Лекция Понятия множества и элементы множества. Способы задания множеств

Лекция 1. Понятия множества и элементы множества. Способы задания множеств.

Понятие множества является неопределяемым понятием. Его смысл разъясняется на примерах. Можно говорить о множестве жителей города Саратова, о множестве домов на конкретной улице, о множестве букв в слове «командир», о множестве натуральных чисел, меньших 20 и т. д.

Множества принято обозначать большими латинскими буквами, например, А, В, С, … , Х, Y, Z. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами . Их принято обозначать маленькими латинскими буквами: a , b , c , d . Если множество А состоит из элементов a , c , k , то записывают это так: А = { a , c , k }.

Проказница-Мартышка,

Осел,

Козел

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть Квартет.

Достали нот, баса, альта, две скрипки

И сели на лужок под липки, -

Пленять своим искусством свет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

"Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. -

Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.

Ты с басом, Мишенька, садись против альта,

Я, прима, сяду против вторы;

Тогда пойдет уж музыка не та:

У нас запляшут лес и горы!"

Расселись, начали Квартет;

Он все-таки на лад нейдет.

"Постойте ж, я сыскал секрет? -

Кричит Осел, — мы, верно, уж поладим,

Коль рядом сядем".

Послушались Осла: уселись чинно в ряд;

А все-таки Квартет нейдет на лад.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть.

Случилось Соловью на шум их прилететь.

Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье.

"Пожалуй, — говорят, — возьми на час терпенье,

Чтобы Квартет в порядок наш привесть:

И ноты есть у нас, и инструменты есть,

Скажи лишь, как нам сесть!" -

"Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье

И уши ваших понежней, -

Им отвечает Соловей, -

А вы, друзья, как ни садитесь;

Всё в музыканты не годитесь".

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Множество может быть задано перечислением всех его элементов или описанием характеристического свойства его элементов. Характеристическим свойством называется такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. Например, запись А = { х | х – житель Саратова } означает, что множество А состоит из жителей Саратова.

        Множества, состоящие из чисел, называют числовыми множествами.

                N – множество натуральных чисел,

                Z – множество целых чисел,

                N _о или Z _о – множество целых неотрицательных чисел,

                Q – множество рациональных чисел,

                R – множество действительных чисел.

Задания для самостоятельной работы по теме 1:

Назовите и запишите множество зверей из басни

И.А. Крылова «Квартет», используя способ:

а) перечисления элементов;

б) задания характеристического свойства.

Принадлежит ли Соловей этому множеству?

Приведите примеры множеств, элементами которых являются :

а)неодушевленные предметы,

б)геометрические фигуры,

в)животные,

г)растения.

Задайте множество с помощью перечисленных элементов:

X={x/x N, 0 x 4}

X={x/x N, -2 x 6}

X={x/x Z, -3 x 5}

X={x/x Z, 0 x 4}

В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Опишите это свойство и найдите элемент, не обладающий им: а) { треугольник, квадрат, трапеция, круг, правильный шестиугольник }; б) { лев, лисица, гиена, слон, рысь }; в) { бежать, смотреть, синий, знать, читать }; г) {2, 6, 15, 84, 156}; д) {1, 9, 67, 81, 121}.

Лекция 2. Отношения между множествами. Операции над множествами. Разбиение множества на классы.

Между двумя множествами существует пять видов отношений. Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются и записывают этот факт в виде А∩В =∅ . Например, А = { a , c , k }, В = { d , e , m , n }, общих элементов у этих множеств нет, поэтому множества не пересекаются.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются и записывают А∩В≠∅ . Например, множества А = { a , c , k } и В = { c , k , m , n } пересекаются, т. к. у них есть общие элементы c , k .

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В⊂ А)

Пустое множество и само множество называют несобственными подмножествами . Остальные подмножества множества А называются собственными. Для каждого множества, состоящего из n элементов можно образовать 2 ⁿ подмножеств. Если рассматривают лишь подмножества некоторого множества U, то U называют универсальным множеством.

Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.

