Функцию, заданную формулой y =log - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Функцию, заданную формулой y =log - страница №1/1

Логарифмические уравнения и неравенства

Теоретический материал.



Логарифмическая функция.

Пусть а — положительное число, не равное 1.

Определение. Функцию, заданную формулой

y =logax,

(1)

называют логарифмической функцией с основанием а.



Перечислим основные свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел R+, т. е. D(loga)=R+.Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каждое положительное число х имеет логарифм по основанию а.

2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо равенство
loga(ay) = y (2)

т. е. функция y= logax принимает значение у0 в точке x0=a у0

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).

Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0<а<1 проводится аналогичное рассуждение).

Пусть x1 и x2 — произвольные положительные числа и x2>x1. Надо доказать, что loga x2>loga x1. Допустим противное, т. е. что
loga x2≤loga x1 (3)

Так как показательная функция у=ах при а>1 возрастает, из неравенства (3) следует:
aloga x2≤aloga x1. (4)

Но aloga x2=x2, aloga x1=x1 (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что x2≤ x1. Это противоречит допущению x2 > x1.

Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1; loga 1 =0 при любом а>0, так как а0 = 1.

Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0

Если 0<а<1, то y=logax убывает на R+, поэтому loga x>0 при 0ax<0 при х>1.


Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = loga х при а>1 (рис. 1, а) и0<а<1 (рис. 1,6).


Справедливо следующее утверждение:

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х (рис. 2).

Логарифмические уравнения.



Логарифмическим уравнением называют уравнение, в котором неизвестная входит только в аргументы логарифмических функций при некоторых постоянных основаниях.

Пример 1.

а) уравнение логарифмическое.

б) уравнение не является логарифмическим.

Так как логарифмическая функция монотонна и ее область значений , то простейшее логарифмическое уравнение имеет единственный корень. Именно к виду надо приводить более сложные уравнения. Типы и способы решения логарифмических уравнений схожи с показательными уравнениями.

  1. Простейшие уравнения.

=

Решение

Пояснения



По определению логарифма получаем уравнение



Получаем квадратное уравнение



Преобразуем его

-2=0

Корнями этого уравнения являются



Эти числа, также являются решениями данного логарифмического уравнения.

Ответ: -1; 2.





Используя определение логарифма, получаем:







Вновь используем определение логарифма. Имеем:







Еще раз, применяя определение логарифма, находим



.

Ответ: 2.

Особенностью логарифмических уравнений (в отличие от показательных) является появление посторонних решений. Это связано с расширением ОДЗ уравнения в ходе его преобразований. Поэтому полученные корни необходимо проверять подстановкой или следить за изменением ОДЗ.



Решение:

ОДЗ данного уравнения задается неравенствами



Решая эту систему неравенств, получаем:

, откуда



Так как в данном уравнении равны логарифмы двух величин, то равны и сами величины. Получим квадратное уравнение:



.

Очевидно, что ОДЗ этого уравнения

Т.е. произошло расширение ОДЗ по сравнению с первоначальным уравнением.

Корни квадратного уравнения:



Однако в ОДЗ исходного уравнения попадает только число

X=3,

Которое и является его решением.

(Корень x=1 является посторонним и возник при расширении ОДЗ).

Ответ: 3.

Во многих случаях при решении логарифмического уравнения его необходимо преобразовать, используя основные свойства логарифмов.



Решение:

ОДЗ уравнения определяется условиями



Решая эту систему неравенств имеем



Сведем данное уравнение к простейшему.











Корни этого квадратного уравнения:



В ОДЗ данного уравнения входит только решение

X=3.

Ответ: 3.



Решение:

ОДЗ уравнения задается условиями

откуда



Запишем уравнение в виде:







По определению логарифма получаем квадратное уравнение:





Корни этого уравнения:





Ответ: 14.

Одним из распространенных преобразований является переход к новому основанию в логарифмах.



Р

В логарифмах перейдем к новому основанию:





Чтобы избавиться от дробных множителей, умножим все члены уравнения на число 6:











Ответ: 8.



Перейдем в логарифмах к основанию 5 и получим:

=







Так как , то, разделив обе части уравнения на эту величину, имеем:

, откуда



Ответ: 2.

Уравнения, решаемые разложением на множители.



Решение:

Перенесем все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и разложим эту часть на множители. Получаем:









Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные множители имеют смысл.















,

для этого значения x первый множитель определен.











Ответ: ; 2.

Уравнения, решаемые с помощью замены неизвестной.

Этот способ широко используется при решении любых типов уравнений.



Решение:

Сделаем замену .

Тогда получаем квадратное уравнение



Заметим, что ОДЗ исходного уравнения устанавливать нет необходимости, так как если уравнение имеет решения (его корни ), то это означает, что

существует, т.е.

Таким образом, приходим к совокупности уравнений

группа 5



группа 6



группа 16



Отсюда

группа 21



Ответ: ;



Решение:

Установить ОДЗ этого уравнения достаточно трудно, так как пришлось бы решать логарифмические неравенства, поэтому отметим пока, что x>1.

Перейдем в первом логарифме к основанию 0,2:



Введем замену

Тогда уравнение имеет вид:



Определим ОДЗ этого уравнения из условий





Решим это уравнение, перенеся один из радикалов в правую часть уравнения



Возведем обе части уравнения в квадрат



Тогда



Еще раз, возведя в квадрат, получим





Корни этого уравнения входят в ОДЗ исходного уравнения.

Однако проверка показывает, что исходному уравнению не удовлетворяет.



Итак, получаем простейшее логарифмическое уравнение:

,

Откуда







Ответ: 26.

В случае однородных уравнений приходится вводить две новые переменные.



Решение:

ОДЗ уравнения задается условиями

, откуда



Введем две новые переменные

и

И получим однородное уравнение:





Решим это квадратное уравнение относительно a:









Вернемся к старой переменной. Получаем два уравнения:





10-3x=4-x



X=3 (входит в ОДЗ)











(оба корня входят в ОДЗ)

Ответ: 3; 2.

Уравнения, решаемые с помощью их специфики.

Встречаются задачи, решение которых основано на свойствах входящих в них функций.



Решение:

Рассмотрим функции



И найдем их области значений.

Представим первую функцию в виде







Предположим, что , и используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Получим:

=1

Поэтому область значений второй функции



Поэтому рассмотрим два случая:

, т.е.





















При этом равенство достигается, если числа равны, т.е.









Т.е.





X=3




Аналогично рассматривается случай




и равенство достигается при




Получили, что






Итак, данное уравнение имеет единственное решение x=3

Ответ: 3.



Решение:

Исследуем монотонность функций, входящих в уравнение. Функция – возрастающая, функция – убывающая. Очевидно, если данное уравнение имеет корень, то он единственный (по теореме о корне уравнения). Далее этот корень надо подобрать (угадать). Подбором находим x=4.

Ответ: 4.

В ряде случаев встречаются уравнения, содержащие логарифмы неизвестных, но не являющиеся логарифмическими. Тогда используются специальные приемы, суть которых станет понятна из примеров.



Решение:

Найдем логарифм по основанию 3 от обеих частей данного уравнения и используем свойства логарифмов. Получаем:

, или

,



.

Введем новую переменную и получим квадратное уравнение:





Его корни: .

Вернемся к старой неизвестной x:

Имеем два уравнения:













Ответ: 3;



Решение:

Используя основное логарифмическое тождество, запишем основание степени в виде



Тогда данное уравнение имеет вид:















Ответ: 625.

Уравнения, решаемые графически.

При решении уравнений и исследовании их корней часто используется графический подход.



определить число корней уравнения и найти меньший из них.

Решение:

Запишем уравнение в виде



И построим графики функций

(сплошная линия)

(штрихпунктирная линия)

группа 60

Видно, что графики этих функций пересекаются в точках A и B . Следовательно, уравнение имеет два решения.

Абсцисса точки A меньше абсциссы точки B. Поэтому меньший корень уравнения x=1.

При решении логарифмических уравнений возможно не только появление посторонних корней (что обусловлено расширением ОДЗ уравнения при его преобразованиях), но и потеря решений (что связано с сужением ОДЗ). Если в первом случае посторонний корень исключается его проверкой, то во втором случае корень может быть утрачен безвозвратно.



Решение:

ОДЗ уравнения определяется условиями





Перейдем к логарифмам по основанию x. Получаем:





Введем новую переменную . Имеем уравнение:

, или





(равенство неверно).

Получили, что уравнение решений не имеет. Вместе с тем подстановка значения x=1 показывает, что это корень исходного уравнения.

Потеря корня связана с сужением ОДЗ при преобразовании уравнения.

Переход к основанию x в логарифмах возможен при . Поэтому значение x=1 надо проверять отдельно (например, подстановкой этого значения в исходное уравнение).

Более предпочтительным является переход к основанию, не зависящему от x.

Например, если перейти к основанию 2, то получим:





Введем новую переменную

Имеем уравнение:





, откуда



t=0.

Получаем, что

X=1 (потери корня не происходит).

Ответ: 1.

Задания для самостоятельной работы

Определите графически число корней уравнения:



Решите уравнения: