Конспект лекций часть 2 Содержание: Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Содержание КВМ Часть 2.
mailto: aalar@yandex.ru

К У Р С

В Ы С Ш Е Й
М А Т Е М А Т И К И

Краткий конспект лекций

ЧАСТЬ 2

Содержание:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Уравнение касательной и нормали к кривой.

Односторонние производные функции в точке.

Основные правила дифференцирования.

Производные основных функций.

Производная сложной функции.

Логарифмическое дифференцирование.

Производная показательно – степенной функции.

Производная обратной функции.

Дифференциал функции.

Геометрический смысл дифференциала.

Свойства дифференциала.

Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи.

Формула Тейлора.

Формула Лагранжа.

Формула Маклорена.

Представление функций по формуле Тейлора.

Бином Ньютона.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Теоремы о среднем.

Теорема Ролля.

Теорема Лагранжа.

Теорема Коши.

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

Производная и дифференциалы высших порядков.

Правила нахождения производных.

Исследование функций.

Возрастание и убывание функций.

Точки экстремума.

Критические точки.

Достаточные условия экстремума.

Исследование функций с помощью производных высших порядков.

Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба.

Асимптоты.

Схема исследования функций.

Векторная функция скалярного аргумента.

Уравнение касательной к кривой.

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента.

Уравнение нормальной плоскости.

Параметрическое задание функции.

Окружность.

Эллипс.

Циклоида.

Астроида.

Производная функции, заданной параметрически.

Кривизна плоской кривой.

Угол смежности.

Средняя кривизна.

Кривизна дуги в точке.

Радиус кривизны.

Центр и круг кривизны.

Эволюта и эвольвента.

Свойства эволюты.

Кривизна пространственной кривой.

Годограф.

Главная нормаль.

Вектор и радиус кривизны.

Формулы Френе.

Соприкасающаяся плоскость.

Бинормаль.

Кручение кривой.

Интегральное исчисление.

Первообразная функция.

Неопределенный интеграл.

Свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных интегралов.

Непосредственное интегрирование.

Способ подстановки.

Интегрирование по частям.

Интегрирование элементарных дробей.

Рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей.

Метод неопределенных коэффициентов.

Метод произвольных значений.

Интегрирование тригонометрических функций.

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интегрирование иррациональных функций.

Биноминальные дифференциалы.

Тригонометрическая подстановка.

Подстановки Эйлера.

Метод неопределенных коэффициентов.

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Эллиптические интегралы.

Интеграл Пуассона.

Интеграл Френеля.

Интегральный логарифм.

Интегральный синус и косинус.

Определенный интеграл.

Интегральная сумма.

Интегрируемая функция.

Свойства определенного интеграла.

Теорема о среднем.

Обобщенная теорема о среднем.

Вычисление определенного интеграла.

Теорема Ньютона – Лейбница.

Замена переменных в определенном интеграле.

Интегрирование по частям.

Приближенное вычисление определенного интеграла.

Формула прямоугольников.

Формула трапеций.

Формула парабол (Симпсона).

Несобственные интегралы.

Абсолютная сходимость интеграла.

Интеграл от разрывной функции.

Нахождение площадей плоских фигур.

Нахождение площади криволинейного сектора.

Вычисление длины дуги кривой.

Вычисление объемов тел по поперечным сечениям.

Вычисление объемов тел вращения.

Площадь поверхности тела вращения.

Функции нескольких переменных.

Предел.

Непрерывность.

Наибольшее и наименьшее значения.

Частное приращение.

Частная производная.

Геометрический смысл частных производных.

Полное приращение и полный дифференциал.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Экстремум функции нескольких переменных.

Необходимые условия экстремума.

Достаточные условия экстремума.

Условный экстремум.

Функция Лагранжа.

Производная по направлению.

Направляющие косинусы.

Градиент.

Связь градиента с производной по направлению.

Кратные интегралы.

Двойные интегралы.

Условия существования двойного интеграла.

Свойства двойного интеграла.

Вычисление двойного интеграла.

Замена переменных в двойном интеграле.

Якобиан.

Двойной интеграл в полярных координатах.

Тройной интеграл.

Замена переменных в тройном интеграле.

Цилиндрическая система координат.

Сферическая система координат.

Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

 Ларин Александр Александрович 2000 год. mailto: aalar@yandex.ru

2001

Дифференциальное исчисление функции

одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

у

f(x)

f(x₀ +x) P

f

f(x₀) M

  x

0 x₀ x₀ + x x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,
где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.
Односторонние производные функции в точке.

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х₀ называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х₀, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х₀, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х₀, она может быть в ней не дифференцируема.
Например: f(x) = x- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u  v) = u  v

2) (uv) = uv + uv

3), если v  0
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций.
1)С = 0; 9)

2)(x^m) = mx^m^-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда
Доказательство.

( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)
Тогда Теорема доказана.
Логарифмическое дифференцирование.
Рассмотрим функцию .

Тогда (lnx)= , т.к. .

Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных и показательно-степенных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Производная показательно- степенной функции.

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:
lny = vlnu

Пример. Найти производную функции .
По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

Производная обратных функций.
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

т.к. g(y)  0

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.
Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Известно, что

По приведенной выше формуле получаем:

Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

Дифференциал функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где 0, при х0.

Следовательно: .

Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная часть приращения у.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f(x)x или

dy = f(x)dx.
Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.

f(x)

M y



x x + x x

Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv

d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

d(Cu) = Cdu

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у - сложная функция.

Тогда dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Однако, если х - независимая переменная, то

dx = x, но

если х зависит от t, то х  dx.
Таким образом, форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.
Пример. Найти производную функции.
Сначала преобразуем данную функцию:

Пример. Найти производную функции .

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции

Формула Тейлора.

следующая страница >>