страница 1страница 2страница 3
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы
|
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции - страница №1/3
Функция аналитична при , как функция обратная для аналитической функции , а ее производная Другие однозначные ветви логарифмической функции отличаются от главной ветви на постоянные вида а следовательно их производные совпадают с производной функции . Этот факт условно записывают так Точка — особая точка для логарифмической многозначной функции. Эту точку называют точкой ветвления многозначной функции . Значения многозначной логарифмической функции называются логарифмами комплексного числа и, как мы показали, решая уравнение (смотри свойства показательной функции), эти логарифмы определены для любого комплексного числа и вычисляются при помощи формулы Свойства логарифмов комплексных чисел. 1. . 2. Аналогичным образом доказывается, что 3. Имеет место следующее соотношение Действительно . Здесь — произвольные, не зависящие друг от друга, целые числа, и их сумма - произвольное целое число . Обратим внимание на следующие три случая. 1) Пусть — положительное действительное число. Тогда В этом случае имеет бесконечное множество значений, однако лишь одно из них является действительным. Это , т.е. то значение логарифма, которое известно из элементарной алгебры. 2) Пусть — отрицательное действительное число. В этом случае среди бесконечного множества значений нет ни одного действительного.
В этом случае все значения логарифма являются чисто мнимыми. 4.9. Радикал Определение 4.5. Радикалом степени называется соответствие обратное степенной функции Разрешая данное уравнение при произвольном относительно получим формулу для нахождения значений радикала для данного Последнюю формулу кратко запишем следующим образом Символ обозначает множество всех значений радикала для данного, т.е. (4.25) Таким образом, мы видим, что соответствие-радикал -значно и функцией в современном понимании этого слова не является. Однако в случае, когда многозначное соответствие определено на множестве комплексных чисел и значениями этого соответствия являются комплексные числа, многозначное соответствие называют многозначной функцией. (Этот случай имеет место у нас). Итак, радикал — "многозначная функция" комплексного переменного Полагая в формуле (4.25) получим однозначных функций которые называют однозначными ветвями многозначного радикала -й степени. Каждая ветвь в силу ее определения является функцией обратной для функции точнее для ее сужения на некоторый угол с вершиной в начале координат. Так, например, ветвь (4.26) есть функция обратная для сужения функции на угол так как функция , как известно, однолистна внутри данного угла (рис.4.12), а значит, имеет обратную функцию. Этой обратной функцией может быть эдна из ветвей радикала -й степени, гак как этот радикал является соответствием, обратным для степенной функции . Осталось показать, что именно ветвь является обратной функцией в углу Легко заметить, что условию из всех однозначных ветвей удовлетворяет единственная ветвь В точке все ветви радикала совпадают по определению Точка называется точкой ветвления многозначной функции Каждая из однозначных ветвей радикала, будучи обратной для сужения аналитической в С степенной функции на некоторое множество точек, будет аналитической во всех точках комплексной плоскости, кроме . 4.10. Поверхность Римана Рассмотрим функцию . Мы знаем, что функция верхнюю полуплоскость (угол ) отображает на всю комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной действительной оси. Будем считать, что образом является первый экземпляр комплексной плоскости с разрезом (рис.4.13). Положительная часть оси переходит при отображении в верхний край разреза, а образом отрицательной части оси является нижний край разреза. Область (угол ) функцией также отображается на всю комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной действительной оси. Будем считать, что образом является второй экземпляр комплексной плоскости с разрезом. Отрицательная часть оси как граница области переходит в верхний край разреза, а положительная часть оси переходит в нижний край разреза. Указанная договоренность имеет смысл, так как если луч начинает перемещаться в области от отрицательной части оси , то образ луча — луч начинает двигаться от верхнего края разреза плоскости . Склеим края границ областей и , тогда нужно склеить и разрезы их образов. Склеим верхний край разреза плоскости с нижним краем разреза плоскости , а нижний край разреза плоскости с верхним краем разреза плоскости . Получим 2-листную поверхность, на которую функция взаимно однозначно отображает всю комплексную плоскость. Следовательно, обратная функция будет на построенной поверхности однозначной и будет отображать эту поверхность на всю комплексную плоскость. Построенная поверхность называется поверхностью Римана функции . Аналогично строятся поверхности Римана для радикала при При этом число листов, из которых будет состоять поверхность Римана, соответственно равны 3, 4 и т.п. Известно, что уравнение (4.27) имеет решение при любом . Решение уравнения (4.27) будем обозначать символом Иными словами, есть множество всех значений , удовлетворяющих уравнению Найдем формулу для вычисления . Заменяя в (4.27) через Последнее равенство разрешим относительно Найдем Отсюда (4.28) или . Аналогичные формулы могут быть получены и для Так, например, или Из (4.28) следует, что при любом , так как , существует и имеет бесконечно много значений. Если - действительное число и то и В этом случае все значения действительные и совпадают со значениями . Вычислить Решение. Далее, поэтому Очевидно, поэтому 4.12. Дробно-линейная функция Эта функция определяется следующим равенством (4.29) где — заданные комплексные числа при условии — независимая комплексная переменная. Замечание 1. Рассмотренная ранее функция является частным случаем дробно-линейной функции. Если то из (4.29) получим . Из формулы (4.29) видно, что дробно-линейная функция определена во всей комплексной плоскости, кроме точки называемой полюсом дробно-линейной функции. Разделив в формуле (4.29) числитель на знаменатель, получим (4.30) где Свойства дробно-линейной функции.
