Контрольная работа 1 Пусть где случайная величина, c =const. Найти конечномерные распределения процесса

Механико-математический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова,

кафедра теории вероятностей

Контрольные и зачетные задачи по теории случайных процессов

Составитель – профессор А.В.Булинский, 2009

КОНТРОЛЬНЫЕ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1

Пусть где случайная величина , c=const. Найти конечномерные распределения процесса .
Найти ковариационную функцию пуассоновского процесса интенсивности .
Пусть где имеет распределение Коши. Вычислить хотя бы для одного
Пусть где – векторнозначный процесс, составленный из независимых винеровских процессов. Доказать, что с вероятностью единица процесс выйдет из шара произвольного радиуса
Пусть – мартингал, – момент остановки относительно естественной фильтрации процесса . Доказать, что величина является –измеримой.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2

Показать, что процесс где – винеровский процесс и константа , является винеровским.
Привести примеры марковского и немарковского процесса.
Найти спектральную плотность процесса , где величины независимы и одинаково распределены с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.
Объяснить, почему для гауссовских процессов понятия стационарности в узком и широком смыслах совпадают.
Вычислить интеграл Стратоновича где - винеровский процесс (в отличие от интеграла Ито, при составлении интегральных сумм значения подинтегральной функции берутся в середине каждого отрезка разбиения).

ЗАЧЕТНЫЕ ЗАДАЧИ
ПРИМЕРЫ ПРОЦЕССОВ, КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ,

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ТРАЕКТОРИЙ

Как выглядят траектории процесса если величина принимает значения 1 и с равными вероятностями? Найти двумерные распределения процесса.
Пусть распределение числа потомков каждой частицы таково:

Будет ли меньше вероятность вырождения процесса Гальтона-Ватсона?

Привести пример эквивалентных процессов и, а также множества в пространстве траекторий, так, чтобы
Верно ли, что если у процессов и совпадают конечномерные распределения, то процесс является модификацией процесса?
Введем процесс , где независимые величины, Найти конечномерные распределения процесса и его ковариационную функцию.
Пусть действительный случайный процесс. Объяснить, почему множество где – константа, вообще говоря, необязательно является событием.

ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ,

ГАУССОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Пусть процесс с независимыми приращениями, () –детерминированная функция. Верно ли, что процессы и имеют независимые приращения?
Пусть ковариационные функции, заданные на R, полином от переменных, имеющий положительные коэффициенты. Доказать, что ковариационная функция некоторого гауссовского процесса.
Доказать, что по вероятности, когда , здесь –

винеровский процесс.

Пусть пуассоновский процесс интенсивности . Доказать, что п.н. при .
Пусть пуассоновский процесс интенсивности . Положим Найти ковариационную функцию процесса .
Пусть (_n)_n_₁ – последовательность независимых случайных величин, не зависящая от пуассоновского процесса интенсивности . Доказать, что процесс является процессом с независимыми приращениями.
Доказать, что процесс где – винеровский процесс и константа , также является винеровским.
Найти ковариационную функцию броуновского моста, т.е. процесса где – винеровский процесс.

СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР

15. Пусть меры Дирака на метрическом пространстве , снабженном борелевской -алгеброй. Доказать, что эти меры имеют слабый предел в том и только в том случае, когда найдется точка такая, что при .

16. Построить пример случайных процессов X_n={X_n(t),t[0,1]} с траекториями из пространства C[0,1] таких, что существуют слабые пределы у всех конечномерных распределений этих процессов, но X_n не сходятся по распределению в C[0,1].

МАРКОВСКИЕ МОМЕНТЫ, МАРТИНГАЛЫ
17. Пусть ₁, ₂… – марковские моменты. Доказать, что min_k_=1,…,_n_k, max_k_=1,…,_n_k, min_k__N_k, max_k__N_k – марковские моменты.

18. Пусть X₁,X₂,… – последовательность случайных векторов со значениями в R^m, B – борелевское множество в R^m. Показать, что =inf{n: X_nB} является марковским моментом относительно естественной фильтрации этой последовательности. Найти распределение величины X_, когда (X_n)_n_₁ состоит из независимых одинаково распределенных векторов.

19. Пусть W – винеровский процесс, _a:= inf{t0: W(t)=a}, где a – константа. Доказать, что _a – момент остановки (т.е. конечный п.н. марковский момент) относительно

естественной фильтрации W.

20. Пусть  и  – марковские моменты относительно фильтрации (F_n)_n_₀. Определим F_ = {AF: A{n}F_n}, n0. Аналогично вводится F_. Доказать, что F_ является -алгеброй, причем F_ F_, если .

21. Найти все a,bR такие, что процесс X={X(t):=exp(aW(t) + bt),t0} является мартингалом относительно естественной фильтрации винеровского процесса W.

22. Пусть X=(X_n)_n_₀ – мартингал. Привести примеры марковских моментов  и  таких, что EX_=EX₀, EX_EX₀.
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
23. Пусть (_n)_n_₁ – последовательность, состоящая из независимых случайных векторов со значениями в R^m, h_n: R^k R^m  R^k – детерминированные борелевские функции (n1) и X₀ – случайный вектор со значениями в R^k. Положим X_n =h_n(X_n-1,_n), n1. Показать, что (X_n)_n_₀ – цепь Маркова.

24. Пусть величины X₁,…,X_N образуют цепь Маркова. Показать, что (Y_k)₁__k__N – цепь Маркова, где Y_k = X_N-k, k=1,…,N.

25. Пусть Y={Y(n)=X(n), n= 0,1,…} – марковский процесс. Будет ли марковским процесс X={X(t) = Y([t]), t0}, где [] – целая часть числа?

26. Пусть дана марковская цепь X_n, n0, имеющая переходную матрицу вероятностей за один шаг

где 027. Пусть h: RR – взаимно однозначное отображение. Показать, что Y={Y(t)=h(X(t)), t0} является марковским процессом, если X={X(t), t0} – марковский процесс. Построить пример, показывающий, что без предположения о взаимной однозначности отображения h утверждение не обязано выполняться.

28. Пусть X={X(t), t0} – процесс чистого размножения, т.е. p_i_,_i₊₁(t)=_it + o(t) и p_i_,_i(t)=1–_it +o(t) при t0+. Доказать, что для каждого t в том и только том случае, когда .
СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
29. Показать, что стационарный в широком смысле процесс X={X(t),tR} непрерывен в среднем квадратическом на R тогда и только тогда, когда его ковариационная функция непрерывна в нуле.

30. Пусть X=(X_n)_n__Z – последовательность, состоящая из независимых случайных величин со средним 0 и дисперсией ². Найти спектральное представление этой последовательности.

31. Найти спектральную плотность процесса X_n = (1/4)X_n-1 +(1/2)X_n_-3+_n, nZ, где величины _n, nZ, независимы и одинаково распределены с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.

32. Пусть X=(X_n)_n__Z – стационарный в широком смысле процесс со средним a и ковариационной функцией R=R(n), nZ. Доказать, что в среднем квадратическом при n тогда и только тогда, когда , n.

33. Пусть X={X(t) = e^–^^t W(e²^^t), tR}, где W – винеровский процесс, константа >0. Доказать, что X – стационарный гауссовский процесс и найти его спектральную плотность.
ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
34. Пусть f(t) – непрерывная детерминированная функция на [0,+). Доказать, что X={X(t)=} – гауссовский процесс (W – винеровский процесс).

35. Вычислить интеграл Ито , где W – винеровский процесс.

36. Решить стохастическое дифференциальное уравнение dX_t=aX(t)dt +bX(t)dW_t, где W={W_t, t0} – винеровский процесс, a,b – константы, а X(0)=X₀.