Курс лекций Красноярск, 2007 Сенашов, В. И

Сибирский федеральный университет

Институт естественных и гуманитарных наук

В.И.Сенашов

А.В.Тимофеенко

В.П.Шунков

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП

Курс лекций

Красноярск, 2007

УДК 512.54

Сенашов, В.И.

Основы теории групп: курс лекций / В.И. Сенашов, А.В. Тимофеенко, В.П. Шунков. – Красноярск: ФГОУ ВПО “Сибирский федеральный университет, Институт естественных и гуманитарных наук”, 2007. 64 с.

Дисциплина "Основы теории групп" является продолжением дисциплины "Высшая алгебра" и представляет собой одну из основных специальных дисциплин при подготовке студентов по специальности «Математика». Курс лекций предназначен студентам и аспирантам, специализирующимся на кафедре алгебры и математической логики.

гуманитарных наук, 2007.

ОГЛАВЛЕНИЕ

РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ………………………………….. 5
Тема 1. ВВЕДЕНИЕ …………………………………………… 5

Исторические сведения о появлении и развитии теории групп.

Цели и задачи изучения. Краткая характеристика современного

состояния теории групп. Обзор литературы. Общие сведения.

Тема 2. Группы, подгруппы …………………………………… 7

Определение группы, примеры. Определение подгруппы,

примеры подгрупп.

РАЗДЕЛ 2. КЛАССЫ ГРУПП, ВИДЫ ЗАДАНИЯ ГРУПП ………. 9

Тема 3. Классы групп, примеры ……………………………... 9

Конечные и бесконечные группы, периодические группы,

группы без кручения, смешанные группы, примеры.

Тема 4. Порождающие множества. Циклические группы, подгруппы циклической группы …………………………………. 11

Задание групп порождающими множествами. Примеры циклических, 2-порожденных и 3-порожденных групп.

РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА ГРУППЫ ………………………………... 12

Тема 5. Смежные классы ……………………………………….. 12

Свойства смежных классов. Индекс подгруппы, теорема Лагран-

жа, следствия.

Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор ………………………………………………………… 13

Определение и свойства классов сопряженных элементов, при-

меры. Определение централизатора, нормализатора, теорема о мощности классов сопряженных элементов.

Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа …………………… 14

Определения центра, коммутанта. Примеры.

Тема 8. Полные группы ………………………………………… 16

Полные группы, примеры. Теоремы о полных группах.

РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП ………………………………. 17

Тема 9. Группы подстановок ………………………………….... 17

Определения и свойства групп подстановок. Теорема Кэли.

Тема 10. Гомоморфизмы ………………………………………... 18

Определение гомоморфизма, примеры гомоморфных отображе-

ний, теоремы о гомоморфизмах.

Тема 11. Изоморфизмы ………………………………………… 20

Определение изоморфизма, примеры изоморфных групп.

Тема 12. Автоморфизмы ………………………………………. 21

Определение автоморфизма. Виды автоморфизмов, голоморф.

РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП …………………………… 24

Тема 13. Прямые и декартовые произведения ……………… 24

Определения. Примеры групп, разложимых в прямые и

декартовы произведения.

Тема 14. Полупрямое произведение, свободное

произведение и другие виды произведений …………………. 27

Полупрямое произведение, свободное произведение, свободное произведение с объединенной подгруппой, равномерное произведение.

Тема 15. Ряды в группах ……………………………………….. 31

Нормальный ряд, субнормальный ряд. Виды групп, обладающих рядами.

Тема 16. Теорема Силова …………………………………….. 32

Силовские подгруппы. Теорема Силова. Применения теоремы Силова.

Тема 17. Алгебраические системы …………………………… 33

Примеры алгебраических систем. Группоид, полугруппа, квазигруппа, лупа, группа, кольцо, поле.

РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ …………… 35

Тема 18. Группы с условиями минимальности и

максимальности …………………………………………………. 35

Группы с условиями минимальности и максимальности. Черни-ковские группы и их свойства.

Тема 19. Условия конечности ………………………………… 38

Условия бипримитивной конечности, сопряжено бипримитивной

конечности, их ослабления и обобщения. Группы Шункова. При-меры.

РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП ……………………………………. 40

Тема 20. Группы диэдра ………………………………………. 40

Определения и свойства групп диэдра.

Тема 21. Группы подстановок и матриц …………………… 43

Группы подстановок и матриц. Представление группы диэдра

группой подстановок.

