Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2страница 3
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. 1 23.13kb.
Контрольная работа №2 «Квадратичная функция. Степенная функция» (9... 1 48.88kb.
А. И. Соколов «Квантовая механика» 1 204.45kb.
Функция отсчетов 2 349.09kb.
Модуль к теме: «Функция. Преобразование графиков функций» (М1) 1 86.52kb.
Эстонско-русский 6 1917.32kb.
Корреляционная функция 1 40.82kb.
Логарифмическая функция, её свойства и графики 1 104.95kb.
Модель рынка с запаздыванием сбыта 1 146.54kb.
А. И. Соколов «Квантовая механика» 1 74.94kb.
Урок обобщающего повторения По теме Логарифмическая функция Учитель... 1 40.18kb.
Лекций: 34 Практических: 34 Лабораторных 1 21.42kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции - страница №1/3

Функция аналитична при , как функция обратная для аналитической функции , а ее производная

Другие однозначные ветви логарифмической функции от­личаются от главной ветви на постоянные вида а следовательно их производные совпадают с производной функции .

Этот факт условно записывают так

Точка — особая точка для логарифмической мно­гозначной функции. Эту точку называют точкой ветвления многозначной функции .

Значения многозначной логарифмической функции

при

называются логарифмами комплексного числа и, как мы по­казали, решая уравнение (смотри свойства показательной функции), эти логарифмы определены для любого комплексного числа и вычисляются при помощи формулы



Свойства логарифмов комплексных чисел.

1. .
В самом деле,



2. Аналогичным образом доказывается, что



3. Имеет место следующее соотношение



Действительно





.

Здесь произвольные, не зависящие друг от друга, целые числа, и их сумма - произвольное целое число .

Обратим внимание на следующие три случая.

1) Пусть положительное действительное число.


Тогда

В этом случае имеет бесконечное множество значений, однако лишь одно из них является действительным. Это , т.е. то значение логарифма, которое известно из элементарной ал­гебры.

2) Пусть отрицательное действительное число.
Тогда имеем

В этом случае среди бесконечного множества значений нет ни одного действительного.



  1. Пусть
    Тогда

В этом случае все значения логарифма являются чисто мнимыми.



4.9. Радикал

Определение 4.5.

Радикалом степени называется соответствие обратное степенной функции

Разрешая данное уравнение при произвольном относи­тельно получим формулу для нахождения значений радикала для данного



Последнюю формулу кратко запишем следующим образом



Символ обозначает множество всех значений радикала для данного, т.е.



(4.25)

Таким образом, мы видим, что соответствие-радикал -значно и функцией в современном понимании этого слова не является.

Однако в случае, когда многозначное соответствие опреде­лено на множестве комплексных чисел и значениями этого соот­ветствия являются комплексные числа, многозначное соответ­ствие называют многозначной функцией. (Этот случай имеет место у нас).

Итак, радикал "многозначная функция" ком­плексного переменного

Полагая в формуле (4.25)

получим однозначных функций









которые называют однозначными ветвями многозначного ради­кала степени.

Каждая ветвь в силу ее определения является функцией обратной для функции точнее для ее сужения на некото­рый угол с вершиной в начале координат.

Так, например, ветвь



(4.26)

есть функция обратная для сужения функции на угол так как функция , как известно, одно­листна внутри данного угла (рис.4.12), а значит, имеет обратную функцию. Этой обратной функцией может быть эдна из ветвей радикала степени, гак как этот радикал является соответствием, обратным для степенной функции . Осталось показать, что именно ветвь является обратной функцией в углу

Легко заметить, что условию

из всех однозначных ветвей удовлетворяет единственная ветвь



В точке все ветви радикала совпадают по определению



Точка называется точкой ветвления многозначной функции



Каждая из однозначных ветвей радикала, будучи обратной для сужения аналитической в С степенной функции на некоторое множество точек, будет аналитической во всех точках комплексной плоскости, кроме .




4.10. Поверхность Римана

Рассмотрим функцию . Мы знаем, что функция верхнюю полуплоскость (угол ) отображает на всю комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной действительной оси.

Будем считать, что образом является первый экземпляр комплексной плоскости с разрезом (рис.4.13).

Положительная часть оси переходит при отображении в верхний край разреза, а образом отрицательной части оси является нижний край разреза.

Область (угол ) функцией также ото­бражается на всю комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной действительной оси.

