Функциональная полнота Замыкание множества. Свойства замыкания. Замкнутые классы булевых функций. Понятие функциональной полноты. Те - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Функциональная полнота Замыкание множества. Свойства замыкания. Замкнутые классы - страница №1/1

Функциональная полнота

Замыкание множества. Свойства замыкания. Замкнутые классы булевых функций. Понятие функциональной полноты. Теорема о полноте системы булевых функции. Критерий функциональной полноты. Базис. Примеры функционально полных систем

Общезначимость и непротиворечивость. Каждая аксиома имеет определенную интерпретацию в области объектов теории. То есть каждому атому аксиомы можно сопоставить определенный объект теории. И если выясняется, что при подстановке вместо атомов любого набора реальных объектов предметной области аксиома является истинной, то есть не лишается логического смысла, то об аксиомах говорят, что они общезначимы или тавтологии. Так, например, аксиома геометрии о совпадении двух точек (объектов геометрии) выполняется при подстановке вместо точек любых других объектов, например отрезков. И является тавтологией в формальной теории, соответствующей геометрии Евклида. А аксиома “Если три символа одинаковы, то любые два из них также одинаковы” есть тавтология вообще для любых объектов любой формальной теории. Ведь как бы мы не интерпретировали три символа, являющиеся атомами аксиомы, она останется верна.

С помощью правил вывода, из имеющихся аксиом, можно получать все множество теорем теории. При этом если аксиомы тавтологичны, то и теоремы будут тавтологичны, так как правило вывода не нарушает тавтологичности. А так как множество теорем и аксиом образуют теорию, то, если они тавталогии, то теорию принято называть общезначимой.

Если же аксиома или теорема ни в одной интерпретации ее атомов не имеет логического смысла, то она является противоречивой.

Формальная теория называется полной, если каждому истинному высказыванию относительно объектов предметной области, в теории сопоставлена теорема. Такая теория описывает все явления, присущие предметной области.

В математической логике под разрешимостью подразумевают свойство формальной теории обладать алгоритмом, определяющим по данной формуле, выводима она из множества аксиом данной теории или нет. Теория называется разрешимой, если такой алгоритм существует, и неразрешимой, в противном случае.

Исчисление высказываний является разрешимой теория. Универсальный алгоритм в доказательстве теорем исчисления высказываний состоит в составлении таблиц истинности булевской функции, выражение которой совпадает с доказываемой формулой. Если в таблице булевских функций стоят только единицы – это теорема. В противном случае – формула.

Теория называется непротиворечивой, если в теории нет ни одной противоречивой формулы (теоремы или аксиомы). Фактически для формальных систем это значит, что в них не должны одновременно присутствовать теоремы F и F.

Система аксиом формальной теории называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не выводится из остальных. Ни одна из аксиом не может быть выводима из других

Как мы уже говорили, в исчислении высказываний выводятся все тавтологии и только они. Обычно это утверждение разбивают на две части: простую и сложную. Начнем с простой:

Теорема 17 (О корректности ИВ). Всякая теорема исчисления высказываний есть тавтология.

Несложно проверить, что все аксиомы – тавтологии. Для примера проделаем это для самой длинной аксиомы (точнее, схемы аксиом) – для второй. В каком случае формула

(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))

(где A, B, C – некоторые формулы) могла бы быть ложной?

Для этого посылка A→(B→C) должна быть истинной, а заключение (A→B)→(A→C) – ложным. Чтобы заключение было ложным, формула (A→B) должна быть истинной, а формула A→C – ложной. Последнее означает, что A истинна, а C ложна. Таким образом, мы знаем, что A, (A→B) и (A→(B→C)) истинны. Отсюда следует, что B и (B→C) истинны, и потому C истинна – противоречие. Значит, наша формула не бывает ложной.

Корректность правила MP также очевидна: если формулы (A→B) и A всегда истинны, то по определению импликации формула B также всегда истинна. Таким образом, все формулы, входящие в выводы (все теоремы) являются тавтологиями.

