Лекция №16 Статистическое моделирование систем автоматизации на ЭВМ

Лекция № 16

Статистическое моделирование систем автоматизации на ЭВМ

Основным методом моделирования таких систем на ЭВМ является метод статистического моделирования, составляющий методологическую основу построения имитационных моделей систем на ЭВМ.

Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды, и реализация этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

В результате статистического моделирования системы получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы.

Теоретической основой метода статистического моделирования являются предельные теоремы теории вероятностей. В соответствии с данными теоремами множества случайных событий подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некоторые средние их характеристики. Характерные закономерности наблюдаются также в распределениях случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий. К основным предельным теоремам, используемым при статистическом моделировании, относятся центральная предельная теорема, теоремы Бернулли, Пуассона, Чебышева, Маркова, Лапласа. Принципиальное значение данных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций), которое с легкостью может быть получено при использовании ЭВМ.

Поясним сущность метода статистического моделирования на следующем примере: необходимо найти оценку математического ожидания выходной величины системы автоматического регулирования - если внешнее возмущающее воздействие есть случайный процесс с известным законом распределения случайной величины . Схема алгоритма, реализующего метод статистического моделирования для оценки , представлена на рис.1. Из него видно, что для учета стохастического возмущающего воздействия при статистическом моделировании на ЭВМ необходим механизм формирования значений случайных величин. При этом результаты статистического моделирования зависят как от количества реализаций, так и от качества исходных последовательностей случайных чисел.

Метод постановки статистического эксперимента для решения разнообразных практических задач известен давно – это метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Фактически современное имитационное моделирование является его развитием применительно к сложным системам.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно - . Практически поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений X; вычисляют их среднее арифметическое - и принимают его в качестве оценки (приближенного значения ) искомого числа - .

Другими словами метод Монте-Карло состоит в «разыгрывании случайных величин» и использовании их выборок для получения искомых оценок.
Таким образом статистическое моделирование систем и процессов на ЭВМ требует большого объема действий со случайными числами, а его результаты существенно зависят от качества исходных последовательностей случайных чисел.

Рассмотрим возможности и особенности получения последовательностей случайных чисел при статистическом моделировании систем на ЭВМ. На практике используются три основных способа генерации случайных чисел: аппаратный (физический), табличный (файловый) и алгоритмический (программный).

Реализация аппаратного способа генерации случайных чисел основана на использовании внешнего электронного устройства, подключаемого к ЭВМ. В качестве физического эффекта, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах. Напряжение с выхода источника шума, являющееся случайным процессом, стробируется напряжением полезного сигнала и квантуется относительно заданного порога. В результате получается серия импульсов, расстояния по времени между которыми являются случайными числами. Основным недостатком данного метода является невозможность получения при моделировании одинаковых последовательностей чисел. А его достоинства, связанные с не использованием ЭВМ, в настоящее время фактически нивелированы все возрастающими возможностями последних.

Табличный способ заключается в предварительном формировании таблицы случайных чисел для требуемого количества реализаций в виде файла. При достаточно большом количестве реализаций основным недостатком данного способа являются большие затраты машинных ресурсов на частое обращение к соответствующему файлу. Однако он позволяет легко осуществлять повторное воспроизведение последовательности чисел.

Алгоритмический способ получений последовательности случайных чисел основан на формировании случайных чисел в ЭВМ с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ. При этом вычисление случайных чисел может быть организовано как по мере необходимости, так и путем периодической генерации множества случайных чисел. Данный способ является наиболее предпочтительным ввиду большей гибкости реализации различных законов распределения.

При моделировании систем на ЭВМ программная имитация случайных воздействий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. В качестве базового может быть принят любой удобный случайный процесс (нормальный, пуассоновский и т.п.). Однако при дискретном моделировании в качестве базового процесса используют последовательности чисел, представляющие собой реализации равномерно распределенных на интервале [0,1] случайных величин. Ввиду того, что ЭВМ оперирует с конечным множеством чисел, получаемые последовательности являются не идеальными случайными, а так называемыми пвсевдослучайными. При этом детерминированность получаемой последовательности определяется разрядностью чисел, с которыми оперирует ЭВМ.

Генератор случайных чисел должен удовлетворять следующим требованиям: получаемые последовательности должны состоять из квазиравномерно распределенных чисел, содержать статистически независимые числа, быть воспроизводимыми, иметь неповторяющиеся числа, использовать минимум машинного времени и памяти.

Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для генерации последовательностей псевдослучайных чисел находят алгоритмы вида -

, (1)

представляющие собой рекуррентные соотношения первого порядка, для которых начальное число x₀ и параметры соотношения заданы.