Например, А = { a , c , k , m , n } и В = { m , n , a , c , k }, А = В.

Существует пять случаев отношений между двумя множествами. Их можно наглядно представить при помощи особых чертежей, которые называются кругами или диаграммами Эйлера-Венна.

а) б) в) г) д)

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обозначают А∩ В. Таким образом, по определению, А ∩ В = { х | х ∈ А и х ∈ В}.

Например, если А = { a , c , k , m , n } и В = { a , b , c , d , e }, то А ∩ В = { a , c }.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то пересечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 3).

Для пересечения множеств выполняются следующие свойства.

1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∩ В = В ∩ А.

2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С).

3) А ∩ ∅ = ∅ (пустое множество является поглощающим элементом).

4) А ∩ U = А (универсальное множество является нейтральным элементом).

5) Если В ⊂А, то А∩В = В

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают А∪ В. Таким образом, по определению, А ∪ В = { х | х ∈А или х∈В}. Например, если А = { a , c , k , m , n } и В = { a , b , c , d , e }, то А ∪ В = { a , c , k , m , n , b , d , e }.

Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то объединением данных множеств является заштрихованная область (рис. 4).

Для объединения множеств выполняются следующие свойства.

1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∪ В = В ∪ А.

2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∪ В)∪ С = А ∪ (В ∪ С).

3) А ∪ ∅= А (пустое множество является нейтральным элементом).

4) А ∪ U = U (универсальное множество является поглощающим элементом).

5) Если В ⊂А, то А∪В = В

Операции объединения и пересечения множеств связаны законами дистрибутивности или иначе распределительными свойствами:

(А ∪ В) ∩С = (А∩С) ∪ (В∩С) и (А∩В) ∪ С = (А ∪ С) ∩(В ∪ С).

П р и м е р 1. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В.

Р е ш е н и е. Запишем множества А и В, перечислив их элементы: А = { м, а, т, е, и, к }, В = { с, т, е, р, о, м, и, я }. Буквы м, т, е, и принадлежат и множеству А, и множеству В, поэтому они войдут в пересечение этих множеств: А∩В = { м, т, е, и }. В объединение этих множеств войдут все элементы множества А и несовпадающие с ними элементы из множества В: А ∪ В = { м, а, т, е, и, к, с, р, о, я }.

П р и м е р 2 . В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? Только немецкий язык?

Р е ш е н и е. Через А обозначим множество школьников, изучающих английский язык, через В – множество школьников, изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Рассуждая аналогично, получим, что только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. Теперь известно количество элементов в каждой части множеств, изображенных на диаграмме. Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно сложить все числа: 7 + 18 + 9 = 34. Ответ: 34 человека в классе изучают иностранные языки.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А \ В. Таким образом, по определению разности А \ В = { х | х ∈ А и х ∉В}.

Например, если А = { a , c , k , m , n } и В = { a , b , c , d , e }, то А \ В = { k , m , n }.

Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то разность данных множеств является заштрихованная область (рис. 5).

Определение. Пусть В является подмножеством множества А. В этом случае разность множеств А и В называют дополнением подмножества В до множества А и обозначают В'_А. Дополнение можно изобразить как показано на рис. 5. Если В – подмножество универсального множества U, то дополнение подмножества В до U обозначают В'.

Например, если В – множество однозначных натуральных чисел, то В'– множество неоднозначных натуральных чисел, если С – множество равнобедренных треугольников, то С' – множество треугольников, у которых все стороны имеют разную длину.

Разность множеств и дополнение к подмножеству обладают рядом свойств.

1) (А \ В) \ С = (А \ С) \ В.

2) (А∪В) \ С = (А \ С) ∪ (В \ С).

3) (А \ В) ∩ С = (А ∩С) \ (В ∩ С).

4) (А ∪ В)' = А' ∩ В'.

5) (А ∩ В)' = А' ∪В'.

Четвертое свойство формулируется так: дополнение к объединению двух множеств равно пересечению дополнений к этим множествам. Пятое свойство формулируется аналогично.

