Название работы	Кол-во страниц	Размер
Программа вступительного испытания механика механическое движение...	1	75.77kb.
Координаты обсуждения	1	229.65kb.
Лекция I. Кёльн, 28 Декабря 1912 Лекция II. Кёльн, 29 Декабря 1912	5	1408.32kb.
Вопросы по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения»	1	38.9kb.
Лекция 21 (4) Корпускулярно-волновой дуализм. Уравнение Шрёдингера	1	270.97kb.
Лекция 12. Социальные изменения Понятие социального изменения Социальное...	1	71.72kb.
Координатная плоскость	1	47.67kb.
Рассказываем о летнем отдыхе. Кто где был, с кем отдыхал, куда ездил...	1	74.18kb.
Лекция Учение о Боге Лекция Учение об Иисусе Христе	15	2083.65kb.
Движение тела, брошенного вертикально вверх I уровень. Прочитайте...	1	32.52kb.
Движение тела, брошенного вертикально вверх I уровень. Прочитайте...	1	29.63kb.
Реферат «Последний адресат Пушкина»	1	87.58kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

Лекция 9

Составное движение точки

Абсолютное, относительное и переносное движение точки.

Связь абсолютной и относительной производных.

Теорема о сложении скоростей.
A
X
Z
Y
M
r

A

r


Рис.

1
x

y

z

Известно, что законы Механики выполняются только в инерциальной системе отсчета. Таковой, как мы знаем, можно считать гелиоцентрическую систему. Назовем ее абсолютной и свяжем с ней оси X,Y,Z. Движение точки М по отношению к абсолютной системе описывается радиусом-вектором r(t) и называется абсолютным. Скорость и ускорение точки в абсолютном движении будем отмечать индексом “a”:

_{Va , Wa}

Иногда движение точки удобнее описывать относительно «несущего тела», по которому движется точка (Рис.1).

Например, наше движение на автомобиле естественно описывать по отношению к Земле, а не к Солнцу.

Точно так же, движение пассажира, пробирающегося к выходу в трамвае, естественно описывать по отношению к трамваю (несущему телу), а не к Земле.

Движение точки по отношению к несущему телу называется относительным . Скорость и ускорение относительного движения точки будем отмечать индексом “r”:

_{Vr , Wr}

Свяжем с несущим телом оси x,y,z. Относительное движение зададим проекциями относительного радиуса - вектора  (t) на подвижные оси

x(t), y(t), z(t)

Пусть движение несущего тела в «абсолютной» системе отсчета задано координатами полюса А и углами Эйлера (см Сферическое движение),

X_{At, YAt, ZAt}

ψt, Θt, φt

Из этих функций можно найти скорость и ускорение полюса V_{A , WA} , угловую скорость  и ускорение  несущего тела.

Переносной скоростью и ускорением

_{Ve , We}

точки М называется скорость и ускорение той точки тела, с которой в данный момент совпадает точка М. Иначе говоря, точки М, зафиксированной в данный момент на теле (метод остановки).

Найдем абсолютную скорость и ускорение точки М по известным характеристикам переносного и относительного движений.

V_{a , Wa VA , WA , ,,  (1)}

Из Рис.1 следует

r=r_{A+ρ (2)}

Рисунок и формула такие же, как в свободном движении тела, но с одним принципиальным отличием. Здесь вектор  не является вектором в теле. Его модуль изменяется, поскольку точка М движется по телу. По этой причине к вектору ρ не применима формула Эйлера. Представим вектор ρ в подвижной системе отсчета через закон относительного движения

ρ= x i + y j + z k (3)

Здесь i, j, k - орты подвижной системы, вращающиеся вместе с телом.

Дифференцируя (1) по времени, находим

V=VA+ρ (4)

Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011

Дифференцируя (3) по времени, находим:

ρ≡dρdt=xi+yj+zk+x didt + y djdt+ zdkdt

Орты i, j, k являются векторами в несущем теле, поэтому их производные находим по формуле Эйлера

didt=ω×i; djdt=ω×j; dkdt=ω×k (5)

Таким образом,

dρdt=drρdt+ω×ρ (6)
Здесь введено обозначение относительной производной

drρdt=xi+yj+zk (7)

Она характеризует изменение вектора при остановленном несущем теле.

Формула (6) выражает теорему о связи производных:

Абсолютная производная от вектора, заданного в подвижной системе, равна относительной производной плюс векторное произведение угловой скорости системы на вектор
Заметим, что при поступательном движении системы (= 0) производные совпадают.

dρdt=drρdt при ω=0

Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011

Формула (4) приобретает вид

Va=VA+ω×ρ+drρdt (8)
В подвижной системе столбец проекций относительной производной имеет простой вид

drρdt → ρ=xyz

Поэтому формулу (8) запишем в матричном виде в подвижных осях

Va=VA+Ωρ+ρ (9)

Если в данный момент зафиксировать точку на теле, то

drρdt=0

и абсолютная скорость по определению станет переносной.

