Исследовательская работа «Путешествие в мир фракталов» - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Сочинение на заданную тему. Исследовательская работа 1 117.65kb.
Научно-исследовательская работа. Научно-исследовательская работа... 1 18.52kb.
Исследовательская работа студентов и преподавателей в училище (по... 1 75.37kb.
План работы. Введение История фракталов 1 151.4kb.
Квн по математике во 2-4 классах. И прекрасна, и сильна математики... 1 97.38kb.
Кружок «Музееведение» 1 27.83kb.
Путешествие в мир танца 1 73.61kb.
Научно-исследовательская работа 3 Научные семинары (круглые столы) 1 54.93kb.
Содержательная характеристика понятия «исследовательская компетентность» 1 117.39kb.
Исследовательская работа студентов колледжа 1 62.68kb.
Исследовательская работа «возникновение чисел» 1 141.06kb.
Информационный модуль «Путешествие внутрь фрактала» с элементами... 1 60.85kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Исследовательская работа «Путешествие в мир фракталов» - страница №1/1

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ -УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

с. Мечетное

Научно-практическая конференция «Удивительный мир математики»




Исследовательская работа «Путешествие в мир фракталов»

Выполнила: учащаяся 10 класса

Аллахвердиева Наиля

Руководитель: Давыдова Е. В.

2013 г.

Оглавление:


  1. Вступление.

  2. Основная часть:

а) Понятие фрактал;

б) История создания фракталов;

в) Классификация фракталов;

г) Применение фракталов;

д) Фракталы в природе;

е) Цвета фракталов.

3. Заключение.


Вступление.

Что скрывается за таинственным понятием «фрактал»? Наверное, для многих этот термин ассоциируется с красивыми изображениями, замысловатыми узорами и яркими образами, созданными с помощью компьютерной графики. Но фракталы – это непросто красивые картинки. Это особые структуры, которые лежат в основе всего, что нас окружает. Ворвавшись в научный мир всего несколько десятилетий назад, фракталы успели произвести настоящую революцию в восприятии окружающей действительности. Используя фракталы, человек может создавать высокоточные математические модели природных объектов, систем, процессов и явлений.



Основная часть
Понятие фрактала.

Фрактал(от лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

 

История создания.
Вывести науку о фракталах на новый уровень сумел французский математик Бенуа Мандельброт – ученый, который сегодня признан отцом фрактальной геометрии. Мандельброт впервые дал определение термину «фрактал»:

Цитата


"Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"
В 70-е годы Бенуа Мандельброт работал математическим аналитиком в компании IBM. Ученый впервые задумался о фракталах в процессе изучения шумов в электронных сетях. На первый взгляд, помехи при передаче данных происходили абсолютно хаотично. Мандельброт построил график появления ошибок и с удивлением обнаружил, что в любом временном масштабе все фрагменты выглядели аналогично. В масштабе недели шумы появлялись в такой же последовательности, как и в масштабе одного дня, часа или минуты. Мандельброт понял, что частота возникновения ошибок при передаче данных распределяется во времени по принципу, изложенному Кантором в конце XIX века. Тогда Бенуа Мандельброт всерьез увлекся изучением фракталов. 
В отличие от своих предшественников, для создания фракталов Мандельброт использовал не геометрические построения, а алгебраические преобразования различной сложности. Математик применял метод обратных итераций, который подразумевает многократное вычисление одной и той же функции. Используя возможности ЭВМ, математик выполнял огромное количество последовательных вычислений, результаты которых отобразил графически на комплексной плоскости. Так появилось множество Мандельброта – сложный алгебраический фрактал, который сегодня считается классикой науки о фракталах. В некоторых случаях один и тот же предмет может считаться одновременно гладким и фрактальным. Чтобы объяснить, почему это происходит, Мандельброт приводит интересный наглядный пример. Клубок шерстяных ниток, удаленный на некоторое расстояние, выглядит как точка с размерностью 1. Клубок, расположенный неподалеку, выглядит как двумерный диск. Взяв его в руки, можно отчетливо ощутить объем клубка – теперь он воспринимается как трехмерный. А фракталом клубок может считаться только с точки зрения наблюдателя, использующего увеличительный прибор, или мухи, севшей на поверхность неровной шерстяной нити. Поэтому истинная фрактальность объекта зависит от точки зрения наблюдателя и от разрешающей способности используемого прибора. 
Мандельброт отметил интересную закономерность – чем ближе рассматривать измеряемый объект, тем более протяженной будет его граница. Это свойство можно наглядно продемонстрировать на примере измерения протяженности одного из природных фракталов - береговой линии. Проводя измерения на географической карте, можно получить приблизительное значение длины, поскольку все неровности и изгибы не будут учтены. Если проводить измерение с учетом всех неровностей рельефа, видимых с высоты человеческого роста, то результат будет несколько другим – длина береговой линии значительно увеличится. А если теоретически представить, что измерительный прибор будет огибать неровности каждого камешка, то в этом случае протяженность береговой линии будет практически бесконечной.
Классификация фракталов.

