Лекции 1 лекция. Множества, операции над ними. Промежутки числовой оси - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Лекции 1 лекция. Множества, операции над ними. Промежутки числовой оси - страница №1/1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Все факультеты (кроме ЭФФ (ТФ 9-14), Эл–16)
I семестр (18 нед.), 22 (зач., экз.), 2004–2005 уч.год
Составили Богомолова Е.П., Прохоренко В.И.

ЛЕКЦИИ
1 лекция. Множества, операции над ними. Промежутки числовой оси.

Логическая символика. Понятие функции. Способы ее задания. Понятие сложной

функции. Функции, ограниченные на множестве. Класс функции О(1) при х→х0, его замкнутость относительно операций сложения и умножения на число.


2 лекция. Понятие функции ограниченной на бесконечности. Предел

функции в точке. Геометрический смысл предела функции в точке. Теорема об

ограниченности функции, имеющей предел. Теорема о единственности предела.

Теорема о сохранении знака функции, имеющей предел. Односторонние пределы.

Бесконечно малые функции и их свойства.
3 лекция. Асимптотическое разложение функции, имеющей предел.

Арифметические действия с пределами. Теорема о переходе к пределу в

неравенствах. Теорема о пределе промежуточной функции. Первый замечательный

предел (без док-ва). Второй замечательный предел (без док-ва).


4 лекция. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные

бесконечно малые функции. Таблица эквивалентностей. Таблица асимптотических

разложений. Вычисление пределов с помощью асимптотических разложений и

эквивалентных бесконечно малых. Бесконечно большие функции и их связь с

бесконечно малыми и с неограниченными функциями. Вертикальные асимптоты

графика функции.


5 лекция. Предел функции на бесконечности. Наклонные и горизонтальные

асимптоты графика функции. Непрерывность функции в точке и на промежутке.

Точки разрыва и их классификация.
6 лекция. Теоремы об арифметических действиях с непрерывными

функциями, о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, о

непрерывности сложной функции. Асимптотическое разложение непрерывной функции.

Свойства функций, непрерывных на отрезке (без док-ва).



7 лекция. Понятие производной. Геометрический и механический смысл

производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Понятие

дифференцируемости функции. Дифференциал. Необходимое и достаточное условие

дифференцируемости функции. Геометрический смысл дифференциала. Непрерывность

дифференцируемой функции. Дифференцирование суммы, произведения и частного.
8 лекция. Производная сложной функции. Логарифмическая производная.

Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Обратная функция, теорема

о существовании обратной функции (без док-ва). Дифференцирование обратной

функции. Дифференцирование обратных тригонометрических функций.

Гиперболические функции, их производные. Таблица производных.
9-10 лекции. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы

Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя (док-во для раскрытия

неопределенности типа «0/0».
11 лекция. Условия возрастания и убывания функции в точке и на

промежутке. Локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума.

Достаточные условия локального экстремума по первой производной. Наибольшее и

наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке. Достаточные условия

экстремума с помощью второй производной.
12-13 лекции. Выпуклость графика функции. Достаточные условия

выпуклости. Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба.

Достаточные условия существования точки перегиба. Общая схема исследования

функции.


14-15 лекции. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Примеры разложения функций

по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для локального исследования

поведения функции (отыскание экстремумов и точек перегиба с помощью

производных высшего порядка).
16-17 лекции. Параметрически заданные функции. Дифференцирование

параметрически заданных функций. Вторая производная функции, заданной

параметрически. Касательная и нормаль к графику функции, заданной

параметрически. Примеры построения кривых, заданных параметрически. Полярная

система координат. Кривые, заданные в полярных координатах. Примеры

построения кривых в полярной системе координат.


18 лекция. Обзор.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ


1 занятие. Множества и операции над ними.

[3]: 1.30, 1.47, 1.49.


Логическая символика.
[3]: 1.83, 1.89.
Понятие функции. Элементарные функции и их графики.
[3]: 1.103, 1.104, 1.106, 1.108, 1.109, 1.134, 1.135, 1.159, 1.164.
Задание. [3]: 1.102, 1.105, 1.107, 1.110, 1.111, 1.136, 1.138, 1.160, 1.166.
2 занятие. Предел функции в точке. Простейшие приемы вычисления.

[3]: 1.272, 1.274, 1.276, 1.280, 1.282, 1.286, 1.288, 1.289.

[5]: 3.5.1, 3.7.1, 3.7.6.
Задание. [3]: 1.273, 1.275,

1.277, 1.281, 1.283, 1.285, 1.291, 1.292, 1.293, 1.297.

[4]: ТР 7, 9, 10.
3-4 занятия. Бесконечно малые функции и их свойства.
[3]: 1.349. Вычисление пределов с помощью бесконечно малых функций или асимптотических разложений.
[3]: 1.303, 1.305, 1.309, 1.311, 1.327, 1.328, 1.296, 1.367,

1.370. [5]: 3.8.3, 3.8.5, 3.8.6, 3.8.4, 3.9.5, 3.9.9, 3.9.10.


Задание. [3]: 1.304, 1.307, 1.308, 1.314, 1.329, 1.331,

1.295, 1.368, 1.371. [4]: ТР 11--15.


5 занятие. Вычисление пределов с помощью теоремы о переходе к пределу

под знаком непрерывной функции. Число e Произведение бесконечной малой и

ограниченной функций.
[3]: 1.320, 1.322, 1.330, 1.332. [5]: 3.10.1. 3.10.2, 3.11.1-3.11.4,

3.12.1-3.12.5.