Прежде чем приступать к реализации моделирующих алгоритмов на ЭВМ, необходимо проверить качество последовательности псевдослучайных чисел. Данная процедура включает проверку равномерности, стохастичности и независимости.

Проверка равномерности может быть выполнена следующим образом. Интервал значений случайных чисел (0,1) разбивается на m частей. Тогда при генерации последовательности каждое из чисел x_i с вероятностью p_j=1/m должно попадать в один из подынтервалов. Всего в каждый подынтервал попадет N_j чисел (). Относительная частота попадания случайных чисел в каждый из подынтревалов буде равна N_j/N. Вид получаемой гистограммы представлен на рис.2. Очевидно, что последовательность тем равномернее, чем ближе ломаная линия к теоретическому значению p_j. Оценка данной степени приближения может быть проведена с использованием критериев согласия (Пирсона, Стьюдента, Фишера). При этом на практике обычно принимается m=20-50, N=(10²-10³)m.

Существо применения критерия Пирсона заключается в следующем: находят . По вычисленному значению и числу степеней свободы (r – число параметров теоретического закона распределения, для равномерного закона r=1) по таблице находят P. Если эта вероятность превышает некоторый уровень значимости , то гипотеза о равномерности принимается.

Проверка стохастичности осуществляется следующим образом. Последовательность разбивается на элементы первого и второго рода (a и b):

Серией называется любой отрезок последовательности, состоящий из идущих друг за другом элементов одного и того же рода, а число элементов в этом отрезке называют длиной серии. В результате получаем последовательность –

aaabbbbbbbaabbaabaaaabbbbbbbbb….

Для равномерно распределенной последовательности случайных чисел вероятность появления серии длиной j в последовательности длиной l определяется формулой Бернули:

При экспериментальной проверке оцениваются частоты появлений серий длиной j. В результате получают теоретическую и экспериментальную зависимости , сходимость которых проверяется по известным критериям согласия при различных значениях p и l.

Проверка независимости последовательности псевдослучайных равномерно распределенных чисел проводится на основе вычисления корреляционного момента. Данная проверка осуществляется путем введения в рассмотрение последовательности , где - величина сдвига последовательностей.

В общем случае корреляционный момент дискретных случайных величин с возможными значениями определяется по формуле:

где p_ij – вероятность того, что примет значение .

Для независимых случайных величин . При проведении оценок независимости используют понятие коэффициента корреляции –

,

где - средние квадратические отклонения величин .

В качестве критерия корреляционной независимости используют соотношение:

.

Его выполнение означает, что с доверительной вероятностью справедлива гипотеза корреляционной независимости.

Расчет коэффициента корреляции осуществляют следующим образом:

,

,

.

При анализе качества программных генераторов псевдослучайных равномерных последовательностей важной характеристикой является длина отрезка апериодичности L, то есть длина отрезка генерируемой последовательности чисел, на котором ни одно число не повторяется. Очевидно, что использование при моделировании последовательности чисел большей чем L длины приведет к повторению опытов, что не позволит получить более лучших статистических оценок при увеличении затрат машинных ресурсов. С теоретическими и практическими способами оценки данного показателя вы можете ознакомиться в литературе (Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем).

Моделирование случайных воздействий на системы

В общем случае для моделирования случайных воздействий на системы используют случайные события, дискретные и непрерывные случайные величины, векторы и процессы. Формирование на ЭВМ случайных объектов любой природы из перечисленных сводится к генерации и преобразованию последовательностей случайных чисел. Рассмотрим вопросы из преобразования для генерации воздействий на моделируемую систему.

Простейшими случайными объектами являются случайные события. Процедура моделирования того или иного случайного события зависит от его формулировки. Например, необходимо смоделировать случайное событие А, наступающее с вероятностью . В этом случае одним из вариантов моделирования является последовательный анализ значений x_i из сгенерированной последовательности случайных чисел и сравнения их с . Если неравенство выполняется, то исходом испытания является событие А.

Если искомый результат испытания является сложным событием, зависящим от двух и более простых событий, то процедура моделирования будет следующей:

а) для двух независимых простых событий А и B – осуществляют последовательную проверку условия совместного исхода испытания () на основе проверки условий истинности каждого события ();

б) для двух зависимых простых событий А и B – задается условная вероятность наступления события B при условии, что событие A уже произошло p(B/A); из последовательности извлекается очередное число и проверяется справедливость неравенства ; далее процесс проверки организуется в зависимости от условия совместного исхода событий; например для события AB поступают следующим образом - если выполняется , то извлекается следующее число и проверяется неравенство , если и оно выполняется то значит заданное событие наступило. Путем алгоритмической организации проверки приведенных неравенств может быть реализован любой совместный исход данных событий .