Фракталы разделяют на:

геометрические: фракталы этого класса — самые наглядные, в них сразу видна самоподобность. История фракталов началась именно  с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке.

алгебраические:эта группа фракталов получила такое название потому, что фракталы образуются при помощи простых алгебраических формул.

стохастические:образуются в случае случайной перемены в итерационном процессе параметров фрактала. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

 

Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал. Классические примеры геометрических фракталов: Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского, Драконова ломанная (приложение 1).


Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов – алгебраические (приложение 2). Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько.

К сожалению, многие термины уровня 10-11 класса, связанные с комплексными числами, необходимые для объяснения построения фрактала, мне неизвестны и пока трудны для понимания, поэтому подробно описать построение фракталов подобного вида для меня не представляется возможным.

Изначально фрактальная природа черно-белая, но если добавить немного фантазии  и красок, то можно получить настоящее произведение искусств.


Стохастические фракталы

Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма» (приложение 3). Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число – тем более «рваным» будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря – получим вместо плазмы – горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и, пожалуйста, фотореалистичные горы готовы!

                      

Применение фракталов

Уже сегодня фракталы находят широкое применение в самых разнообразных областях. Активно развивается направление фрактального архивирования графической информации. Теоретически, фрактальное архивирование может сжимать изображения до размеров точки без потери качества. При увеличении картинок, сжатых по фрактальному принципу, отчетливо отображаются мельчайшие детали, а эффект зернистости при этом полностью отсутствует.


Принципы теории фракталов используются в медицине для анализа электрокардиограмм, поскольку ритм сердечных сокращений также является фракталом. Активно развивается направление исследований кровеносной системы и других внутренних систем человеческого организма. В биологии фракталы применяются для моделирования процессов, происходящих внутри популяций. 
Метеорологи используют фрактальные зависимости для анализа интенсивности движения воздушных масс, благодаря чему появляется возможность более точного прогнозирования изменений погоды. Физика фрактальных сред с большим успехом решает задачи изучения динамики сложных турбулентных потоков, процессов адсорбции и диффузии. В нефтехимической отрасли фракталы используются для моделирования пористых материалов. Теория о фракталах эффективно применяется в работе на финансовых рынках. Фрактальная геометрия используется для создания мощных антенных устройств. 
Сегодня теория фракталов является самостоятельной областью науки, на основе которой создаются все новые и новые направления в различных областях. Значимости фракталов посвящено множество научных трудов.

Но эти необычные объекты не только чрезвычайно полезны, но и невероятно красивы. Именно поэтому фракталы постепенно находят свое место в искусстве. Их удивительная эстетическая привлекательность вдохновляет многих художников на создание фрактальных картин. Современные композиторы создают музыкальные произведения, используя электронные инструменты с различными фрактальными характеристиками. Писатели применяют фрактальную структуру для формирования своих литературных произведений, а дизайнеры создают фрактальные предметы мебели и интерьера.


Фрактальность в природе

 В 1977 году была издана книга Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность», а в 1982 году вышла еще одна монография – «Фрактальная геометрия природы», на страницах которой автор продемонстрировал наглядные примеры различных фрактальных множеств и привел доказательства существования фракталов в природе. Главную идею теории фракталов Мандельброт выразил следующими словами:

Цитата

"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные – задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать".


Свойствами фрактального множества обладают многие природные объекты (приложение 4) .

Действительно ли фракталы являются универсальными структурами, которые были взяты за основу при создании абсолютно всего, что есть в этом мире? Форма многих природных объектов максимально приближена к фракталам. Но не все существующие в мире фракталы имеют настолько правильную и бесконечно повторяющуюся структуру, как множества, созданные математиками. Горные хребты, поверхности разлома металла, турбулентные потоки, облака, пена и многие-многие другие природные фракталы лишены идеально точного самоподобия. И было бы абсолютно ошибочно полагать, что фракталы являются универсальным ключом ко всем тайнам Вселенной. При всей своей кажущейся сложности, фракталы – это лишь упрощенная модель реальности. Но среди всех доступных на сегодняшний день теорий фракталы являются самым точным средством описания окружающего мира. 

Действительно ли фракталы являются универсальными структурами, которые были взяты за основу при создании абсолютно всего, что есть в этом мире? Форма многих природных объектов максимально приближена к фракталам. Но не все существующие в мире фракталы имеют настолько правильную и бесконечно повторяющуюся структуру, как множества, созданные математиками. Горные хребты, поверхности разлома металла, турбулентные потоки, облака, пена и многие-многие другие природные фракталы лишены идеально точного самоподобия. И было бы абсолютно ошибочно полагать, что фракталы являются универсальным ключом ко всем тайнам Вселенной. При всей своей кажущейся сложности, фракталы – это лишь упрощенная модель реальности. Но среди всех доступных на сегодняшний день теорий фракталы являются самым точным средством описания окружающего мира. 
Цвета фракталов

Красоту фракталам добавляет их яркая и броская расцветка. Сложные цветовые схемы делают фракталы красивыми и запоминающимися. С математической точки зрения фракталы – это черно-белые объекты, каждая точка которых либо принадлежит множеству, либо не принадлежит. Но возможности современных компьютеров позволяют делать фракталы цветными и яркими. И это не простое раскрашивание соседних областей множества в произвольном порядке. 

Анализируя значение каждой точки, программа автоматически определяет оттенок того или иного фрагмента. Черным цветом изображаются точки, в которых функция принимает постоянное значение. Если же значение функции стремится к бесконечности, то тогда точка окрашивается в другой цвет. Интенсивность окрашивания зависит от скорости приближения к бесконечности. Чем больше повторений требуется для приближения точки к стабильному значению, тем светлее становится ее оттенок. И наоборот – точки, быстро устремляющиеся к бесконечности, окрашены в яркие и насыщенные цвета. 
Заключение

Первый раз услышав о фракталах, задаёшься вопросом, что это такое?

С одной стороны – это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Это понятие завораживает своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии,  географии, биологии, механике и даже истории.

Практически невозможно не увидеть фрактал в природе, ведь почти каждый объект (облака, горы, береговая линия и т.д.) имеют фрактальное строение. У большинства веб-дизайнеров, программистов есть собственная галерея фракталов(необычайно красивы).

По сути, фракталы открывают нам глаза и позволяют посмотреть на математику с другой стороны. Казалось бы, производятся обычные расчёты с обычными «сухими» цифрами, но это даёт нам по-своему уникальные результаты, позволяющие почувствовать себя творцом природы. Фракталы дают понять, что математика — это тоже наука о прекрасном.

Своей проектной работой я хотела рассказать о довольно новом понятии в математике «фрактал». Что это такое, какие существуют виды, где распространяются. Я очень надеюсь, что фракталы заинтересовали вас. Ведь, как оказалось, фракталы довольно интересны и они есть почти на каждом шагу.

Список литературы



  • http://ru.wikipedia.org/wiki

  • http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml

  • http://fractals.narod.ru/

  • http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm

  • Бондаренко В.А.,Дольников В.Л. Фрактальное сжатие изображений по Барнсли-Слоану. // Автоматика и телемеханика.-1994.-N5.-с.12-20.

  • Ватолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-1995.-N15.-с.11.

  • Федер Е. Фракталы. Пер. с англ.-М.: Мир,1991.-254с. (Jens Feder, Plenum Press, NewYork, 1988)

  • Application of fractals and chaos. 1993, Springer-Verlag, Berlin.

Приложение 1





Приложение 2





Приложение 3





Приложение 4