Контрольная работа №1 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Литература: [1], гл. 1, § 1-3, гл. 2, 3, § 1-3; §[2], гл - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Элементы векторной... 4 741.35kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине 3 651.69kb.
Программа курса "Линейная алгебра" 1 45.3kb.
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Элементы абстрактной... 3 481.97kb.
Функции нескольких переменных. Основные определения и понятия. 1 44.21kb.
Контрольная работа №3 3 Примеры решения задач по цифровой обработке... 1 17.21kb.
Контрольная работа содержит разноуровневые задания 2 568.02kb.
Программа по дополнительному образованию «элементы начертательной... 1 136.49kb.
Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная... 1 140.76kb.
1. Прежде чем приступать к нашему курсу лекций, оцените свои знания... 2 867.88kb.
Алгебраические системы Операции и алгебры. N 1 194.95kb.
Задания для защиты контрольной работы n 1 1 52.28kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Контрольная работа №1 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Литература - страница №1/1

Контрольная работа №1
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Литература: [1], гл.1, § 1-3, гл. 2, 3, § 1-3; §[2], гл. 1, § 1-3;

[5], ч.1, § 1.1 – 1.5; [7] гл.4, 7, 9; 1 [7] ч.1.

Основные теоретические сведения


1. Базисом пространства называется совокупность линейно неза-висимых векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пространства.

Если векторы образуют базис, то любой вектор можно представить в виде



(1.1)

При этом числа и называются координатами вектора в базисе и определяются однозначно. Если известны координаты векторов и в некотором базисе, то из (1.1) может быть получена система трех уравнений с тремя неизвестными , . Для нахождения , такая система может быть решена по правилу Крамера



где определитель системы



, а - определители, полученные из основного определителя заменой 1-го, 2-го, 3-го столбца соответственно столбцом из координат вектора .

2.1. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством



где - угол между векторами и .

При этом длина вектора определяется по формуле

. (1.2)

2.2. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который направлен перпендикулярно векторам и так, что векторы , , образуют правую тройку, и длина вектора равна (рис.1).

Геометрически равен площади S параллелограмма, построенного на векторах

и .

В координатной форме

Рис.1 . (1.3)
2.3. Смешанное произведение трех векторов

, , есть число, равное

. (1.4)

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , .


2.4. Общее уравнение плоскости Р имеет вид

где - вектор, нормальный (перпендикулярный) плоскости (рис.2).

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , записывается в виде

. (1.5)

Угол  между двумя плоскостями с нормальными векторами и определяется по формуле .

Рис. 2

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , , имеет вид



. (1.6)
2.5. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки и , имеет вид

. (1.7)
3. Уравнение прямой на плоскости в виде называется уравнением с угловым коэффициентом k. Если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно –1, т.е. ; если они параллельны, то .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку , имеет вид .

4. Пусть L – некоторая линия, каждая точка М которой обладает следующим свойством: отношение расстояний от точек L до данной точки F и до данной прямой (d) равно числу , т.е. . Число  называется эксцентриситетом. Если  < 1, то множество точек L определяет эллипс: .

Если  > 1, то L – гипербола: .

Если  = 1, то L – парабола: .
Пример 1. Показать, что векторы , и образуют базис, и найти разложение вектора по базису .

Решение. Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов является равенство их смешанного произведения нулю. Итак, находим



.

Значит, векторы некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений (1.1) в координатном виде и найдем . Определитель найден выше и = 8.




Имеем ; ; .

Значит, .
Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды . Требуется найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж, если , , .
Решение. 1. Находим координаты вектора и длину ребра по формуле (1.2).

2. Угол  между ребрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения. , ;. Поэтому ,

3. Угол  между ребром и плоскостью - это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань .

Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и (1.3):



. (Здесь . Как и в предыдущем пункте, находим ,

.

4. Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения



.
5. Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , (формула 1.4).

.
6. Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой (1.7), где - координаты точки , - координаты точки .

.

В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде



или , т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей.
7. Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой (1.6), где - координаты , - координаты , - координаты .


8. Искомые уравнения высоты получим из канонических уравнений прямой , где - точка, лежащая на искомой прямой,; - координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем .

9. Сделаем чертеж



Пример 3. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух биссектрис и .

Решение. Нетрудно проверить, что координаты точки А не удовлетворяют уравнениям биссектрис, т.е. и . Пусть ВD и СЕ биссектрисы. Найдем координаты точки , симметричной точке А

относительно биссектрисы СЕ. Она лежит на стороне ВС. Для этого:

1. Напишем уравнение прямой (угловые коэффициенты перпендикулярных прямых и связаны соотношением ). Подставляем в это уравнение координаты точки А, находим

; итак, уравнение .

2. Из системы находим точку пересечения прямых и СЕ, т.е. точку .

3. Находим координаты точки , зная координаты и середины отрезка , т.е. точки :

.

Аналогично находим координаты точки , симметричной точке А относительно биссектрисы . Составляем уравнение стороны как прямой, проходящей через точки и :

.

Находим координаты точки В как точки пересечения прямых



и : .

По точкам и записываем уравнение прямой .

Аналогично из системы уравнений находим координаты точки . По точкам А и С составляем уравнение стороны АС :

.
Пример 4. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств


Решение. Чтобы решить неравенство , рассмотрим прямую . Она проходит через две точки и . При

неравенство является верным. Следовательно, ему удовлетворяют все точки, лежащие ниже прямой и на прямой. Для решения второго неравенства строим прямую , проходящую через точки и . Точка удовлетворяет неравенству , следовательно, ему удовлетворяют все точки, лежащие ниже прямой и на этой прямой. Находим точку А пересечения прямых и , решая систему



.

Наконец, решаем неравенство . Для этого строим прямую , проходящую через точки и . Точка (0;0) также удовлетворяет этому неравенству , поэтому его решением является множество точек плоскости выше прямой и на самой прямой.



Решая системы уравнений

и , находим координаты точек и . Данной системе неравенств удовлетворяют все точки внутри треугольника АВС и на его границе.
Пример 5. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой равно .
Решение. Обозначим произвольную точку искомой линии . Тогда по условию , где Р - основание перпендикуляра из точки М к прямой . Но

. Значит, . Возводя в квадрат, получаем Это каноническое уравнение эллипса с полуосями и центром в начале координат.