Корреляционная функция

[3] c. 50

[5] c. 61-74

[1] c. 73-86

Автокорреляционная функция.
Взаимная корреляционная функция.

-1-

Автокорреляционная функция (АКФ) представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала, сдвинутых относительно друг друга на время τ:

(5.1)

Эта функция показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией. Чем больше эта функция, тем больше сходство.

Свойства АКФ:

При τ=0 АКФ равна энергии сигнала:

(5.2)

АКФ является чётной функцией:

При любом значении τ значение АКФ не превосходит энергии сигнала:

В зависимости от вида сигнала АКФ может иметь монотонный характер или колеблющийся.

Пример: Вычислить АКФ прямоугольного импульса (рисунок 5.1)

При (1) рисунок 5.2 пункт 1 – сдвиг копии вправо относительно основного сигнала

При (2) рисунок 5.2. пункт 2 – сдвиг копии влево относительно основного сигнала. Данный пункт является избыточным т.к. автокорреляционная функция является симметричной относительно оси у.

Т+τ, т.к. длина равна Т в положительной части оси t остается , т.к. τ, то Т+τ.

На рисунке 5.3 показан сдвиг копии вправо – два случая. Из рисунка видно, что сдвиг копии приводит к уменьшению перекрытия (заштрихованная область), а значит и к уменьшению значения интеграла. Если сдвиг увеличить до значения равного длительности основного сигнала (Т) и увеличивать дальше, то перекрытие будет нулевым и интеграл равен нулю.

Объединяя результаты, можно записать:

АКФ на рисунке 5.3.

Для периодического сигнала (у него энергия бесконечна) формула 5.1 изменяется.

(5.3)

Т.е. берется усреднение за один период сигнала.

-2-

ВКФ показывает степень схожести двух разных сигналов.

(5.4)

Видно, что АКФ – это частичный случай ВКФ при .

Свойства ВКФ:

, т.е. изменение знака τ равносильно взаимной перестановке сигналов.
ВКФ не является четной функцией параметра τ:

Значение ВКФ при τ=0 не обязательно максимально, а максимум ВКФ может находится где-угодно.

АКФ. Случай цифрового сигнала.

Для цифрового сигнала получаем не непрерывный сигнал, а набор отсчетов. Поэтому прямоугольный импульс будет представлять собой набор одинаковых значений, расположенных с шагом, равным периоду квантования (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5

В таком случае интеграл из формулы 5.1 превращается в сумму, и формула будет иметь вид:

Пример расчета АКФ для дискретного сигнала.

Рисунок 5.6

Здесь нужно обратить внимание на то, что сдвиг происходит ТОЛЬКО на шаг квантования, т.е. на Т: Т, 2Т, 3Т и т.д.
Для расчета воспользуемся представлением цифрового сигнала в виде набора чисел. Примем, что амплитуда сигнала равна 1. Тогда исходный импульс будет иметь вид

s(n)={1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0 …}

Сдвинутая копия – второй сигнал на рисунке 5.6 - s(n)={0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0 …}

Еще один сдвиг s(n)={0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0 …}

Тогда расчет АКФ будет выполняться так

Нулевой сдвиг – сигнал и копия одинаковы.

Исходный сигнал	1	1	1	1	1	1	0	0	0
Копия	1	1	1	1	1	1	0	0	0

Результат: 1*1+1*1+1*1+1*1+1*1+1*1=6

Первый сдвиг копии

Исходный сигнал	1	1	1	1	1	1	0	0	0
Копия	0	1	1	1	1	1	1	0	0

Результат: 1*0+1*1+1*1+1*1+1*1+1*1+0*1=5

Второй сдвиг копии

Исходный сигнал	1	1	1	1	1	1	0	0	0
Копия	0	0	1	1	1	1	1	1	0

Результат: 1*0+1*0+1*1+1*1+1*1+1*1+0*1+0*1=4

Третий сдвиг копии

Исходный сигнал	1	1	1	1	1	1	0	0	0
Копия	0	0	0	1	1	1	1	1	1

Результат: 1*0+1*0+1*0+1*1+1*1+1*1+0*1+0*1+0*1=3

И т.д.

Седьмой сдвиг копии

Исходный сигнал	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0
Копия	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1

Результат 1*0+1*0+1*0+1*0+1*0+1*0+0*1+0*1+0*1+0*1+0*1+0*1=0

Тогда АКФ имеет вид