Лекции по теме: «Векторы в пространстве» - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
«Векторы в пространстве» 1 38.46kb.
Лекции по йоге, бесплатно скачать, аудио лекции, видео лекции, бесплатно... 1 173.18kb.
Вектор направленный отрезок, вектор имеет начало и конец. Модуль... 1 374.9kb.
Урок 1 Понятие вектора. Равенство векторов Цели: ввести понятие вектора... 1 22.8kb.
Интегрированный урок по теме «История и музыка в опере Н. А. 1 119.02kb.
Лекции по философии истории перевод А. М. Водена Гегель Г. В. 14 6268.36kb.
Тематический план изучения дисциплины п/№ Тема Лекции, час. 1 62.63kb.
Процедура расщепления лагранжиана для группы 1 53.65kb.
Лекции Содержание лекции Курсовая работа 1 01. 09 1 03. 09 1 50.35kb.
Лабораторная работа Представление изображений в n-мерном векторном... 1 51.15kb.
Специфика объемных взрывов 3 822.11kb.
Исследование системы линейных уравнений (неоднородной и однородной) 1 72kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Лекции по теме: «Векторы в пространстве» - страница №1/1

Приложение
План лекции по теме: «Векторы в пространстве»


    1. Основные определения и обозначения в стандартной форме (на базе сведений по теме «Векторы на плоскости», 9 класс).

    2. Векторная алгебра.

    3. Компланарные векторы. Линейная комбинация векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

    4. Декартова система координат. Базис , , . Направляющие косинусы вектора. Действия с векторами, заданными своими координатами.

    5. Скалярное произведение двух векторов . Свойства скалярного произведения. Угол между векторами. Проекция одного вектора на другой вектор. Условие перпендикулярности двух векторов: . Скалярное произведение в координатах. Скалярное произведение в физике (работа силы и др.)

    6. Векторное произведение двух векторов. Правая, левая тройки векторов. Круговая перестановка векторов.

  • Определение: Векторным произведением вектора на неколлинеарный ему вектор называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:

  1. , - угол между и ;

  2. , ;

  3. Три вектора , , в указанном порядке образуют правую тройку векторов.

Векторным произведением двух коллинеарных векторов считается нулевой вектор.

  • Обозначения: , .

  • Площадь параллелограмма (), площадь треугольника ().

  • Основные свойства векторного произведения:

  1. = ;

  2. ==;

  3. =+

    • Векторное произведение в координатах.

    • Правая тройка базисных векторов , , .

    • Векторные произведения базисных векторов: , , и т.д.

    • , где , .

Замечание: Определители второго и третьего порядков известны учащимся физико-математического профиля из курса алгебры (решение систем линейных уравнений).

  • Векторное произведение в физике (момент силы, сила Лоренца).




  1. Смешанное произведение трех векторов.

    • Определение: .

    • Обозначение: .

    • Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и (),
      объем пирамиды ().

    • Основные свойства смешанного произведения:

        1. = ;

        2. == (круговая перестановка);

        3. = и т.д.

  • Условие компланарности трех векторов: .

  • Смешанное произведение в координатах:

=, где , , .

План лекции по теме: «Аналитическая геометрия в пространстве»


  1. Декартова система координат.

  2. Плоскость. Точка плоскости , радиус-вектор .

Вывод уравнений на основе векторных соотношений:

  • Общее уравнение плоскости.

Нормальный вектор , .

Проекция вектора на вектор - постоянная величина.



, .

Частные случаи (А=0 и т.д.)

Аналогия: плоскость в пространстве и прямая на плоскости.

Расстояние от начала координат до плоскости .



  • Плоскость с нормалью , проходящая через точку .

. .

  • Плоскость, проходящая через три точки .

Векторы , , компланарны.

.


  • Уравнение плоскости в отрезках

.


  • Расстояние от точки до плоскости .

  • Для двух плоскостей и :

Условие параллельности: , .

Условие перпендикулярности: , .

Угол между плоскостями .


  1. Прямая в пространстве:

  • Пересечение двух плоскостей:

Нормальные векторы: , .



  • Направляющий вектор и точка .

, .

Вектор параллелен вектору .




  • Прямая, проходящая через две точки и , .

, .

  • Для двух прямых и :

Условие параллельности: , .

Условие перпендикулярности: , .

Угол между прямыми .