Гораздо сложнее доказать обратное утверждение.

Теорема 18 (О полноте ИВ). Всякая тавтология есть теорема исчисления высказываний.

Мы предложим несколько альтернативных доказательств этой теоремы. Но прежде всего мы должны приобрести некоторый опыт построения выводов и использования аксиом.



Лемма 1. Какова бы ни была формула D, формула (D→D) является теоремой.

Докажем лемму, предъявив вывод формулы (D→D) в исчислении высказываний.



  1. (D→((D→D)→D))→((D→(D→D))→(D→)) [аксиома 2 при A=D, B=(D→D), C=D];

  2. D→((D→D)→D) [аксиома 1];

  3. (D→(D→D))→(D→D) [из 1 и 2 по правилу MP];

  4. D→(D→D) [аксиома 1];

  5. (D→D) [из 3 и 4 по правилу MP].

Как видно, вывод даже такой простой тавтологии, как (D→D), требует некоторой изобретательности. Мы облегчим себе жизнь, доказав некоторое общее утверждение о выводимости.

Часто мы рассуждаем так: предполагаем, что выполнено какое–то утверждение A, и выводим различные следствия. После того как другое утверждение B доказано, мы вспоминаем, что использовали предположение A, и заключаем, что мы доказали утверждение A→B. Следующая лемма, называемая иногда "леммой о дедукции", показывает, что этот подход правомерен и для исчисления высказываний.

Пусть Г – некоторое множество формул. Выводом из Г называется конечная последовательность формул, каждая из которых является аксиомой, принадлежит Г или получается из предыдущих по правилу MP. (Другими словами, мы как бы добавляем формулы из Г к аксиомам исчисления высказываний – именно как формулы, а не как схемы аксиом.) Формула А выводима из Г, если существует вывод из Г, в котором она является последней формулой. В этом случае мы пишем Г⊦А. Если Г пусто, то речь идет о выводимости в исчислении высказываний, и вместо ⊦А пишут просто ⊦А.

Лемма 2 (о дедукции). Пусть Г – множество формул. Тогда Г⊦А→B тогда и только тогда, когда Г{A}⊦B.

Логика предикатов

Если объект высказывания, т.е. о чем говорится в предложении, не определен, то это предложение называют высказывательной функцией. Аргументами высказывательной функции являются предметные переменные, которые обозначают строчными буквами латинского алфавита х, у, z. Эта функция приобретет значение "И" или "Л" только при подстановке в высказывательную функцию вместо предметных переменных их конкретных значений. Конкретные значения аргументов высказывательной функции называют предметными постоянными.

Высказывательную функцию иначе называют предикатом (лат. praedicatum - логическое сказуемое).

Предикат можно рассматривать как расширение понятия высказывания.

Пример. Вместо трех высказываний

"Маша любит кашу"

"Даша любит кашу"

"Саша любит кашу"

можно написать один предикат

"Икс любит кашу"

и договориться, что вместо неизвестного Икс могут быть либо Маша, либо Даша, либо Саша.

Подстановка вместо Икс имени конкретного ребенка превращает предикат в обычное высказывание.



Предикат – любая фраза, предложение на любом языке, которая содержит конечное число предметных переменных, каждая из которых может принимать значение в некотором базовом множестве, причем после подстановки вместо предметных переменных элементов соответствующих базовых множеств, мы получим высказывание.

Обозначим P(a) – логическое высказывание “a – обладает свойством P”, или “a принадлежит множеству объектов, которые обладают свойством P”. Например: “Конфуций принадлежит множеству смертных”. Такое высказывание элементарно.

В ЛП предикат есть логическая функция, применяемая к предметной переменной. Подставив те или иные константы вместо переменной, аргумента предиката, получим элементарное высказывание. Предикат расчленяет исходное множество объектов (например, людей) на два подмножества. Одно – где все объекты обращают предикат в 1 (обладают свойством смертности), а другое, где все объекты обращают его в 0.

