Курс лекций Красноярск, 2007 Сенашов, В. И

Примеры

1. Аддитивная группа Q рациональных чисел полна.

2. Квазициклическая группа C_p_∞ изоморфна (в аддитивной записи) объединению возрастающей цепочки конечных циклических групп
(a₁) < (a₂) <�…< (a_n) <,
причем pa₁ = 0, pa_n+1=a_n, n=1,2,…

Приведем без доказательства две основных для теории полных абелевых групп теоремы:

Теорема 8.1. Полная подгруппа абелевой группы выделяется в ней прямым слагаемым.

Теорема 8.2. Ненулевая полная абелева группа разлагается в прямую сумму подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклической р-подгруппе, быть может, по различным р.

Доказательства этих теорем подробно изложены в [13].

Группа G обладает полной частью A, если A — абелева группа, порожденная всеми полными абелевыми подгруппами из G, и G/A не обладает полными абелевыми подгруппами.

Упражнения

1. Доказать полноту группы рациональных чисел.

2. Доказать полноту квазициклической группы.

РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП
Тема 9. Группы подстановок
Определения и свойства групп подстановок. Теорема Кэли.

Определение. Множество подстановок на n элементах является группой, которая называется симметрической группой S_n степени n.

Свойства группы подстановок.

Симметрическая группа S_n степени n является конечной. Её порядок | S_n|=n!

Симметрическая группа S_n_-1 степени n-1 может быть вложена в симметрическую группу степени n (все подстановки из группы S_n, оставляющие символ i на месте, составляют подгруппу, изоморфную группе S_n_-1).

Группа S_n некоммутативна при n3. Группа S₂, очевидно, абелева.

Множество четных подстановок на n элементах является группой, которая называется знакопеременной группой A_n степени n. Эта группа имеет порядок | A_n| = . Она является нормальной подгруппой группы S_n : A_n S_n. Индекс подгруппы A_n в группе S_n равен 2: |S_n : A_n| = 2 (при n2). Нечетные подстановки не составляют группы.

Существует гомоморфное отображение симметрической группы S_n степени n на группу порядка 2, состоящую из чисел 1 и –1, при этом четной подстановке ставится в соответствие число 1, а нечетной подстановке – число –1. Таким образом, фактор-группа S_n / A_n изоморфна группе, состоящей из чисел 1 и –1, относительно операции умножения.

Группа S_n порождается циклами S_n = <(1 2), (1 2 … n)>.

Доказательство приведенных свойств предлагается провести самостоятельно.

Следующая теорема показывает, что подгруппами конечных симметрических групп, по существу, исчерпываются все конечные группы.

Теорема 9.1 (Теорема Кэли). Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы степени n.

Доказательство. Пусть элементы группы G записаны в определенном порядке:

g₁, g₂, …, g_n.

Если a – произвольный элемент группы G, то все произведения g_ia = – различные элементы группы G, т. е.

, , …,

отличается от предыдущей записи элементов группы G лишь расположением элементов. Элементу a ставится в соответствие подстановка:

Двум различным элементам соответствуют различные подстановки, т. к. из g₁a = g₁ следует . Найдем подстановку, соответствующую произведению ab, где b – некоторый элемент группы G. Если элементу b соответствует подстановка

т. е. b = , то из g_i(ab) = b = следует, что элементу ab соответствует подстановка

Таким образом, группа G изоморфно отображается в группу S_n. Теорема доказана.

Тема 10. Гомоморфизмы
Определение гомоморфизма, примеры гомоморфных отобра-жений.

Определение. Отображение группы G в группу S называется гомоморфным, или гомоморфизмом, если (ab) = (a) (b) для любых a, b из G.

Множество всех элементов из G, которые при гомоморфизме отображаются в – единицу группы , называется ядром гомоморфизма и обозначается .

Отображение группы целых чисел Z по сложению на аддитивную группу кольца Z_n классов вычетов по модулю n – гомоморфизм.

Отображение симметрической группы подстановок степени n на мультипликативную группу кольца Z_n – гомоморфизм.

Теорема 10.1. Ядро любого гомоморфизма группы G является нормальной подгруппой группы G.

Доказательство. Пусть , т.е. . Тогда произведение элементов тоже содержится в ядре, т.к. . Элемент , т.к. . Все элементы, сопряженные с a, также содержатся в : .

Итак, ядро гомоморфизма является подгруппой группы G и вместе с любым своим элементом содержит элемент, сопряженный с ним. Отсюда следует, что – нормальная подгруппа группы G. Теорема доказана.

Пусть H – нормальная подгруппа группы G. Поставим каждому элементу x группы G смежный класс xH и получим отображение группы G на фактор-группу G/H. Это отображение будет гомоморфизмом: . Полученный гомоморфизм называ-ется естественным гомоморфизмом группы G на фактор-группу G/H. Таким образом, нормальные подгруппы, и только они, являются ядрами гомоморфизмов.

Теорема 10.2. Пусть дан гомоморфизм группы G на группу и H – ядро этого гомоморфизма. Тогда группа изоморфна фактор-группе G/H, причем гомоморфизм равен последовательному выполнению естественного гомоморфизма и изоморфизма .

Доказательство. Зададим отображение фактор-группы на группу : . Покажем, что – изоморфизм. Во-первых, если , то и . Во-вторых, образы различных элементов различны, т. к. если образы совпадают, , то , то и прообразы совпадут . В-третьих, отображение сохраняет операцию:

Итак, отображение является изоморфизмом.

Гомоморфизм . Действительно, . С другой стороны, . Теорема доказана.

Теорема 10.3. Пусть H и A – нормальные подгруппы группы G и H – подгруппа группы A. Тогда фактор-группа изоморфна фактор-группе .

Доказательство. Пусть отображение задается:

.

Покажем, что – изоморфизм. Во-первых, если , то , т. к. . Во-вторых, отображение сохраняет операцию:

Таким образом, – гомоморфизм группы на группу . Ядро этого гомоморфизма , т. к. – единица фактор-группы . Следовательно, – нормальная подгруппа группы . По теореме 3.2 фактор-группа изоморфна фактор-группе . Теорема доказана.

Тема 11. Изоморфизмы
Определение изоморфизма, примеры изоморфных групп.

Определение. Говорят, что группы G и G* изоморфны, если между ними можно установить взаимно однозначное отображение , сохраняющее операцию, т. е. (a) (b)= (ab) для любых a, b из G.

Примеры

1. Группа положительных действительных чисел R⁺ по умножению изоморфна группе действительных чисел R по сложению. Изоморфное отображение получается, если всякому положительному действительному числу поставим в соответствие его логарифм по основанию 10. Равенство lg(ab) = lg(a)+lg(b) показывает, что это отображение является изоморфным. Как отмечено в [13], пользуясь логарифмической линейкой, мы просто пожинаем плоды этого изоморфизма.

2. Группа корней n-й степени из единицы по умножению изоморфна аддитивной группе кольца Z_n классов вычетов по модулю n.

3. Множество четных чисел можно взаимнооднозначно отобразить на множество чисел, кратных числу 3, если всякому четному числу вида 2k поставить в соответствие число вида 3k, лежащее во втором множестве.

Всякое множество с операцией изоморфно, очевидно, самому себе: для этого достаточно взять тождественное отображение множества на себя. Следовательно, отношение изоморфизма является рефлексивным. Легко видеть, что оно также является симметричным — из M₁ M₂ следует M₂ M₁ — и транзитивным — из M₁ M₂ и M₂ M₁ следует M₁ M_3. Выполнение трех этих свойств означает, что изоморфизм является отношением эквивалентности на множестве групп. Из определения изоморфизма следует, что изоморфные множества имеют одинаковую мощность, в частности, если они конечны, то состоят из одинакового числа элементов.

