Лабораторная работа по курсу: Радиотехнические цепи и сигналы Линейные цепи с постоянными параметрами - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Радиотехнические цепи и сигналы. Компьютеризированный курс: Учебное... 1 73.1kb.
Лабораторная работа № Цепи Маркова. Энтропия цепей Маркова. 1 271.15kb.
Лабораторная работа ew-14 «смещение потенциала нейтрали в четырехпроводной... 1 102.3kb.
Закон Ома для участка цепи с ила тока в проводнике прямо пропорциональна... 1 28.2kb.
Закон Ома для участка цепи Сила тока в проводнике прямо пропорциональна... 1 13kb.
«Закон Ома для участка цепи» 1 52.52kb.
«Основные теоремы теории электрических цепей» 1 104.54kb.
Семинар 7 Цепи Маркова 2 Пусть  t ( t =0, 1, 2,…) состояние однородной... 1 32.84kb.
Лабораторная работа по курсу Радиотехника Москва 2003 1 183.89kb.
Урок «Закон Ома для участка цепи» 1 169.75kb.
Выпускная квалификационная работа 10 1690.1kb.
Изображение линий на чертеже Дифференциал 1 92.2kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Лабораторная работа по курсу: Радиотехнические цепи и сигналы Линейные цепи с постоянными - страница №1/2



министерство образования российской федерации
Московский физико-технический институт

(государственный университет)


Кафедра радиотехники

Лабораторная работа


по курсу: Радиотехнические цепи и сигналы

Линейные цепи с постоянными параметрами


Москва 2001


Составитель Ю.П.Озерский.


УДК 621.37
Лабораторная работа по курсу: Радиотехнические цепи и сигналы.

Линейные цепи с постоянными параметрами/МФТИ.

М., 2001, 48 с.

Московский физико-технический институт

(государственный университет), 2001

Содержание


  1. Введение 4

  2. Сигналы. Методы анализа и синтеза линейных
    цепей 7

    1. Сигналы, как функции времени 7

    2. Связь между током и напряжением для эле-
      ментов цепи в интегро-дифференциальной
      временной форме 8

    3. Метод дифференциальных уравнений 8

    4. Метод интеграла Дюамеля, переходные
      характеристики цепей 10

    5. Спектральное представление сигналов 13

    6. Комплексное, векторное и спектральное
      представление синусоидального сигнала 14

    7. Комплексный (символический) метод 17

      1. Дифференцирование и интегрирование
        комплексных сигналов 18

      2. Сложение комплексных сигналов, век-
        торные диаграммы 19

      3. Связь между синусоидальными током и
        напряжением для элементов цепи в ком-
        плексной форме 19

      4. Комплекный коэффициент передачи,
        амплитудно-частотные и фазо-частотные
        характеристики 20

    8. Спектральный метод 26

  3. Исследуемые цепи. Задания 29

    1. Пассивные цепи 29

      1. Интегрирующая и дифференцирующая
        цепи, неминимально-фазовый четырех-
        полюсник (мост) 29

      2. RC-четырехполюсники 2-го порядка 32

      3. LCr- и LCR-четырехполюсники 2-го
        порядка 34

      4. Двойной Т-образный мост 38

    2. Активные цепи 40

      1. Построение активных цепей 40

3.2.2. Фильтр нижних частот 41

3.2.3. Полосовые фильтры 43

3.2.4. Режекторный фильтр 45

3.2.5. Регулятор тембра звуковых частот 46

Список литературы 47


  1. Введение

Важнейшими сторонами человеческой деятельности являются получение и обмен информацией, а также управление на ее основе экономической, социальной, научно- технической и другими сферами жизни любого государства.

Наиболее эффективными по быстродействию, точности, емкости памяти, надежности и удобству пользованию средствами решения названных задач являются радиотехнические средства. Этим объясняется широкое развитие радиовещания, телевидения, радиотелефонии, радиосвязи, радиотелеметрии, радиолокации, радионавигации, сетей ЭВМ (в частности, Интернета), электронных систем моделирования разнообразных физических процессов и явлений, систем автоматического управления объектами и т.п.

Целью настоящей лабораторной работы является изуче-ние линейных радиотехнических цепей с постоянными пара-метрами. Работа выполняется на ЭВМ с помощью программы схемотехнического моделирования Micro Cap , версия 6.

Цепью называют совокупность радиотехнических элемен-тов, соединенных проводами и электромагнитными полями. В данной работе рассматриваются цепи, состоящие из дискрет-ных элементов: резисторов, конденсаторов, катушек индук-тивности, операционных усилителей. Такие цепи являются реальными частями большинства радиоустройств. Кроме того, подобные цепи используют как приближенные модели при исследовании ряда сложных элементов и устройств.

