Контрольная работа №1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная... 1 309.99kb.
Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная... 1 384.66kb.
Рабочая программа модуля (дисциплины) математика линейная алгебра... 1 298.27kb.
Программа курса :«Линейная алгебра и аналитическая геометрия» 1 38.97kb.
1 Сначала находим определитель матрицы 1 38.99kb.
Контрольная работа содержит разноуровневые задания 2 568.02kb.
Экзаменационные вопросы курса «Линейная алгебра и геометрия» для... 1 20.37kb.
Программа дисциплины линейная алгебра Цикл ен. Ф. Специальность ... 1 113.9kb.
Контрольная работа №3 Задача №1 Вычислить двойной интеграл. 1 25.96kb.
Программа дисциплины «Линейная алгебра» 1 238.35kb.
Секундомер профессиональный трехстрочный ktj ta299 (99 ячеек памяти) 1 33.94kb.
Основные вопросы на доказательства (1 семестр) Алгебра 1 40.17kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Контрольная работа №1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить определитель - страница №1/1

Контрольная работа № 1
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1. Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу.












2. Решить матричное уравнение, где Х – неизвестная матрица


Следовательно, исходное уравнение примет вид:



Система уравнений в матричной форме имеет вид: XА=В, где



Если обе части домножить на матрицу А-1, то получим:

XА А-1= ВА-1.

Поскольку АА-1=Е, то Х= ВА-1.

Для того, чтобы найти матрицу обратную матрице А, найдем определитель матрицы А.

Определяем матрицу составленную из алгебраических дополнений:



Находим алгебраические дополнения матрицы :





Записываем транспонированную матрицу :



Тогда обратная матрица равна:



Отсюда следует, что





Следовательно






3. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления

Преобразуем исходную систему так, чтобы в левой части не было свободных членов



В матричной форме данная система уравнений имеет следующий вид:

АХ=В, где

Система уравнений в матричной форме имеет вид: АХ=В.

Если обе части домножить на матрицу А-1, то получим:

А-1АХ= А-1В.

Поскольку А-1А=Е, то Х= А-1В.

Для того, чтобы найти матрицу обратную матрице А и проверить систему на совместность, найдем определитель матрицы А.



следовательно система совместна и имеет единственное нетривиальное решение

Определяем матрицу составленную из алгебраических дополнений:

Находим алгебраические дополнения матрицы :





Записываем транспонированную матрицу :



Тогда обратная матрица равна:



Отсюда следует, что



Следовательно х1 = 3,25; х2 = -3,75; х3 = 2,75



4. Даны векторы

в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить по формулам Крамера.




Базисом линейного пространства является совокупность линейно независимых элементов, если для каждого элемента этого пространства найдутся вещественные числа х1, х2, х3 такие, что его можно представить в виде линейной комбинации этих базиса.

Элементы пространства называются линейно независимыми, если линейная их комбинация является нулевым элементом пространства лишь при условии, что все ее коэффициенты равны нулю.

В данном случае линейная комбинация заданных трех векторов имеет вид:

Векторы , , будет образовывать линейно независимую систему, если только при

Выражение можно переписать в виде системы линейных уравнений:

Если определитель данной системы не равен нулю, то существует единственное нетривиально решение системы. Определитель этой матрицы равен:



Таким образом, у данной системы существует единственное нетривиальное решение, отличное от нуля, следовательно она линейно независимо.

Возьмем произвольный вектор. Проверим является ли этот вектор линейной комбинацией векторов , , , т.е.

Как было определено ранее определитель не равен нулю, следовательно система имеет единственное нетривиальное решение, т.е. для любого вектора найдутся , такие что вектор всегда можно представить в виде линейной комбинации векторов



Следовательно, векторы образуют базис трехмерного пространства.

Поскольку , тогда система уравнений для отыскания будет иметь вид:

Для отыскания решения по методу Крамера, находим определители, заменяя каждый из столбцов на столбец свободных членов:







Отсюда корни системы уравнения равны:







Следовательно, разложение вектора через базис



имеет вид:






5. Решите задачу, согласно варианта.

Прямые х – 2у + 10 = 0 и 7х+у – 5 = 0 являются сторонами треугольника, а точка D (1; 3) – точкой пересечения его медиан. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.


А

Е
D


В F С


Обозначим А точку пересечения прямых х – 2у + 10 = 0 и 7х+у – 5 = 0. Найдем ее координаты. Для этого из второго уравнения выразим у:

у = 5 – 7х

Подставляя это значение в первое уравнение, получим:

х – 2 (5 – 7х) +10 =0

15х = 0


х=0

Тогда у = 5 – 0 = 5

Следовательно точка А(0; 5) является точкой пересечения заданных прямых

В соответствии со свойством медиан треугольника каждая медиана точкой пересечения делится в отношении 2:3. Следовательно Е – середина отрезка AD, а D – середина отрезка EF

Тогда точка Е имеет координаты

А поскольку D является серединой отрезка EF, то F будет иметь координаты:



Поскольку точка F – середина отрезка BC, то координаты точки F определяются по формуле



Тогда


Из уравнения х – 2у + 10 = 0, получим, что



Из уравнения 7х+у – 5 = 0, получим, что



Подставляя эти значения в , получим:



Вычитая из , полученное равенство, получим



Тогда


Зная координаты точек В и С, находим искомое уравнение третьей стороны:



Или