Элементы векторного анализа и теории поля, уравнения математической физики - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа курса «уравнения математической физики» 1 35.01kb.
Программа курса "уравнения математической физики" 1 20.99kb.
Вопросы по курсу «уравнения математической физики» 1 23.34kb.
Вопросы по курсу «Уравнения математической физики» 1 20.8kb.
Экзаменационные вопросы по курсу "уравнения математической физики" 1 31.79kb.
Концепция курса по выбору «элементы теории устойчивости» для будущих... 1 129.43kb.
Программа дисциплины Уравнения математической физики для направления... 1 196.95kb.
Н. Д. Филонов совместно с учеником М. Демченко 1 115.1kb.
Задача Коши для линейного однородного ду в ЧП первого порядка. 1 27.07kb.
Нелинейные процессы в физике сплошных сред 1 24.06kb.
Рабочая учебная программа дисциплины Уравнения математической физики 1 224.7kb.
Материалы для студентов заочного отделения спбгэту (лэти) Курс «Математический... 1 82.91kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Элементы векторного анализа и теории поля, уравнения математической физики - страница №1/1







ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Самарский государственный

Технический университет»






К а ф е д р а«Высшая математика и

прикладная информатика»

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

И ТЕОРИИ ПОЛЯ, УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
Учебно-методическое пособие

по специальным разделам высшей математики

Самара 2008

УДК 517.373, 53.001.573




Элементы векторного анализа и теории поля, уравнения математической физики. Учебно-метод. пособ. по спец. главам высш. матем./ Самар. гос. техн. ун-т. Сост. В.Н. Гревцева, Л.А. Муратова. Самара, 2008. 28 с.

Представлены задачи и их решения из следующих разделов курса высшей математики: векторный анализ и теория поля, уравнения математической физики. Пособие содержит тренировочные задания.

Предназначено для студентов всех специальностей СамГТУ.

Ил. .Библиогр.: 11 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

Пособие состоит из двух частей: «Элементы векторного анализа и теории поля» и «Уравнения математической физики», что соответствует программе курса высшей математики для 3 и 4 семестров СамГТУ.

Каждая часть представлена рядом типовых задач из указанных разделов с подробными решениями.

Пособие содержит тренировочный тест (стр.20) для самостоятельного решения с указанием правильных ответов.

Используемые для решения формулы обозначены в круглых скобках и приведены в конце пособия.

Основное назначение пособия – помочь студенту при изучении данного материала и подготовке к экзамену по высшей математике.



ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
И ТЕОРИИ ПОЛЯ

В разделе рассматриваются следующие задачи: нахождение векторных линий поля, градиента, ротора, дивергенции; проверка на соленоидальность и потенциальность поля с нахождением потенциала, вычисление поверхностных интегралов, потока векторного поля с использованием формул Остроградского–Гаусса, Стокса.


Задача 1. Найти векторные линии поля .

Решение. Дифференциальное уравнение векторных линий поля имеет вид (1.1):

.

Так как , , получим .

Разделяем переменные и интегрируем

, , .

Выражая через , получим следующую формулу векторных линий



.
Задача 2. Указать все соленоидальные векторные поля:

а); б) ;

в); г) .

Решение. Векторное поле соленоидально, если во всей рассматриваемой области дивергенция равна 0: .

Сама же дивергенция вычисляется по формуле (1.2):



Таким образом, для каждой функции необходимо проверить условие



:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Итак, поле соленоидально в случаях а),б) и в).


Задача 3. Найти , если скалярное поле .

Решение. Градиент поля есть вектор (1.3):

.

Находим его:



, , .

Значит, .

Дивергенция векторного поля вычисляется по формуле (1.2):

.

В данном случае - это , а ,, - проекции . Тогда



, ,

и .
Задача 4. Найти ротор векторного поля .

Решение. Ротор векторного поля - это вектор, определяемый формулой (1.4):

.

Так как , ,, получим



Задача 5. Проверить, потенциально ли поле

.

В случае потенциальности найти его потенциал.



Решение. Поле потенциально, если его ротор равен 0. Вычисляем ротор по формуле (1.4):





.

Итак, векторное поле потенциально. Потенциал находим по формуле (1.5):



.

В данном случае он равен













где .

Окончательно, .
Задача 6. Вычислить поверхностный интеграл ,

где - часть плоскости , заключенная между координатными плоскостями, и нормаль к ней образует тупой угол с осью



Решение. Это поверхностный интеграл 2 рода. Вычисляем его, сводя к двойному по формуле, аналогичной (1.7):

где - проекция на плоскость ;

знак берется, если нормаль к образует острый угол с осью ;

знак берется, если угол тупой (наш случай).

Избавившись от в правой части равенства (заменяем на 6 в

соответствии с уравнением плоскости), получим:



,

где - проекция на

плоскость (см. рис.1).

Известно, что двойной интеграл вида



равен площади плоской области .

Поэтому .


Задача 7. Найти поток векторного поля через полную поверхность а) цилиндра: ,; б) конуса: , ; в) пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями.
Решение. Согласно формуле Остроградского – Гаусса (1.9) поток векторного поля через замкнутую поверхность , ограничивающую тело , равен

.

Таким образом, можно вычислять поток как с помощью поверхностного интеграла, так и с помощью тройного. В данном случае будем использовать тройной интеграл. Так как (1.2)



,

, ,, то и, значит, .

Поскольку тройной интеграл равен объему тела (ограниченного поверхностью ), получим .

В случае а) , поэтому, .

В случае б) (см. рис.2) .

При получаем , значит,



, тогда,

следовательно,.


В случае в) (см. рис.1) ; если , то , тогда и .
Задача 8. С помощью формулы Стокса преобразовать криволинейный интеграл

а) в поверхностный интеграл 1 рода по площади поверхности , «натянутой» на замкнутый контур , если известна нормаль к поверхности , ;

б) в поверхностный интеграл 2 рода.

Решение. а) Формула Стокса (1.10) связывает криволинейный интеграл по замкнутому контуру (циркуляцию) с поверхностным интегралом по поверхности , ограниченной контуром :

,

где .

Находим по формуле (1.4). Так как , ,, получаем

Вычисляем скалярное произведение



.

Тогда .

б) Поверхностные интегралы 1 и 2 рода объединяет формула (1.8):

,

где .

Заменив в этой формуле на , получим соотношение:

,

где . Но тогда формула Стокса принимает вид



.

В нашем случае , то есть ,, поэтому



.

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В разделе рассматриваются следующие задачи: определение типа дифференциального уравнения с частными производными второго порядка, приведение его к каноническому виду, решение дифференциальных уравнений с частными производными.
Задача 9. Определить тип дифференциального уравнения

а) ;

б) ;

в) .



Решение. Тип дифференциального уравнения вида

,

где , , - функции от и , определяется следующим образом. Уравнение имеет (см. (2.1))

гиперболический тип, если ,

параболический тип, если ,

эллиптический тип, если .

Рассмотрим случай а): , , , , значит это уравнение параболического типа.

В случае б) , , , , значит это уравнение эллиптического типа.

В случае в) , , , .

Выражение при ; при ; при . В соответствии с этим получаем в указанных областях уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно.
Задача 10. Привести к каноническому виду уравнение

.

Решение. Определим тип уравнения:

, ,,, значит это уравнение гиперболического типа (см.(2.1)). Составим характеристическое уравнение (2.2):

.

Найдем его характеристики. Разделив обе части этого уравнения на , получим квадратное относительно уравнение



,или .

Решения квадратного уравнения , - дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Но тогда справедливы равенства



, .

Записав их в неявном виде, получим общие интегралы соответствующих дифференциальных уравнений. Это и есть характеристики. Таким образом, дифференциальное уравнение гиперболического типа имеет два семейства действительных и различных характеристик:



и .

Если теперь в исходном дифференциальном уравнении с частными производными перейти к новым переменным



и ,

то уравнение примет более простую по сравнению с исходной форму – канонический вид. Для гиперболического типа канонический вид выглядит так (2.3):



.

Конкретизируем его с учетом данных задачи. Так как производные первого порядка от и - константы:



,,,,

то все производные от и второго порядка равны . Тогда согласно формулам (2.7)



,,

, , .

Подставляя найденные выражения в исходное уравнение, получим



Раскрывая скобки и приводя подобные члены, приходим к уравнению



,или.

Сравнивая с (2.3), убеждаемся, что получен канонический вид уравнения.