  • Скрещивающиеся прямые.

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости: .


  1. Плоскость и прямая.

, .

Условие параллельности: , .

Условие перпендикулярности: , .

Угол между прямой и плоскостью .


Стандартные задачи


  1. Угол между скрещивающимися прямыми


Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде высота в два раза меньше стороны основания. Точки и делят соответственно ребра , и в отношениях , , . Найдите угол между прямыми и .

Решение:

Числовые данные задачи подсказывают выбор удобных линейных размеров пирамиды: сторона основания , высота пирамиды . При этом координаты точек , М являются целыми числами.

Расположение осей системы координат показано на рис. 1. Точки - ортогональные проекции точек на плоскость основания (рис. 2).

Вычислим координаты нужных точек и векторов:



, ,,. Рис. 1

, .

. , .

Угол между скрещивающимися прямыми и : .


Ответ. . Рис. 2



  1. Расстояние между скрещивающимися прямыми


Задача 2. Условие задачи 1. Сторона основания равна .

Найдите расстояние между прямыми и .



Решение:

Решим задачу в единицах, выбранных нами ранее, т.е. , .

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми (первой и второй) равно расстоянию от любой (удобной) точки первой прямой до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой. Плоскость определяется одной точкой и нормальным вектором.

Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно . Нормальным вектором можно считать вектор .



.

Проще работать с вектором .

Уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку

.

Расстояние от точки до плоскости



.

Перейдем к единицам задачи 2: .

Ответ. .


  1. Расстояние от точки до плоскости


Задача 3. Условие задачи 2.

Найдите расстояние от середины апофемы грани до плоскости .



Решение:

Середина апофемы – точка .

Уравнение плоскости

,

,

.

Расстояние от точки до плоскости



.

Если сторона основания равна , то .

Ответ. .


  1. Угол между плоскостями



Задача 4. Условие задачи 1.

Найдите угол между плоскостью боковой грани и плоскостью .



Решение:

Уравнение плоскости : .

Нормальный вектор этой плоскости , .

Нормальным вектором плоскости можно считать вектор, пропорциональный вектору .



, .

, .

.

Нормальный вектор плоскости , .

Угол между плоскостями и

.

Ответ. .




  1. Угол между прямой и плоскостью


Задача 5. Условие задачи 1.

Найдите угол между прямой и плоскостью .



Решение:

Направляющий вектор прямой , .

Нормальный вектор плоскости , .

Угол между прямой и плоскостью



.

Ответ. .




  1. Деление отрезка плоскостью


Задача 6. В треугольной призме точка К делит ребро в отношении , точка - центр грани . В каком отношении плоскость делит отрезок ?

Решение:

Три некомпланарных вектора , , образуют базис. Коэффициенты при векторах , и выбраны для удобства решения задачи.



- точка пересечения отрезка и плоскости .

1-й способ решения основан на том, что вектор является линейной комбинацией векторов и , т.е. (1) Рис. 3

Найдем векторы, входящие в отношение (1):



, .

Пусть , .



Условие (1):



приводит к системе уравнений



(2)

Решив простую систему (2) , имеем: , .

Отношение .

Ответ. .



2-й способ решения основан на условии компланарности трех векторов , и , т.е. на условии равенства нулю смешанного произведения этих векторов

. (3)

Отметим, что уравнение (3) для смешанного произведения, записанное с использованием определителя 3-го порядка, справедливо в любом базисе трех некомпланарных векторов (не только в ортонормированном базисе).



, , .



, , .
Ответ. .


  1. Плоские углы трехгранного угла


Задача 7. Пусть , , - плоские углы некоторого трехгранного угла. Докажите, что .

Решение:

Выберем на ребрах трехгранного угла единичные векторы , , . Четыре очевидных равенства:



, , , .

Складывая эти равенства, получаем



(векторы , , некомпланарны).

Следовательно, .


Задача 8. Докажите, что углы между биссектрисами плоских углов трехгранного угла или все острые, или все прямые, или все тупые.

Решение:

, , - единичные векторы на ребрах трехгранного угла. Тогда векторы , , коллинеарны биссектрисам плоских углов.



Вычислим попарные скалярные произведения полученных векторов:

,

,

.

Правые части полученных равенств имеют один и тот же знак (более того – они равны). Это означает, что рассматриваемые углы одновременно либо острые, либо прямые, либо тупые.