Подаваемые на цепь, существующие в них и выводимые из цепей токи, напряжения и электромагнитные колебания (радиоволны) обобщенно называют сигналами.

С помощью цепей создают, усиливают и преобразуют разнообразные сигналы, которые и используют в качестве носителей информации и управляющих воздействий.

Простейшими элементами радио-цепей являются двухполюсники. Они бывают активными и пассивными.



Активные двухполюсники содержат источники энергии, которую они вносят в цепь. На схемах активные двухполюсники изображают в виде генератора напряжения или генератора тока. Простейший генератор напряжения содержит последовательно соединенные источник электродвижущей силы (ЭДС) и выходное сопротивление (обычно малой величины). Простейший генератор тока содержит параллельно соединенные источник тока и выходное сопротивление (обычно большой величины).

Пассивные двухполюсники либо потребляют энергию, подводимую к цепи, либо на некоторое время запасают ее малые количества, а затем отдают эти запасы в цепь. Первые из их называют резистивными, это – резистор с сопротивлением R (Ом), диод и др. Вторые называют реактивными – это конденсатор с емкостью C (Фарада) и катушки с индуктивностью L (Генри).

Пассивные двухполюсники делятся также на линейные и нелинейные. У линейных двухполюсников связь между напряжением на них и протекающим током задается линейной функцией, у которой приращение функции пропорционально приращению ее аргумента. У таких двухполюсников величины их параметров не зависят от протекающих токов и напряжений на двухполюснике. Если же параметры независимо изменяют во времени по заданному закону, то такие линейные двухполюсники называют параметрическими.

У нелинейных двухполюсников величины их параметров зависят от протекающего тока или падения напряжения и по-этому связь между током и напряжением у таких двухполюсников задается нелинейными функциями.

Цепи, составленные из двухполюсников, также могут быть линейными, нелинейными, параметрическими, пассив-ными, активными. Важным свойством линейных цепей явля-ется подчинение их принципу суперпозиции, который заключа-ется в том, что отклик цепи на сумму нескольких входных воздействий равен сумме откликов на каждое из них. Примеры четырехполюсников, составленных из этих элементов, показ-ны на рис. 1. Они соответственно называются: интегрирующая цепь, дифференцирующая цепь, форсирующая цепь, LCr-


-четырехполюсник.




Четырехполюсник – это цепь с одним входом и одним выходом. Многополюсники имеют большее число входов или выходов. К активным четырехполюсникам и многополюсни-кам, в частности, относят такие управляемые (усилительные) элементы, как электронные лампы, биполярные и полевые транзисторы, операционные усилители и др.

Существуют две основные задачи, которые приходится решать при использовании и проектировании цепей – это задача анализа цепи и задача синтеза цепи.



Анализом заданной цепи называют нахождение ее выходного сигнала y(t) при известном входном сигнале x(t)

Синтезом цепи называют нахождение ее структуры и параметров, при которых заданный входной сигнал x(t) преобразуется в требуемый выходной сигнал y(t).

Некоторые методы решения этих задач для линейных це

пей рассмотрены ниже.


  1. Сигналы. Методы анализа и синтеза линейных цепей

    1. Сигналы, как функции времени.

Сигналы в радио-цепях, как правило, изменяются во времени. Их классификация весьма обширна. Здесь отметим лишь следующее.

Различают детерминированные сигналы, которые можно описать известными математическими функциями времени, и случайные сигналы, значения которых в любые моменты времени заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. В данной работе рассматриваются только детерминированные сигналы. Они могут быть периодическими и непериодическими, заданными на конечном интервале времени, то есть финитными, либо на всем интервале от минус до плюс бесконечности и т.д. Особо отметим синусоидальный (гармонический) сигнал x(t) =


= Amcos(0t + 0), существующий на временном интерввале от минус до плюс бесконечности, у которого амплитуда Am
(Am  0), угловая частота 0 и начальная фаза 0 неизменны во времени. Такой сигнал при прохожднии через любые линейные цепи остается гармоническим (возможно лишь с изменением величины амплитуды и начальной фазы).

Из-за произвольного вида входных сигналов и большого разнообразия типов цепей невозможно разработать универсальный метод анализа и синтеза любых цепей.

Вместе с тем, достаточно общим и широко применяемым способом представления произвольных детерминированных сигналов является их запись в виде эквивалентной суммы известных типовых сигналов. Такую операцию называют разложением сигнала. Результат разложения сигнала на синусоидальные функции (в ряд и интеграл Фурье) называют частотным спектром сигнала, а метод анализа и синтеза цепей с использованием операций над такими частотными спектрами называют спектральным. (Методы исследования цепей, опе-рирующие непосредственно входными сигналами, как функ-циями времени, иногда называют временными методами). Применяют также многие другие разложения, например, в ряд Котельникова, по функциям включения 1(t), по дельта-

-функциям (t), по функциям Уолша, вейфлет-анализ и.т.д



    1. Связь между током и напряжением для элементов

цепи в интегро-дифференциальной временной форме

Напомним связь между током, протекающим через двухполюсник, и напряжением на нем для элементов R, C и L, выраженную в интегро-дифференциальной форме.

Для резистора:

u(t) =R i(t), i(t) = u(t) /R = G u(t), (1)

где G = 1/R – проводимость (Сименс).

Для конденсатора:

u(t) = i(t) = , (2)

где q(t) – заряд (Кулон).

Для катушки индуктивности:

u(t) = i(t) = (3)

где – магнитный поток (Вебер).

В выражениях (2) и (3) учтены начальные условия, то есть напряжение на емкости и ток через индуктивность на момент времени t = 0, начиная с которого ведется наблюдение процес-

сов в данных элементах.

2.3. Метод дифференциальных уравнений

Выражения (2) и (3) показывают, что ток и напряжение для элементов C и L связаны между собой операторами дифференцирования и интегрирования. Следовательно, цепи, содержащие такие элементы, можно описать интегро-


-дифференциальными уравнениями. Метод использования этих уравнений является классическим методом исследования любых цепей. Для линейных цепей систему таких уравнений получают в результате записи соотношений между токами и напряжениями в элементах цепи с учетом правил Кирхгофа.

Правила Кирхгофа гласят: а) сумма всех втекающих и вытекающих токов в любом узле цепи равна нулю, б) сумма всех напряжений в любом замкнутом контуре цепи равна сумме действующих в нем ЭДС.

Полученную систему уравнений обычно сводят к одному дифференциальному уравнению, связывающему входной и выходной сигналы.

Например, для форсирующей цепи (рис. 1в), применяя правила Кирхгофа, получаем соотношения i = i1 + i2, x =


u
+ y, где u – падение напряжения на параллельном соединении элементов C и R1, i – входной ток цепи, i1 и i2 – токи через элементы C и R1. Исключая из этих выражений все переменные, кроме x и y, получаем следующее дифференциальное уравнение данной цепи

(4)

Или, обозначая CR2 = a1 = b1, (R1 + R2)/R1 = a0, R2/R1 = b0, выражение (4) можно представить в следующем виде:



Для LCr-четырехполюсника (рис. 1г) аналогично получаем



(5)

Таким образом, общее выражение дифференциального уравнения для цепей имеет вид:



(6 ).


Для линейных цепей коэффициенты уравнения (6) постоянны и оно является линейным. Число n называют порядком цепи.

Поскольку символ дифференцирования d/dt связан с реактивными элементами C и L, то порядок уравнения любой цепи определяется числом таких ее элементов.

Для заданной цепи коэффициенты ai и bj в (6) известны и анализ цепи сводится к решению уравнения (6) относительно y(t) при заданном сигнале x(t). и определенных начальных условиях.

Синтез цепи состоит в нахождении коэффициентов ai и bj , при которых данный входной сигнал x(t) вызывает тре-буемый выходной сигнал y(t). По этим коэффициентам нахо-дят структуру и значения параметров синтезируемой цепи.



    1. Метод интеграла Дюамеля, переходные характери-

стики цепей

Метод интеграла Дюамеля (или суперпозиционного инте-грала) является временным методом анализа и синтеза линей-ных цепей. Его применение наиболее эффективно для случая финитных сигналов или сигналов, начинающихся в опреде-ленный момент времени. Идея метода проиллюстрирована на рис. 2. Примем начало действия входного сигнала x(t) за мо-

м
ент времени t = 0 и сначала аппроксимируют этот сигнал суммой ступенчатых функций, начало которых соответствует моментам времени kt, где k = 0, 1, 2 , . ., как показано на рис. 2а:

x(t) = x(0) 1(t) + x((k1)t)] 1(tkt),

где 1(t) – так называемая единичная функция или функция включения или функция Хевисайда, равная нулю для t  0 и единице для t .

Если через h(t) обозначить реакцию цепи на сигнал 1(t), то, устремляя величину t к нулю (увеличивая точность аппроксимации) и переходя от суммы к интегралу, получаем следующую связь между x(t), y(t) и h(t), называемую интегралом Дюамеля:

y(t) = x(0) h(t) + h(t  )d, (7а)

y(t) = x(0) h(t) + h()d, (7б)

y(t) = x(t) h(0) + h’(t  )d, (7в)

y(t) = x(t) h(0) + h’() d. (7г)

Здесь штрих означает операцию d/dt.

Функция h(t) называется переходной характеристикой цепи и может быть найдена либо решением уравнения (6), либо иными методами, в том числе экспериментально. При знании функции h(t) задача анализа цепи сводится к вычислению любого из интегралов (7).