Задача 11. Привести к каноническому виду уравнение



Решение. Это уравнение параболического типа (см. задачу 9а)). Его характеристическое уравнение имеет вид

,или .

Решаем его: , ,.

Записав это решение в неявном виде (в виде общего интеграла), получаем одно семейство действительных характеристик

.

Выбираем новые переменные. Полагаем , а в качестве берем достаточно простую функцию ( например, ), не зависимую от . Последнее означает, что (см. (2.5))



.

Для и это условие выполняется:.

Делаем замену переменных в исходном уравнении. Так как ,,,, производные второго порядка от и равны . Тогда с учетом (2.7)

,

, , .

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение



.

После преобразований приходим к каноническому уравнению



,

что соответствует каноническому виду уравнения параболического типа (2.5):



.
Задача 12. Привести к каноническому виду уравнение

.

Решение. Это уравнение эллиптического типа (см. задачу 9б)). Его характеристическое уравнение имеет вид:

, или .

Решая последнее уравнение, получим



, .

Общий интеграл имеет вид



,

что соответствует двум семействам комплексно сопряженных характеристик (с учетом знака). Для приведения исходного уравнения к каноническому виду в качестве новых переменных и следует взять (см. (2.6)) действительную и мнимую части выражения



,

а именно:, .

Вычисляем необходимые для подстановки производные:

,,,, .

Согласно (2.7) имеем



, ,, .

Подставляя полученные выражения в исходное уравнение, приходим к каноническому виду:



,

или, или ,

что соответствует общему случаю (2.6):

.
Задача 13. Среди представленных функций найти решения дифференциального уравнения , удовлетворяющие условию :

а); б) ;в) ;

г); д) .

Решение. Проверим сначала, какие функции удовлетворяют условию :

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Итак, условие выполняется в случаях б), г) и д).

Находим для каждой функции:

б) , ;

г) , ;

д) , .

Таким образом, две функции (б и г) являются решениями дифференциального уравнения.


Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Так как , дифференциальное уравнение можно записать следующим образом

и найти интегрированием по :



.

Здесь - произвольная функция, появляется из-за того, что неопределенный интеграл вычисляется с точностью до константы, но при интегрировании по в роли константы выступает величина .

Последнее равенство интегрируем по и получаем искомую функцию :

,

где ; - произвольная функция, появляется при интегрировании по , когда играет роль константы. Итак,



.
Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. , поэтому уравнение запишется так: .

Интегрируем это равенство дважды по :



,

,

где и - две произвольные функции, появляются при интегрировании по , когда выступает в роли константы.


Задача 16. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Согласно формулам (2.1) вычисляем

и делаем вывод, что исходное уравнение гиперболического типа. Его характеристическое уравнение



,

рассмотренное в задаче 2, имеет два семейства характеристик:



и,

значит канонический вид можно получить сделав замену



и.

Подставив полученные в задаче 2 выражения для производных в исходное уравнение, получим:



,

или, откуда .

Заметим, что если исходное уравнение имеет вид (2.8)

,

где , причем (гиперболическое), то с помощью указанной замены переменных оно приводится к каноническому виду



.

Решаем последнее уравнение. Его можно записать так: . Но если производная от какой-либо функции равна , то эта функция - константа, т.е. ( при этом выступает в роли константы). Теперь интегрируем по (константой является ):



.

Здесь и - две произвольные функции. Подставляя в полученное равенство найденные ранее и , окончательно получаем



.
Задача 17. Решить задачу Коши для волнового уравнения , ,, при и найти .

Решение. Воспользуемся формулой Даламбера (2.9):

,

где , . Так как , , , получим





.

Тогда.


Задача 18. Решить смешанную задачу для волнового уравнения , ,, , , при и определить закон движения точки с абсциссой .

Решение. Решение смешанной задачи для волнового уравнения имеет вид (2.10):

,

где , ,, .

Согласно условиям задачи , но тогда при любом .

Найдем . Поскольку , , значит



.

Обозначив последний интеграл , рассмотрим два случая: и . Если , то:





.

При возвращаемся к интегралу, так как последние выражения, содержащие в знаменателе, в этом случае не существуют. Получаем



.

Итак, для всех , кроме , а . Но тогда решение представляет собой не бесконечную сумму, а лишь одно слагаемое, соответствующее :



.

Осталось подставить в это выражение :



.
Задача 19. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности , , , и найти решение при , , .