Для формирования значений случайных величин с заданным законом распределения в качестве базовой последовательности используют последовательности случайных чисел, имеющие равномерное распределение в интервале (0,1), которые преобразуются в значения случайной величины с заданным законом распределения.

Для моделирования дискретной случайной величины принимающей значения с вероятностями используют метод обратной функции: если - равномерно распределенная на интервале (0,1) случайная величина, то искомая случайная величина получается с помощью преобразования –

, где - функция распределения случайной величины ().

Алгоритм формирования сводится к следующему:

если , то

……………………………….

если , то

Для моделирования непрерывных случайных величин с заданным законом распределения также пользуются методом обратной функции. При этом, чтобы получить число принадлежащее последовательности с плотностью распределения необходимо разрешить относительно y_j уравнение вида –

, где x_i – случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0,1).

Основным недостатком данного способа является сложность интегрирования функции плотности распределения вероятностей.

Поэтому часто используют приближенные способы преобразования случайных чисел – универсальные и специализированные. Первые позволяют получать случайные числа с любым законом распределения, а вторые – только с конкретным законом.

Один из универсальных способов получения случайных чисел является следующий:

- генерируется случайное равномерно распределенное число x_i;

- с помощью этого числа случайным образом выбирается интервал (a_k,a_k₊₁) на основе предварительно сформированной таблицы коэффициентов масштабирования для каждого интервала, определенных из условия –

, m- количество интервалов разбиения плотности на участке (a,b);

- генерируется x_i₊₁ и осуществляется ее масштабирование - ;

- вычисляется случайное число с требуемым законом распределения - .
Для моделирования реализаций случайных векторов, обладающих заданными вероятностными характеристиками используют понятие совместного закона распределения случайных величин.

Рассмотрим дискретный двумерный случайный процесс. Составляющая принимает возможные значения , а составляющая принимает значения , причем каждой паре соответствует вероятность . Тогда каждому x_i будет соответствовать . На основании данного распределения можно определить конкретные значения x_i . Аналогично определяются значения y_j₌_i и получаются пары реализаций случайного вектора.

Непрерывный двумерный случайный процесс описывается совместной функцией плотности вероятности - . Эта функция может быть использована для определения функции плотности случайной величины как - .

Имея функцию плотности , можно найти случайное число x_i, а затем при условии, что , определить условное распределение случайной величины - . В соответствии с этой функцией плотности можно определить случайное число y_i. Тогда пара чисел (x_i,y_i) будет являться реализацией вектора .

Общие принципы построения и эксплуатации имитационных моделей

Во-первых, необходимо выделить основные взаимодействия компонентов системы между собой и с внешней средой, которые являются существенными с точки зрения получения требуемых оценок ее функционирования, а также выбрать единицу времени, отражающую природу моделируемой системы.

Во-вторых, определить количество и законы распределения разыгрываемых случайных величин (векторов) и с учетом качества их разыгрывания выбрать продолжительность прогона модели и число прогонов (наблюдений).

Поскольку основная цель состоит в получении наблюдений с наименьшей ошибкой, то используют либо очень длительный прогон модели, либо повторения более коротких прогонов модели с различными последовательностями случайных чисел. Применение первого способа связано с большими затратами машинного времени. Применение второго способа ограничено необходимостью правильного выбора длительности прогона, соответствующей переходу модели в стационарный режим. В рамках второго способа могут быть использованы различные методы получения наблюдений – метод повторения, метод подынтервалов, метод циклов и др.

Метод повторения заключается в организации нескольких прогонов модели при одних и тех же начальных условиях, но с различными последовательностями случайных чисел. Его преимуществом является статистическая независимость получаемых наблюдений (необходимое условие для любого статистического теста). А недостаток состоит в том, что наблюдения могут оказаться сильно смещенными под влиянием начальных условий (переходное состояние).

Метод подынтервалов направлен на уменьшение влияние переходных условий, которому подвержен метод повторения. Он основан на разбиении каждого прогона модели на равные промежутки времени. Преимущество данного метода в том, что со временем влияние переходных условий уменьшается, а недостатком – не выполнение условия о независимости наблюдений от интервала к интервалу, так как между ними возникает автокорреляция. Ее влияние можно уменьшить путем увеличения длины прогона и длину интервалов.

Метод циклов позволяет уменьшить влияние указанной автокорреляции. Он подразумевает выбор интервалов таким образом, чтобы в их начальных точках условия были одинаковыми (с точки зрения рассматриваемой переменной). Однако его недостатком является уменьшение числа получаемых наблюдений. При этом ввиду нерегулярности циклов усложняется оценка значения каждого наблюдения.

Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем.

Таха Х. Введение в исследование операций В 2-х книгах Кн. 2