Например, для интегрирующей цепочки рис. 1а имеем


h(t) = 1 exp(t/), где  = RC. Пусть для t 0 имеем
x(t) = v t. Тогда из формулы (7а), получаем:

y(t) = 0 h(t) +
= v t – v  [1 – exp(t/)].

Задача синтеза цепи сводится к определению из (7) вида h(t) и составлению или подбору цепи с такой h(t).

Разложим теперь тот же входной сигнал на сумму коротких прямоугольных импульсов длительностью t, сдвинутых во времени на величину kt, как показано на рисю 2б. Если аналогично найти реакцию цепи на такой импульс единичной площади, устремить величину t к нулю и просуммировать реакции на все сдвинутые импульсы, то получим другую запись интеграла Дюамеля:

y(t) = hи(t   )d = hи ()d, ( 8 )

где функцию hи(t) называют импульсной переходной харак-теристикой, импульсной функцией или функцией Грина цепи.

Она является реакцией цепи на дельта-функцию или функцию Дирака (t). Функцию Дирака можно рассматривать как предел формы прямоугольного импульса единичной пло-щади при стремлении его длительности к нулю. Другим опре-делением дельта-функции является равенство: (t) = d1(t)/dt.

При этом разложение сигнала на прямоугольные импульсы, показанное на рис. 2б, при условии t 0 переходит в его разложение по дельта-функциям:



x(t) = (t )d.

Такое разложение, понятие дельта-функции и интеграл Дюамеля вида (8) находят широкое применение в теории цепей.

2.5. Спектральное представление сигналов

Уже говорилось, что частотным спектром сигнала называют результат его разложения на сумму синусоидальных функций.

Периодические сигналы, описываемые функциями f(t), удовлетворяющими условиям Дирихле, разлагают в ряды Фурье. Условия Дирихле гласят: а) период функции может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция непрерывна и монотонна, б) если во всякой точке разрыва функции существуют f(x + 0) и f(x 0), то ряд сходится и его сумма равна f(t) в точках непрерывности и равна 0.5[f(x + 0) + f(x 0)] в точках разрыва.

Ряд Фурье записывают в вещественной и в комплексной форме.



Вещественный ряд представляют либо в тригонометри-

ческом виде:
f(t) = C0 + [ak cos(k0t) + bk sin(k0t)], (9а)
либо в амплитудно-фазовом виде, который задает так называемый дискретный частотный спектр функции f(t):
f(t) = C0 + Ck cos(k0t  k), (9б)
где 0 = 2/T, T – период функции f(t),
ak = cos(k0t)dt, bk = sin(k0t)dt,
Ck = k = arctg(bk/ak).

Комплексный ряд Фурье, задающий дискретный комплексный спектр функции f(t),. имеет вид:

f(t) = Сk exp(jk0t), (10а)
где коэффициенты Ck являются комплексными числами:
Ck = exp(jk0t)dt. (10б)

(Здесь и далее комплексные числа и функции обозначаются жирными заглавными буквами.)

Функции f(t), описывающие одиночные сигналы, разлагают в интеграл Фурье:

f(t) = G(j) exp(jt) dt (11а)
где комплексная функция G(j) является непрерывным комплексным спектром функции f(t):
G(j) = f(t) exp(j t)dt (11б)

Для лучшего понимания смысла комплексного спектра, рассмотрим комплексное и векторное представление синусои-

дальной функции.


    1. Комплексное, векторное и спектральное представление

синусоидального сигнала

Из курса математики известно определение комплексного числа Z = a + jb (где j = ), являющегося, например, одним из корней квадратного уравнения z2 2az + (a2 + b2) =0.

Это число состоит из вещественной части а и мнимой части jb (где b – вещественное число).

Известны также понятие комплексной функции Z() =


= a() +j b() вещественного аргумента , где a() =
= Re[Z()] и b() = Im[Z()] – вещественные функции.

Разработан аппарат операций над комплекными числами и функциями (сложение, умножение и т. д.). Найдена связь комплексного числа с показательной и тригонометрическими функциями (формула Эйлера) a + jb = M exp(j) = M (cos  +


+ j sin ), M = – модуль, а  = arctg(b/a) – аргумент комплексного числа. Из последней записи видно, что
a = Re[Z] = M cos , b = Im[Z] = M sin . Поэтому комплексную функцию X(t) =Amcos(0t + 0) + jAmsin(0t + 0) =
= Am exp(j(0t + 0)) = Am exp(j0) exp(j0t) == Am exp(j0t), где

Am = Amexp(j0) – комплексное число, стали называть
комплексным представлением вещественной синусоидальной функции x(t) = Am cos(0t + 0) = Re[X(t)] или комплексным сигналом X(t). При этом комплекное число Am называют комплекной амплитудой вещественной сигнальной функции x(t ). Далее, для упрощения записи аргумент t у комплексных сигналов будем пускать, полагая X(t) = X.