Решение. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид (2.11):

,

где , .

Так как , . Найдем .

.

Обозначив последний интеграл , рассмотрим два случая: и .

Если , то

.

При предыдущее выражение, содержащее в знаменателе, не существует, поэтому возвращаемся к интегралу. Получаем



.

Таким образом, для всех , а . Но тогда решение представляет собой не бесконечную сумму, а лишь одно слагаемое, соответствующее , и равно



.

При , это решение принимает вид:



.
Задача 20. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности бесконечного стержня: , , и найти решение при ,,.

Решение. Решение находим по формуле (2.12), называемой интегралом Пуассона:

,

где .

Так как , то.

Подставив , , , получим



.

Полученный результат можно представить с помощью функции Лапласа



следующим образом: ( таблица значений функции Лапласа приводятся во многих учебниках – см., например, В.Е.Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике).


Задача 21. Найти стационарное распределение температуры в тонкой пластине, имеющей форму кольца, ограниченного окружностями радиусов 2 и 3, с граничными условиями , .

Решение. Воспользуемся уравнением Лапласа в полярных координатах (2.13):

.

Из условий задачи следует, что искомая функция не зависит от изменения , поэтому уравнение принимает вид:



,или , или .

Интегрируя это равенство по , получим:



, откуда , или .

Еще раз проинтегрируем: .

Произвольные постоянные и находим из граничных условий:

Из второго уравнения находим и подставляем в первое:, значит,. При этом решение принимает вид:



.
Задача 22. Найти стационарное распределение температуры в тонкой пластине, имеющей форму круга радиуса 2, если на границе круга задано условие .

Решение. Стационарное распределение температуры в полярных координатах описывается уравнением Лапласа

.

Это уравнение и граничные условия вида образуют задачу Дирихле для круга с решением (2.14):



,

, .

Для и , получаем



.

Этот интеграл равен 0 для всех неотрицательных , кроме (см. задачи 18, 19). Для имеем:



.

Вычисляем :



как интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку .

Тогда решение задачи имеет вид.




Тренировочный тест





Задания
Варианты ответов

1

2

3

4

5
Элементы теории поля



Найти ротор векторного поля

А) ; Б) ;В) ; Г) ; Д)



А

Б

В

Г

Д



Выбрать соленоидальные поля

А) ; Б) ; В)



Б,В

А,Б

Б

А,Б,В

В



Найти , если

А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д)



А

Б

В

Г

Д



Найти векторные линии поля

А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д)



А

Б

В

Г

Д



Найти потенциал для потенциального векторного поля .

А) ; Б) ; В) ;

Г) ; Д)


А

Б

В

Г

Д



Найти поток векторного поля через полную поверхность конуса













С помощью формулы Стокса преобразовать криволинейный интеграл в поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности S , «натянутой» на замкнутый контур L. Известна нормаль к поверхности

А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д)



А

Б

В

Г

Д

4

Вычислить поверхностный интеграл , если S – часть плоскости , заключенная между координатными плоскостями, и нормаль к ней образует острый угол с осью 0z.

10

8

16

6

14




УМФ

5

Указать все уравнения гиперболического типа:

А) ; Б) ;

В) ; Г) ; Д) .


Б

Б,Д

В,Г

А

А,Б



Привести к каноническому виду:

А) ; Б) ;

В) ; Г) ; Д) .


А

Д

Б

В

Г



Указать все возможные семейства характеристик для уравнения:

А); ; Б);; В);;

Г) ; ; Д) ; ; Е) ;.


Б,В,Г

А,Е

Б,В

Б,В,Д

Б



Указать все функции, являющиеся решениями дифференциального уравнения и удовлетворяющие условию .

А); Б) ;

В) ; Г) ; Д) .


А,В

Б,Г

А,Г

А,Д

Б,Д



Найти общее решение дифференциального уравнения .

А); Б) ;

В) ; Г) ; Д) .


Г

А

В

Б

Д



Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

А); Б) ;

В) ; Г) ;

Д) . (Здесь и - произвольные функции).



В

Г

Б

Д

А



Решить волновое уравнение при условии, что , , , , и найти .

А); Б) ; В) ; Г) ; Д) .



Д

Б

В

А

Г






Решить волновое уравнение при условии, что , , , , , , и найти .