Способы задания предикатов. Для предиката можно построить таблицу истинности, в которой слева перечисляются все элементы исходного множества (предметные константы), а справа – значение предиката на этих элементах. Например, в предикате смертности на множестве людей, слева в таблице – “Конфуций”, а справа от него – 1.

Есть альтернативный способ задания предиката: графически. В этом случае на множестве предметных констант, обозначают области истинности и лжи предиката.

Предикаты позволяют производить исчисление, то есть делать заключение об обладании каким-либо определенным свойством.

Местностью предиката называется количество различных предикатных переменных, входящих в предикат.

Предикат P(x) – одноместный, имеет один аргумент, и проверяет свойство одного объекта. Если же аргументов n, то предикат P(x1,…xn) называют n-местным, и тогда он распознает свойство, которое объединяет систему из n объектов. Например, пара объектов из того же множества людей, могут обладать свойством “быть отцом и сыном”. Тогда P(x,y) можно понимать как логическое утверждение о том, что x является отцом y. В таблице истинности слева придется перебрать все возможные пары предметных констант (интерпретации предметных переменных), и справа явно указать для каждой из пар, обладает ли данная пара свойством. Тогда подставляя в аргументы, конкретные константы, предикат выдаст суждение об обладании парой этим свойством или не обладании им.

Примеры: одноместный предикат - x впадает в Каспийское море; двуместный предикат - x впадает в y.

Предикат – это то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

После подстановки вместо одной из предметных переменных конкретного «предмета» местность уменьшается на единицу.



Множество истинности P+ предиката P(x), определенного на базовом множестве M (xM), называется множество тех элементов xM, для которых P(x) истинно.

Предикаты могут быть простыми и составными. Составные предикаты образуются из простых предикатов с помощью логических связок по правилам алгебры логики.

Из двух предикатов можно образовать новый предикат, который часто называется высказывательной формой.

Высказывательные формы могут входить в предикат и при этом они называются предикаторами или препозиционными функциями.

Примеры высказывательных форм: 2k, m + n, , m>n+1 и др.

Рассмотрим двуместную высказывательную форму: x³y+2. Пусть x определено на множестве Mx ={3;5}, y – на множестве My={1;5;8}. Этой форме соответствуют два предиката. Один P1 — задан на множестве, образованным декартовым произведением X1= MxMy

Другой P2 — задан на множестве, образованным декартовым произведением X2= MyMx

Это значит, что двуместной высказывательной форме соответствует два предиката. Чтобы установить взаимно-однозначное соответствие между ними, надо установить линейный порядок с помощи отношения «предшествует».  Порядок может определять алфавитом и (или) индексами при переменных, располагая их в порядке возрастания.

Принято называть:

1. Одноместный предикат – свойством (предикат — свойство).

2. Двуместный, трехместный, … , n-местный предикат – отношением (предикат – отношение)

3. Нульместный предикат – высказыванием.

Предикат называется выполнимым, если существует хотя бы один набор предикатных переменных, при которых он обращается в истинное высказывание.

Предикат называется опровержимым, если существует хотя бы один набор предметных переменных, при которых он превращается в ложное высказывание.



Тождественно-истинным называется предикат, если для любого набора предикатных переменных он является истинным высказыванием.

Тождественно-ложным называется предикат, если для любого набора предикатных переменных он является ложным высказыванием.

Равносильность и следование:

Предикаты P и Q, определенные на одном и том же декартовом произведении множеств называются равносильными, если их множества истинности совпадают .

Предикат Q, определенный на декартовом произведении называется следствием предиката P на том же множестве, если Q превращается в истинное высказывание на наборах, на которых P – истинно: , при этом

Назовем равносильным преобразованием высказывательной формы  ее замену на равносильную форму Q. Две равносильные высказывательные формы с одинаковым набором переменных, для которых установлен одинаковый порядок, определяют один и тот же предикат.