Известно также векторное представление комплексного числа на комплексной плоскости, показанное на рис. 3. Оно задается вектором длины M, начало которого совпадает с на-чалом координат (точкой 0), а конец – с точкой, Z, имеющей координаты a и jb. При этом угол между названным вектором и вещественной осью равен .

Аналогично, комплексную функцию
X = Am exp(j0) exp(j0 t) = Am exp(j0 t)

на той же плоскости представляют вектором, который в момент времени t = 0 совпадает с вектором комплексной амплитуды (комплексным числом) Am еxp(j0) и который вращается вокруг точки 0 против часовой стрелки с угловой скоростью 0. Проекция такого вращающегося вектора на вещественную ось и является вещественной синусоидальной функцией x(t). Поэтому данный вектор называют векторным представлением вещественной синусоидальной функции x(t).

Рассмотрим еще одно тождество: x(t) = Am cos(0t + 0) =
= 0.5 Am еxp[j(0t + 0)] + 0.5 Am exp[j(0t + 0)] =

= X1 + X2 ( 12 )

Оно дает основание сопоставить вещественной синусоидальной функции x(t) две комплексные функции и два вектора длины Am/2 с начальными фазами 0 и 0, вращающиеся с угловой скоростью 0 в противоположных направлениях. Сумма их проекций на вещественную ось также равна вещественной функции x(t). Следовательно, эта модель является вторым векторным представлением синусоидальной функции x(t).

Перечисленные векторные представления лежат в основе и двух спектральных представлений синусоидальной функции x(t), которые показаны на рис. 4. Каждое из них содержит два графика. На первом графике на рис. 4а на частоте 0 откла-дывают величину амплитуды Am, а на втором графике указы-вают знак и величину агрумента (начальной фазы) 0. Эти параметры первого векторного представления совпадают с параметрами вещественной синусоидальной функции x(t). Поэтому графики на рис. 4а называют вещественным спек-тром вещественной функции x(t). Первый из них называют амплитудным спектром Gx(f), а второй – фазовым спектром x(f). На аналогичных графиках рис. 4б изображают соответ-ственно амплитуды 0.5Am, и аргументы (начальные фазы) 0 и 0 второго векторного представления комплексных функций (12). При этом противоположное направление вращения вто-рого вектора длины 0.5Am отражают размещением парамет-ров 0.5Am и 0 на отрицательной частоте 0. Поэтому графики на рис. 4б, отражающие параметры выражения (12), называют комплексным спектром вещественной функции x(t).

Все спектры, показанные на рис. 4 называют линейчатыми или дискретными, потому что они состоят из отдельных линий.

Комплексную функцию (11б) G(j) = A() + jB(), которую называют спектральной плотностью сигнала, также изображают в виде двух графиков для отрицательных и положительных частот. Зависимость ее модуля G() =
= от частоты называют амплитудной спектральной плотностью, а зависимость аргумента () =
= arctg[B()/A()] от частоты – фазовой плотностью спектра. Эти кривые являются непрерывными и такой спектр сигнала называют сплошным. При этом, выполняется равенство Парсеваля:

f2(t) dt = G2()d = G(j) G*(j)d,

где G*(j) – функция, комплексно-сопряженная функции G(j). Величина первого интеграла задает энергию сигнала, а функция G2() определяется как энергетический спектр сигнала f(t).

Аналогично, для рядов Фурье выполняется равенство мощности периодического сигнала и суммы мощностей всех

его дискретных составляющих спектра.

2.7 Комплексный (символический) метод

Сущность комплексного метода исследования цепей за-ключается в том, что, используя комплексное представление синусоидальных сигналов и правила действия с комплексны-ми сигналами, с помощью простых алгебраических операций находят реакцию цепи на реальные синусоидальные воздей-ствия любой частоты. При этом для интересующей пары входного и выходного синусоидальных сигналов можно легко найти комплексный коэффициент передачи этой пары. Использование такого коэффициента позволяет далее провести анализ или синтез цепи при произвольных входных воздействиях либо спектральным методом, либо временным методом, например, методом интеграла Дюамеля.

Комплексный метод относится к символическим методам исследования цепей, которые характерны тем, что реальные сигналы заменяют их символами (в данном случае веществен-ный синусоидальный сигнал – его комплексным представле-нием). К числу символических методов относят также опера-торные методы, основанные на преобразованиях Лапласа или Карлсона, при которых реальные сигналы заменяют их ''изо-бражениями''.


