Название работы	Кол-во страниц	Размер
В. М. Александров 1/2 года, 3-5 курс Ряд Фурье. Комплексная форма...	1	12.79kb.
Лабораторная работа №2 Исследование свойств преобразования Фурье...	1	94.57kb.
Реферат по дисциплине: «Информационно- коммуникационные технологии...	1	65.11kb.
Дипломная работа ряды Фурье и их приложения в математической физике	1	313.53kb.
Лекция Оптические спектры Разложение функции в спектр Фурье	1	40.85kb.
Действия с линейными преобразованиями	1	36.51kb.
Дискретное программирование	1	48.87kb.
Лекция Учение о Боге Лекция Учение об Иисусе Христе	15	2083.65kb.
Применение Фурье-анализа для изучения механизмов формирования электрического...	1	49.08kb.
Лекции 1 Вводная лекция. Астрономия сегодня. 10. 00-11. 00 1 Лекция	1	77.23kb.
Применение преобразования фурье для формирования описания объектов...	1	66.76kb.
Вейвлет-преобразования рядов лорана над полем	1	63.25kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и т.п будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.

Основное определение:

Формула обращения

Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что . В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если , то обратное преобразование задается формулой . Данная формула вытекает из соотношения: интеграл равен 0 при и 1 иначе.

Свертка

Свертка двух последовательностей определяется формулой:

Предложение. ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований Фурье, а ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.

Доказательство. Найдем преобразование от произведения последовательностей. Имеем = =.

В силу периодичности подынтегральных функций, получим .

Найдем ДПФ от свертки. По определению , . Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим

Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности: .

Пример вычисления ДПФ

Ранее было подсчитано ДПФ от единичной последовательности. В реальных условиях полагают, что в отрицательные моменты времени сигнал отсутствует. В этой связи интересно найти ДПФ от дискретного аналога функции .

Предложение.

Доказательство. Положим =. Теперь

Задача 3. Доказать, что

Линейные инвариантные системы.

Рассматриваются последовательности . Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате сдвига получается новая последовательность . Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью различных устройств.

Система осуществляет это преобразование: .. отметим, что выходная последовательность является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.

Определение. Система называется инвариантной, если для любого .

Примеры.

1. 
   Точечные системы: , где произвольная функция ,- инвариантная система..
   
2. 
   для произвольного фиксированного - инвариантная система
   
3. 
   не будет инвариантной. Действительно, пусть . Согласно определению
   

Определение. Система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.

Преобразование в примере 2 осуществляется ЛИС.