В самом деле уравнение (4.30) разрешимо относительно при любом (4.31) Это означает, что дробно-линейная функция принимает любое значение 3. Из (4.30) видно, что если , т.е. дробно-линейная функция является однолистной в своей области определения. 4. Продолжение функции в расширенную комплексную плоскость. Заметим, что (4.32) (4,33) (4.34) (4.35) Используя очевидные равенства (4.32) — (4.35), дробно-линейную функцию можно продолжить по непрерывности на расширенную комплексную плоскость (буквой всегда обозначаем множество всех комплексных чисел) (4.36) Так доопределенная функция осуществляет взаимнооднозначное отображение расширений комплексной плоскости на себя, так как функция как мы уже отметили, взаимно-однозначно отображает множество на множество и кроме того имеем: 5. Дробно-линейная функция аналитична во всей комплексной плоскости кроме полюса. В самом деле, в любой точке существует и это означает аналитичность дробно-линейной функции во всей комплексной плоскости с исключенным из нее полюсом функции. Так кaк дробно-линейная функция однолистна в области и то она конформно отображает область на ее образ - область . Можно ввести понятие конформности отображения в полюсе и в бесконечно удаленной точке , тогда окажется, что дробно-линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость на себя. 6. Круговое свойство дробно-линейной функции. есть уравнение окружности, если , и является уравнением прямой, если . Полагаем Тогда и уравнение (4.37) примет вид или (4.38) где Теорема 4.1. Каждая дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую или окружность, причем прямая может переходить в окружность и наоборот. Доказательство. Дробно-линейную функцию можно представить как композицию следующих отображений: Отображение — это параллельный перенос на плоскости. При этом отображении прямая остается прямой, окружность - окружностью. Отображение — это отображение подобия, поворота и параллельного переноса. При этом отображении также прямая остается прямой, окружность - окружностью. Рассмотрим более подробно отображение . На плоскости уравнение окружности имеет вид (4.39) (см.уравнение (4.38), если — это уравнение окружности). Если , то На плоскости точки, лежащие на окружности или прямой, удовлетворяют уравнению (4.39). Какому уравнению будут удовлетворять образы точек окружности при отображении ? Чтобы получить это уравнение, подставим , и в уравнение (4.39) и получим Последнее уравнение равносильно уравнению (4.40) (при условии, что ). Уравнение (4.40) — это уравнение прямой или окружности на плоскости . Таким образом, все три отображения, из которых составлена дробно-линейная функция отображают прямые или окружности в прямые или окружности, а следовательно, и дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую или окружность. Теорема 4.1. доказана. 7. Дробным отношением четырех точек называется выражение При дробно-линейном отображении двойное отношение любых четырех попарно различных точек не изменяется, т.е. если то . Доказательство. Подставляя в двойное отношение разности где после алгебраических преобразований получим выражение Теорема доказана. В самом деле, выразив через из равенства (4.41), мы получим дробно-линейную функцию (помним, что — заданные числа). Из равенства (4.41) кроме этого видно, что при т.е. точка отображается в точку . Мы знаем, что дробно-линейная функция конформно отображает расширенную плоскость на себя, а также из теоремы о круговом свойстве знаем, что с помощью дробно-линейной функции можно отображать конформно области ограниченные прямыми или окружностями, на области, ограниченные прямыми или окружностями. Например:
Как выполняется такое отображение покажем на примерах. Задача. Отобразить конформно круг на плоскости на верхнюю полуплоскость плоскости . Решение задачи. Чтобы решить поставленную задачу, достаточно отобразить границу — окружности на границу - ось на плоскости с сохранением ориентации (рис.4.14). Для построения дробно-линейной функции, отображающей окружность на ось достаточно выбрать три различные точки Тогда, как мы знаем из замечания к свойству 7, существует дробно-линейная функция» определяемая равенством (4.41), которая отображает точку в точку , а, следовательно, окружность отобразится на ось . При этом оказывается, что, если три точки и точки занумерованы в указанном на чертеже порядке (при движении от к через точку область остается слева, а при движении от к через область также остается слева), то дробно-линейная функция, определенная равенством (4.41), сохранит ориентацию при отображении кривой на кривую , а, следовательно, данная функция и решит поставленную задачу. Утверждение о сохранении ориентации при отображении кривой на кривую при указанном выборе точек , и кривых и соответственно приводится нами без доказательства. 4.13. Функция Жуковского Функцией Жуковского называется функция вида (4.42) Функция (4.42) называется так из-за тех приложений, которые дал ей Н.Е.Жуковский (1847-1921) в аэродинамике. Установим некоторые свойства функции Жуковского.