      1. Дифференцирование и интегрирование комплексного

сигнала

Известно, что производная вещественного синусоидаль-ного сигнала x(t) = Am cos(0t + 0) равна dx(t)/dt =


=
0 Am sin(0t + 0) = 0 A m cos(0t + 0 + /2), а интеграл равен x(t)dt = (Am/0) sin(0t+ 0) = (Am/0) cos(0t + 0
/2). У комплексного сигнала X = Am еxp(j0t) комплексная амплитуда Am от времени не зависит. Поэтому для него име-ем: dX/dt = j0 X и Xdt = [1/j(0t)]X. Видно, что Re[dX/dt] =
= dx(t)/dt, и Re[Xdt] = x(t)dt, то есть, рассмотренные операции над обоими сигналами дают эквивалентные резуль-таты. Таким образом, операция дифференцирования ком-плексного сигнала сводится к умножению его на величину j,

а интегрирования – к делению на j.




      1. Сложение комплекных сигналов, векторные

диаграммы

Рассматривая векторное представление синусоидального сигнала, нетрудно заметить, что суммирование нескольких синусоидальных сигналов одинаковой частоты можно осуществить векторным сложением их комплексных амплитуд на комплексной плоскости. Такое построение называют векторной диаграммой этих сигналов. Поскольку проекция суммарного вектора на вещественную ось равна сумме проекций на ту же ось всех его слагаемых, то результаты векторного сложения комплексных сигналов эквивалентны результатам сложения вещественных сигналов. Операцию векторного сложения распространяют и на случай неравных частот. Тогда полагают, что суммируемые векторы вращаются один относитель-

но другого с разностной частотой.


      1. Связь между синусоидальными токами и напряжения-

ми для элементов цепи в комплексной форме

Запишем выражения, связывающие синусоидальные токи и напряжения для элементов R, C и L в комплексной форме с учетом формул (1)-(3) и правил дифференцирования и интегрирования комплексных сигналов и считая начальные условия нулевыми.

Пусть нам задан ток i(t) = Im cos(t + ) = Re[I] =
=
Re[Im exp(j) exp(jt)], втекающий в рассматриваемый элемент.

Тогда для резистора из ( 1 ) получаем:


U = R I(t). (13)

Для конденсатора из ( 2 ) записываем:


U = I. (14)

При этом u(t) = Re[U] = Um cos(t +  /2), где Um =


= Im/(jС).

Для катушки индуктивности из ( 3 ) получаем:


U = jL I (15)

При этом u(t) = Re[U] = Um cos(t +  + /2), Um = L Im.

Видно, что конечная связь между реальными сигналами i(t) и u(t) для всех элементов одинакова, как при опериров-ании с вещественными сигналами, так и при оперировании с комплексными сигналами. Однако для комплексных сигналов запись имеет более простую, алгебраическую форму, задавае-мую выражениями (13)-(15), которые в литературе иногда называют законами Ома в комплексной форме. При этом появляется понятие комплексного сопротивления. Для рези-стора оно остается вещественным и равным R, а для емкостей и индуктивностей – оказывается чисто мнимым, равным числам 1/(jC) = j/(C) и jL соответственно. Для последо-вательного соединения резистора и индуктивности, например, имеем комплекное сопротивление Z = R + jL.

Отсюда следует, что для линейных цепей все связи между входными и выходными сигналами в комплексной форме можно записать не в виде интегро-дифференциальных уравнений, а в виде комплексной функции, которая рассматривается в следующем пункте.




      1. Комплексный коэффициент передачи, амплитудно-

частотные и фазо-частотные характеристики цепи

Подставим комплексные сигналы X и Y в дифференциальное уравнение (6) с учетом описанных правил операций над комплексными сигналами. Тогда связь между выходным и входным сигналами приобретает вид: Y = X K(j), где



K(j) = (16)

Комплексную функцию K(j) = C() + jD() называют комплексным коэффициентом передачи цепи. Ее знание по-зволяет записать реакцию цепи на синусоидальный входной сигнал любой частоты, а именно: y(t) = Re[Y] = Re[X K(j)].

Функцию K(j) можно найти, не зная дифференциально-го уравнения цепи, непосредственно комплекным методом.

Например, для форсирующей цепи рис. 1в обозначим че-рез Z1 = комплексное сопротивление параллельно включенных элементов R1 и C. Тогда имеем X = I (Z1 + R2), Y = I R2, где I – комплекный входной ток цепи, и K(j} = Y/X = R2/(Z1 + R2), или



K(j) = (17)

Тот же результат получается и из дифференциального уравнения цепи (4) при подстановке в него комплексных сигналов Y и X.

Зависимость модуля коэффициента передачи от частоты K() = называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) цепи, а зависимость аргумента от частоты k() = arctg[D()/C()] – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

Поскольку можно записать, что K(j) = K() exp[jk()], то вещественный выходной сигнал цепи равен y(t) = Re[Y] =

= Re[X K(j)] = Re[Am K(0) exp(j(0 + к)) еxp(j0t)]. Из этого выражения видно, что модуль коэффициента передачи показывает во сколько раз амплитуда выходного сигнала отличается от амплитуды входного сигнала, а его аргумент задает величину вносимого цепью фазового сдвига между выходным и входным сигналами данной частоты.