Изоморфные группы отличаются друг от друга природой своих элементов и, быть может, названием операций. Они неразличимы с точки зрения свойств операций. Все, что может быть доказано для некоторого множества с операцией на основании свойств этой операции, но без использования конкретной природы элементов множества, автоматически переносится на все множества с операцией, изоморфные данному. Изоморфные группы, таким образом, считаются различными экземплярами группы с одной и той же операцией. Тем самым алгебраическая операция выделяется в качестве истинного объекта изучения.

Задача теории групп — изучение групповых операций или, иначе, изучение групп с точностью до изоморфизма. Снова приведем цитату из монографии [13], которая богата оригинальными выражениями и крылатыми фразами. Теория групп была бы закрыта, если бы удалось составить каталог всех возможных групп с точностью до изоморфизма. Однако составить такой каталог практически невозможно.

Упражнения

1. Доказать, что C_n Z_n.

2. Мультипликативная группа кольца комплексных чисел (Когда рассматривают мультипликативную группу к.-л. кольца, то рассматривают только подмножество его обратимых элементов. Таким образом, в нашем множестве будет отсутствовать число 0) изоморфна группе всех невырожденных матриц вида

с действительными коэффициентами, рассматриваемыми относительно обычного умножения матриц.

3. Показать, что множество обратимых диагональных матриц степени n над коммутативным кольцом K с единицей D_n(K) относительно умножения изоморфно прямому произведению n копий кольца K.

Тема 12. Автоморфизмы
Определение автоморфизма. Автоморфизмы группы являются частным случаем её эндоморфизмов, т. е. гомоморфных отображений группы в себя. По выражению Ю.И. Мерзлякова, эндоморфный образ подобен удостоверению личности в кармане этой личности.

Определение. Изоморфизм группы на себя называется ее автоморфизмом.

Множество всех автоморфизмов группы G обозначается Aut G.

Виды автоморфизмов, голоморф. Тривиальным примером автоморфизма является тождественное отображение группы на себя, при котором каждый элемент группы остается на месте. Простейшим нетривиальным автоморфизмом может служить изоморфизм аддитивной группы кольца целых чисел на себя j: n –n. При автоморфизме любая подгруппа группы испытывает изоморфное отображение.

Если на множестве автоморфизмов задать операцию умножение — последовательное выполнение автоморфизмов, то множество Aut G будет являться группой относительно введенной операции. При этом Aut G £ S(G), где S(G) – группа всех взаимнооднозначных отображений группы G на себя.

Рассмотрим сопряжение группы G элементом a из G: x ® x^a. Такое отображение будет изоморфизмом, т. к. оно является взаимнооднозначным и
(xy)^a=a^-1(xy)a=(a^-1xa)(a^-1ya)=x^ay^a.
Такой автоморфизм называется внутренним автоморфизмом, производимым элементом a. Множество таких автоморфизмов относительно умножения – их последовательного выполнения, является группой. Ее обозначают Int G. Она является нормальной подгруппой группы автоморфизмов группы G: Int G Aut G.

Автоморфизмы, которые не являются внутренними, называются внешними. Группой внешних автоморфизмов называют фактор-группу:

Out G = Aut G / Int G.
Для абелевой группы Out G = Aut G, т. к. любой внутренний автоморфизм абелевой группы является тождественным отображением, т. е. Int G — единичная группа.

При внутреннем автоморфизме любой класс сопряженных элементов отображается на себя. Существуют группы (даже конечные), у которых имеются внешние автоморфизмы с таким же свойством.

Циклические подгруппы 1-го и 2-го порядков обладают только тождественным автоморфизмом. Эти группы являются единственными, не имеющими нетождественных автоморфизмов. Любая некоммутативная группа обладает нетождественным внутренним автоморфизмом. Если же группа абелева, причем не все её элементы, отличные от единичного, имеют порядок 2, то нетождественный автоморфизм можно задать следующим образом: x ® x^-1. Это отображение, действительно, является автоморфизмом, т. к. это взаимно однозначное отображение, и справедливо равенство (xy)^-1=x^-1y^-1 ввиду коммутативности операции. Существование нетождественных автоморфизмов нециклических абелевых групп, все элементы которых имеют порядок 2, следует из их строения.

Отображение s: G ® Int G, при котором каждому элементу ставят в соответствие внутренний автоморфизм, им производимый, является гомоморфизмом. Ядро этого гомоморфизма состоит из элементов, которые производят тождественный автоморфизм:

Ker s = { g | x^g=x, x Î G},
т. е. Ker s = Z(G) – центр группы G. Применим теорему о гомоморфизмах: Int G > G/ Z(G).

В общем случае описание группы автоморфизмов заданной группы G представляет большие трудности. В большинстве случаев свойства самой группы не переносятся на её группу автоморфизмов. Например, группа автоморфизмов абелевой группы может быть некоммутативной: группа автоморфизмов нециклической группы порядка 4 изоморфна симметрической группе S₃. Существуют некоммутативные группы с абелевыми группами автоморфизмов. Однако некоторую информацию о группе группа автоморфизмов сохраняет. Если группа G – группа без центра, то и её группа автоморфизмов не имеет центра. Группа автоморфизмов некоммутативной группы не может быть циклической. Группа автоморфизмов конечной группы сама является конечной. Хотя группа автоморфизмов бесконечной группы может оказаться конечной: у бесконечной циклической группы группа автоморфизмов является конечной порядка 2, т. к. образующий элемент в бесконечной циклической группе можно выбрать лишь двумя способами. Группы автоморфизмов неизоморфных групп могут оказаться изоморфными.

Подгруппа H будет нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда H^f £ H для всех внутренних автоморфизмов f Î Int G. Подгруппу H группы G называют допустимой относительно F или F-допустимой, если H^f £ H для всех отображений f ÎF. Единичная подгруппа и вся группа допустима относительно любого f ÎF. Если группа не содержит других F-допустимых нормальных подгрупп, то она называется F-простой.

Группа называется совершенной, если она без центра и все ее автоморфизмы внутренние. Если группа G совершенна, то Z(G) = 1,

Out G = 1 и Aut G > G.

Теорема 12.1 (теорема Гёльдера). При n ¹ 2, 6 симметрическая группа S_n совершенна.

Доказательство можно найти в [13] или [16].

Группы S₂ и S₆ не являются совершенными, т. к. S₂ абелева, а S₆ обладает внешним автоморфизмом порядка 2.

Голоморф возникает в связи со следующим вопросом: нельзя ли произвольную группу G вложить изоморфно в такую группу G*, чтобы каждый автоморфизм группы G оказался сужением внутреннего автоморфизма группы G*? Пусть Ф = Aut G. Оказывается, в качестве G* можно взять множество пар g, 'g' Ф, умножаемых по правилу

g'g '='g^'g'
(мы пишем пары без скобок и запятых). Действительно, аксиомы группы проверяются непосредственно. Также непосредственно проверяется, что отображения
Ф G*, G G*

по правилам 1, g 1g, являются изоморфными вложениями. Группы Ф и G отождествим с подгруппами из G* в силу этих вложений. Из правила умножения сразу вытекает, что

^-1g = g для Ф, g G.
Теперь ясно, что G*=ФG, G G*, Ф G=1, и каждый автоморфизм Ф является сужением некоторого внутреннего автоморфизма группы G*. Построенная группа ФG называется голоморфом группы G и обозначается Hol G.

Упражнение. Найти все классы сопряженных элементов группы Hol Z.

РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Тема 13. Прямые и декартовые произведения
Определения. Примеры групп, разложимых в прямые и декартовы произведения. В теории групп рассматривается много различных видов произведений групп. Дадим сначала определение обычного произведения групп.

Определение. Под произведением AB подгрупп A и B некоторой группы понимается множество всевозможных произведений элементов этих групп, т.е.
AB = { ab | a A, b B }.
Данное множество не всегда будет группой.