П р и м е р 1. А – множество натуральных чисел, кратных 3, В – множество натуральных чисел, кратных 5. Задать описанием характеристического свойства множество А \ В и назвать три числа, принадлежащих этому множеству.

Р е ш е н и е. По определению разность данных множеств состоит из натуральных чисел, кратных 3 и не кратных 5. Поэтому разности множеств А и В принадлежат числа 9, 24, 33.

П р и м е р 2. Найти дополнение к множеству А в множестве натуральных чисел, если:

а) А = { х | х = 2 k + 1, k∈N };

б) А = { х | х = 3 k , k ∈ N }.

Р е ш е н и е. а) Числа вида х = 2 k + 1, k ∈ N представляют собой нечетные натуральные числа, следовательно, дополнение А' – это четные натуральные числа: А' = { х | х = 2 k , k ∈ N }.

б) В виде х = 3 k , k∈N записаны натуральные числа, кратные 3, или числа, дающие при делении на 3 остаток 0. В дополнение к этому множеству войдут числа, не кратные 3, или дающие при делении на 3 остаток 1 или 2. Запишем А' = { х | х = 3 k + 1 или х = 3 k + 2, k ∈ N _о }.

Говорят, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы , если выполнены следующие условия:

1) любые два подмножества попарно не пересекаются;

2) объединение всех подмножеств совпадает с исходным множеством Х.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

Классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множества. Если выбирается только одно свойство, то такую классификацию называют дихотомической . Например, натуральные числа можно разбить на четные и нечетные. Буквы русского языка можно разбить на гласные и не гласные. Вообще, если на множестве Х задано одно свойство А, то это множество разбивается на два класса: первый класс – объекты, обладающие свойством А, второй класс – объекты, не обладающие свойством А.

Если элементы множества обладают двумя независимыми свойствами, то все множество разбивается на 4 класса. Например, на множестве натуральных чисел заданы два свойства: «быть кратным 2» и «быть кратным 3». При помощи этих свойств в множестве N можно выделить два подмножества А и В. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 6). Тогда в первый класс войдут числа, кратные 2 и 3, во второй – кратные 2, но не кратные 3, в третий – кратные 3, но не кратные 2, в четвертый – не кратные 2 и не кратные 3.

Рис. 6

П р и м е р 1. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если:

а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны;

б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол?

Р е ш е н и е. а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С. Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников. Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны.

б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция. Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами. В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается.

Задания для самостоятельной работы по теме 2:

Приведите примеры множеств А, В, С, если отношения между ними таковы:

2. Образуйте все подмножества множества букв в слове «крот». Сколько подмножеств получилось?

3. Даны множества А = { a , b , c , d , e , f , k } и В = { a , c , e , k , m , p }. Найдите А ∪ В , А ∩ В , А \ В , В \ А .

4. Из множества N выделили два подмножества: А – подмножество натуральных чисел, кратных 3, и В – подмножество натуральных чисел, кратных 5. Постройте круги Эйлера для множеств N , A , B ; установите, на сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества N ; укажите характеристические свойства этих множеств.

5. Имеется множество блоков, различающихся по цвету (красные, желтые, зеленые), форме (круглые, треугольные, прямоугольные), размеру (большие, маленькие). На сколько классов разбивается множество, если в нем выделены подмножества: А – круглые блоки, В – зеленые блоки, С – маленькие блоки? Сделайте диаграмму Эйлера и охарактеризуйте каждый класс.

6. Известно, что А – множество спортсменов класса, В – множество отличников класса. Сформулируйте условия, при которых: а) А ∩В=Ø б)А U В=А

7. Пусть Х= { x N/ 1 x 15}. Задайте с помощью перечисления следующие его подмножества:

А – подмножество всех четных чисел;

В – подмножество всех нечетных чисел;

С – подмножество всех чисел, кратных 3;

D – подмножество всех чисел, являющихся квадратами;

E – подмножество всех простых чисел.

В каких отношениях они находятся?

следующая страница >>