А); Б) ; В) ; Г) ; Д) .



В

Д

Г

Б

А



Решить уравнение теплопроводности при условии, что , , , , , и найти для и .

А); Б); В); Г) ; Д) .



А

Г

Д

В

Б



Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности бесконечного стержня , , = и найти решение при , ,.

А); Б) ; В) ; Г) ; Д) .



Г

Д

Б

А

В



Найти стационарное распределение температуры в тонкой пластине, имеющей форму кольца, ограниченного окружностями радиусов и , с граничными условиями: , . А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д).

В

Б

А

Г

Д



Найти стационарное распределение температуры в тонкой пластине, имеющей форму круга радиуса 3, если на границе круга задано условие .

А); Б) ; В) ; Г) ; Д) .



Б

Г

Д

А

В



Правильные ответы


задания















4

5























Правильный ответ

3

1

1

3

1

5

2

3

2

1

1

4

3

3

5

2

4

4

4

3



СПИСОК ФОРМУЛ


Элементы векторного анализа и теории поля
Дифференциальное уравнение векторных линий поля

:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Потенциал векторного поля :



(1.5)

Поверхностный интеграл 1 рода:



(1.6)

Поверхностный интеграл 2 рода:



(1.7)



(1.8)

Формула Остроградского – Гаусса:



(1.9)

Формула Стокса:



(1.10)
Уравнения математической физики
Классификация уравнений:


- гиперболический тип; (2.1)

- параболический тип;

- эллиптический тип;
Характеристическое уравнение:

(2.2)
Канонические формы уравнений и замена переменных:
- гиперболический тип, 1 форма (2.3)

,

-гиперболический тип, 2 форма (2.4)

,

- параболический тип (2.5)

, удовлетворяет условию
- эллиптический тип (2.6)

,

; ;

; (2.7)

;

Канонические формы уравнения () :



или - гиперболический тип; (2.8)

- параболический тип;

- эллиптический тип
1. Уравнения гиперболического типа
Задача Коши для волнового уравнения

, , ,

Решение (формула Даламбера):



(2.9)
Смешанная задача для волнового уравнения:
, , , , ,.

Решение: , (2.10)



,

2. Уравнения параболического типа
Смешанная задача для уравнения теплопроводности:
, , , , .

Решение:


, ( 2.11)
Задача Коши для уравнения теплопроводности бесконечного стержня.

, ,

Решение (интеграл Пуассона):



(2.12)

3. Уравнения эллиптического типа
Уравнение Лапласа в полярных координатах

(2.13)
Задача Дирихле для круга при стационарном режиме распределения темпера-туры:

,

Решение: (2.14)



, .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК



  1. Будак Б.М. Сборник задач по математической физике. М.: Физматлит, 2003.

  2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики: Учеб. / В.С.Владимиров, В.В.Жаринов.М. : Физмат-лит,2003.

  3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.:Высш.шк.,2004.

  4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. / П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. М. : ОНИКС 21 век; Мир и Образование. Ч.2.-2003.

  5. Квальвассер В.И., Фридман М.И. Теория поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1967.

  6. Кошляков Н.С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа. 1970.

  7. Математика – 10 для студентов вузов. Учебное пособие / М.А. Евдокимов , В.Н. Гревцева ; СамГТУ, Самара, 2000.

  8. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М.: Высшая школа. 1973г.

  9. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука.1980.

  10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972г.

  11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит; СПб.: Невский диалект. Т.3.-2002.


ОГЛАВЛЕНИЕ


  1. Элементы векторного анализа и теории поля …….……...……4

  2. Уравнения математической физики…………………...……….10

  3. Тренировочный тест……………………………………….……20

  4. Список формул….………………………………………….…...23

  5. Библиографический список………………….…………….…...27


Элементы векторного анализа и теории поля, уравнения математической физики.

Составители: ГРЕВЦЕВА Валентина Николаевна,



МУРАТОВА Лидия Александровна

Редактор Н. В. Б е г а н о в а

Технический редактор Г. Н. Ш а н ь к о в а

Подписано в печать 10.05.08.

Формат 60х84. 1/16. Бум. типогр.№2.

Печать офсетная.

Усл. п. л. 1,39. Усл. кр.-отт. 1,39. Уч.-изд. л. 1,25.

Тираж 100 экз. С-28.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус