Иудин Иван Дмитриевич студент группы апм-09-2, Металлургический факультет - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Тамара Ивановна Домрачева 1 12.88kb.
Реферат Иммунология слизистых оболочек студент 5 курса 16 группы... 1 196.69kb.
Реферат уксусная кислота 1 67.6kb.
Хархурина Анна Олеговна студент группы эп-м-10 1 67.94kb.
Контрольная работа юридическая ответственность студент 1 курса 4... 1 54.86kb.
Контрольная работа по теме: «ДЖ. М кейнс и его теоретическая система»... 1 321.72kb.
Стенограммы суда времени. 25. Иван Грозный 2 1034.06kb.
Проектирование и реализация каркаса распределенной системы мониторинга... 1 46.26kb.
Проектирование и разработка каркаса распределенной системы мониторинга... 1 46.72kb.
Мартынцев Алексей Сергеевич студент группы асп-б-06 1 67.49kb.
Реферат по физике на тему " Волны в упругой среде. Волновое уравнение". 1 190.9kb.
Минестерство образования московской области 2 446.13kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Иудин Иван Дмитриевич студент группы апм-09-2, Металлургический факультет - страница №1/1

Иудин Иван Дмитриевич

студент группы АПМ-09-2, Металлургический факультет

Научный руководитель: Косовцева Татьяна Реональдовна

доц., к.т.н.

СПГГИ (НИУ) им. Г.В.Плеханова,

кафедра информатики и компьютерных технологий,

г. Санкт-Петербург
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПЕРКОЛЯЦИИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ MATLAB

APPLICATION OF PERCOLATION THEORY FOR MODELING VARIOUS PROCESSING IN THE SYSTEM MATLAB
В 1957 году математики Броадбент и Хаммерсли опубликовали статью, в которой поделились с читателями идеей вероятностной формализации процесса просачивания воды в перколяторе электрической кофеварки. [1] Их построение было альтернативой классическому диффузионному описанию распространения одной физической субстанции, условно называемой жидкостью в другой, условно называемой средой. Так возникла новая теория, названная впоследствии теорией перколяции, или протекания (от английского глагола to percolate -просачиваться, протекать).

Перколяция характеризует широкий класс явлений в двухфазных (многофазных) системах с контрастными физическими свойствами компонент: протекание жидкостей через пористые среды, прохождение электрического тока в композитах металл-диэлектрик, распространение фронта возбуждения в сильно неоднородных активных средах (эпидемий, лесных пожаров), передачу информации через случайные каналы связи и т.п.

Рассмотрим классическую постановку задачи статической перколяции. Простейшие решеточные задачи теории протекания формулируются следующим образом. Рассмотрим квадратную решетку, каждый узел которой занят с вероятностью или пуст с вероятностью . Вероятность можно интерпретировать как долю (концентрацию) занятых узлов при случайно-однородном заполнении решетки. [2] Пустые и занятые узлы могут отвечать самым разнообразным физическим свойствам, например, являться проводниками и изоляторами. Очевидно, что при малых концентрациях р<<1 проводящие квадратики либо изолированы друг от друга либо формируют небольшие группы - кластеры ближайших соседей. Два проводящих узла принадлежат одному кластеру в том и только том случае, когда они связаны проводящей цепочкой ближайших соседей.

При р<<1 система в целом демонстрирует диэлектрические свойства, поскольку не существует длинных проводящих цепей соединяющих противоположные стороны решетки. Наоборот, при проводящей оказывается подавляющая доля пространства решетки. Существует некоторое критическое значение , при котором происходит переход от диэлектрического состояния (при ) к проводящему при (). Критическое значение называется порогом протекания (перколяции). Как отмечает Шредер, несмотря на простое определение, установление точного значения порога перколяции для узлов на квадратной решетке является нетривиальной задачей. Массированные расчеты по методу Монте-Карло дали значение , при этом количество десятичных знаков возрастет с использованием все более мощных компьютеров.

В противоположность обычным фазовым превращениям, где смена фаз происходит при некоторой критической температуре, описанный выше перколяционный переход является геометрическим фазовым превращением. Перколяционный переход характеризуется геометрическими свойствами проводящих кластеров вблизи . При р<<1 существуют только кластеры небольших размеров. По мере роста концентрации средний размер кластеров увеличивается. При концентрации близкой к критической появляется кластер, связывающий противоположные стороны решетки. Такой кластер называют перколяционным. В термодинамическом пределе бесконечно протяженной решетки перколяционный кластер называют бесконечным кластером (БК). С дальнейшим ростом концентрации доля принадлежащих перколяционному кластеру узлов (плотность перколяционного кластера) возрастает. Соответственно, средний размер конечных кластеров, не принадлежащих перколяционному кластеру, уменьшается и при все узлы принадлежат, очевидно, только одному кластеру.

Такие задачи являются простейшими для перколяционной модели. Таким образом описание более сложных систем и структур может быть сведено к перколяционной модели с наличием большего количества различных параметров.

В экологии и биологии также широко применима теория протекания. Например, данная модель могла служить для нахождения времени озеленения района после пожара. В основу легла задача окружностей. Ее краткое описание выглядит так: допустим, что, на плоскости расположены окружности с одинаковым радиусом, равным , центры которых случайно-однородно (т.е. совершенно хаотически и в среднем равномерно) распределены по плоскости. Другими словами, обе координаты центров окружностей задаются случайными числами, равномерно распределенными в интервале от нуля до где очень большая (по сравнению с ) длина, характеризующая размер рассматриваемой системы. Важная отличительная черта этой задачи состоит в том, что окружности могут сколь угодно перекрываться друг с другом. В противоположность решеточным задачам дискретной перколяции, представленная постановка является типичным примером, так называемой континуальной перколяции. Будем считать, что среднее число центров окружностей, приходящееся на единицу площади (концентрация центров окружностей), равно . Две окружности считаются связанными друг с другом, если они имеют общие точки, т.е. являются пересекающимися. Если окружность A связана с окружностью B, а B связана с C, то A связана с C. Таким образом, далекие друг от друга окружности могут быть связаны по цепочке охватывающих окружностей. Задача состоит в том, чтобы найти критическое значение концентрации n , при котором возникает протекание по связанным окружностям, т, е. возникают пути, проходящие через всю систему и состоящие из пересекающихся окружностей. Иными словами, возникает бесконечный кластер связанных друг с другом окружностей.

В пакете MATLAB была построена упрощенная динамическая модель распространения возбужденного фронта в неоднородной среде, что по сути является моделью инвазии травянистых растений.

Проблема озеленения территорий после выработки месторождений очень актуальна. Моделирование процесса инвазии лежит на стыке теоретической экологии, и теории сложных нелинейных систем. Важно подчеркнуть, что анализ структурных особенностей подобных систем не укладывается в рамки традиционных подходов и делает актуальным использование средств современной дискретной математики. Вместе с тем, попытки такого рода в биологии не многочисленны. Область эта, особенно ее "экологическая" часть, находится в начале своего становления, поэтому важность и актуальность подобных исследований несомненна. Так, например, серьезную роль в актуализации темы играют проблемы восстановления поврежденных экосистем в условиях увеличенной антропогенной нагрузки. Комплекс задач, состоящий в восстановлении структуры, функции, разнообразия и динамики специфичной экосистемы, решается путем активной реинтродукции и, в частности, путем высаживания и засевания территории растениями исходных видов. Ясно, что выявление факторов воздействующих на успех и скорость реинвазии может быть осуществлено только с применением методов математического моделирования.



Литература

1. Иудин Д. И., Касьянов Д. А., Шалашов Г. М., Фильтрационное течение в среде с переменной пористостью. // Доклады РАН, 1999, Т. 2, с. 257-259

2. Курбатова Е.А. MATLAB 7.0 Самоучитель. – Киев, Вильямс, 2005.

3. Иудин Д. И., Трахтенгерц Д. Ю. Динамическая перколяция в активных средах. ‘Нелинейные волны’, 2004.


Аннотация

В работе рассматривается базовые понятия теории перколяции как системы для моделирования многофазовых процессов с применением пакета MatLab. Автор рассматривает применение теории перколяции для решения задач из области биологии и экологии.

Ключевые слова

перколяция, многофазовые процессы, инвазия, реинвазия.