определена и однозначна для всех 2. Она аналитична в области , при этом 3. Найдем область однолистности отображения Для этого посмотрим, где возможно нарушение однолистности функции Жуковского в комплексной плоскости, т.е. где при будем иметь (4.43) Отсюда находим Так как , то из последнего равенства следует (4.44) Таким образом, для однолистности отображения (4.42) в какой-нибудь области необходимо и достаточно, чтобы область не содержала никакой пары точек и , для которых Геометрически равенство (4.44) означает, что точка получается из точки двойной симметрией относительно окружности и относительно прямой . Примером области, удовлетворяющей условию однолистности, является, например, внутренность единичного круга или его внешность . 4. Рассмотрим отображение окружности , осуществляемое функцией Жуковского. Положим Тогда Отсюда находим параметрические уравнения образа окружности (4.45) Исключив параметр , получим (4.46) где то есть получим эллипс с полу осями и . Таким образом, функция отображает окружность в эллипс. Так как , то фокусы эллипса лежат в точках и действительной оси При эллипс вырождается в отрезок действительной оси проходимый точкой дважды: при изменении от 0 до и от до Рассмотрим внешность единичной окружности Если ее рассматривать как область, заметаемую окружностью при изменении от 1 до ( исключается), то эллипс (4.46) опишет всю плоскость , исключая отрезок действительной оси. При этом, если окружность проходится по часовой стрелке, то разрез по отрезку проходится также по часовой стрелке (рис.4.15). Легко показать, что внутренность единичного круга переходит в ту же область. Это следует хотя бы из того, что функция Жуковского не меняется при замене на. Но при этом внешность круга переходит во внутренность При этом, если окружность проходится против часовой стрелки, то образ окружности (разрез по отрезку ) проходится по часовой стрелке (рис.4.16). Это означает, что функция конформно отображает внутренность единичного круга на плоскость с разрезом по отрезку действительной оси. Найдем образ луча при отображении Ему в плоскости будет соответствовать линия, параметрические уравнения которой имеют вид: Исключая параметр при получаем уравнение гиперболы (4.47) Полуфокусное расстояние равно отсюда вытекает, что фокусы гиперболы находятся в точках и , т.е. она софокусна с ранее полученным эллипсом. Если то кривая (4.47) является правой ветвью гиперболы (4.48), т.е. луч при переходит в правую ветвь гиперболы (4.48). При замене в (4.47) на получается левая ветвь той же гиперболы, т.е. луч при переходит в левую часть гиперболы (4.48). Заметим также, что при замене в (4.47) на получается так же ветвь гиперболы (4.48), но ее ориентация меняется на противоположную. Рассмотрим лучи при . Из (4.47) получаем, что луч переходит в мнимую ось Луч также переходит в мнимую ось При из (4.47) следует, что луч переходит в луч действительной оси, проходимый дважды: луч переходит в луч и полуинтервал - в луч . Аналогично, луч переходит в луч , проходимый дважды. Таким образом, функция Жуковского осуществляет преобразование ортогональной системы полярных координат на плоскости в ортогональную криволинейную систему координат, координатными линиями которой служат семейства эллипсов (4.46) и гипербол (4.48). Пользуясь функцией Жуковского, найти образ области При отображении луч переходит в луч оси , дуга окружности перейдет в отрезок оси , а луч перейдет в верхнюю часть правой ветви гиперболы (рис.4.17). Следовательно, контур данной области перейдет в контур Выясним, какая часть плоскости ограниченная контуром , будет являться образом заданной области. Это можно сделать, показав, куда переходит какая-нибудь внутренняя точка данной области, или воспользовавшись принципом соответствия границ. Согласно принципу соответствия границ получим, что область переводится функцией Жуковского в область Замечание. Используя функцию Жуковского и ранее рассмотренные функции, можно изучить отображения, осуществляемые с помощью функций и так как отображение можно рассматривать, как суперпозицию отображений: а отображение является суперпозицией отображений: Пример 2. На какую область плоскости функция конформно преобразует полуполосу Решение. Преобразование можно рассматривать как суперпозицию преобразований: Преобразование конформно переведет полуполосу на область плоскости (рис.4.18). С помощью функции верхняя полуокружность переходит в верхний берег разреза по отрезку Так как преобразования конформны в соответствующих областях, то функция преобразует данную полуполосу в верхнюю полуплоскость конформно. 