Квантовые сво й ства атомов и молекул основные понятия и методы описания

Глава 3 КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА АТОМОВ

И МОЛЕКУЛ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ АТОМОВ

В.1 Понятие магнитного момента

Понятие магнитного момента возникло в классической теории электромагнетизма. Его можно пояснить следующим образом.

На магнитную стрелку, помещённую в однородное магнитное поле с индукцией , действует момент силы

(В.1)

который стремится повернуть её так, чтобы уменьшился угол между северным магнитным полюсом стрелки и вектором . Коэффициент пропорциональности μ по аналогии с понятием электрического дипольного момента можно считать модулем магнитного момента (электрический диполь испытывает подобное ориентирующее действие со стороны электрического поля). Величина магнитного момента зависит исключительно от свойств магнитной стрелки – её размеров и степени намагниченности. Из соотношения (В.1) и общепринятого соглашения относительно выбора направления вектора следует, что магнитный момент также является вектором, причём его направление показывает северный конец магнитной стрелки. Тогда момент силы , действующий на стрелку, можно представить как векторное произведение и :

(В.2)

Оказывается, что подобным образом ведёт себя во внешнем магнитном поле и проволочный виток площади с током . Действующий на него момент силы оказывается равным

(В.3)

где θ есть угол между вектором и единичным вектором нормали к плоскости витка (образующим правовинтовую систему с током ). Из сравнения формул (В.2) и (В.3) следует, что виток обладает магнитным моментом

(В.4)

Можно показать, что объект с магнитным моментом приобретает во внешнем магнитном поле дополнительную потенциальную энергию

(В.5)

зависящую от ориентации магнитного момента относительно магнитного поля.

В.2 Орбитальный магнитный момент микрочастицы

Причиной появления магнитного момента у атомов и молекул является замкнутое движение входящих в их состав электронов, создающее внутренний электрический ток. Магнитный момент частицы, имеющий такое происхождение, носит название орбитального магнитного момента.

Рис. В.1
Нетрудно показать, что орбитальный магнитный момент связан простым соотношением с орбитальным моментом импульса частицы

(В.6)

где m – масса частицы, – её радиус вектор, – импульс, – скорость. Для определённости рассмотрим электрон с массой и зарядом –, движущийся в атоме по круговой орбите радиуса (Рис. В.1). В этом случае

(В.7)

где - единичный вектор нормали к плоскости орбиты. Такая система аналогична витку с током , который равен заряду электрона, умноженному на частоту вращения:

(В.8)

а её орбитальный магнитный момент определяется соотношением (В.4). Подставив (В.8) в (В.4) и учтя (В.7), получаем

(В.9)

Итак, магнитный орбитальный момент электрона направлен противоположно механическому орбитальному моменту и связан с ним постоянным множителем , причём

(В.10)

К такому же результату приводит и строгое квантовомеханическое рассмотрение. Множитель носит название магнитомеханического или гиромагнитного отношения электрона.

Аналогичным образом протон, обладающий массой и зарядом , при своём орбитальном движении внутри атомного ядра создаёт орбитальный магнитный момент

(В.11)

В этом случае ввиду положительности заряда протона его моменты и совпадают по направлению, а гиромагнитное отношение равно

(В.12)

Очевидно, проекции магнитного и механического орбитальных моментов на произвольно выбранное направление (ось ОZ) также связаны между собой гиромагнитным отношением:

для электрона

(В.13)

и для протона

(В.14)

В.3 Квантование механического и

магнитного моментов

Из квантовой механики известно, что орбитальный момент импульса и его проекция квантуются, т.е. могут принимать только дискретный ряд значений, определяемый правилами квантования

, ,

(В.15)

где – постоянная Планка, – орбитальное квантовое число. Орбитальное квантовое число может принимать одно из целых значений:

0, 1, 3, …

При фиксированном значении магнитное орбитальное число принимает одно из значений:

0, 1, 2, …, .

Из соотношений (В.9), (В.11), (В.13), (В.14) следует, что квантуются и соответствующие магнитные моменты. Для электрона имеет место:

, .

(В.16)

Квантовой единицей измерения магнитных элементов, создаваемых электронами, является магнетон Бора

(В.17)

Формулы квантования магнитных моментов, создаваемых орбитальным движением протонов, имеют вид:

, .

(В.18)

В этом случае единицей измерения магнитных моментов является ядерный магнетон

(В.19)

который на 3 порядка величины меньше магнетона Бора

.

В.4 Спин микрочастицы

Наряду с орбитальным магнитным моментом частица может иметь магнитный момент, являющийся внутренним свойством самой частицы, называемого английским словом "спин" (вращаться, вертеть). Спин – собственный момент импульса элементарной частицы, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого. Спиновый момент импульса , как и орбитальный момент, может принимать только квантованные значения, определяемые соотношениями, аналогичными (В.15):

(В.20)

Для электрона, протона, нейтрона и нейтрино спиновое квантовое число (обычно его называют просто спином) равно , а магнитное спиновое квантовое число принимает два значения

.

Естественно ожидать, что магнитный спиновый момент электрона должен быть равен произведению его механического момента на гиромагнитное отношение . Если бы это было так, то для проекции этого момента получилось бы:

Однако уже опыт Штерна – Герлаха (1921г.) показал, что в действительности

т.е. магнитный спиновый момент примерно в 2 раза больше ожидаемого. Это можно записать так:

(В.21)

где введена новая постоянная , называемая -фактором электрона. Значение , находящееся в прекрасном согласии с точными современными экспериментами, было рассчитано методами квантовой электродинамики:

= 2,00231930437.

Если проекция магнитного спинового момента электрона практически совпадает по величине с магнетоном Бора , то для ядерных частиц (протона и нейтрона) эта проекция превышает ядерный магнетон в несколько раз. Их -факторы можно ввести по аналогии с (21):

(В.22)

Протон имеет одинаковые направления магнитного и механического спиновых моментов, и поэтому его -фактор положителен. В то же время -фактор нейтрона отрицателен, что связано с противоположным направлением этих моментов.
В.5 Механический и магнитный моменты

атомного ядра
Механический момент атомного ядра в общем случае обусловлен как орбитальным движением, так и спинами всех его протонов и нейтронов. Что касается магнитного момента ядра, то он представляет собой сумму магнитных орбитальных моментов протонов и магнитных спиновых моментов протонов и нейтронов. (Поскольку нейтроны не имеют электрического заряда, то их орбитальное движение не создают магнитного момента.) Полный момент импульса ядраквантуется по обычному закону

;

(В.23)

где – спиновое квантовое число ядра, которое имеет для разных ядер в зависимости от их структуры одно из значений

= 0, 1/2, 1, 3/2, 2, … .

(Следует отметить, что термин "спиновое квантовое число ядра" не совсем точно отражает суть дела, поскольку, как указывалось, полный момент ядра лишь частично обусловлен спинами нуклонов). Магнитное спиновое число ядрапринимает 2 +1 значений

(В.24)

Полный магнитный момент ядра и его проекция могут быть представлены в виде

; ,

(В.25)

где есть ядерный – фактор.
В.6 Магнитный момент электронной

оболочки атома
Если атом имеет несколько электронов, то полные механический и магнитный моменты его электронной оболочки определяются векторной суммой моментов отдельных электронов с учётом их квантования. При этом в случае лёгких атомов реализуется так называемая нормальная связь, когда полные моменты находят суммированием результирующих орбитальных и спиновых моментов.

Результирующий механический орбитальный момент может принимать только квантованные значения

(В.26)

где - орбитальное квантовое число атома. При этом результирующий магнитный орбитальный момент связан с через гиромагнитное отношение :

(В.27)

Результирующий механический спиновый момент также квантуется

(В.28)

где является спиновым квантовым числом атома. Результирующий магнитный спиновый момент связан с через гиромагнитное отношение :

(В.29)

Поскольку , то спиновое гиромагнитное отношение в два раза больше орбитального.

Полный механический момент электронной оболочки атома определяется равенством

(В.30)

а его модуль квантуется по закону

(В.31)

Здесь - квантовое число полного момента, принимающее одно из значений

(32)

Полный магнитный момент электронной оболочки равен сумме и :

(В.33)

Рис.В.2 поясняет схему сложения моментов при нормальной связи. Обращает на себя внимание то обстоятельство, что векторы и не лежат на одной линии, что связано с различием в орбитальном и спиновом гиромагнитных отношениях. При этом в большинстве физических ситуаций проявляет себя не вектор , а его составляющая вдоль вектора , которую можно представить аналогично выражению (В.29) в виде:

(В.34)

Здесь имеет смысл - фактора электронной оболочки атома и носит название фактора Ланде.

Фактор Ланде может быть выражен через квантовые числа атома ,,. При этом следует исходить из очевидного соотношения для вектора :

(В.35)

в которое и подставляются из (В.30) и (В.33). Необходимое в ходе расчётов скалярное произведение выражается через квантовые числа ,, при возведении в квадрат равенства (В.30) и последующим использовании формул квантования (В.26), (В.28), (В.31). В результате сравнения с формулой (В.34) получается

(В.36)

Проекция вектора на произвольное направление z квантуется по обычному закону

(В.37)

Причём магнитное квантовое число может принимать одно из значений

(В.38)

В.7 Магнитный момент атома
Полный результирующий магнитный момент атома складывается из орбитальных и спиновых моментов всех его электронов и полного магнитного момента ядра. В ряде случаев, однако, магнитным моментом ядра можно пренебречь, поскольку он на 3 порядка величины меньше магнитного момента электронов. Если суммарный магнитный момент атома равен нулю, то атом называется диамагнитным. Атом, обладающий магнитным моментом, называется парамагнитным. Парамагнитными частицами могут быть не только атомы, но и молекулы (и те и другие, как правило, с нечётным числом электронов), свободные радикалы, ионы с частично заполненными внутренними электронными оболочками, электроны проводимости в металлах и полупроводниках.

следующая страница >>