Произведение AB подгрупп A, B группы G тогда и только тогда само будет группой, когда AB = BA.

Доказать этот факт рекомендуется самостоятельно.

Определение. Группа G разлагается в прямое произведение своих подгрупп G₁, G₂, ... , G_n, если выполнимы следующие условия:

1) G_i G, i = 1, 2, ... , n ;

2) группа G порождается своими подгруппами G_i;

3) G_i <G_j | j i> = 1.

Обозначается G = G₁ G₂ ... G_n.

Определение. Пусть G₁, ... , G_m — группы. Легко проверить, что множество G = G₁...G_m последовательностей <g₁,...,g_m>, где gG, с покомпонентным умножением
<g₁,... , g_m> < g'₁,... , g'_m> = < g₁ g'₁,... , g_m g'_m>
является группой. Ее называют декартовым произведением групп G, а сами G — его множителями.

Это понятие легко распространить на случай произвольной совокупности множителей G , I. А именно: обозначим через

G =
множество функций
f: G
с условием, что f G для любого I. Легко проверить, что множество G с умножением по правилу fg = fg является группой; она

и называется декартовым произведением групп G. Значение функции f в точке называется проекцией или компонентой элемента f в множителе G. Множество

supp(f) = { | I, fe}
называется носителем или суппортом функции f.

Ясно, что множество функций с конечными носителями из декартова произведения групп G является группой относительно умножения функций. Эта группа называется прямым произведением групп G и обозначается через

G = G

(без черты). Очевидно, для конечного числа множителей прямое и декартово произведения совпадают.

При аддитивной записи групповой операции вместо произведений говорят о суммах, вместо множителей — о слагаемых и пишут:
G = G₁ ... G_m,
G = G_,
G = G_.

Дадим внутреннее определение прямого произведения через подгруппы — в отличие от внешнего определения, когда самой группы еще нет, и перемножаются группы, имеющие самую разную природу. Например, группа подстановок может умножаться на группу обратимых матриц относительно операции умножения или на группу комплексных чисел относительно операции сложения.

Пусть группа G порождается своими нормальными подгруппами G_i, причем каждый элемент g из G допускает запись, где все индексы i₁,..., i_m различны, а неединичные множители однозначно определяются элементом g. Тогда говорят, что группа G разлагается в прямое произведение подгрупп G_i.

Очевидно, группа G тогда и только тогда разлагается в прямое произведение своих подгрупп G_i, когда она изоморфна прямому произведению абстрактных групп G_i. Поэтому для группы G, разложимой в прямое произведение подгрупп G_i, используется та же запись, что и для прямого произведения абстрактных групп G_i.

Определение. Группа G называется прямым произведением своих подгрупп H₁, H₂, .. , H_n, если выполнены следующие три требования:

1) подгруппы H₁, H₂, ..., H_n являются нормальными делителями группы G.

2) группа G порождается подгруппами H₁, H₂, ... , H_n.

3) пересечение всякой подгруппы H_i, i=1, 2, ..., n, с подгруппой, порожденной всеми группами H_j, j i, равно E.

Это определение можно заменить следующим, ему эквивалентным:

1') элементы из любых двух подгрупп H_i и H_j, i j, перестановочны между собой.

2') всякий элемент g из G однозначно записывается в виде

произведения

g=h₁h₂ ... h_n,
где h_i H_i, i=1, 2, ... , n.

Примером разложимых в прямое произведение групп служит аддитивная группа комплексных чисел, разлагающаяся в прямое произведение действительных и чисто мнимых чисел. Также группа по умножению ненулевых действительных чисел является прямым произведением группы положительных действительных чисел и циклической группы второго порядка, порожденной числом -1. Нециклическая абелева группа 4-го порядка — прямое произведение двух циклических групп порядка 2.

Упражнение. Доказать, что циклическая группа порядка mn, где m и

n взаимно простые числа, разлагается в прямое произведение своих собственных подгрупп.

Подгруппа A прямого произведения называется подпрямым произведением групп G_i, если проекция A на каждый множитель G_i совпадает с G_i. Подчеркнем, что подпрямое произведение не определяется множителями однозначно. Очевидно, каждая подгруппа прямого произведения есть подпрямое произведение своих проекций. Это не всегда будет прямое произведение — контрпримером служит диагональ D прямого квадрата G G, состоящая из пар (g,g), g G.

Упражнение. Пусть G=G₁ G₂, A — подгруппа из G, A_i — ее проекция на множитель G_i, i=1, 2. Доказать, что A разлагается в прямое произведение A₁ A₂ тогда и только тогда, когда A_i = G_i A, i=1,2.

По аналогии с подпрямыми произведениями определяются поддекартовы произведения: подгруппа A декартова произведения

G =

называется поддекартовым произведением групп G_i, если проекция A на каждый множитель G_i совпадает с G_i. Очевидно, любое подпрямое произведение групп G_i будет и поддекартовым произведением этих групп.

Примером может служить группа GL_n(Z), изоморфная подгруппе декартова произведения конечных групп GL_n(Z_m), m=1, 2,...

Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений

Полупрямое произведение, свободное произведение, свободное произведение с объединенной подгруппой, равномерное произведение.

Отметим, что все обсуждавшиеся расширения расщепляемы в следующем смысле: расширение G группы A посредством группы B называется расщепляемым, если в G существуют такие подгруппы H, K, что

G = HK, B K, A H G, H K =1.
Очевидно, что тогда K G/A. Говорят также, что G —полупрямое произведение групп A и B, и пишут G = A B.

Так же как и для прямого произведения, для данной конструкции можно рассматривать внутреннее определение:

Группа G разлагается в полупрямое произведение A B своих подгрупп A и B, если выполнены следующие три требования:

1. Подгруппа A является нормальным делителем группы G.

2. Группа G порождается подгруппами A и B.

3. Пересечение A B равно E.

Из этого определения очевидно вытекает некоммутативность операции в классе групп и отличие полупрямого произведения от прямого.

Группы, обладающие дополняемым нормальным делителем, т. е. разложимые в полупрямое произведение этого нормального делителя и некоторой подгруппы, встречаются весьма часто. Естественно возникает следующее обобщение этой конструкции:

Группа G называется полупрямым произведением своих подгрупп A_i, где i пробегает вполне упорядоченное по возрастанию множество

индексов I, если:

1) G = { A_i, i I } ;

2) для всех j I подгруппа G_j = { A_i, i<j } инвариантна в G;

3) для всех j I пересечение подгруппы G_j с подгруппой G₍_j₎ = = { A_i, i j} равно E.

Этому определению равносильно утверждение, что группа G обладает возрастающим инвариантным рядом, все члены которого дополняемы в G; факторы этого ряда будут изоморфны группам A_i, i I.

Примером группы, разлагающейся в полупрямое произведение своих подгрупп, является группа подстановок третьей степени.

Свободное произведение. Свободное произведение дает, подобно прямому произведению, некоторую возможность из заданных групп построить новую группу. Оно отличается от прямого произведения тем, что в его определении отсутствует содержащееся в определении прямого произведения требование перестановочности элементов, входящих в различные прямые множители.

Группа G называется свободным произведением своих подгрупп A, отличных от E ( пробегает некоторое множество индексов), если подгруппы A в совокупности порождают всю группу G, т.е. если всякий элемент g из G является произведением конечного числа элементов, взятых из A,

g = a₁a₂ ... a_n, a_i A, i = 1, 2, ... , n,
и если всякий элемент g из G обладает единственной записью такого вида при условии, что все элементы a_i отличны от единицы и что не могут стоять рядом два элемента из одной подгруппы A, хотя, вообще говоря, произведение может содержать несколько множителей, входящих в одну такую подгруппу. Такая запись элемента g является несократимой.