5. Основные интегральные теоремы теории аналитических функций 5.1. Интегрирование комплексных функций Для построения интеграла от комплексных функций нам потребуется вспомнить некоторые понятия, известные из предыдущих разделов курса математического анализа. Непрерывной плоской кривой называется множество точек плоскости, координаты которых определяются равенствами вида где функции и непрерывны на отрезке Непрерывная кривая называется гладкой на отрезке если производные непрерывны на и одновременно в нуль не обращаются. Вспомним также определение криволинейного интеграла второго рода. Для определения последнего нам необходимо иметь спрямляемую непрерывную кривую с указанным ней направлением, например, от А к а также действительную функцию двух действительных переменных , заданную на этой кривой (рис. 5.2). Разбиваем кривую точками на частей произвольным образом. Назовем эти части кривой элементарными дугами. На каждой элементарной дуге произвольно выбираем точку и составляем интегральную сумму где Пусть называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции по кривой в направлении от точки до точки . Обозначение Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции : Сумму этих двух интегралов также называют криволинейным интегралом и обозначают символом Итак, по определению Пример 2. Вычислить где -парабола Решение. (Вместо подставили , ). Определение интеграла от комплексной функции. Пусть задана непрерывная спрямляемая кривая и указано направление на этой кривой, например, от до . На кривой задана также комплексная функция. Разбиваем кривую точками точку обозначим через , точку - через ) на частей произвольным образом (рис. 5.3). Между соседними точками деления кривой на части произвольно выбираем точки Составим сумму где Сумму назовем интегральной суммой комплексной функции по кривой в направлении от к . Пусть Определение 5.3. Комплексное число называется пределом интегральной суммы при если для что для любого разбиения кривой на части и произвольного выбора точек имеем как только Определение 5.4. Интегралом от комплексной функции по кривой в направлении от к называется предел интегральной суммы при Обозначается интеграл символом . И так, по определению Замечание 1. Если кривая замкнута, т.е. , то определение интеграла остается прежним. В этом случае направление интегрирования можно выбирать двумя способами.
Последнее направление интегрирования называют также отрицательным. Вычисление интеграла от комплексной функции. Заменим в интегральной сумме получим: Переходя в этом уравнении к пределу при одновременно, это означает, что все а это в свою очередь означает, что и ) получим или в другой записи
Замечание 2. Если кривая представляет замкнутую кривую и интегрирование проводится в положительном направлении, то последняя формула примет вид Замечание3. Если кривая гладкая и задана в параметрическом виде точка имеет координаты точка — то легко проверить, что из последних формул получим где В случае замкнутой кривой соответствует началу обхода этой кривой, - концу обхода). Вычислить интеграл Из точки проводим прямую параллельную оси Тогда угол между лучом и вектором является аргументом комплексного числа (рис. 5.5). Теперь число можно представить в показательной форме При изменении от 0 по точка опишет окружность . Следовательно, является комплексным уравнением окружности . Для вычисления интеграла используем формулу где уравнение является комплексным уравнением кривой интегрирования , — соответствует началу кривой интегрирования, — концу кривой интегрирования. В случае нашего примера Итак, Свойства комплексного интеграла: 1. Интегральная сумма в этом случае имеет вид: Следующие свойства 2-6 вытекают из формулы и соответствующих свойств интегралов от действительных функций двух действительных переменных 2. 3. 4. 5. если (рис. 5.6). 6. Если комплексная функция непрерывна на кривой , то она интегрируемы по этой кривой. 7. Если на кривой имеем то где — длина кривой интегрирования . Но — длина - го звена ломаной вписанной в кривую , — длина ломаной которая меньше длины кривой , т.е. и, следовательно Переходя в этом неравенстве к пределу и учитывая, что получим доказываемое утверждение. следующая страница >> |
|