Эти свойства предиката используются при решении уравнений и неравенств, которые тоже являются некоторыми высказывательными формами. Так, решение любого уравнения или неравенства предусматривает установление множества его истинности, т.е. множества истинности соответствующего ему предиката. В процессе поиска множества истинности производят замену одного предиката другим, равносильным данному, с целью упрощения имеющихся высказывательных форм.

Отношения следования и равносильности для высказывательных форм зависят от того множества, на котором оно рассматривается.



Теорема 1.

Пусть из , т.е. Q следствие P, тогда если P – тождественно-истинно (выполнимо), то и Q – тождественно-истинно (выполнимо).

Теорема 2.

Если Q – тождественно-ложный (опровержимый) предикат, то и P – тождественно-ложный (опровержимый) предикат.

При ограничении области определения предметных переменных вводят  операторы, которые называют кванторами.

Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката.

Суждение, в котором утверждается или отрицается наличие каких-либо признаков или отношений у части предметных переменных области определения, называют частным суждением.  Как правило, эти суждения на естественном языке отражают словами “один”, "несколько", "часть" и т.п. Для формализации таких суждений используют логическую операцию, ограничивающую область определения предиката. Этот оператор получил название квантора существования, который обозначают так: “∃x”. Предикат записывают после квантора существования  в круглых скобках ∃x(Рn(x)) На естественном языке эта запись означает: “существуют такие элементы х, что Рn(х) истинно (или ложно)".

Если частное суждение распространяется на несколько предметных переменных, то перед предикатом записывают все предметные переменные, по которым есть частное суждение, т.е. ∃x, ∃y, ∃z,...(Pn(x, y, z, ...)).

Например,

∃x(P1(x)):= "cуществуют целые числа, которые являются простыми". Это условие выделяет на множестве целых чисел подмножество X = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...}, для которого предикат P1(x) принимает значение “и”.

∃y(P2(6,y)):="существуют числа y, которые меньше 6". Это условие выделяет на множестве целых чисел подмножество Y= {1, 2, 3, 4, 5}, для которого предикат P2(6,y) принимает значение “и”.

∃y(P3(6,2,z)):="существует число z, которое является частным от деления 6 на 2". Это условие выделяет на множестве целых чисел единственное число Z=3, для которого предикат P3(6,2,z) принимает значение “и”.

Если P7(x):="x имеет зачетную книжку", то

∃x(P4(x)&P7(x)):= "существуют студенты (x), которые не имеют зачетной книжки";

∃x∃y(P5(x,y)&P7(x)):="существуют студенты (x) некоторых университетов (y), которые не имеют зачетной книжки".

Суждение, в котором утверждается или отрицается наличие каких-либо признаков или отношений для всех предметных переменных области определения, называют общими суждениями. Как правило, эти суждения в естественном языке отмечают словами "все",  "каждый", "любой" и т.п. Для формализации этих суждений используют логическую операцию над всей областью определения предиката. Оператор этой логической операции получил название квантора всеобщности, который обозначают так: ∀x. Предикат записывают после квантора всеобщности в круглых скобках ∀x(Рn(x)) . На естественном языке эта формальная запись означает: “для всех х истинно (или ложно) значение Рn(х)".

Если общее суждение распространяется на несколько предметных переменных, то перед предикатом записывают все предметные переменные, по которым есть общее суждение, т.е.

∀x, ∀y, ∀z,... (Pn(x, y, z, ...)).

Например,

∀x(P4(x)&P7(x)):= "все (или каждый) студенты (x) имеют зачетную книжку";

∀x(P5(x, СГТУ)&P7(x)):="все (или каждый) студенты (x) университета СГТУ имеют зачетную книжку";

∀x∀y(P5(x,y)&P7(x)):="все (или каждый) студенты (x) всех (или каждого) университетов (y) имеют зачетную книжку";

Существуют предикаты, для которых область определения по различным предметным переменным ограничивают различными кванторами.

