Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Элементы векторной алгебры - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Элементы векторной алгебры - страница №1/4

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

  1. Элементы векторной алгебры.

    1. Основные понятия векторной алгебры.

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В.


В Обозначентие или одной буквогой.
.

А
Длиной (или модулем) называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.



Если начало и конец вектора совпадают, например, , то такой вектор называются нулевым и обозначают . Длина нулевого вектора равна нулю: =0. нулевой вектор не имеет направление.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются каллениарными.




Обозначение //


.

Коллениарные векторы, имеющие одно направление, называются соноправленными, а разное направление - противоположно направленные.



Обозначение:  -соноправленные

- противоположно направленные

Нулевой вектор считается коллениарным любому вектору. Два вектора и называются равными, если они коллениарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Обозначение: =

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

    1. Линейные операции над векторами в геометрической форме.


К линейным операциям над векторами относятся операции сложения, вычитания и умножения вектора на число. Суммой двух произвольных векторов и называется вектор, обозначаемый + , идущий из начала первого вектора в конец второго вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора . Это правило называется правилом треугольника:



.

.+

,

Правило параллелограмма:




.+


Для сложения нескольких векторов, например, ,,, поступают следующим образом: переносят вектор в ту точку, из конца вектора откладывают вектор , из конца , откладывают вектор, из конца откладывают вектор.

Замыкающий вектор пространственной ломанной идущий из начала первого слагаемого, в конец последнего слагаемого, называется суммой данных векторов. Это правило называется правилом многоугольника.






++



Разностью двух произвольных векторов и называется вектор = - такой, что +=.


= -



Замечание 1: Разностью векторов и является вторая направленная диагональ в параллелограмме, построенном на векторах и .




-


Произведением вектора на число  называется вектор =, коллениарный вектору , длина которого равна длине вектора , умноженную на абсолютную величину числа :

=

При 0 вектор и  соноправленные. При 0 – противоположнонаправленные.


=2 =-1/2


При =-1 векторы и - называются проивоположными

-

Замечание 2: если//, то найдется такое число α(α0), что =.

Замечание 3:всегда =*, то есть любой вектор произведению его модуля на соответствующий орт.

Замечание 4: векторы можно вычитать по правилу: - =+
+


-


Свойства линейных операций над векторами.

1. +=+ (переместительное свойство)

2.(+)+=+(+) (сочетательное свойство)

3.  (сочетательное свойство произведения вектора на число)

4.  (распределительное свойство по отношению к числовому множителю)

5.  (распределительное свойство по отношению к векторному множителю)

Пример 1: дано: найти:1) -2
2) -/2


решение:

0 -2 /2 -/2
2
Пример 2: векторы и служат диагоналям параллелограмма АВСД. Выразить векторы через векторы и .

В С


А Д
Решение: . Сложим равенства (1) и (2) и результат поделим на 2: . Из (1) вычтем (2) и результат поделим на 2:









Ответ:

Пример 3: В треугольнике ОАВ даны векторы = и =. Найти векторы и, где М-середина стороны АВ.

А

О

М


В



    1. Проекция вектора на ось.


В

А


А1 В1 L
Из точек А и В опустим перпендикуляры на ось L, точки А и В называются проекциями точек А и В на ось L.

Проекция вектора АВ на ось L называется число, равное длине вектора , если направление вектора и оси L совподают, и равное -, если направление вектора противоположно направлению оси L.

Обозначение: прL

Если =0, то прL=0

Если L, то прL=0

Основные свойства проекции.

Свойство 1. Проекция вектора на ось Lравна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью.

прL= cos

 L


А С



прL=-cos=-*cos(-cos(-1)= cos

 L


Свойства 2: Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось L равна сумме проекций векторов на эту ось: прL=прL+ прL+ прL

=: прL

= прL

= прL

А прLМ прLN прLВ = прL

=++ прL= прL+ прL+ прL


Свойство 3: Проекция на ось L произведения вектора на число  равна произведению проекции вектора на это число.

прL прL

В С

А

А1 В1 С1



прL=

прL= прL(2)=2 прL

=2

Пример 4: Пусть , , –единичные векторы, составляющие с осью L соответственно углы . Найти проекцию на ось L вектора

Решение: прL()=3 прL+2 прL+ прL

прL=

прL=

прL=

прL()=

Ответ: прL()
следующая страница >>