Для записи свободного произведения употребляется символ *. Если группа G есть свободное произведение своих подгрупп A₁, A₂, ... , A_k, то

G = A₁*A₂* ... *A_k.
Подгруппы A называются свободными множителями группы G, входящими в свободное разложение. Из единственности несократимой записи элемента свободного произведения следует, что пересечение любого свободного множителя с подгруппой, порожденной в G всеми остальными множителями этого разложения, равно E.

Пусть группа G разложима в свободное произведение своих истинных подгрупп. Пусть два элемента a₁ и a₂, отличны от единицы и принадлежат различным свободным множителям. Из определения свободного произведения следует, что произведения a₁a₂ и a₂ a₁ будут различными элементами группы G, т. е. группа G непременно некоммутативна, даже если все свободные множители A абелевы. Далее, все произведения

a₁a₂, (a₁a₂)², (a₁a₂)³, ... , (a₁a₂)ⁿ, ...
также являются различными элементами группы G, т. е. группа G непременно обладает элементами бесконечного порядка, даже если все свободные множители A периодичны. Таким образом, как абелевы, так и периодические (в том числе и конечные) группы неразложимы в свободное произведение.

К числу групп, разложимых в свободное произведение, принадлежат свободные группы, а именно: свободная (нециклическая) группа является свободным произведением бесконечных циклических групп.

В некоторых случаях оказывается полезной более общая конструкция, чем свободное произведение. Пусть даны группы A, где пробегает некоторое множество индексов, и пусть в каждой из групп A выбрана истинная подгруппа B так, что все эти подгруппы изоморфны одной и той же группе B. Через обозначим определенное изоморфное отображение B на B; =^-1 будет поэтому изоморфным отображением B на B.

Определение. Свободным произведением групп A с объединенной подгруппой B называется фактор-группа G свободного произведения групп A по нормальному делителю, порожденному всеми элементами вида bb^-1, где b= b, b пробегает всю подгруппу B, а и — всевозможные пары индексов.

Приведем еще один вид произведений групп: равномерное произведение. В равномерном произведении любые две циклические подгруппы, взятые в различных множителях данного разложения, перестановочны между собой.

Пусть G — группа, I — непустое множество индексов, состоящее не менее чем из двух элементов, и A_i, i I, — некоторые (необязательно попарно различные) подгруппы группы G. Будем говорить, что группа G является равномерным произведением подгрупп A_i, iI, если она порождается ими и при любых различных индексах iI и j I произвольная циклическая подгруппа группы A_i перестановочна с произвольной циклической подгруппой группы A_j.

Описание групп, представимых в виде равномерного произведения своих примарных подгрупп, дает следующая теорема.

Теорема 14.1 (теорема Шункова). Группа G тогда и только тогда может быть представлена в виде равномерного произведения некоторых своих примарных подгрупп, когда она является полупрямым произведением G=AB двух таких подгрупп A и B, разложимых в прямое произведение своих силовских p-подгрупп по разным p, что первая из них абелева и порождается своими циклическими подгруппами, инвариантными в G.

С доказательством теоремы можно ознакомиться, например, в [34].

Обобщением понятия равномерного произведения является обоб-щенно равномерное произведение групп, введенное В.П. Шунковым. Группа G называется обобщенно равномерным произведением своих подгрупп Q_i, i Î I, если: G= _i | i Î I>, где Q_i – q_i-подгруппы, и выполняются условия:

1) Q_iQ_j = Q_jQ_i, i, j Î I;

2) если Q_i обладает элементарной абелевой подгруппой R_i порядка
³ q_i², то R_i перестановочна с любой нециклической элементарной абелевой подгруппой из Q_j, i ¹ j;

3) группа, порожденная всеми Q_j, не содержащими элементарных абелевых подгрупп порядка ³ q_j², является равномерным произведением подгрупп Q_j.

Пример. Группа G – группа вида G=(PP)A, где P – группа простого порядка p, A – ненильпотентная подгруппа группы Aut(PP), причем (p,|A|)=1. Покажем, что такая группа действительно существует. Известно, что Aut(PP) изоморфна группе GL₂(p). Таким образом, группу A, будем искать как подгруппу группы GL₂(p) вида QR, где Q и R соответственно q- и r-подгруппы циклические или элементарные абелевы ранга 2. Рассмотрим случай, когда p=5. В GL₂(5) найдется подгруппа A следующего вида A=QR, где Q и R подгруппы порядков 3 и 2 соответственно. Запишем элементы подгрупп Q и R в виде конкретных матриц:

В этом случае элементы порядка 3 подгруппы Q являются строго вещественными относительно инволюции подгруппы R. Таким образом, A = <Q,R> = QR. Группа G = (PP)QR разлагается в обобщенно равномерное произведение подгрупп Q₁ = PP, Q₂ = Q и Q₃ = R, т. к.:

1) Q_iQ_j = Q_jQ_i, i, j = 1,2,3;

2) подгруппой порядка  обладает только Q₁, а подгруппы Q₂ и Q₃ нециклических подгрупп не содержат;

3) <Q₂,Q₃> есть равномерное произведение подгрупп Q₂ и Q₃.
Тема 15. Ряды в группах
Нормальный ряд, субнормальный ряд. Виды групп, обладающих рядами. Важнейшие обобщения коммутативности — разрешимость и нильпотентность. Разрешимые группы — это группы, которые можно собрать из абелевых групп при помощи нескольких последовательных расширений. Они связаны с задачей о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, которой обязаны и самим названием. Нильпотентные группы составляют класс, промежуточный между абелевыми и разрешимыми группами. Они определяются более сложно и допускают более глубокое изучение.

Пусть в группе G дан инвариантный ряд

Е = A₀₁₂<..._i <...< A_n =G.
Назовем этот ряд центральным, если при i = 0, 1, ... , n-1 фактор-группа A_i₊₁/A_i содержится в центре фактор-группы G/A_i.

Определение. Группа G, обладающая хотя бы одним центральным рядом, называется нильпотентной.
Перечислим без доказательства ряд свойств нильпотентных групп (их доказательства можно найти в [13]).

В любой нильпотентной группе совокупность периодических элементов есть подгруппа (периодическая часть).

Любая подгруппа нильпотентной группы субнормальна.

Конечный нормальный или инвариантный ряд группы называется разрешимым рядом, если все его факторы абелевы.

Группа G называется разрешимой, если она удовлетворяет одному из требований:

1) группа G обладает конечным разрешимым нормальным рядом;

2) группа G обладает конечным разрешимым инвариантным рядом;

3) убывающая цепь коммутантов группы G через конечное число шагов обрывается на единичной подгруппе.

Теорема 15.1 (Теорема Ито). Пусть группа G является произведением двух абелевых подгрупп. Тогда G метабелева (разрешима ступени 2).

Доказательство. Рассмотрим произведение двух абелевых подгрупп G = AB. Из свойств коммутаторов вытекает [ab,c]=[a,c]^b[b,c], [a,bc]=[a,c][a,b] ^c.

Покажем, что коммутант группы G порождается коммутаторами вида [a,b], где a A, b B.

Так как G = AB, то из , следует и из следует .

Возьмем два произвольных коммутатора x = [a,b], y = [a₁,b₁], где a, a₁ A, b, b₁ B.

Из полученного равенства x^y=x, вытекает xy=yx. Таким образом, показано, что все коммутаторы группы порождают абелев коммутант. Теорема доказана.

Тема 16. Теорема Силова
Силовские подгруппы. Теорема Силова. В 1872 г. была доказана основная для теории конечных групп теорема, описывающая строение максимальных p-подгрупп конечной группы. Теорема доказана норвежским математиком Л. Силовым. Поэтому максимальные p-подгруппы названы в его честь силовскими p-подгруппами.
Напомним, что группа, порядки всех элементов которой являются степенями некоторого фиксированного простого числа p, называется p-группой.