Будем считать, что образом является второй экземпляр комплексной плоскости с разрезом.




Отрицательная часть оси как граница области пере­ходит в верхний край разреза, а положительная часть оси переходит в нижний край разреза.

Указанная договоренность имеет смысл, так как если луч начинает перемещаться в области от отрицательной части оси , то образ луча луч начинает двигаться от верхнего края разреза плоскости .

Склеим края границ областей и , тогда нужно склеить и разрезы их образов. Склеим верхний край разреза плоскости с нижним краем разреза плоскости , а нижний край разреза плоскости с верхним краем разреза плоскости . Получим

2-листную поверхность, на которую функция взаимно однозначно отображает всю комплексную плос­кость. Следовательно, обратная функция будет на построенной поверхности однозначной и будет отображать эту по­верхность на всю комплексную плоскость.

Построенная поверхность называется поверхностью Римана функции . Аналогично строятся поверхности Римана для радикала при При этом число листов, из которых будет состоять поверхность Римана, соответственно рав­ны 3, 4 и т.п.

4.11. Обратные тригонометрические функции

Известно, что уравнение



(4.27)

имеет решение при любом .

Решение уравнения (4.27) будем обозначать символом Иными словами, есть множество всех значений , удовлетворяющих уравнению Найдем формулу для вычисления . Заменяя в (4.27) через

получим

Последнее равенство разрешим относительно Найдем



Отсюда


(4.28)

или


.

Аналогичные формулы могут быть получены и для



Так, например,



или


Из (4.28) следует, что при любом , так как , существует и имеет бесконечно много значений.

Если - действительное число и то

и

В этом случае все значения действительные и сов­падают со значениями .

Пример.

Вычислить



Решение.

Далее, поэтому





Очевидно, поэтому





4.12. Дробно-линейная функция

Эта функция определяется следующим равенством



(4.29)

где заданные комплексные числа при условии





— независимая комплексная переменная.

Замечание 1.

Рассмотренная ранее функция является частным случаем дробно-линейной функции. Если то из (4.29) получим .

Из формулы (4.29) видно, что дробно-линейная функция определена во всей комплексной плоскости, кроме точки называемой полюсом дробно-линейной функции.

Разделив в формуле (4.29) числитель на знаменатель, по­лучим



(4.30)

где

Свойства дробно-линейной функции.


  1. Как мы уже отметили, область определения дробно-линейной функции все множество комплексных чисел за ис­ключением точки

  2. Множество значений дробно-линейной функции все множество комплексных чисел за исключением точки

В самом деле уравнение (4.30) разрешимо относительно при любом

(4.31)

Это означает, что дробно-линейная функция принимает любое значение

3. Из (4.30) видно, что

если , т.е. дробно-линейная функция является однолист­ной в своей области определения.

4. Продолжение функции в расширенную комплексную плоскость.

Заметим, что



(4.32)

(4,33)

(4.34)

(4.35)

Используя очевидные равенства (4.32) (4.35), дробно-ли­нейную функцию можно продолжить по непрерывности на расширенную комплексную плоскость (буквой всег­да обозначаем множество всех комплексных чисел)



(4.36)

Так доопределенная функция осуществляет взаимно­однозначное отображение расширений комплексной плоскости на себя, так как функция как мы уже отметили, взаимно-однозначно отображает множество на множество и кроме того имеем:



5. Дробно-линейная функция аналитична во всей ком­плексной плоскости кроме полюса.

В самом деле, в любой точке существует

и это означает аналитичность дробно-линейной функции во всей комплексной плоскости с исключенным из нее полюсом функ­ции.

Так кaк дробно-линейная функция однолистна в области и то она конформно отображает область на ее образ - область .

Замечанние 2.

Можно ввести понятие конформности отображения в полюсе и в бесконечно удаленной точке , тогда окажется, что дробно-линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость на себя.

6. Круговое свойство дробно-линейной функции.
Как известно, уравнение вида
(4.37)

есть уравнение окружности, если , и является уравнением прямой, если .

Полагаем Тогда и уравнение (4.37) примет вид

или


(4.38)

где


Теорема 4.1.

Каждая дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую или окружность, причем прямая может переходить в окружность и наоборот.



Доказательство.

Дробно-линейную функцию



можно представить как композицию следующих отображений:



Отображение это параллельный перенос на плоскости. При этом отображении прямая остается прямой, окружность - окружностью.

Отображение это отображение подобия, пово­рота и параллельного переноса. При этом отображении также прямая остается прямой, окружность - окружностью.

Рассмотрим более подробно отображение .


На плоскости уравнение окружности имеет вид

(4.39)

(см.уравнение (4.38), если это уравнение окружности).

Если , то

На плоскости точки, лежащие на окружности или пря­мой, удовлетворяют уравнению (4.39). Какому уравнению будут удовлетворять образы точек окружности при отображении ?

Чтобы получить это уравнение, подставим , и в уравнение (4.39) и получим

Последнее уравнение равносильно уравнению



(4.40)

(при условии, что ).

Уравнение (4.40) это уравнение прямой или окружности


на плоскости .

Таким образом, все три отображения, из которых составлена дробно-линейная функция



отображают прямые или окружности в прямые или окружности, а следовательно, и дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую или окружность. Теорема 4.1. доказана.

7. Дробным отношением четырех точек назы­вается выражение



Теорема 4.2.

При дробно-линейном отображении



двойное отношение любых четырех попарно различных точек не изменяется, т.е. если



то .



Доказательство.

Подставляя в двойное отношение разности



где после алгебраических преобразований получим выражение

Теорема доказана.

Замечание 3.

Теорема 4.2. позволяет найти дробно-линейную функцию, перево­дящую три попарно различные точки соответственно в три попарно различные точки . Эта функция определяется равен­ством

(4.41)

В самом деле, выразив через из равенства (4.41), мы получим дробно-линейную функцию (помним, что задан­ные числа).

Из равенства (4.41) кроме этого видно, что при т.е. точка отображается в точку .

Замечание 4.

Мы знаем, что дробно-линейная функция конформно отображает расширенную плоскость на себя, а также из теоремы о круговом свойстве знаем, что с помощью дробно-линейной функции можно отоб­ражать конформно области ограниченные прямыми или окружностями, на области, ограниченные прямыми или окружностями.

Например:


  1. круг на круг;

  2. круг на внешность круга;

  3. полуплоскость на внутренность или внешность круга и наобо­рот.

Как выполняется такое отображение покажем на примерах.

Задача.

Отобразить конформно круг на плоскости на верхнюю полуплоскость плоскости .



Решение задачи.

Чтобы решить поставленную задачу, достаточно отобразить гра­ницу окружности на границу - ось на плоскости с со­хранением ориентации (рис.4.14).

Для построения дробно-линейной функции, отображающей окружность на ось достаточно выбрать три различные точки



на окружности и три различные точки на оси .

Тогда, как мы знаем из замечания к свойству 7, существует дроб­но-линейная функция» определяемая равенством (4.41), которая отоб­ражает точку в точку , а, следовательно, окружность отобразится на ось .

При этом оказывается, что, если три точки и точки занумерованы в указанном на чертеже порядке (при движении от к через точку область остается слева, а при движении от к через область также остается слева), то дробно-линейная функ­ция, определенная равенством (4.41), сохранит ориентацию при отобра­жении кривой на кривую , а, следовательно, данная функция и решит поставленную задачу.

Замечание 5.

Утверждение о сохранении ориентации при отображении кривой на кривую при указанном выборе точек , и кривых и соответственно приводится нами без доказательства.



4.13. Функция Жуковского

Функцией Жуковского называется функция вида



(4.42)

Функция (4.42) называется так из-за тех приложений, которые дал ей Н.Е.Жуковский (1847-1921) в аэродинамике.

Установим некоторые свойства функции Жуковского.


  1. Функция

определена и однозначна для всех

2. Она аналитична в области , при этом

3. Найдем область однолистности отображения



Для этого посмотрим, где возможно нарушение одно­листности функции Жуковского в комплексной плоскости, т.е. где при будем иметь



(4.43)

Отсюда находим



Так как , то из последнего равенства следует



(4.44)

Таким образом, для однолистности отображения (4.42) в какой-нибудь области необходимо и достаточно, чтобы область не содержала никакой пары точек и , для которых

Геометрически равенство (4.44) означает, что точка получается из точки двойной симметрией относи­тельно окружности и относительно прямой .

Примером области, удовлетворяющей условию однолист­ности, является, например, внутренность единичного круга или его внешность .

4. Рассмотрим отображение окружности , осу­ществляемое функцией Жуковского.

Положим

Тогда

Отсюда находим параметрические уравнения образа окружности



(4.45)

Исключив параметр , получим



(4.46)

где то есть получим эллипс с полу осями и .