Задание. [3]: 1.321, 1.323, 1.327, 1.333. [5]: 3.10.4-3.10.6,

3.11.5-3.11.7, 3.12.6-3.12.8. [4]: ТР 16-20.


6 занятие. Сравнение бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции.
[3]: 1.348, 1.349-1.358(чет.), 1.359(а,в), 1.372. 1.374, 1.376.
Задание. [3]: 1.349-1.358(нечет.), 1.359(б), 1.373, 1.375,

1.377.
7 занятие. Предел функции в бесконечности. Горизонтальные и

наклонные асимптоты графика функции. Вертикальные асимптоты.

Односторонние пределы.


[3]: 1.266, 1.270, 1.338-1.345(чет.) 1.283, 1.286, 5.452, 5.453,

5.454.
Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.


[3]: 1.384, 1.387, 1.390, 1.396, 1.399.
Задание. [3]: 1.267, 1.271, 1.338--1.345(нечет.), 1.274,

5.456, 5.458, 1.386, 1.388, 1.391, 1.398, 1.401.


8 занятие. КР "Пределы" (1 час).
Понятие производной. Таблица производных и основные правила

дифференцирования.


[3]: 5.22, 5.24, 5.26, 5.28, 5.30, 5.32, 5.34, 5.36, 5.38, 5.40,

5.42, 5.44.


Задание. [3]: 5.21-5.59(нечет.).
9 занятие. Существование производной.
[5]: 4.1.1-4.1.3.
Дифференцирование сложной функции.
[3]: 5.46, 5.47, 5.50, 5.52, 5.54, 5.56, 5.58, 5.60.
Задание. [3]: 5.49-5.69(нечет.). [4]: TP 1, 5-9.
10 занятие. Дифференцирование сложной функции (продолжение).
[3]: 5.62, 5.64, 5.68, 5.70, 5.72, 5.74, 5.76.
Логарифмическое дифференцирование.
[3]: 5.82, 5.88, 5.89, 5.91. [5]: 4.5.1, 4.5.2.
Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.
[3]: 5.150, 5.154, 5.156, 5.171, 5.182.
Касательная и нормаль к кривой.
[3]: 5.240, 5.248, 5.244, 5.242. [5]: 4.3.1, 4.3.2, 4.7.1, 4.7.2.
Задание. [3]: 5.61-5.75(нечет.), 5.82-5.92(чет.),

5.145, 5.147, 5.149, 5.151, 5.153. [4]: TP 10-16, 2.


11 занятие. Производные высших порядков. Формула Лейбница.
[3]: 5.184-5.192(чет.), 5.208, 5.210, 5.225, 5.223, 5.230.

[5]: 4.8.1, 4.9.1.


Дифференциал.
[3]: 5.285, 5.287, 5.298(а), 5.299, 5.303, 5.305. [5]: 4.4.1-4.4.3.
Задание. [3]: 5.185-5.193(нечет.), 5.209, 5.211,

5.212, 5.289, 5.298(б,в), 5.300, 5.304, 5.306. [4]: TP 17--20, 3, 4.


12 занятие. КР "Дифференцирование" (1 час).
Правило Лопиталя.
[3]: 5.333, 5.338, 5.344, 5.358, 5.363, 5.367, 5.378, 5.364.
Задание. [3]: 5.345, 5.331, 5.352, 5.362, 5.370, 5.376.
13 занятие. Исследование функций с помощью производной первого порядка и

построение эскиза графика. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.


[3]: 5.413, 5.414, 5.417, 5.419, 5.463, 5.477. [5]: 5.2.5, 5.2.6.
Задание. [3]: 5.415, 5.416, 5.418, 5.462, 5.480.

[4]: ТР 1, 2, 3, 4.


14-15 занятия. Общая схема исследования функций.
[3]: 5.461, 5.466, 5.476, 5.482, 5.489, 5.496, 5.498.

[5]: 5.1.3, 5.1.4, 5.1.5, 5.1.10.


Задание. [3]: 5.468, 5.470, 5.481, 5.499, 5.495, 5.503,

5.497. [4]: ТР 6-10.


16 занятие. Формула Тейлора.
[3]: 5.379, 5.382, 5.393. [5]: 5.3.1-5.3.6.
Задание. [3]: 5.396, 5.383. [5]: 5.3.7-5.3.10.

[4]: ТР 5.


17 занятие. КР "Графики" (2 часа).
18 занятие. Обзор.
Перечень задач из ТР
Пределы: 8-20.

Дифференцирование: 1-20.

Графики: 1-10.
Контрольные мероприятия

1. КР "Пределы" - 8 занятие (1 час).


2. КР "Дифференцирование" - 12 занятие (1 час).
3. КР "Графики" - 17 занятие (2 часа).
Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и

интегральное исчисление. -М.: Наука, 1980.
2. Петрушко И.М., Кузнецов Л.А. Курс высшей математики. Введение в математический

анализ. Дифференциальное исчисление. -М.: Изд-во МЭИ, 2000 г.


3. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы

математического анализа. Ред. Ефимов А.В., Демидович Б.П.

-М.: Наука, 1993.
4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты).

-М.: Высшая школа, 1994.


5. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика.

-М.: Физматлит, 2000.