Отметим и следующие свойства комплексного коэффициента передачи цепи.

1). Из выражения (16) видно, что при   получаем K(j) (bm/an) ()m-n. Если n m, то c ростом частоты модуль коэффициента передачи бесконечно возрастает. Такое предположение для пассивных цепей не отвечает физичекой реальности, а для активных цепей требует наличия источников питания бесконечной мощности. Поэтому считается, что для стационарных цепей в (16) выполняется условие n m.

2). Если в числителе выражения ( 16 ) вынести за скобки величину bm , а в знаменателе – величину an и для упрощения записи ввести символ p = j, то в числителе и знаменателе выражения (16) оказываются алгебраические многочлены m-й и n-й степени относительно p:



K(p) =

где bm/an – масштабный множитель,



F1(p) = pm+B1 pm-1 +...+ Bm-1 p + Bm,, Bi = , i = 0, 1, ..m,
F2(p) = pn+A1 pn-1 +…+ An-1 p + An , Ai = , i = 0, 1, n.

(Заметим, что выражение F2(p) = 0 называют характеристическим уравнением цепи или левой части ее дифференциального уравнения (6), а его корни являются показателями экспонент, задающих свободную составляющую решения уравнения (6)).

Если найти корни pi0 и pjп многочленов F1(p) и F2(p), то выражение ( 16 ) можно представить в виде:
K(p) = . (18)

Корни pio числителя называют нулями коэффициента передачи K(p), а корни знаменателя pjп полюсами коэффициента K(p), поэтому выражение (18) называют нуль-полюсным представлением этого коэффициента.

Поскольку корни многочленов, начиная с квадратного, бывают вещественными и комплексными ( в том числе и чисто мнимыми), то все нули и полюсы могут быть изображены точками на комплексной плоскости. Такое изображение называют диаграммой нулей и полюсов.

Так, для цепи рис. 1в из выражения (17) имеем:


K(p) = ,

где 1 = R1 C, 2 = R1 R2 C/(R1+R2). Данные нуль и полюс рас-положены на вещественной оси в левой половине комплекс-ной плоскости, или, как говорят – в левой полуплоскости.

По расположению нулей и полюсов на комплексной плоскости можно узнать следующие свойства цепи.

Если все полюсы расположены в левой полуплоскости, то есть их вещественные части отрицательны, то цепь не мо-жет служить независимым генератором сигнала или, как гово-рят, она устойчива и сама по себе не возбуждается. Отсутствие полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости является наиболее общим критерием устойчивости радиосистем.

Если все нули и полюсы расположены в левой полуплос-кости, то цепь относится к так называемому классу минималь-но-фазовых цепей. Если часть нулей или все нули расположе-ны в правой полуплоскости, то цепь относится к классу неми-нимально-фазовых цепей.У минимально-фазовых цепей функ-ции K() и k() связаны между собой однозначно преобра-

зованиями Гильберта:


k() = ,

ln K() =  .

У неминимально-фазовых цепей такой связи нет и некоторой АЧХ могут соответствовать разные ФЧХ. Максимальный набег фазы при изменении частоты от нуля до бесконечности у минимально-фазовых цепей меньше, чем у неминимально-фазовых цепей с той же АЧХ. Этим и объясняется название минимально-фазовых цепей.

3). Расположение полюсов на комплексной плоскости определяет характер переходного процесса в цепи.

Покажем это на примере LCr-четырехполюсника, изображенного на рис. 1г. Из (5) для него получаем:

K(p) = , (19)

где 02 = 1/(LC) = 1/2 (0 – резонансная частота,  – постоянная времени),  = 0.5r/= 1/2Q постоянная затухания, Q – добротность цепи. Полюсы данного K(p) равны p1п = ( )/, p2п = ( + )/.

Если   1 (Q  0.5), то указанные полюсы вещественны и равны p1п = 1/1, p2п = 1/2, где 1 = /(  ,
2 = /( + – вещественные постоянные времени. Тогда имеем:

K(j) = ,

h(t) = 1 – ,

hи (t) = .

Данные функции времени являются плавными и переходный процесс называют апериодическим.

При  = 1 (Q = 0.5) полюсы также вещественны и равны друг другу p1п = p2п = 1/. Тогда

K(j) = ,

h(t) = 1 – ,

hи (t) = .

Данный режим переходного процесса называют критическим.