Определение. Максимальная p-подгруппа называется силовской p-подгруппой.

Теорема 16.1. (Теорема Силова). Пусть G – конечная группа, p – простое число. Для каждой степени p^k, делящей порядок G, в G существует подгруппа порядка p^k. Если p^k делит порядок G, то каждая подгруппа порядка p^k из G вложена в некоторую подгруппу порядка p^k+1 из G. В частности, силовские p-подгруппы из G – это в точности подгруппы порядка p^r, где p^r – максимальная степень p, делящая порядок G. Все силовские p-подгруппы из G сопряжены в G. Количество силовских p-подгрупп из G сравнимо с единицей по модулю p и делит порядок G.

Доказательство теоремы Силова можно найти в учебнике [13].

Применения теоремы Силова. Теорему Силова можно применять для выяснения строения групп небольших порядков. С ее помощью можно выяснить простоту группы, иногда найти точное количество силовских подгрупп, решать другие вопросы о строении группы.

Тема 17. Алгебраические системы
Примеры алгебраических систем. Если на множестве задана бинарная операция, то в зависимости от свойств этой операции множество является группоидом, полугруппой, квазигруппой, лупой или группой.

Группоид — множество, на котором задана бинарная операция.
Отмечают, что на множестве задана бинарная операция, если определен закон, ставящий в соответствие любым двум элементам множества единственный элемент этого же множества.

Полугруппа — множество с ассоциативной бинарной операцией.

Пример. Правило нахождения разности чисел задаёт бинарную операцию на множестве целых чисел. Полученный так группоид не является полугруппой.

Пример. Правила сложения и умножения чисел на множестве натуральных чисел задают полугрупповые операции.

Пример. Пусть - множество всех преобразований непустого множества . Бинарная операция последовательного выполнения преобразований на множестве является полугрупповой операцией.
Множество с бинарной операцией, в котором для любых элементов a, b уравнения ax=b, xa=b имеют единственные решения в нем, называется квазигруппой.
Бинарную операцию * на множестве S из n элементов можно задать таблицей их умножения, в которой входной строкой и входным столбцом является список элементов множества S, а на пересечении строки с входом a и столбца с входом b располагается значение операции a*b.

Такая таблица называется таблицей Кэли для группоида S с операцией *. Обычно . Если таблицу Кэли задаёт квадратная матрица порядка n, каждая строка и каждый столбец которой являются перестановкой элементов множества S, то такая матрица называется латинским квадратом, построенным на множестве S. Латинский квадрат существует для любого натурального числа n. Например, матрица , где является латинским квадратом.

Каждый латинский квадрат можно рассматривать как таблицу умножения квазигруппы. Верно и обратное: таблица умножения конечной квазигруппы есть латинский квадрат. Для того чтобы латинский квадрат являлся таблицей Кэли группы, необходимо и достаточно выполнение условия: если то

Лупа — квазигруппа с единицей, т. е. с таким элементом e, что ae = ea = a для любого элемента x из квазигруппы.
Если группоид удовлетворяет аксиомам квазигруппы и полугруппы, то он является группой.

Напомним, что множество G с бинарной операцией называется группой: если выполняется ассоциативность (ab)c = a(bc) для любых элементов a, b, c из G; существует единичный элемент e: ae = ea = a для любого элемента a из G; для каждого элемента a из G в G существует обратный элемент a^-1: a^-1a=aa^-1=e.

Свойства ассоциативности и коммутативности операций независимы. Примеры ассоциативных, но не коммутативных операций уже встречались. Примером коммутативной, но не ассоциативной операции на множестве рациональных чисел служит операция нахождения среднего арифметического:

.
Если на множестве задано две операции, то в зависимости от свойств этих операций множество является либо кольцом, либо полем.

Ассоциативное кольцо — это множество с двумя бинарными операциями — сложением и умножением, причем по сложению это абелева группа, по умножению для ненулевых элементов выполняется ассоциативность, и операции связаны законом дистрибутивности a(b+c) = ab+ac и (b+c)a = ba+ca для любых элементов a,b,c множества.
Примерами колец являются числовые кольца целых, рациональных и действительных чисел. Операции умножения в этих кольцах коммутативны, и кольца обладают единицами. Примером кольца без единицы служит множество всех четных чисел относительно обычных операций сложения и умножения.

Кольцо называется полем, если множество всех его ненулевых элементов относительно операции умножения — абелева группа.

Относительно обычных операций сложения и умножения ненулевых элементов полями являются множества рациональных и действительных чисел. Для каждого простого числа p множество целых чисел по модулю p образует поле относительно сложения и умножения ненулевых остатков.

РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ
Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности
Группы с условиями минимальности и максимальности. Определение. Группа удовлетворяет условию минимальности для

подгрупп (короче, условию минимальности), если не существует ни одной бесконечной убывающей цепочки ее подгрупп.
Группы с условием минимальности, как правило, изучались при некоторых дополнительных ограничениях. Наиболее важным из таких ограничений является локальная разрешимость группы, которая позволила построить теорию локально разрешимых групп с условием минималь-ности.

В этом решающая роль принадлежит С.Н. Черникову и его школе.

Группы с условием минимальности изучались также при других ограничениях, более общих, чем локальная разрешимость. Однако методы, созданные для локально разрешимого случая, являлись опре-деляющими в такого рода обобщениях.

Дальнейшее продвижение в теории групп с условием минимальности было приостановлено трудностями, которые возникли при попытках обобщить известную теорему Черникова на произвольные группы с условием минимальности. В связи с этим в известном обзоре Куроша–Черникова в 1947 г. была поставлена проблема, получившая название проблемы минимальности, которая формулируется в следующей форме:

Будет ли бесконечная группа с условием минимальности (в частности, локально конечная группа с условием минимальности) конечным расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп?

Как отмечалось, только сравнительно недавно эта проблема была решена отрицательно А.Ю. Ольшанским.

Первый результат принципиального характера был получен в 1963 г. М.И. Каргаполовым [12]. Опираясь на теоремы Файта–Томпсона [41] и Брауэра о централизаторе инволюции в конечной группе четного порядка [18], М.И. Каргаполов решил отрицательно проблему Шмидта в классе локально конечных групп, являющуюся частным случаем проблемы минимальности (позднее этот результат передоказывался в работах [30, 39, 42]).

Если проблема минимальности решается отрицательно, то нетрудно доказать существование такой бесконечной группы G, что G не является конечным расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп, а любая ее собственная бесконечная подгруппа является таковой, причем, как легко показать, группу G можно считать простой.

Ввиду теоремы 6 из [39] группа G является бесконечным объединением конечных простых групп и, следовательно, по теореме Файта–Томпсона [41] содержит инволюции.

Таким образом, решение проблемы минимальности обусловливается существованием бесконечной серии неизвестных конечных простых групп. Разумеется, такая редукция не может быть удовлетворительной, т. к. открывать новые бесконечные серии простых групп и проверять, будет ли их объединение удовлетворять условию минимальности, – занятие не из легких.

Родственными к условию минимальности являются условия примарной минимальности и минимальности для абелевых подгрупп.

Определение. Группа G удовлетворяет условию примарной минимальности, если для любого простого p каждая цепь

G₁ > G₂ > … > G_n > …
подгрупп из G такая, что в любой разности G_n \ G_n+1 содержится элемент g_n с условием, что его степень с показателем содержится в G_n+1 для некоторого k_n, обрывается через конечное число шагов (определение принадлежит С.Н. Черникову).

Полное описание локально конечных групп с условием примарной минимальности получено в работах В.П. Шункова и Я.Д. Половицкого. Группы Шункова с условием примарной минимальности изучены А.К. Шлепкиным (определение группы Шункова см. в следующей теме).

Определение. Группа удовлетворяет условию минимальности для

абелевых подгрупп, если не существует ни одной бесконечной убывающей цепочки ее абелевых подгрупп.

