , у ).

в) В данном высказывании квантора в явном виде нет, но подразумевается, что свойством «иметь взаимно перпендикулярные диагонали» обладают любые ромбы, следовательно, в данное высказывание можно включить квантор общности, не изменив его сути: «в любом ромбе диагонали взаимно перпендикулярны». Тогда его структура такова: (∀ х ∈Х) А( х ), где Х – множество ромбов, А( х ) – предикат «в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны».

П р и м е р 3. Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значения истинности:

а) всякое число, умноженное на нуль, есть нуль;

б) уравнение х + 3 = 5 имеет решение в множестве натуральных чисел;

в) квадрат любого числа положителен.

Р е ш е н и е. а) Данное высказывание содержит квантор общности, он выражен словом «всякий». Предикат х ·0 = 0 задан на множестве действительных чисел R . Поэтому высказывание можно записать в виде (∀ х ∈ R ) х ·0 = 0. Это высказывание истинное, поскольку по определению умножение числа на 0 дает 0.

б) В явном виде квантор в данном предложении не присутствует. Переформулируем предложение так: «В множестве натуральных чисел N существует число, которое является решением уравнения х + 3 = 5», теперь ясно, что здесь есть квантор существования (слово «существует»), и высказывание можно записать так: (∃ х ∈ N ) х + 3 = 5. Высказывание истинное, потому что при х = 2 получим верное равенство.

в) Данное высказывание содержит квантор общности, он выражен словом «любой». Предикат х ² > 0 определен на множестве всех действительных чисел R . Предложение можно записать так: (∀ х ∈R ) х ² > 0. Высказывание является ложным, так как при х = 0 неравенство 0 > 0 не выполняется.

П р и м е р 4. Построить отрицание высказывания «некоторые двузначные числа делятся на 12».

Р е ш е н и е. Заменим квантор существования (он выражен словом «некоторые») на квантор общности «все» и построим отрицание предложения, стоящего после слова «некоторые», поставив частицу «не» перед глаголом. Получим высказывание «Все двузначные числа не делятся на 12».

П р и м е р 5. Сформулировать отрицание высказывания «В каждом классе хотя бы один ученик не справился с контрольной работой».

Р е ш е н и е. Данное высказывание содержит квантор общности, выраженный при помощи слова «каждый», и квантор существования, выраженный при помощи слов «хотя бы один». По правилу построения отрицаний высказываний с кванторами надо квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования – на квантор общности и убрать у глагола частицу «не». Получим: «Найдется такой класс, в котором все ученики справились с контрольной работой».

Задания для самостоятельной работы по теме 5:

1. Постройте отрицания высказываний:

Петя не умеет играть на рояле.

Все люди носят очки.

Некоторые звери ходят на двух ногах.

Иногда собака ест траву.

Ни один человек не умеет летать.

Заяц всегда жует.

2. Запишите 6 истинных и 6 ложных высказываний со словами: все, некоторые, н одно, каждое. Постройте высказывания, по смыслу отрицающие данные.

3. Какие из следующих высказываний содержат квантор общности, а какие – квантор существования: а) все натуральные числа делятся на 5; б) существуют четные составные числа; в) любое простое число нечетно; г) человеку известны все виды животных, обитающие на Земле; д) ни одно русское слово не содержит двух гласных подряд; е) некоторые натуральные числа больше 999; ж) в каждом треугольнике имеется прямой угол?

Лекция 6. Умозаключения и их виды.

Умозаключение – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки – это высказывания, содержащие исходное знание. Заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. Как правило, заключение отделяется от посылок с помощью слов «следовательно», «значит».

Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.

Дедуктивные умозаключения иначе называют правильными . В правильном умозаключении истинность посылок гарантирует истинность заключения. Наиболее часто встречаются следующие формы правильных умозаключений:

(правило заключения);

(правило отрицания);

(правило силлогизма).

Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают данным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

П р и м е р 1. Проверьте, правильны ли следующие умозаключения:

а) Если четырехугольник – прямоугольник, то его диагонали равны. ABCD – прямоугольник. Следовательно, его диагонали равны.

б) Если число делится на 6, то оно делится на 3. Число 24 делится на 3, значит, число 24 делится на 6.

в) Если четырехугольник ромб, то он параллелограмм. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Следовательно, диагональ ромба делит его на два равных треугольника.

Р е ш е н и е. а) Для решения вопроса о правильности умозаключения выявим его логическую форму, для чего введем следующие обозначения. Пусть А( х ) – «четырехугольник х – прямоугольник», а В( х ) – «диагонали четырехугольника х равны». Тогда первую посылку можно записать в виде: А( х ) ⇒ В( х ), вторую – А( a ), а заключение – В( а ) ( прямоугольник ABCD обозначен в виде элемента а ). Таким образом, форма данного умозаключения такова: . Оно построено по правилу заключения. Следовательно, данное умозаключение правильное.

б) Сформулируем предложение «Если число делится на 6, то оно делится на 3» в виде импликации двух предикатов А( х ) ⇒ В( х ), где А( х ) – «Число х делится на 6», В( х ) – «Число х делится на 3». Эта импликация представляет собой логическое следование, так как множество чисел, делящихся на 6, является подмножеством чисел, делящихся на 3. Посылка «Число 24 делится на 3» является высказыванием, в которое превращается предикат В( х ) при х = 24, т. е. это В(24). Заключение рассуждения представляет собой высказывание А(24).

Форма данного умозаключения такова: . Форма не является правильной. И хотя заключение получилось истинным (24 делится на 6), при другом значении х , например при х = 21, получим ложный вывод. Таким образом, данное умозаключение не является правильным.

в) Введем обозначения: А( х ) – «Четырехугольник х – ромб», В( х ) – «Четырехугольник х – параллелограмм», С( х ) – «Диагональ четырехугольника х делит его на два равных треугольника». Тогда первую посылку можно записать в виде: А( х ) ⇒ В( х ), вторую – В( х ) ⇒С( х ), а заключение – А( х ) ⇒С( х ). Форма данного умозаключения является правильной и представляет собой правило силлогизма: .

Задания для самостоятельной работы по теме 6:

1. В каждом из следующих умозаключений выделите посылки и заключение, проверьте правильность умозаключений с помощью кругов Эйлера: а) Все учащиеся нашего класса в каникулы ходили в театр. Петя не был в театре в дни каникул. Следовательно, Петя – учащийся не нашего класса. б) Все деревья – растения. Сосна – дерево. Значит, сосна – растение. в) Каждый учащийся нашего класса занимается в каком-то кружке. Петя занимается в кружке по рисованию. Следовательно, Петя учится в нашем классе. г) Все антилопы стройные. Стройные животные радуют глаз. Все антилопы радуют глаз.

А)

Б)

2. Выделите логическую форму умозаключений, приведенных в № 1, и укажите те из них, которые построены по правилу:

а) отрицания;

б) заключения;

в) силлогизма.

3. Сделайте выводы из каждой пары посылок, если это возможно.

а) Некоторые деревья зеленые и летом и зимой. Береза – дерево.

б) Мальчики и девочки второго класса пойдут гулять. Галя – ученица этого класса.

в) Все, кто имеет пятерки по математике, будут участвовать в олимпиаде. Лена имеет пятерки по математике и по русскому языку.

г) Все, кто имеет пятерки по математике, будут участвовать в олимпиаде. Лена имеет пятерки по математике или по русскому языку.

Лекция 7. Неполная индукция и аналогия. Равномощные множества.

Например, можно измерить противоположные стороны у нескольких прямоугольников. Окажется, что они в каждом случае равны друг другу. Можно сделать вывод, что у всех прямоугольников противоположные стороны равны. Тем не менее, этот факт требует доказательства.

Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением и может привести к ошибочным выводам. Например, рассмотрим такие выражения: 2 + 5 и 2·5, 4 + 3 и 4·3, 6 + 8 и 6·8. Видим, что 2 + 5 < 2·5, 4 + 3 < 4·3, 6 + 8 < 6·8. Можем утверждать, что сумма натуральных чисел меньше их произведения. Но вывод ложен, так как можно привести контрпример: 1 + 5 > 1·5.

Часто используют рассуждения по аналогии . Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Например, известно, что двузначное число можно представить в виде суммы десятков и единиц, тогда трехзначное число аналогично представляется в виде суммы сотен, десятков и единиц. Аналогия не всегда приводит к правильным выводам. Так, например, на основании того, что число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3, можно сделать аналогичный вывод: число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4. Однако пример числа 12 говорит о том, что это не так.

Задания для самостоятельной работы по теме 7:

1. Сделайте вывод, если возможно:

0+1=1, 2+3=5, 3+4=7, 4+5=9, 5+6=11, 6+7=13, 7+8=15 и т.д.

22*2:2=22, 14*7:7=14, 56*8:8=56 и т.д.

74-47=27, 52-25=27, 63-36=27

2. Преврати «род» в «вид» составив цепочку слов: род - … - … - вид. Каждое последующее слово должно отличаться от предыдущего только одной буквой. Аналогично:

А) МУХА-МУРА-ТУРА-ТАРА-ПАРА-ПАРК-ПАУК-ПАУТ-ПЛУТ-ПЛОТ-СЛОТ-СЛОН

муха-мура-мара(разновидность тумана)-пара-парк-паук-каук(тёплая одежда у эскимосов)-каюк-каик(турецкое судно)-клик-клин-клон-слон

муха-мура-фура-фора-кора-корн-коан-клан-клон-слон

Б) Каша –кара-карт-корт - торт.

В) Мрак — брак — брус — трус — трос — трон — урон — урок — срок — сток — стон — стан — стая — свая — сват — свет

Мрак – трак-трек-трюк-крюк- урюк-урок-срок- сток — стон — стан — стая — свая — сват — свет

3. Почему следующее рассуждение по неполной индукции приводит к неправильному выводу: рассмотрим квадрат со стороной 1 см и измерим его углы. Все они равны 90 градусам. Проделаем тоже с квадратами, у которых другая длина сторон. Убедимся, что все углы у них будут равны 90. Вывод: все четырехугольники с равными сторонами имеют углы 90 градусов.

Лекция 8. Соответствия между элементами двух множеств. Определение соответствия между элементами двух множеств. Взаимно однозначные соответствия.

Соответствием между множествами Х и Y называется всякое подмножество произведения этих множеств.

Соответствие можно задавать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в данном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Например, соответствие между множествами Х = {2, 4, 6, 8} и Y = {3, 5, 7} можно задать:

1) при помощи предложения с двумя переменными: а < b при условии, что а ∈ Х, b∈Y;

2) перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения Х хY: { (2,3), (2,5), (2,7), (4,5), (4,7), (6,7)}. К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа (рис. 1).

Рис. 1

Соответствие между числовыми множествами можно изобразить при помощи графика в прямоугольной системе координат.

Соответствия принято обозначать буквами P, S, T, R и др. Множество Х называется областью отправления соответствия, а множество Y – областью прибытия соответствия. Если элемент х находится в соответствии R с элементом у , то пишут x R y или ( х , у )∈ R.

Каждому элементу а ∈Х сопоставим подмножество R( а ) в Y, состоящее из всех элементов у∈Y таких, что ( а , у )∈R: R( а ) = { у | ( а , у )∈ R}. Это множество называют образом элемента а при соответствии R.

Каждому элементу b∈Y сопоставим подмножество R ^-1 ( b ) элементов из Х таких, что ( х , b ) ∈ R: R ^-1 ( b ) = { х|( х , b ) ∈R }. Это множество называют полным прообразом элемента b при соответствии R.

Подмножество А⊂Х, состоящее из элементов х , имеющих образы в множестве Y, называют областью определения соответствия R. Подмножество В⊂Y, состоящее из элементов y , имеющих непустые прообразы в множестве Х, называют множеством значений соответствия R.

Пусть S – соответствие между множествами Х и Y. Соответствие S ^-1 между множествами Y и Х называется обратным данному, если у S ^-1 х тогда и только тогда, когда х S у .

Соответствия S и S ^-1 называют взаимно обратными . Граф соответствия S ^-1 получается из графа соответствия S изменением направления всех стрелок.

рис 2.

П р и м е р 1. Соответствие R между множествами X и Y задано при помощи графа (рис. 2). а) Укажите область отправления, область прибытия, область определения и множество значений соответствия R. б) Задайте это соответствие, перечислением пар чисел. в) Постройте график соответствия R в прямоугольной системе координат. г) Найдите соответствие R ^-1 , обратное данному, и постройте его график.

Р е ш е н и е. а) Из рисунка следует, что областью отправления данного соответствия R является множество Х = {1, 3, 5, 7}, а областью прибытия – множество Y = {0, 2, 4, 6}. Область определения образуют те числа из множества Х, от которых выходит хотя бы одна стрелка, т.е. А = {1, 3, 5}. В множество значений входят те элементы из множества Y, к которым идет хотя бы одна стрелка. Это множество В = {2, 4, 6}.

б) Каждая пара чисел, входящая в данное соответствие, на графе соединена стрелкой, поэтому в виде пар соответствие R можно записать так: {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (3,6), (5,6)}.

в) График соответствия R в прямоугольной системе координат изображен на рис. 3.

г) Так как граф соответствия R ^-1 получается из графа соответствия R изменением направления стрелок, то соответствие R ^-1 можно получить из соответствия R, поменяв местами компоненты в парах: R ^-1 = {(2,1), (4,1), (2,3), (4,3), (6,3), (6,5)}. График обратного соответствия R ^-1 в прямоугольной системе координат изображен на рис. 4.

П р и м е р 2. Даны два множества: А = {-1, -2, -3, 1, 2, 3, 0}, N – множество натуральных чисел. Поставим в соответствие каждому числу а Î А его квадрат. Выпишите все пары, принадлежащие соответствию. Найдите образ элементов -2 и 0. Найдите полный прообраз 9.

Р е ш е н и е. Найдем множество пар, входящих в данное соответствие: {(-1, 1), (-2, 4), (-3,9), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}. Пара (0, 0) в соответствии не присутствует, так как 0 не является натуральным числом. Образом элемента -2 будет число 4 (вторая компонента пары (-2, 4)), число 0 имеет пустой образ. Полным прообразом числа 9 будет множество {-3, 3}.

П р и м е р 3. Соответствие R задано с помощью пар (1, 2), (0, 0), (2, 4), (-1, -2), (-2, -4). Найдите область определения и множество значений этого соответствия. Какой формулой задается это соответствие?

Рис. 3 Рис. 4

Р е ш е н и е. В область определения Х входят первые компоненты пар соответствия, поэтому Х = {0, 1, 2, -1, -2}. Множество значений Y соответствия R составляют вторые компоненты пар соответствия, значит, Y = {0, 2, 4, -2, -4}. Замечаем, что вторая компонента в каждой паре получается из первой умножением на число 2, следовательно, данное соответствие можно задать с помощью формулы y = 2 x .

Задания для самостоятельной работы по теме 8:

1. Укажите соответствия, существующие между элементами множеств А и В, если: а) А – множество отрезков, В – множество чисел; б) А - множество треугольников, В – множество окружностей.

2. Даны два множества: А = {-1, -2, -3, 1, 2, 3, 0}, N – множество натуральных чисел. Поставим в соответствие каждому числу а∈А его квадрат. Выпишите все пары, принадлежащие соответствию. Найдите образ элементов -2 и 0. Найдите полный прообраз 9.

Лекция 9. Отношения между элементами одного множества. Способы задания отношений. Свойства отношений.

В процессе обучения дошкольникам часто приходится рассматривать элементы одного множества и устанавливать отношения между ними

Сравнивать по величине;
Подбирать одинаковые:
Выстраивать сериационный ряд;
Упорядочивать карточки.

В математике изучают взаимосвязи между числами («быть больше», «следовать за», «быть меньше на один»), в геометрии рассматривают отношения равенства, пересечения, параллельности и др. Чаще всего дошкольники сталкиваются с отношениями между двумя объектами. Такие отношения называют бинарными.

Способы задания отношений:

1. Указывается характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в этом отношении. При этом характеристическое свойство представляет собой предложение с двумя переменными.

2 .Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.

Приведем пример: дано множество Х= [1,2,3,4,5]. Его элементы связаны отношением «быть больше на 1» т.е. отношение задано с помощью предложения «число х больше числа у на 1» или это отношение можно задать , перечислив все пары чисел (2,1),(3,2), (4,3), (5,4).

В математике отношения между двумя элементами часто записывают с помощью символов: х> у, а ll в, у=3х,c ⊥ d.

В математике изучают большое разнообразие отношений. Их классифицируют по свойствам. Пусть R некоторое отношение на множестве Х, а х, у, z- любые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с элементом у, то пишут хRу.

Свойства отношений:

1.Рефлексивность: каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой(«параллельность», «равенство»).

R рефлексивно <-> x R x

2 . Симметричность: если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом отношении с элементом х («параллельность», «перпендикулярность», «равенство». «быть родственником»).

R симметрично <-> x R y => y R x

3 . Антисимметричность : если из того, что х находится в данном отношение с элементом у и х≠ у, следует, что элемент у в том отношении с х не находится («больше», «меньше»,»длиннее»,»короче»).

R антисимметрично <-> x R y и x≠ y => y R x

4. Транзитивность: если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, а элемент y находится в этом отношении с элементом z следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом z («больше», «выше», «старше»,»равно», «параллельно»).

R транзитивно <-> x R y и y R x => x R z

Одно и то же отношение может обладать несколькими свойствами. Например отношение «равно»- рефлексивно, симметрично. Транзитивно, а отношение «больше»- антисимметрично и транзитивно.

Определение: если отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. То оно является отношением эквивалентности.

Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно определяет разбиение этого множества на классы и наоборот, любое разбиение множества Х на классы определяет на этом множестве отношение эквивалентности. Например, выполни задание «разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одного цвета».

Определение: если отношение транзитивно и антисимметрично, то оно называется отношением порядка («больше», «длиннее»,»следовать»).

Эти отношения упорядочивают элементы множества.

Множества с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Например, выполняя задание: разложи полоски по ширине от самой узкой до самой широкой дети упорядочивают элементы множеств полосок с помощью отношения «быть шире».

Вообще, отношения эквивалентности и порядка играют большую роль в формировании у дошкольников правильных представлений о классификации и упорядочивании множеств.

Задания для самостоятельной работы по теме 9:

1. Приведите примеры отношений, существующих между: а) людьми; б) натуральными числами; в) треугольниками; г) множествами.

2. Отношение Р – «больше», Т – «больше на 2» и Е – «больше в 2 раза» заданы на множестве А = {2, 4, 6, 8, 12}. Постройте графы данных отношений.

3. Отношение S – «больше», Т – «больше на 3» и Q – «больше в 3 раза» заданы на множестве А = {2, 4, 5, 8, 9, 12, 15}. Постройте графы данных отношений.

4. На множестве Х = {0, 1, 2, 3} задано отношение S = {(0,0), (1,1), (2,2) (3,3), (0,1), (1,2), (0,2), (1,0), (2,1), (2,0)}. Постройте граф этого отношения, определите свойства отношения.

5. Отношение Т – «не короче» задано на множестве отрезков с длинами {4 см, 5 см , 18 см , 10 см}. Докажите, что отношение Т – отношение порядка.

6. На множестве Х= {3,4, 5, 6, 7} задано отношение «x

<< предыдущая страница