Например,

∀x∃y(P2(x, y)):= "для всех целых чисел x существует меньшее число y".

∀x∀y∃z(P3(x, y, z)):="для всех целых чисел x и y существует число z, которое является частным от деления x на y".

В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или квантификацией.

Предметная переменная предиката, если по меньшей мере одно ее вхождение связано квантором, называют связанной переменной. Предметная переменная предиката, если по меньшей мере одно ее вхождение в формулу свободно от квантора, называют свободной переменной.



Рассмотрим одноместный предикат P(x). Формула называется связыванием переменной x квантором существования, который приводит к истинному высказыванию, если P(x) выполним, и к ложному, если P(x) тождественно опровержим.

Рассмотрим одноместных предикат P(x). Формула x P(x) называется операцией связывания переменной x квантором общности, который приводит к истинному высказыванию, если P(x) тождественно истинен, и к ложному, если P(x) опровержим.

Понятие связывания квантами (операции квантификации) обобщается и на множественные предикаты: , в результате получим одномерный предикат, зависящий от z, при этом x,y – связанные переменные, z – свободная переменная.

Обратите внимание, что одна и та же переменная может быть и свободной и связанной в одной и той же формуле.

Пример: х у (Р(х,у))  Q(у,z)

В данном примере переменная у имеет как свободное, так и связанное вхождение в формулу.

Правила вывода

Правила, по которым в логике из истинных формул образуются новые истинные формулы называются правилами вывода.



Выводом называется непустая конечная последовательность формул С1…Сn, таких что каждая Сi – есть либо посылка, либо получена из предыдущих формул по одному из правил вывода.

Выпишем правила формального вывода:



1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.
Каждое правило вывода представляет собой формулировку разрешения нечто осуществить, а именно, если даны формулы того вида, который указан выражениями, стоящими над чертой (посылки правил), то каждое правило позволяет записать после этого формулу того вида, который указан выражением, стоящим под чертой (заключение правила).

Правило 5 называется правилом введения импликации. Она позволяет по любой формуле В перейти к импликации, но обязательно в качестве посылки используется последнее допущение (или последняя посылка).

При обнаружении двух противоречащих друг другу формул (правило 7) позволяет говорить о выводимости отрицания последнего допущения (и только его).

Пример: Показать выводимость формулы r из посылок pq, qr, p



1.

2.

Доказательство есть вывод из пустого множества посылок. Последняя формула в доказательстве называется доказанной формулой или теоремой.

Мы обязательно должны сказать, что приведенный набор правил вывода применим к исчислению высказываний. Набор правил вывода исчисления предикатов несколько шире. Каждое правило вывода не нуждается в доказательстве (является очевидным). Но с помощью них можно получать все новые, далеко не всегда очевидные результаты. Необходимо хорошо понимать тот факт, что в описанных правилах вывода используются формулы, т.е. в качестве А, В, С и т.д. могут использоваться и достаточно сложные высказывания.



Умозаключения

Умозаключение – это форма мышления или логическое действие, в результате которого из одного или нескольких известных и определенным образом связанных суждений получается новое суждение, в котором содержится новое знание.

Логики и философы, тысячелетия рассуждая о природе и законах человеческого мышления, нашли правила получения новых знаний из набора разрозненных, но истинных фактов. Эти правила принято называть умозаключениями. Их достаточно много. Мы приведем самые распространенные из них и рассмотрим примеры их использования. Однако следует хорошо понимать, что все эти типы рассуждений можно получить из базового набора правил вывода математической логики.

Условно-категоричные умозаключения

К числу правильных, условно-категоричных умозаключений относятся умозаключения следующего типа:



Данные способ рассуждения в средневековой логике получил название modus ponens

Пример: Если отмечается спад производства, то растет число безработных. В России отмечается спад производства. Следовательно, число безработных растет.

Другой тип правильных условно-категорических умозаключений является modus tollens, т е. «Отрицательный способ рассуждения».




Пример: Если благородная цель оправдывает любые средства, то можно лишить человека жизни, если он смертельно болен и Вы хотите укоротить его страдания. Но даже в этом случае нельзя лишать человека жизни. Значит неверно, что благородная цель оправдывает любые средства.

Разделительно-категоричные рассуждения

Эти рассуждения так же являются двухпосылочными и содержат дизъюнктивную или строго–дизъюнктивную посылку.

Правильными являются следующие способы рассуждения

Это правило получило название modus tolledo, т.е. «отрицающе-утверждающий способ рассуждения».

Пример: Этот человек заблуждается сам, или сознательно вводит в заблуждение других. Но сам этот человек не заблуждается. Следовательно, он сознательно вводит в заблуждение других.

Приведенные ниже примеры не являются корректными:




Однако, если дизъюнктивную посылку заменить строго-дизъюнктивной посылкой, то получим правильные способы рассуждений.




Умозаключения подобного типа называются modus ponendo tolens, что означает «утверждающе-отрицающий способ рассуждений».

Пример: Шахматист К. примет участие в одном из двух турниров: он либо выступит на турнире в Тилбурге, либо на турнире в Линаресе. Известно, что К. дал согласие принять участие в Линаресе. Следовательно, К. не выступит на турнире в Тилбурге.

Условно разделительные умозаключения



- простая конструктивная дилемма

Пример: Если Н. Упорен в достижении цели, то он способен овладеть логикой. Если у него есть склонность к строгому абстрактному мышлению, то он способен овладеть логикой. Известно, что Н. Упорен в достижении цели или имеет склонность к строгому абстрактному мышлению. Следовательно, он способен овладеть логикой.

Прежде чем привести доказательство выводимости данной теоремы покажем вывод одного результата, которым мы воспользуемся в процессе основного доказательства.


Теперь покажем непосредственно справедливость простой конструктивной дилеммы.





- сложная конструктивная дилемма

Пример: Если президент подпишет законопроект, то он лишится поддержки профсоюзов. Если же президент наложит на данный проект вето, то он потеряет доверие предпринимателей. Ясно, что президент подпишет законопроект или наложит на него вето. Следовательно, он лишится поддержки профсоюзов или доверия предпринимателей.



- простая деструктивная дилемма

Пример: Если ученый А. Честолюбив, то он хочет защитить диссертацию. Если А. Честолюбив, то он стремиться к продвижению по службе. У А. Нет желания защищать диссертацию или продвинуться по службе. Следовательно, А. Нечестолюбив.



- сложная деструктивная дилемма.

Если В. верит слухам о близком конце света, то он глуп. Если же В. сам распускает такие слухи, то он беспринципен. В. не глуп, и не лишен принципов. Следовательно, В. не верит слухам о близком конце света или не распускает такие слухи сам.

Принципы построения формальных систем

Любая математическая система задается множеством (обязательно не пустым) объектов, рассматриваемых в рамках этой системы (числа, функции, высказывания, геометрические фигуры), операциями, определенными над объектами данного множества, отношениями и системой аксиом. Такие системы называются Исчислениями.



Исчислением называется дедуктивная система, т.е. способ задания множества путем указания исходных элементов (аксиом исчисления) и правил вывода, каждое из которых описывает, как построить новые элементы из исходных и уже построенных.

При полностью формальном представлении теории никаких «интуитивно понятных» действий над объектами теории не разрешается: все должно быть заложено в синтаксисе (алфавите, правилах образования формул) и средствах дедукции – постулатах (включая правила введения новых знаков по определения).

Понятие исчисления является формализацией интуитивного представления об индуктивно порождаемом множестве. Такие множества широко используются в математике, начиная с множества переменных, формул и, заканчивая множеством теорем, которые выводятся из множества аксиом данной теории при помощи логических переходов. Именно логические исчисления были первыми примерами полностью формализованных дедуктивных систем. Одной из основных сфер применения теории исчисления является теория алгоритмов.

Необходимо сказать, что множество аксиом или система аксиом любой дедуктивной теории истинна, если она полна, непротиворечива и независима.



Полнота – качество системы аксиом, свидетельствующее о том, что в ней все содержательно истинные формулы, записанные средствами языка системы, могут быть выведены по правилам логики из нее самой. Дедуктивная теория считается полной и в том смысле, если присоединение к ее аксиомам не выводимого в ней предложения при сохранении правил неизменными делает теорию противоречивой. Наличие же логического противоречия разрушает теорию, делает ее бесполезной.

Полнота исчисления высказываний означает, что любая тождественно истинная формула в ней выводима.

Полноту системы аксиом нужно всегда понимать двояко: с одной стороны это означает, что все истинные формулы некоторой содержательно характеризуемой области могут быть получены из данной системы аксиом, с другой стороны, и это важно, присоединение к системе аксиом, ранее не выводимой формулы, обязательно приводит к противоречию. Только удовлетворение этим двум правилам, делает систему аксиом и следовательно дедуктивную систему полной.

Но требование полноты не является обязательным для всех аксиоматических теорий. Практически полезными являются многие неполные системы аксиом. Более того, работами Геделя, Черча, Клини доказана невозможность полной формализации научного знания.

«Стремление к полноте, - как правило, естественное стремление науки, хотя его «абсолютная реализация» представляется скорее недостижимым идеалом, к которому можно лишь приближаться. Этот идеал, во всяком случае, недостижим не только в опытно-экспериментальных науках (опыт всегда незавершен), но и во многих дедуктивно-математических областях».

Непротиворечивость – свойство системы аксиом, состоящее в том, что не каждая формула этой системы доказуема в ней. Формальные системы, обладающие этим свойством, называются непротиворечивыми, или формально непротиворечивыми. В противном случае формальная система называется противоречивой или несовместимой. Для широкого класса формальных систем, язык которых содержит отрицание, непротиворечивость эквивалентна свойству «Не существует в рамках данной формальной системы такой формулы А, что А и А обе одновременно доказуемы».

Формальная система называется содержательно непротиворечивой, если существует модель, в которой истинны все теоремы этой системы. Если формальная система содержательно непротиворечива, то она и формально непротиворечива. Доказательство непротиворечивости формальной системы является точной математической проблемой. Клини подчеркивает: «Математическое доказательство непротиворечивости формальной системы дает гарантию против возникновения противоречия в соответствующей содержательной теории». Для формальных систем, основанных на классическом исчислении предикатов, справедливо и обратное утверждение всякая такая непротиворечивая система имеет модель. Таким образом, один из способов доказательства непротиворечивости состоит в построении модели.

Однако, строго доказано, что непротиворечивость необходима в системе аксиом, но наличие ее недостаточно для того, чтобы быть уверенным в том, что система аксиом истинна.

Проблема непротиворечивости возникает при рассмотрении любого исчисления, это одна из «кардинальных проблем» математической логики. При использовании какой-либо системы аксиом уверенность в ее внутренней непротиворечивости необходима, т.к. в противоречивой системе нет различия истины и лжи.



Независимость – свойство аксиомы, заключающееся в том, что она не выводима из остальных аксиом данной системы. Другими словами, независимость той или иной аксиомы от остальных аксиом данной системы состоит в том, что ее нельзя доказать при помощи остальных аксиом этой же системы аксиом.

Аксиома А является независимой, если она не является теоремой в системе, полученной исключением А из числа аксиом, или, что эквивалентно, если существует теорема, которая не может быть доказана без этой аксиомы.



Независимой системой аксиом называется такая система, в которой ни одна аксиома не выводима из остальных аксиом системы. Внутренняя независимость аксиом очень важная характеристика системы аксиом очень важная характеристика, т.к. она освобождает систему от лишних аксиом.