В классе групп Шункова решения проблем минимальности и минимальности для абелевых подгрупп были получены В.П. Шунковым с А.Н. Остыловским и Н.Г. Сучковой.

Определение. Группа удовлетворяет условию максимальности для

подгрупп (короче, условию максимальности), если не существует ни одной бесконечной возрастающей цепочки ее подгрупп.
Простейшим примером бесконечной группы, удовлетворяющей условию максимальности, является бесконечная циклическая группа.

Группа с условием максимальности и ее подгруппы обладают конечным числом образующих. Действительно, пусть в группе G обрываются все возрастающие цепочки подгрупп и пусть A есть подгруппа из G. Выбираем в A элемент a₁ и обозначаем его циклическую группу через A₁. Пусть в A уже выбрана подгруппа A_n с конечным числом образующих. Если она еще отлична от A, то выбираем в A, но вне A_n, элемент a_n₊₁ и полагаем A_n₊₁ = < A_n , a_n₊₁>. Возрастающая цепочка подгрупп
A₁ A₂ … A_n…
должна оборваться, т. е. при некотором n будет A_n = A_n. Отсюда следует конечность числа образующих в подгруппе A. Обратно, если в группе G существует бесконечная возрастающая цепочка подгрупп
B₁ B₂ … B_n…,
то объединение этой цепочки не может обладать конечной системой образующих. Так как если бы она нашлась: G = < b₁, b₂, …, b_n >, то каждый из элементов b_i , i = 1, 2, … , n, как и вообще всякий элемент из G, принадлежит к некоторой подгруппе и поэтому ко всем подгруппам B_n при k k_i. Если l = max (k₁, k₂, … , k_n), то в подгруппе B_l содержатся уже все элементы b₁, b₂, …, b_n; порожденная ими подгруппа не может, следовательно, совпадать с G.

Изучение групп с условием максимальности оказалось менее результативным, чем изучение групп с условием минимальности. К группам с условием минимальности относятся и черниковские группы.

Черниковские группы и их свойства.

Определение. Конечные расширения прямых произведений конечного числа (в частности, и равного нулю) квазициклических групп называются черниковскими группами, или группами Черникова.
Основные свойства черниковских групп были получены С.Н. Черни-ковым, им же доказано, что бесконечная локально разрешимая группа тогда и только тогда удовлетворяет условию минимальности, когда она является черниковской (см., напр., [36]).

В.П.Шунков установил ряд критериев, когда группа является черниковской:

— Если в бипримитивно конечной p-группе централизатор некоторого элемента простого порядка — черниковская группа, то сама группа черниковская.

— Если в локально конечной группе силовские 2-подгруппы черниковские и подгруппы нечетного порядка конечны, то сама группа черниковская.

— Всякая сопряженно бипримитивно конечная группа с условием минимальности для подгрупп является черниковской группой.

Тема 19. Условия конечности
Условия бипримитивной конечности, сопряжено биприми-тивной конечности, их ослабления и обобщения. Условия конечности в группах могут накладываться на системы подгрупп. Условия минимальности и максимальности, которые мы рассматривали в предыдущей теме, также относятся к условиям конечности. Одно из классических условий конечности – условие локальной конечности.

Локально конечной называется группа, в которой любое конечное множество элементов порождает конечную подгруппу.
Здесь конечными полагаются все конечнопорожденные группы. Если множество подгрупп, которые будут конечными, изменить на множество 2-порожденных подгрупп, то появляются целые классы групп с условиями конечности, введенные В.П. Шунковым.

К таким условиям относятся условия бипримитивной конечности, сопряженно бипримитивной конечности, их ослабления и обобщения.

Определение. (Сопряженно) бипримитивно конечной называется такая группа G, в которой для любой ее конечной подгруппы K в фактор-группе N_G(K)/K любые два (сопряженных) элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.

Определение. Группа G называется q-(сопряженно) бипримитивно конечной, если для любой конечной подгруппы H из G в фактор-группе N_G(H)/H любые два (сопряженных) элемента простого порядка q порождают конечную подгруппу.

Определение. Группа называется слабо (сопряженно) бипримитивно конечной, если два любых ее элемента простого порядка (сопряженных между собой) порождают конечную подгруппу.

Перечисленные условия конечности введены В.П. Шунковым

Сейчас сопряженно бипримитивно конечные группы называются группами Шункова.

История примеров периодических не локально конечных групп началась с выступления П.С. Новикова на Всесоюзном математическом съезде (1959). В период между анонсом П.С. Новикова [20] и появлением (1968) развернутой публикации [21] примеров бесконечных конечно порожденных групп нечетного периода 4381 Е.С. Голод [8, 9] для каждого простого числа p строит конечнопорожденную p-группу неограниченного периода. Как и в конструкции Е.С. Голода, построенные в 1971 г. конечнопорожденные p-группы конструкции С.В. Алешина [3] (см. также [13,15]) оказались финитно аппроксимируемыми. В класс периодических не локально конечных групп попала и построенная А.Ю. Ольшанским [22,23] бесконечная группа, которая порождена двумя элементами порядка p, причем p – нечетное простое число, и любая собственная ee подгруппа имеет порядок p. В дальнейшем работа с перечисленными примерами привела к pазделению различных условий конечности, снижению до 665 периода у известных конечно порожденных бесконечных групп, появлению бесконечных конечно порожденных групп четного периода.

Однако, несмотря на усовершенствования, группы ограниченного периода остаются достаточно громоздкими для изложения. С другой стороны, Р.И. Григорчук [11] сумел на двух страницах описать бесконечную 3-порожденную 2-группу преобразований единичного отрезка, из которого удалены двоично рациональные точки. Практически одновременно c группой Григорчука в конце 1970-х – начале 1980-х гг. появляются конструкция В.И. Сущанского [31] конечнопорожденных p-групп подстановок неограниченного периода и первая работа Ю.И. Мерзлякова [19], см. также [13], посвященная систематическому изучению конструкций не локально конечных групп с конечными, но неограниченными в совокупности порядками элементов.

На базе конструкции Е.С. Голода построены примеры М.Ю. Ба-ховой, Л. Гамуди и А.И. Созутова периодических не локально конечных групп неограниченного периода. Они служат источником примеров групп, разделяющих условия конечности. С помощью прямого и полупрямого произведения циклических групп построена бипримитивно конечная, но не бинарно конечная группа А.А. Черепа.

А.В. Рожков создал теорию групп преобразований однородных деревьев – АТ-групп (от англ. automorphisms trees). АТ-группы называют также группами алешинского типа, отдавая должное автору первых примеров 2-порожденных бесконечных p-групп преобразований С.В. Алешину.

Теоремы А.В. Рожкова [25] разграничивают условие слабой сопряженной бипримитивной конечности с условиями сильной (a,b)-конечности, сопряженной бинарной конечности и слабой бипримитивной конечности. Он же разграничил классы групп с условиями r-конечности и сопряженной r-конечности, являющимися обобщениями соответственно условий бипримитивной конечности и сопряженно бипримитивной конечности.

Определение. Группа называется (сопряженно) r-конечной, если любые ее r (сопряженных) элементов порождают конечную подгруппу. При r = 2 получаем определение сопряженно бинарно конечной группы.
М.Ю. Бахова [4] построила бипримитивно конечную, но не бинарно конечную группу с произвольным конечным множеством простых делителей порядков ее элементов, и А.А. Череп [33] доказал, что в бипримитивно конечной группе множество элементов конечного порядка не обязано составлять подгруппу — периодическую часть. Описание этих примеров можно найти в [26].

Здесь были рассмотрены условия конечности, которые появились и изучались в Красноярской школе по теории групп, более подробно см. [26, 27]. Большое число условий конечности рассматривается в [16. С. 337-342, 501-506].

РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Тема 20. Группы диэдра
Определения и свойства групп диэдра.

Определение. Группой диэдра называется группа, порождённая двумя инволюциями, т. е. элементами порядка 2.

В этом пункте зафиксируем обозначения: i,k – инволюции, G= — группа диэдра, a=ik.

Теорема 20.1. Группа G имеет вид G=(a)(i)=(a)(k), и справедливы соотношения i^-1ai=a^-1, k^-1ak=a^-1.

Доказательство. Рассмотрим следующие соотношения:

Так как произвольный элемент u группы G представляет собой запись вида

,
где либо i, либо k, то получим при сопряжении элементом u . А это означает нормальность циклической группы (a) в G. Очевидно,

G = <a,i> = <a,k> и G = (a) (i)=(a) (k).
Теорема доказана.
Свойства группы диэдра существенно отличаются в зависимости от порядка элемента a=ik. Причём выделяется три случая: a имеет чётный порядок, нечётный, бесконечный.

Пусть сначала |a|=2n-1, нечётное число n N.

Теорема 20.2. G — группа Фробениуса с ядром (a) и неинвариантным множителем (i).

Доказательство. Обозначим H = (i). Пусть x — некоторый элемент из G\H. По теореме 20.1 его можно представить в виде , где и . Предположим, .

В силу того, что H – подгруппа второго порядка H=H^x или

Это означает: , а это невозможно. Следовательно, (G, H) – пара Фробениуса.
Теперь остаётся доказать, что любой элемент вида есть инволюция, сопряжённая с i в G.

Сначала докажем, что инволюции i, k сопряжены в группе G.

Так как a = ik и |a| = 2n-1, то ik=a²ⁿ. Отсюда

Итак,

Рассмотрим две возможности для m. Пусть m=2s – чётное число

т. е. a^mi, i сопряжены. Пусть имеет место вторая возможность

Как показано, . Отсюда, ввиду , получим

Теорема доказана.

Упражнение. Доказать, что для группы G из теоремы 20.2 выполняются равенства:

G' = (a), Z(G) = 1.
Теперь рассмотрим случай |a| = 2n — чётное число (n N).

Теорема 20.3. Пусть |a| =2n, тогда имеет место одно из утверждений:
1) Z(G) = G — группа Клейна;

2) Z(G) = (aⁿ), где aⁿ — инволюция.

Доказательство. Обозначим инволюцию через j. По теореме 20.1

т. е.

.
Аналогично . Ввиду того, что любой элемент группы G представим в виде произведения некоторого числа инволюций i, k, то j находится в центре группы G.

Предположим, что , и пусть x – некоторый элемент из . По теореме 20.1 , где . Если , то . С другой стороны, из следует: и, значит, , т. е. a – инволюция, и поэтому j = a. Так как G = <a,i> = <j,i> и , то – элементарная абелева группа порядка 4 (группа Клейна).

Пусть G не является группой Клейна. По доказанному , т. е. x = a<a>.

По теореме 20.1 , но , значит, . Из двух равенств получаем . Следовательно, x – инволюция из a, и из строения циклической группы видно, x = j вопреки предположению, что . Полученное противоречие доказывает: если G – не группа Клейна, то . Теорема доказана.

Упражнение. Доказать методом от противного: инволюции i, k не сопряжены в группе G.

Рассмотрим третий случай: порядок элемента a бесконечен. Здесь справедливы следующие свойства:

— инволюции i, k не сопряжены в G;

— Z(G) = 1.

Упражнение. Найти G' в случае, когда порядок элемента a бесконечен.
Тема 21. Группы подстановок и матриц
Группы подстановок и матриц. Представление группы диэдра группой подстановок. Пусть 123 — правильный треугольник,

— поворот на совмещающий треугольник 123 с собой, причем вершина 1 переходит в вершину 2 которая переходит в вершину 3 Вершина 3 отображается в вершину 1. Если последовательно выполнить этот поворот 2 раза, то получим поворот

а если 3 раза, то

где — тождественный поворот, при котором все точки неподвижны.

Совокупность трех этих поворотов и операции последовательного выполнения любых двух из них называют циклической группой поворотов порядка 3 и обозначают Операцию последовательного выполнения поворотов будем называть также композицией или умножением поворотов. Понятно, что все элементы группы можно получить умножением из нетождественного поворота.

Аналогично для каждого натурального числа определяется группа Любой ее элемент можно получить из поворота на угол градусов. К элементам группы добавим (пространственный) поворот вокруг оси, проходящей через центр правильного -угольника и его вершину. Пусть 1 — номер этой вершины. Тогда поворот задается следующей перестановкой его вершин:

Пусть Как отмечалось, — все элементы циклической группы Элемент называют порождающим элементом группы и записывают

Элементы являются порождающими группы т.е.

Упражнение. Доказать, что — все элементы группы
Если не выходить в пространство, а оставаться в плоскости, то повороты

можно рассматривать как симметрии с осями, проходящими через центр правильного -угольника.

Итак, построены серии циклических групп и групп диэдра

Определение. Взаимно однозначное отображение непустого множества на себя называют подстановкой множества Композицию подстановок будем называть умножением подстановок.

Поскольку совокупность всех взаимно однозначных отображений любого множества на себя является группой относительно композиции отображений, то множество всех подстановок, действующих на данном множестве, образует группу относительно умножения подстановок. Эта группа называется симметрической группой подстановок множества , а в случае если множество состоит из конечного числа элементов, то эту группу обозначают и называют симметрической группой подстановок -й степени. Всякую подгруппу группы называют группой подстановок.

Элементы конечного множества, на котором действует подстановка, всегда можно пронумеровать. Поэтому можно считать, что подстановки -й степени отображают на себя множество первых чисел натурального ряда. Любую подстановку из можно задать таблицей из двух строк, выписав в первой строке числа а во второй — под каждым элементом его образ при отображении т.е. записывая как образ каждого числа при подстановке получаем

В частности, тождественная подстановка имеет вид

а обратную для подстановку можно записать в виде

Определение. Нетождественную подстановку вида

называют циклом, а число — длиной цикла

Вместо табличной записи для цикла употребляют более экономную запись:

Эта запись применялась уже для обозначений подстановки, порождающей циклическую группу. Заметим, что в этой форме цикл длины может быть записан ровно различными способами.

Следующую теорему будем считать известной из курса алгебры.

Теорема 21.1. Произвольная неединичная подстановка -й степени либо является циклом, либо раскладывается в произведение некоторого числа попарно независимых циклов. Такое разложение однозначно с точностью до перестановки сомножителей.
Неизменность циклического строения подстановки при её сопряжении обеспечивает следующее

Предложение. Пусть подстановка представлена в виде произведения циклов

тогда для справедливо равенство

Доказательство. Пусть Тогда

Следовательно, подстановка переводит в тогда и только тогда, когда переводит в В частности, множество передвигаемых символов подстановки можно представить в виде образа множества передвигаемых символов подстановки при действии на него подставкой и если — цикл, то Теперь второе равенство предложения является следствием равенства
.
Определение. Транспозицией в называют цикл длины 2.

Теорема 21.2. Группа порождена:

1) множеством всех транспозиций;

2) множеством всех транспозиций вида

3) множеством всех транспозиций вида

4) транспозицией и циклом

Доказательство. 1) Тождественная подстановка разлагается в произведение транспозиций Если то Поэтому группа порождается множеством всех транспозиций.
2) Пусть Тогда для из равенства следует, что любая транспозиция лежит в подгруппе группы Ввиду того, что утверждение 1 теоремы уже доказано, получаем истинность утверждения 2.