Таким образом, функция отображает окружность в эллипс.

Так как , то фокусы эллипса лежат в точках и действительной оси

При эллипс вырождается в отрезок действительной оси проходимый точкой дважды: при изменении от 0 до и от до

Рассмотрим внешность единичной окружности

Если ее рассматривать как область, заметаемую окруж­ностью при изменении от 1 до ( исключается), то эллипс (4.46) опишет всю плоскость , исключая отрезок действительной оси. При этом, если окружность проходит­ся по часовой стрелке, то разрез по отрезку проходится также по часовой стрелке (рис.4.15).

Это означает, что функция Жуковского конформно отобра­жает внешность единичного круга на плоскость w с разрезом по отрезку .

Легко показать, что внутренность единичного круга пере­ходит в ту же область. Это следует хотя бы из того, что функция Жуковского не меняется при замене на. Но при этом внешность круга переходит во внутренность

При этом, если окружность проходится против часовой стрелки, то образ окружности (разрез по отрезку ) проходится по часовой стрелке (рис.4.16). Это означает, что функция конформно отображает внутренность единичного круга на плоскость с разрезом по отрезку дей­ствительной оси.

Найдем образ луча при отображении

Ему в плоскости будет соответствовать линия, парамет­рические уравнения которой имеют вид:

(4.47)

Исключая параметр при получаем уравнение гиперболы



(4.47)

Полуфокусное расстояние равно



отсюда вытекает, что фокусы гиперболы находятся в точках и , т.е. она софокусна с ранее полученным эллипсом.

Если то кривая (4.47) является правой ветвью гиперболы (4.48), т.е. луч при переходит в правую ветвь гиперболы (4.48).

При замене в (4.47) на получается левая ветвь той же гиперболы, т.е. луч при переходит в ле­вую часть гиперболы (4.48).

Заметим также, что при замене в (4.47) на получается так же ветвь гиперболы (4.48), но ее ориентация меняется на противоположную.

Рассмотрим лучи при . Из (4.47) получаем, что луч переходит в мнимую ось Луч также переходит в мнимую ось При из (4.47) следует, что луч переходит в луч действительной оси, проходимый дважды: луч переходит в луч и полуинтервал - в луч . Аналогично, луч переходит в луч , проходимый дважды.

Таким образом, функция Жуковского осуществляет преобразование ортогональной системы полярных ко­ординат на плоскости в ортогональную криволинейную систему координат, координатными линиями которой служат семейства эллипсов (4.46) и гипербол (4.48).

Пример 1.

Пользуясь функцией Жуковского, найти образ области



При отображении луч переходит в луч оси , дуга окружности перейдет в отрезок оси , а луч перейдет в верхнюю часть правой ветви гиперболы (рис.4.17).




Следовательно, контур данной области перейдет в контур

Выясним, какая часть плоскости ограниченная контуром , будет являться образом заданной области. Это можно сделать, показав, куда переходит какая-нибудь внутренняя точка данной облас­ти, или воспользовавшись принципом соответствия границ.

Согласно принципу соответствия границ получим, что область

переводится функцией Жуковского в область




Замечание.

Используя функцию Жуковского и ранее рассмотренные функ­ции, можно изучить отображения, осуществляемые с помощью функций и так как отображение можно рассматривать, как суперпозицию отображений:



а отображение является суперпозицией отображений:





Пример 2.

На какую область плоскости функция конформно пре­образует полуполосу



Решение.

Преобразование можно рассматривать как суперпозицию преобра­зований:



Преобразование конформно переведет полуполосу на

область плоскости (рис.4.18).

С помощью функции верхняя полуокружность

переходит в верхний берег разреза по отрезку
действительной оси ; полуинтервалы дей­ствительной оси переходят соответственно в верхние берега
разрезов по полуинтервалам действительной оси . Применяя принцип соответствия границ, получим, что функция конформно отображает область на верхнюю полуплоскость .

Так как преобразования конформны в соответствующих об­ластях, то функция преобразует данную полуполосу в верхнюю полуплоскость конформно.




5. Основные интегральные теоремы теории аналитических функций

5.1. Интегрирование комплексных функций

Для построения интеграла от комплексных функций нам потребуется вспомнить некоторые понятия, известные из предыдущих разделов курса математического анализа.

Определение 5.1.

