Гамильтониан взаимодействия зарядов в кристалле или плазме через фононы и плазмоны

Гамильтониан взаимодействия зарядов в кристалле или плазме через фононы и плазмоны
В этом параграфе будет показано, что гамильтониан частиц (обычно фермионов), которые помимо прямого парного кулоновского взаимодействия могут взаимодействовать с полем фононов или плазмонов, представим в виде, соответствующем парному взаимодействию этих частиц. В представлении вторичного квантования исходный гамильтониан:

В случае плазмонов гамильтониан взаимодействия пробной частицы с этими возбуждениями был получен в разделе §, где вычислялись поляризационные потери.

Гамильтониан содержит последнюю сумму, которая связана с взаимодействием с бозонным полем. Наша задача представить ее в виде аналогичном парному кулоновскому взаимодействию (предпоследняя сумма в ). Введем новые операторы соотношениями, которые по виду аналогичны формулам () задачи 25 задания (параграфа §) для двух точечных классических зарядов в фиксированных пространственных точках.

Однако, здесь и уже не числа, а операторы, которые, как мы увидим, будут квадратичны по операторам частиц. Снова подставим в и потребуем обращения в нуль коэффициентов перед линейными по - операторам членами, тогда:

а сам гамильтониан приобретает вид:

Два раза переставив, операторы частиц в последнем слагаемом, выражение в фигурных скобках приобретает вид, соответствующий оператору парного взаимодействия. Фурье - образ эффективного потенциала парного взаимодействия:

Не зависимо от вида коммутационных соотношений для операторов частиц, гамильтониан приводится к виду:

Необходимо проверить, что новые фононные операторы удовлетворяют прежним бозевским коммутационным соотношениям и поэтому сделанное здесь преобразование каноническое. Для этого достаточно убедиться, что операторы и , действующие только на электронные переменные между собой коммутируют.

Аналогично проверяем, что:

Таким образом, новые коллективные возбуждения решетки и электронной плотности имеют старый фононный спектр, а энергетический спектр электронов смещается вниз на константу.

Вклад в эффективный потенциал плазменных колебаний в модели «желе» легко записать, подставив в выражение для частоты (G.5) и коэффициент из формулы для поляризационного взаимодействия (Pint.5).

За счет плазменных волн взаимодействие экранируется на расстояниях порядка дебаевского радиуса. ( Вероятно, появление коэффициента связано c b?????.)

В металле для модели «желе» помимо плазменных колебаний, приводящих к экранировке кулона (экранировка странная?), нужно учесть и ионный звук .

Взаимодействие электрона вырожденной плазмы со звуком в нейтральной среде можно описать, как

Фурье – образ эффективного потенциала

При qκ

Если эффективная константа взаимодействия  через «мягкую» фононную моду не 2_F/3, как в ионном звуке, а больше 1.265_F , то для всех q взаимодействие соответствует притяжению. При =2_F/3 притяжение только для q>0.7.

Эффективное притяжение между электронами, приводящее к сверхпроводимости, может возникать в «плохих» проводниках, у которых больше , поскольку эта же величина определяет в нормальном состоянии рассеяние на фононах.