Тема 22. Группы движений ………………………………….. 48

Геометрические преобразования. Движения. Симметрии фигур.

Группы симметрий правильных многогранников. Конечные и бес- конечные группы симметрий пространственных и плоских фигур.

РАЗДЕЛ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………... 54

Тема 23. Атласы групп ………………………………………… 54

Таблицы групп. Атласы конечных простых групп и представле-

ний конечных групп.

Тема 24. Заключение ………………………………………….. 56

Обзор современного состояния теории групп.

Дополнение ……………………………………………………………. 57

Тема 25. Группы Фробениуса ……………………………….. 57
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ……………………………… 62

РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Тема 1. ВВЕДЕНИЕ
Исторические сведения о появлении и развитии теории групп. Понятие группы возникло в 18 в., оно исходит из нескольких дисциплин: теории решения алгебраических уравнений в радикалах (в трудах Ж. Лагранжа и А. Вандермонда в 1771 г. впервые для нужд этой теории были применены подстановки и было получено разложение группы подстановок на смежные классы, в 19 в. глубокие связи между свойствами группы подстановок и свойствами уравнений были указаны Н.Абелем в 1824 г. и Э. Галуа в 1830 г. Особенно нужно отметить достижения Э.Галуа в теории групп. Он открыл роль нормальных подгрупп в решении задачи о разрешимости уравнений в радикалах, установил простоту знакопеременных групп степени выше четырех. К. Жордан систематизировал и развил исследования в этом направлении в трактате о группе подстановок в 1870 г.). В проективной геометрии независимо от этого группы возникают, когда изучается поведение фигур при различных преобразованиях, что перешло на изучение самих преобразований и поиск их классификации (здесь можно назвать имена А. Мебиуса, исследовавшего элементарные виды родства геометрических фигур, А. Кэли, пришедшего к пониманию группы как системы, заданной порождающими элементами и соотношениями, Ф. Клейна – создателя в 1872 г. «Эрлангенской программы», положившей в основу классификации геометрий понятие группы преобразований). Теоретико-групповые идеи прослеживаются и в теории чисел. Л. Эйлер в 1761 г. при изучении «вычетов, остающихся при делении степеней» пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, т. е. на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в 1801 г. в «Арифметических исследованиях» определил подгруппы группы Галуа уравнения деления круга и при изучении «композиции двоичных квадратичных форм» доказал, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу.

В конце 19 в. выработалось современное абстрактное понятие группы. В 1895 г. С. Ли уже определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно операции, которая ассоциативна и гарантирует единицу и обратные элементы.

Изучение групп без предположения их конечности и без предположений о природе элементов оформилось в самостоятельную область математики в 1916 г. в книге «Абстрактная теория групп» нашего соотечественника О.Ю. Шмидта.

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные приложения как в самой математике, так и за ее пределами — в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.

В данном курсе лекций коротко напомним основные определения и теоремы теории групп, которые входят в курс алгебры университета. Затем введем слушателя в область современной теории групп через изложение результатов последних десятилетий. Особенно подробно остановимся на примерах групп и группах с условиями конечности.

Цели и задачи изучения. Дисциплина «Основы теории групп» является продолжением курса «Высшая алгебра» и представляет собой одну из основных специальных дисциплин при подготовке студентов по специальности «Математика».

Целью преподавания дисциплины является ознакомление с основными определениями и базовыми теоремами теории групп, а также формирование умений и навыков применения изученных теорем в доказательствах новых теорем и для построения примеров групп.

В процессе изучения дисциплины необходимо приобрести знания, умения и навыки для профессиональной деятельности в качестве исследователя и преподавателя по специальности «Математика».

Специалист должен знать: основные классы групп, классические примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп; уметь: применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем, использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии, приобрести практические навыки самостоятельной работы при изучении групповых конструкций, иметь представление о современных тенденциях развития теории групп в России и в мире.

При написании курса лекций авторы ставили целью кратко познакомить читателя с понятиями и теоремами классического курса теории групп и по возможности подробно остановиться на понятиях, которые сформированы в Красноярской школе по теории групп и активно изучаются в настоящее время как у нас в стране, так и за рубежом.

Краткая характеристика современного состояния теории групп. В настоящее время теория групп представляет собой хорошо развитую область математики. Каждый год проходят международные конференции, посвященные теории конечных и бесконечных групп. Только в России в 2007 г. прошло несколько международных конференций по теории групп, одна из них – в Красноярске.