3) Пусть Подгруппа содержит все транспозиции вида , т. к. и если то

Следовательно, а значит и

4) Указанное в последнем пункте теоремы множество порождает группу потому, что для каждой транспозиции группы справедливо равенство

Теорема доказана.
Представим теперь повороты группы в виде матриц. Пусть поворот плоскости на угол вокруг начала координат отображает точку на точку а репер — на репер Полагая известными координаты точки в репере вычислим в этом же репере координаты точки

Очевидно, — координаты вектора в репере а — координаты вектора в том же репере. Заметим, что или в матричной записи Заменив в последнем равенстве векторы столбцами их координат, получим

Таким образом, циклическую группу порядка можно представить как линейную группу, порождённую матрицей

Её повороты вокруг начала координат можно рассматривать и как повороты вокруг оси аппликат, если перейти в трёхмерное пространство. Тогда матрица поворота, порождающего эту группу, тоже будет трехмерной:

Этой матрицей и матрицей

поворота на угол вокруг оси абсцисс порождена группа диэдра А сам диэдр, т.е. правильный -угольник, расположен в плоскости так, что его центр совпадает с началом координат, а одна из вершин лежит на оси абсцисс
Полученные линейные представления циклических и диэдральных групп позволяют рассматривать их как подгруппы специальной линейной группы матриц степени 3 с единичным определителем над полем действительных чисел относительно обычного умножения матриц. Относительно такого умножения группой является и множество всех обратимых матриц степени над коммутативным кольцом с единицей. Очевидно, — подгруппа группы и подгруппа некоммутативна при

Свойства групп подстановок и интересные упражнения по ним можно найти в [7].
Тема 22. Группы движений
Геометрические преобразования. Движения. Симметрии фигур.

Взаимно однозначное отображение пространства на себя называется преобразованием пространства. Движением называется преобразование пространства, сохраняющее расстояние между любыми двумя его точками.

Теорема 22.1 (Леонардо да Винчи). Всякая конечная группа движений плоскости является либо группой либо группой

Доказательство. Пусть — группа, — множество, для каждого и каждого в определён элемент Напомним, что группа действует на множестве если для её единицы и её элементов справедливы равенства и Множество называют орбитой элемента Пусть — конечная группа движений и — произвольная точка плоскости. Центр тяжести системы точек под действием любого элемента должен переходить в себя. Следовательно, может содержать лишь повороты вокруг точки и симметрии относительно прямых, содержащих точку Если среди всех поворотов, входящих в выбрать поворот на наименьший угол то все остальные повороты будут ему кратны. Таким образом, повороты образуют в подгруппу
Предположим, что группа содержит кроме хотя бы одну симметрию относительно прямой проходящей через точку Покажем тогда, что содержит симметрий с осями, пересекающимися в точке и углом между соседними осями. Представим поворот как композицию двух осевых симметрий с углом между их осями и Так как то но т.е. Так, получаем, что содержит и другие симметрии с указанными осями. Получаем, Теорема доказана.

Группы симметрий правильных многогранников. Конечные и бесконечные группы симметрий пространственных и плоских фигур. В зависимости от знака определителя матрицы, задающей движения пространства, различают собственные и несобственные движения. Определитель матрицы несобственного движения отрицателен. Группу всех собственных движений, совмещающих фигуру с собой, будем обозначать а группу движений, совмещающих с собой — Элементы группы будем называть движениями или симметриями фигуры

Предложение. Если группа симметрий обладает несобственной симметрией, то индекс её подгруппы равен 2.

Доказательство. Пусть — несобственная симметрия группы Тогда в смежном классе все движения несобственные. Предположим, что в группе нашлось такое несобственное движение что Поскольку произведение несобственных движений задаётся произведением их матриц и, следовательно, является собственным движением, а обратное к несобственному движению движение тоже несобственное, то для некоторого Следовательно, Полученное противоречие доказывает предложение.
Собственное движение с неподвижной точкой является поворотом. Поэтому конечная группа состоит из поворотов.

Известно [2], что конечных групп поворотов трехмерного пространства, кроме перечисленных бесконечных серий циклических и диэдральных групп, существует только конечное число. Это подгруппы групп всех поворотов, совмещающих с собой тетраэдр, икосаэдр и куб.
Группа поворотов правильного тетраэдра. Обозначим её . Ось поворота, совмещающего с собой тетраэдр может проходить

только через: 1) вершину, 2) середину ребра, 3) центр грани. Очевидно, если ось поворота, совмещающего тетраэдр с собой, проходит через вершину, то она проходит и через середину противолежащей ей грани. Всего таких осей Ясно также, что если ось проходит через середину ребра, то она пересекает и середину скрещивающегося с ним ребра. Каждой такой оси соответствует один нетождественный поворот (на ), совмещающий тетраэдр с собой. Число пар скрещивающихся ребер у тетраэдра равно Количество совмещающих с собой тетраэдр нетождественных поворотов с осью, проходящей через вершины, насчитываем Таким образом, в группе поворотов тетраэдра нетождественных поворотов. Другими словами, порядок группы равен

Заметим, что каждому повороту группы соответствует четная подстановка четвертой степени. Симметрией тетраэдра является отражение от плоскости, содержащей его ребро и середину противоположного ребра Этому отражению соответствует нечётная подстановка Согласно доказанному предложению, получаем, что группа симметрий правильного тетраэдра изоморфна симметрической группе перестановок его вершин.
Упражнение. Доказать, что

а) б)

где — поворот на вокруг оси, проходящей через центр грани 123 и вершину 4, — поворот на вокруг прямой, пересекающей середины ребер 12 и 34. Напомним (тема 4), что запись означает, что группа порождена множеством т.е. каждый элемент можно представить в виде для некоторых натуральных чисел k.

Группа поворотов куба. Расположим тетраэдр так, что каждое его ребро является диагональю грани куба. Теперь очевидно, что группа поворотов тетраэдра является подгруппой группы поворотов куба. Проходящие через середины рёбер тетраэдра оси поворотов, совмещающих его с собой, стали теперь осями поворотов, совмещающих куб с собой, причём число таких поворотов удвоилось — добавились повороты на и Появились также новые оси поворотов. Они проходят через середины противоположных рёбер куба. Диагонали куба лежат на прямых, проходящих через вершины тетраэдра и середины его граней. Повороты вокруг этих прямых на углы, кратные , совмещают с собой куб. Поскольку число пар противоположных рёбер у куба равно 6, число пар противоположных граней — 3 и диагоналей – 4, то получаем поворота, совмещающих куб с собой. Заметим, что между множеством этих поворотов и множеством перестановок диагоналей куба устанавливается взаимно однозначное соответствие. Следовательно, группа поворотов куба изоморфна симметрической группе степени 4.

Зададим матрицами повороты, совмещающие куб с собой. Для этого координатные оси расположим на прямых, проходящих через середины противоположных граней. А именно, из граней 1234, 1485, 1562, изображённых на рис. 2, выходят оси абсцисс Ox, ординат Oy, аппликат Oz соответственно. Пусть числами 1, 2, 3, 4 обозначены диагонали грани и повороту на прямой угол вокруг оси соответствует их циклическая перестановка Этот поворот задаётся также матрицей

Поворот на вокруг оси, соединяющей середины противоположных рёбер куба, меняет местами две его диагонали, а каждую из двух других отображает на себя. Пусть перестановке диагоналей куба соответствует поворот вокруг биссектрисы координатного угла Построим матрицу этого поворота. Поскольку симметрическая группа порождается перестановками и то матрицы и будут порождать группу поворотов куба.

Пусть — поворот системы координат на вокруг оси Очевидно,

Теперь первая координатная ось проходит через середину ребра куба и поворот вокруг этой оси на совмещает куб с собой. При изучении группы диэдра уже рассматривалась (диагональная) матрица этого поворота. А сопряженная с ней матрица

и является искомой матрицей т.е.

Рис.1 Икосаэдр

Рис.2 Рёбра икосаэдра на гранях куба

<< предыдущая страница следующая страница >>