Непрерывной плоской кривой называется множество точек плоскости, координаты которых определяются равенствами вида



где функции и непрерывны на отрезке

Непрерывная кривая называется гладкой на отрезке если производные непрерывны на и одновременно в нуль не обращаются.



Пример 1.


— полуокружность — непрерывная глад­кая кривая, так как непрерывны на отрезке вместе с производными и эти производные одновре­менно в нуль не обращаются на (рис. 5.1).

Вспомним также определение криволинейного интеграла второго ро­да. Для определения последнего нам необходимо иметь спрямляемую непрерывную кривую с указанным ней направлением, например, от А к а также действительную функцию двух действительных переменных , заданную на этой кривой (рис. 5.2). Разбиваем кривую точками на частей произвольным образом.

Назовем эти части кривой элементарными дугами.

На каждой элементарной дуге произвольно выбираем точку и составляем интегральную сумму



где

Пусть
Определение 5.2.

называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции по кривой в направлении от точки до точки . Обозначение



Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции :



Сумму этих двух интегралов также называют криволинейным интегралом и обозначают символом



Итак, по определению





Пример 2.

Вычислить где -парабола



Решение.

(Вместо подставили , ).



Определение интеграла от комплексной функции. Пусть задана непрерывная спрямляемая кривая и указано направление на этой кривой, например, от до . На кривой задана также комплексная функция.



Разбиваем кривую точками



точку обозначим через , точку - через ) на частей произвольным образом (рис. 5.3). Между соседними точками деления кривой на части произвольно выбираем точки



Составим сумму



где

Сумму назовем интегральной суммой комплексной функции по кривой в направлении от к . Пусть





Определение 5.3.

Комплексное число называется пределом интегральной суммы при если для что для любого разбиения кривой на части и произвольного выбора точек имеем



как только





Определение 5.4.

Интегралом от комплексной функции по кривой в направлении от к называется предел интегральной суммы при

Обозначается интеграл символом .

И так, по определению






Замечание 1.

Если кривая замкнута, т.е. , то определение интеграла остается прежним. В этом случае направление интегрирования можно выбирать двумя способами.



  1. Интегрирование проводится по замкнутой кривой в направлении (положительном), при котором конечная область , ограниченная кривой , остается слева. (Иногда такое направление интегрирования по кривой называют интегрированием по кривой "против часовой стрелки") (рис.5.4). Обозначают в этом случае интеграл одним из следующих символов



  1. Если интегрирование по замкнутой кривой проводится в направлении противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения интеграла употребляют символы.

Последнее направление интегрирования называют также отрицательным.

Вычисление интеграла от комплексной функции.

Заменим в интегральной сумме



получим:



Переходя в этом уравнении к пределу при одновременно, это означает, что все а это в свою очередь означает, что и ) получим



или в другой записи





  • формула для вычисления интеграла от комплексной функции с помощью криволинейных интегралов от действительных функций двух действительных переменных.

Замечание 2.

Если кривая представляет замкнутую кривую и интегрирование проводится в положительном направлении, то последняя формула примет вид





Замечание3.

Если кривая гладкая и задана в параметрическом виде



точка имеет координаты точка — то легко проверить, что из последних формул получим





где

В случае замкнутой кривой соответствует началу обхода этой кривой, - концу обхода).

Пример 3.

Вычислить интеграл

Из точки проводим прямую параллельную оси Тогда угол между лучом и вектором является аргументом комплексного числа (рис. 5.5).

Теперь число можно представить в показательной форме

При изменении от 0 по точка опишет окружность . Следовательно, является комплексным уравнением окружности .

Для вычисления интеграла используем формулу



где уравнение является комплексным уравнением кривой интегрирования , — соответствует началу кривой интегрирования, — концу кривой интегрирования.



В случае нашего примера




Итак,


Свойства комплексного интеграла:

1.

Доказательство:

Интегральная сумма



в этом случае имеет вид:





Следующие свойства 2-6 вытекают из формулы



и соответствующих свойств интегралов от действительных функций двух действительных переменных

2.

3.

4.

5.

если (рис. 5.6).

6. Если комплексная функция непрерывна на кривой , то она интегрируемы по этой кривой.




7. Если на кривой имеем

то

где — длина кривой интегрирования .

Доказательство.

(рис. 5.7).

Но



— длина - го звена ломаной вписанной в кривую , — длина ломаной которая меньше длины кривой , т.е. и, следовательно

Переходя в этом неравенстве к пределу и учитывая, что получим доказываемое утверждение.


следующая страница >>