Хорошо развитые школы, занимающиеся теорией групп, имеются в Москве, Санкт-Петербурге, Екатеринбурге, Новосибирске, Омске, Томске, Иркутске, Челябинске, Красноярске и других городах России. Сотни специалистов высшей квалификации занимаются различными разделами теории групп. В России регулярно выходят журналы «Алгебра и логика», «Сибирский математический журнал», «Фундаментальная и прикладная математика», «Дискретная математика», «Доклады академии наук», в которых большую долю занимают статьи по теории групп. Российскими учеными написаны десятки монографий по конечным и бесконечным группам. Достижения российских специалистов по теории групп давно и заслуженно признаны во всем мире.

Обзор литературы. При изучении дисциплины «Основы теории групп» рекомендуем пользоваться учебниками [1,13,16,32] и предлагаемым списком литературы.

Общие сведения. Одновременно с курсом лекций предполагается проведение спецсеминара, на котором будет предложено большое количество задач по всем разделам и темам данного курса лекций, а также темы курсовых и дипломных работ.

Тема 2. Группы, подгруппы
Определение группы, примеры.

Определение. Говорят, что на множестве задана бинарная операция, если определен закон, ставящий в соответствие любым двум элементам множества единственный элемент этого же множества.

Определение. Множество G с заданной на нём бинарной алгебраической операцией называется группой, если:

1) эта операция ассоциативна, т.е. (ab)c = a(bc) для любых элементов a, b, c из G;

2) в G существует единичный элемент e: ae = ea = a для любого элемента a из G;

3) для каждого элемента a из G в G существует обратный элемент : .

Все четные числа по сложению образуют группу. Группой по сложению является также совокупность целых чисел, кратных данному числу n. Множество нечетных чисел уже не будет группой по операции сложения, т.к. данная операция выводит нас за пределы данного множества. Образуют группу также все ненулевые положительные рациональные числа относительно операции умножения. Числа 1 и -1 при операции умножения составляют конечную группу.

Определение. Группа G называется абелевой или коммутативной, если все элементы группы перестановочны между собой, т. е. выполняется коммутативный закон ab = ba для любых элементов a, b из группы G.

Примерами абелевых групп могут служить множества рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел, рассматриваемых относительно операции сложения. К неабелевым группам относятся группы подстановок больше чем на двух элементах, группы матриц относительно умножения.

Определение. Порядком элемента называется наименьшее натуральное число n такое, что aⁿ = e. Обозначается |a|.

Определение. Порядком группы G называется количество ее элементов.

Обозначается порядок группы G через |G|. В случае, если множество элементов бесконечно, говорят, что G имеет бесконечный порядок, и пишут |G| = .

Определение подгруппы, примеры подгрупп.

Определение. Подгруппа — подмножество группы G, которое само является группой относительно той же операции, что и G.

Для того чтобы подмножество M группы было подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто относительно операции в группе и для любого элемента из M обратный элемент тоже лежал бы в M.

Определение. Подгруппы, отличные от единичной и всей группы, называются собственными.

Примером подгруппы группы, отличных от нуля комплексных чисел по умножению, могут служить все комплексные числа, являющиеся корнями из единицы степени n. Еще одну подгруппу этой же группы образуют все комплексные числа, равные по абсолютной величине единице.

В группе всегда имеется единичная подгруппа, состоящая только из единичного элемента. Кроме нее может не быть других подгрупп, как это происходит в циклических группах простого порядка. В бесконечных группах всегда имеется бесконечно много подгрупп. Сами подгруппы могут быть как бесконечными, так и конечными. Так, в монстре Ольшанского [23] все собственные подгруппы имеют одинаковый порядок. Бесконечные группы, у которых все собственные подгруппы имеют конечные порядки, называются группами Шмидта. К группам Шмидта относятся квазициклические группы (см. тему 12) и монстры Ольшанского.

РАЗДЕЛ 2. КЛАССЫ ГРУПП, ВИДЫ ЗАДАНИЯ ГРУПП

Тема 3. Классы групп, примеры
Конечные и бесконечные группы, периодические группы, группы без кручения, смешанные группы, примеры. По числу элементов группы подразделяются на два больших класса: конечные, в которых множество элементов конечно, и бесконечные с бесконечным множеством элементов.