При  1 (Q 0.5) полюсы являются комплексно-сопряженными числами с отрицательной вещественной частью p1п = ( j)/, p2п = ( + j)/. Тогда знаменатель выражения (19) на множители не разлагается и

мы имеем:



K(j) = ,

h(t) = 1  A exp(,
hи (t) = ,

где A = 1/,  = /,  = arctg(/),


sin  = , cos  = . В этом случае переходный процесс является колебательным

С учетом сказанного заметим, что в общем случае каждый из многочленов, стоящих в числителеи знаменателе коэффициента K(p) можно представить в виде произведения сомножителей четырех видов: K0, (p)k, где k – целое число, отличное от нуля, (1 + p) (1 + 2p +p22). Такая запись удобна при построении так называемых диаграмм Боде, позволяющих наглядно представить АЧХ и ФЧХ цепей высокого порядка.

4). У минимально-фазовых цепей функции K(j), h(t) и hи(t) связаны между собой следующими соотношениями:

K(j) = j,

h(t) = ,

K(j) = ,

hи(t) = .


    1. Спектральный метод

Спектральный метод исследования цепей весьма распространен, потому что он позволяет эффективно анализировать и синтезировать сколь угодно сложные пассивные и активные цепи при любой форме входных сигналов, в том числе и случайных. Он базируется на использовании частотных спектров сигналов и комплексных коэффициентов передачи цепей. При этом наибольшие удобства дает применение именно комплексных спектров. Проиллюстрируем суть этого метода для случая разложения сигналов в интеграл Фурье.

При анализе цепи находят ее комплексный коэффициент передачи K(j). С помощью выражения (11б) определяют комплексный спектр Gx(j) входного сигнала x(t) . Вычисляют спектр выходного сигнала Gy(j) = Gx(j) K(j). Далее с использованием выражения (11а) получают вещественный выходной сигнал y(t).

Например, найдем, какую операцию над входным сигналом осуществляет цепь, у которой K(j) = K0 еxp(jT). Решение: записываем спектр выходного сигнала Gy(j) =
=
Gx(j) K(j) = K0 x() еxp(j( + T))d. Делаем замену переменных:  + T = t. Получаем Gy(j) =
= K0 x(t T) еxp(j t)dt. Функция, стоящая под интегралом перед множителем экспоненты, по определению есть выходной сигнал y(t) =K0 x(tT). Следовательно, данная цепь в K0 раз изменяет величину входного сигнала и задерживает его на время Т. При K0 = 1 такую цепь называют неискажающей линией задержки. Подобным свойством при K0  1 обладают кабели, в том числе волоконно-оптические, специализированные линии задержки (например, телевизионные), эфир и другие системы.

При синтезе цепи для заданного входного сигнала x(t) и требуемого выходного сигнала y(t) с помощью выражения


(11б) находим их спектры Gx(j) и Gy(j). По ним определяем коэффициент передачи цепи K(j) = Gy(j)/Gx(j). Далее выбираем или составляем цепь, обладающую найденным K(j).

В качестве примера синтеза спектральным методом рассмотрим случай проектирования частотного фильтра.

По типу АЧХ в радиотехнике различают фильтры:
а) фильтры нижних частот (ФНЧ), б) фильтры верхних частот (ФВЧ), в) полосовые фильтры (ПФ) и г) режекторные или заграждающие фильтры (РФ). Идеальные АЧХ названных фильтров показаны соответственно на рис. 5.

У ФНЧ частоту fв называют верхней граничной частотой (или частотой среза). У ФВЧ частоту fн называют нижней граничной частотой. У ПФ частоты fн и fв носят те же назва-ния, а величину f = fв fн называют полосой пропускания. У РФ величину f = f2 – f1 называют полосой режекции (или подавления).





Простейшим ФНЧ 1-го порядка является интегрирующая цепь (рис. 1а), но ее АЧХ далека от идеальной. Форму АЧХ приближают к идеальной, повышая порядок фильтра n. При этом используют некоторые критерии оптимальности фильтра. Одним из них для ФНЧ является обеспечение максимальной равномерности (плоскости) АЧХ в диапазоне частот от 0  f   fв при заданных величинах n и fв. Данному критерию удовлетворяют АЧХ, задаваемые выражением:


K() = . (21)

Квадрат правой части равенства (21) называется кривой Баттерворта, а фильтр, АЧХ которого удовлетворяет равенству (21), называют фильтом Баттерворта.

Полюсы коэффициента передачи K(p), соответствующего выражению (21), обладают следующими свойствами:

при нечетном n имеем: p1п = в =  1/,


при четном n имеем p1,2 п = в еxp(j(11/2n)).

Остальные полюсы расположены в комплексной плоскости на полуокружности радиуса в и отстоят от p1п или p1,2 п по углу на /n радиан.

Выражения для коэффициента передачи фильтра Баттерворта при n = 2 и n = 3 имеют вид:

K(p) =

K(p) = (22) следующая страница >>