Ve=VA+ω×ρ (10)

Относительную скорость найдем, остановив тело (V_A,  = 0)

Vr=drρdt (11)

Таким образом, пришли к теореме о сложении скоростей в векторной форме

Va=Ve+Vr (12)

Абсолютная скорость точки равна

векторной сумме ее переносной и относительной скоростей.

Пример


z
Диск равномерно вращается вокруг оси z с угловой скоростью = 2c^-1. По радиусу диска движется точка М по закону y = 3t² -2t (м). Найти абсолютную ско рость точки в момент времени t₁=1cек.

Сначала решим задачу методом остановки. Метод заключается в том, что при изучении относительного движения мысленно останавливается переносное движение, и наоборот. Это соответствует определениям этих движений.

Относительное движение (ω = 0)

Мысленно остановим вращение диска и найдем проекцию относительной скорости на подвижную ось у, продифференцировав закон относительного движения:

Vry=y=(6t-2)t=1=4 м/сек

Переносное движение (y=Const)

Фиксируя точку М на расстоянии ОМ=y_|t=1=1м , найдем ее переносную скорость во вращении

Ve=ωOM=2м/сек


Теорема о сложении скоростей

Va=Ve+Vr

в проекциях на подвижные оси дает

Vax=-Ve= - 2мс, Vay=Vr= 4м/с, Vaz=0

Найдем абсолютную скорость матричным методом.

V_{A=0; Ω=ω0-10100000; ρ=0y0; ρ=0y0}

Находим проекции абсолютной скорости на подвижные оси:

VaxVayVaz=Ωρ+ρ=20-1010000003t2-2t0+06t-20=-240м/с (13)

Видим , что результаты совпадают с методом остановки.

Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011
Теорема о сложении ускорений

Дифференцируя по времени теорему о сложении скоростей в векторной форме (10) ,

находим

Wa=WA+ε×ρ+ω×ρ+Vr (14)

Векторы  и V_r заданы в подвижной системе, поэтому их абсолютные производные находятся по теореме о связи производных

ρ=ω×ρ+drρdt=ω×ρ+Vr
15
ω×ρ=ω×Vr+ω×ω×ρ; Vr=ω×Vr+drVrdt

Замечательно, что в этих выражениях совпадают слагаемые ω×Vr , полученные из двух, совершенно разных формул: ω×ρ и Vr. В первом случае произведение ω×Vr характеризует изменение переносной вращательной скорости ω×ρ ввиду изменения относительного положения точки ρ.

Во втором случае произведение ω×Vr характеризует изменение направления вектора относительной скорости Vr при вращении несущего тела с угловой скоростью ω.

Таким образом, произведения ω×Vr характеризуют взаимное влияние относительного движения на вращательную переносную скорость и переносного вращения на относительную скорость. Поразительно то, что эти влияния совершенно одинаковы!

Получаем

Wa=WA+ε×ρ+ω×(ω×ρ+Vr)+ω×Vr+drVrdt

Объединяя одинаковые слагаемые, находим

Wa=WA+ε×ρ+ω×ω×ρ+2ω×Vr+drVrdt (16)

Формула (16) в матричной форме в подвижной системе, где просто записывается последнее слогаемое:

Wa=WA+E+Ω2ρ+2Ωρ+ρ (17)

Чтобы найти переносное ускорение, зафиксируем по определению точку на несущем теле.

Тогда Vr_{. Wr=0} и абсолютное ускорение становится переносным по определению

We=WA+ε×ρ+ω×ω×ρ (18)

Видим, что формула (18) совпадает с формулой ускорения точки тела, как и должно быть по определнию.

Остановив несущее тело (WA, ω, ε= 0), найдем относительное ускорение

Wr=drVrdt (19)

Слагаемое в (16)

Wc=2ω×Vr (20)
называется добавочным или Кориолисовым ускорениям.

Приходим к теореме Кориолиса:

Wa=We+Wr+Wc (21)

Видим, что в отличие от скоростей, сумма переносного и относительного ускорений не равна, в общем случае, абсолютному ускорению. Именно поэтому Кориолисово ускорение называют добавочным.

Ускорение названо по имени французского учёного Гюстава Гаспара Кориолиса, впервые её описавшего. Ускорение Кориолиса было получено Кориолисом в 1833 году, Гауссом в 1803 году и Эйлером в 1765 году (!).