Примерами конечных групп являются группы подстановок на конечном числе элементов, группы корней из единицы с операцией умножения, группа классов вычетов чисел по модулю данного числа по сложению.

Бесконечные группы подразделяются на периодические группы, в которых все элементы имеют конечные порядки, группы без кручения со всеми неединичными элементами бесконечного порядка и смешанные группы, в которых присутствуют как неединичные элементы конечных порядков, так и элементы бесконечного порядка. Если множество элементов конечного порядка является подгруппой, то эта подгруппа называется периодической частью группы. Группы, обладающие периодической частью, также выделяются в особый класс групп. Группа может не обладать периодической частью (см., напр., в теме 20 группы диэдра).

Примерами периодических групп являются квазициклические группы, среди групп без кручения можно назвать группы рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел, рассматриваемых относительно операции сложения. Смешанные группы можно конструировать, взяв прямое произведение любой конечной группы и группы без кручения. К ним относятся также группы рациональных, дей-ствительных и комплексных чисел, рассматриваемых относительно операции умножения. Кроме элементов бесконечного порядка, в них имеются элемент -1 второго порядка и в комплексных числах два элемента четвертого порядка i, -i, и бесконечно много элементов конечного порядка расположено на единичной окружности.

Заметим, что все конечные группы также относятся к периодическим группам.

При изучении теории групп особо выделяется класс абелевых групп, т. е. групп, в которых все элементы перестановочны между собой. Теория этих групп уже достаточно хорошо разработана и, напр., в учебнике [16] на ее изложение выделено 90 страниц. К абелевым группам относятся упоминавшиеся ранее группы рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел по любой операции, все группы одним порождающим элементом, квазициклические группы.

В свою очередь все названные классы групп можно разбить на подклассы в соответствии с системами подгрупп, которые в них имеются. Подгруппы в свою очередь образуют ряды вложенных друг в друга подгрупп с определенными свойствами.

Условия конечности в группах также задают соответствующие им классы групп (периодичность тоже относится к условиям конечности). Среди условий конечности можно назвать условие локальной конечности: оно выполняется в группе, если всякое ее конечное подмножество порождает конечную подгруппу. Класс групп с таким условием называется классом локально конечных групп.

Класс локально нормальных групп является подклассом локально конечных групп и состоит из групп, в которых всякое конечное подмножество элементов лежит в конечном нормальном делителе.

Группы с конечными классами (группы, в которых все классы сопряженных элементов конечны) составляют класс, который включает все конечные и все абелевы группы.

Пересечение классов периодических групп и групп с конечными классами совпадает с классом локально нормальных групп.

Изучается также класс групп, в которых конечно число классов сопряженных элементов.

Группы, имеющие конечное число образующих, также представляют собой отдельный класс. В последнее время интенсивно изучается его подкласс, состоящий из 3-порожденных групп и его еще более узкий подкласс групп, порожденных тремя элементами второго порядка, два из которых перестановочны.

Условие слойной конечности задает класс слойно конечных групп, т. е. групп, в которых множество элементов любого данного порядка конечно или пусто. Класс слойно конечных групп является подклассом класса локально нормальных групп.

Тема 4. Порождающие множества. Циклические группы, подгруппы циклической группы
Задание групп порождающими множествами.

Определение. Пусть M — произвольное подмножество группы G. Пересечение всех подгрупп из G, содержащих M, называется подгруппой, порожденной множеством M. Множество M в этом случае называется порождающим множеством, и подгруппа, им порожденная, обозначается <M>.

Теорема 4.1. Если M – подмножество группы G, то

<M> = { | a_i M, m_i = 1, n = 1, 2, 3, …}.

Доказательство. Обозначим множество элементов, введенных в формулировку теоремы, через H.

Очевидно, HH H, H^-1H. Следовательно, H – группа и <M> H.

С другой стороны, <M> H, т. к. все элементы a_i, обратные к ним элементы и их всевозможные произведения содержатся в любой из подгрупп из G, содержащих M. Теорема доказана.

Группа, порожденная одним элементом a, называетcя циклической и обозначается <a>.

Теорема 4.2. Любая подгруппа циклической группы — циклическая.

Доказательство. Пусть <a> — циклическая группа порядка n, H — ее неединичная подгруппа (очевидно, единичная подгруппа является циклической). Пусть m— наименьшее натуральное число с условием

a^m H.

Покажем, что <a^m> = H. Пусть h – произвольный элемент из H. Т.к. H < <a>, то существует целое число k такое, что h= a^k . Разделим k на m с остатком: k = mq + r, 0 r < m. Тогда

h= ( a^m)^q a^r и a^r = (a^-mq ) ^-1h.

По выбору чисел m, r отсюда следует, что r = 0 и h= (a^m ) ^q , т.е. каждый элемент подгруппы H является целой степенью элемента a^m . Аналогично доказывается цикличность подгрупп бесконечной циклической группы. Теорема доказана.

Примеры циклических, 2-порожденных и 3-порожденных групп. К циклическим группам относятся целые числа, рассматриваемые относительно операции сложения. К 2-порожденным группам относятся группы диэдра (см. тему 20). Очень впечатляющим является тот факт, что монстр Ольшанского [23] порождается любыми двумя своими неединичными элементами, не лежащими в одной циклической подгруппе. Класс трехпорожденных групп очень широк. Как показал в своей докторской диссертации Я.Н. Нужин, трех инволюций (инволюция — элемент порядка два), две из которых перестановочны, достаточно для порождения практически всех конечных простых неабелевых групп. Такие тройки инволюций названы мазуровскими в честь В.Д. Мазурова, который поставил задачу описать конечные простые группы, порожденные такими тройками. Он же сделал последний шаг в ее решении (по модулю классификации конечных простых групп).

РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА ГРУППЫ

Тема 5. Смежные классы
Свойства смежных классов. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа, следствия.
Левым смежным классом группы G по подгруппе H называется множество xH={ xh | h H }. Элемент x называется представителем смежного класса. Правый смежный класс определяется аналогично.

Свойства смежных классов:

смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают;
смежные классы равномощны;
элементы a,b содержатся в одном смежном классе по подгруппе H, если b^-1aH.

Доказательство свойств предоставляется читателю.

Определение. Количество смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом группы G по подгруппе H и обозначается |G : H|.

Лемма Неймана. Пусть G – группа, являющаяся объединением конечного числа смежных классов по конечному множеству подгрупп. Тогда хотя бы одна из этих подгрупп имеет конечный индекс в G.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и каждая из подгрупп H₁ ,…, H_n имеет бесконечный индекс в G. Пусть имеется разложение на смежные классы, указанное в формулировке теоремы:
G = g₁₁H₁ … H₁ g₂₁H₂ … H₂ …

…g_n1H_n … H_n.

Рассмотрим разложение G на различные смежные классы по H₁:

G = g₁₁H₁ … H₁ H₁ …

Сравнивая эти два разложения, заключаем, что

H₁ g₂₁H₂ … H₂ …g_n1H_n … H_n =.

Очевидно, множество является объединением конечного числа смежных классов по подгруппам H₂, …, H_n и содержит g₁₁H₁, аналогично

g₁₁H₁ … H₁ .

Таким образом, получено разложение G через конечное число смежных классов по H₂, …, H_n.

Продолжая рассуждения аналогичным образом, находим, что G является объединением конечного числа смежных классов по H_n. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 5.1 (Теорема Лагранжа). Для любой подгруппы H конечной группы G

|G| = |G : H| |H|.

Доказательство. Каждый класс gH, Hg равномощен подгруппе H, как показывают взаимнооднозначные соответствия h gh, h hg, hH. В частности, если группа G конечна, то её порядок |G| можно подсчитать, умножив мощность |H| каждого класса на число |G : H| всех классов. Теорема доказана.

Следствие 5.1. Порядок подгруппы делит порядок группы.

Следствие 5.2. Порядок элемента делит порядок группы.

Подгруппа H нормальна в группе G (обозначается H G), если левые и правые смежные классы в G по H совпадают.

Другие свойства смежных классов см. в [5].

Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор
Определение и свойства классов сопряженных элементов, примеры. Элемент a сопряжен с элементом b в группе G, если найдется такой x из G, что = b.

Кроме того, обозначение = a^x переносится на множества: A^B = {a^b | a A, b B}. В этих обозначениях определение нормальной подгруппы выглядит следующим образом: H G тогда и только тогда, когда H^GH.

Теорема 6.1. Порядки сопряженных элементов равны.

Доказательство. Пусть = b. Предположим, что |a| = n, |b| = m и n < m. Тогда ()ⁿ = aⁿ = e, но bⁿe. Полученное противоречие доказывает теорему.

Сопряжение – отношение эквивалентности. (То есть для сопряжения выполняются три свойства: рефлексивность, симметричность и транзитивность.) Вся группа разбивается на непересекающиеся классы сопряженных элементов a^G. Во всех числовых системах и абелевых группах классы сопряженных элементов состоят из одного элемента. Вообще, различные классы могут иметь разные мощности. Инструментом измерения мощности класса служит нормализатор.

Примерами групп, в которых каждый класс сопряженных элементов состоит из одного элемента, являются все абелевы группы. В группе подстановок третьей степени три класса сопряженных элементов: класс, состоящий из единичного элемента, класс, состоящий из двух элементов третьего порядка, и класс, состоящий из трех сопряженных инволюций.

Определение централизатора, нормализатора, теорема о мощности классов сопряженных элементов.

Определение. Пусть M — произвольное подмножество группы G, H — ее подгруппа. Нормализатором множества M в группе G называется множество N_H(M) = { h | hM = Mh, h H }.

Определение. Централизатором множества M в группе G называется множество C_G(M)={ g|gm=mg, m M }.

В абелевых группах централизатор любого элемента совпадает со всей группой. В группе подстановок третьей степени централизаторы всех элементов совпадают с циклическими группами, порожденными этими элементами.

Теорема 6.2. Если M — подмножество, а H — подгруппа группы G, то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H равна индексу |H : N_H(M)|. В частности, |a^G| = |G : N_G(a)|.

Доказательство. Отобразим M^x, xH, на правые смежные классы H по N = N_H(M): (M^x)= Nx. Отображение однозначно: из M^x = M^н вытекает Nx = Ny. Оно взаимнооднозначно т. к. Nx = Ny влечет M^x = M^н. Это отображение «на», т. к. у любого класса Nx есть прообраз M^x. Теорема доказана.

Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа
Определения центра, коммутанта. Примеры. Строение группы во многом определяется перестановочностью ее элементов. Множество элементов группы, которые перестановочны со всеми ее элементами является подгруппой.

Определение. Центром группы G называется множество Z(G)=C_G(G).

Упражнение. Группа G абелева тогда и только тогда, когда Z(G)= G.

Определение. Элементы a, b группы G перестановочны (коммутируют), когда

a^-1b^-1ab = e.
Абелевы группы совпадают со своим центром. В группе подстановок третьей степени центр является единичным.

Определение. Коммутатором [a, b] элементов a, b называется произведение

[a , b] = a^-1b^-1ab.

Определение. Подгруппа, порожденная всеми коммутаторами, называется коммутантом группы.

Коммутант — инструмент, измеряющий отклонение группы от коммутативности.

Определение. Если L, M — подмножества группы, то их взаимным коммутантом называют подгруппу
[L , M] = < [a , b] | a L, b M >.
Примеры.

1. [ S_n , S_n] = A_n, для любого n.

2. [ A_n , A_n] = A_n , n > 4.

3. [G , G] = 1, если G абелева.

Упражнения.

Доказать [a , b]^-1= [b , a].
Доказать [ab , c] = [a , c]^b[b , c].
Доказать [a^-1, b] = [b , a] .
Доказать, что [G , G] G.

Если H — нормальная подгруппа группы G, то правые и левые смежные классы по ней совпадают, поэтому просто говорим о множестве G/H смежных классов по подгруппе H. Легко видеть, что aHbH = abH, т. е. множество G/H замкнуто относительно поэлементного умножения классов. Легко проверить, что G/H — группа относительно этого умножения.

Определение. Если H G, то множество смежных классов группы G по подгруппе H образует группу, которая называется фактор-группой группы G по подгруппе H.

Единицей группы G/H является класс H, а обратным к классу aH —класс a^-1H.

Класс aH является классом элементов в группе G, но в группе G/H он сам является элементом, а не классом. Непосредственно проверяется, что отображение : G G/H по правилу g= gH есть гомоморфизм. Такие гомоморфизмы называют естественными.

Упражнения

Доказать, что фактор-группа циклической группы циклическая.
Фактор-группа G/H тогда и только тогда абелева, когда H содержит коммутант [G , G].

Тема 8. Полные группы

Полные группы, примеры. Группа называется полной, если для всякого целого числа n > 0 и любого элемента g из G уравнение nx = g имеет в группе G хоть одно решение.
следующая страница >>