Экзаменационные вопросы по математическому анализу - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Вопросы к экзамену по математическому анализу (2й семестр) 1 22.55kb.
Вопросы к экзамену по математическому анализу математический анализ 1 43.5kb.
Зав кафедрой Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу 1 63.53kb.
Вопросы к экзамену по математическому анализу за первый курс первый... 1 38.72kb.
Вопросы по математическому анализу (1 – 2 семестры, информационные... 1 61.9kb.
Вопросы к зачету по математическому анализу 1 19.46kb.
Вопросы к экзамену по математическому анализу (1 семестр) 1 48.63kb.
Теоретические вопросы по математическому анализу (часть II) 1 34.4kb.
Программа для подготовки к экзамену по математическому анализу 1 31.67kb.
Примерная программа дисциплины «Математический анализ» 1 256.54kb.
Контрольная работа по математическому анализу 2 семестр Вариант 2... 1 95.56kb.
Программа курса информационные и коммуниккационные технологии в учебном... 1 261.3kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Экзаменационные вопросы по математическому анализу - страница №1/1

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ Вопросы по математическому анализу (2008-2009 уч.г.)
1-й семестр
Раздел I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Тема I.1. Функции и последовательности.

1) Основные понятия МА. Понятия переменной, функции и ее области определения. Способы задания функций: явная, неявная, параметрическая функции. Обратная и сложная функции. Декартовы координаты. График функции.

2) Уравнения прямой на плоскости. Общее уравнение прямой; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; уравнение прямой в отрезках на осях.

3) Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

4) Основные свойства функций: четность, монотонность, ограниченность, периодичность.

5) Последовательность. Ограниченные и монотонные последовательности. Точные грани.



Тема I.2. Пределы.

1) Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Эталонные последовательности и их пределы.

2). Предел функции. Односторонние пределы.

3) Бесконечно малые функции и их свойства.

4) Основные теоремы о пределах: связь предела и бесконечно малой функции, единственность предела, арифметические действия с пределами.

5) Основные пределы. Первый и второй замечательные пределы и следствия из них.

6) Эквивалентность функций. Теорема о замене функции в пределе на ей эквивалентную. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Тема I.3. Непрерывность функции.

1) Непрерывные функции и их свойства. Приращение функции и аргумента. Два определения непрерывности функции. Свойства непрерывных функций: арифметические операции, непрерывность сложной и обратной фукнции.

2) Точки разрыва и их классификация. Требования и к непрерывности функции. Точки разрыва 1 и 2 рода.

3) Основные теоремы о непрерывных функциях: сохранение знака непрерывной функции, Больцано-Коши, Вейерштрасса.



Тема I.4. Производная и дифференциал функции.

1) Производная. Понятие производной. Дифференцируемые функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

2) Геометрические приложения производной. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

3) Правила дифференцирования.

4) Производные сложной, обратной и параметрической функций.

5) Производные основных элементарных функций: таблица производных.

6) Дифференциал функции.

7) Производные и дифференциалы высших порядков.



Тема I.5. Применение производной для исследования функций.

1) Основные теоремы о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши, правило Лопиталя.

2) Интервалы монотонности функции. Достаточное условие монотонности.

3) Экстремумы функции. Точки максимума и минимума. Необходимое условие существования экстремума. Критические точки.

4) Достаточные условия существования экстремума.

5) Интервалы выпуклости и точки перегиба. Достаточное условие выпуклости. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.

6) Асимптоты и их классификация. Понятие асимптоты. Виды асимптот. Вычисление коэффициентов наклонной асимптоты.

Раздел II. Интегральное исчисление функций одной переменной.

Тема II.1. Комплексные числа.

1) Алгебраическая форма комплексного числа. Мнимая единица. Понятие комплексного числа. Вещественная и мнимая части комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

2) Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Полярные координаты. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

3) Экспоненциальная форма комплексного числа. Экспонента и логарифм комплексного числа. Формулы Эйлера и следствия из них.



Тема II.2. Первообразная и неопределенный интеграл.

1) Первообразная. Понятие первообразной. Теорема о первообразной постоянной величины. Основное свойство первообразной.

2) Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов от элементарных функций.

3) Метод замены переменных. Формула замены переменных в неопределенном интеграле.

4) Метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле и правила ее применения.

Тема II.3. Определенный интеграл.

1) Понятие определенного интеграла. Разбиение отрезка. Диаметр разбиения. Интегральная сумма. Определенные интеграл.

2) Формула Ньютона-Лейбница.

3) Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

4) Методы нахождения определенных интегралов. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Формула замены переменных в определенном интеграле.

5) Вычисление площадей плоских фигур: в декартовых координатах для явной и параметрической функций и в полярных координатах. 6) Объем тела вращения.

7) Длина дуги плоской кривой: в декартовых координатах для явной и параметрической функций и в полярных координатах.

8) Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

9) Несобственные интегралы: несобственный интеграл по бесконечному промежутку, несобственный интеграл от неограниченных функций.
2-й семестр

Раздел III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Тема III.1. Дифференцирование функций многих переменных.

1) Основные определения теории функции многих переменных. Понятие функции многих переменных (ФМП) и ее векторная форма записи. Область определения. Функция двух переменных и ее график.

2) Предел и непрерывность функций многих переменных.

3) Частные производные. Частные приращения функции. ЧП первого порядка функции двух переменных. Два вида обозначения ЧП.

4) Полный дифференциал ФМП. Полное приращение и дифференциал функции двух и многих переменных.

5) Дифференцирование сложных ФМП. Полная производная сложной функции двух переменных. Частные производные сложной функции двух переменных. Дифференцирование неявной функции.

6) Производные и дифференциалы высших порядков.

Тема III.2. Экстремумы функций многих переменных.

1) Локальный экстремум ФМП. Локальные максимумы и минимумы функции двух переменных. Необходимое условие существования локального экстремума. Стационарные точки.

2) Достаточное условие существования локального экстремума ФМП: общий случай и для функции двух переменных.

3) Условный экстремум. Уравнение связи. Понятие условных максимумов и минимумов функции двух переменных. Функция Лагранжа и метод неопределенных множителей Лагранжа.

4) Абсолютный экстремум. Понятия внутренних и граничных точек множества, границы множества, области. Теорема Вейерштрасса для ФМП. Необходимый признак существования абсолютного экстремума ФМП.

Тема III.3. Векторный анализ.


  1. Скалярные и векторные поля. Векторные и скалярные функции скалярного и векторного аргументов. Понятие поля как функции точки

  2. Производная по направлению.

  3. Градиент. Понятие градиента его свойства, различные формы его записи. Связь градиента с производной по направлению.

  4. Производная по направлению и градиент в трехмерном пространстве. Базис трехмерного пространства. Направляющие косинусы.

  5. Дивергенция векторного поля и ее свойства.

  6. Ротор векторного поля и его свойства.

  7. Оператор Лапласа его применение. Дифференциальные операции второго порядка. Уравнения математической физики.

  8. Решение волнового уравнения.

Раздел IV. Интегральное исчисление функций многих переменных.

Тема IV.1. Кратные интегралы.

1) Двойной интеграл в прямоугольной области. Разбиение прямоугольника. Двойная интегральная сумма. Интегрируемые функции на прямоугольнике.

2) Свойства двойного интеграла: линейность, формула сведения двойного интеграла к повторному, аддитивность по области интегрирования, теорема о среднем.

3) Двойной интеграл в произвольной области. Продолжение функции на прямоугольник. Интегрируемые функции по области.

4) Интегралы, зависящие от параметра и их дифференцирование.

5) Вычисление двойных интегралов в произвольной области. Формулы сведения двойного интеграла к повторному в общем случае.

6) Замена переменных в двойном интеграле: общий случай, в полярных координатах.

7) Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла. Масса поверхности.

8) Тройной интеграл по параллелепипеду. Разбиение параллелепипеда. Тройная интегральная сумма

9) Тройной интеграл и произвольной области. Теорема о среднем для тройного интеграла. Геометрический и физический смысл тройного интеграла.

10) Замена переменных в тройном интеграле: общий случай, в цилиндрических и сферических координатах.

Тема IV.2. Криволинейные интегралы.

1) Криволинейный интеграл 1-ого рода. Понятие кривой и способы ее задания. Разбиение кривой. Криволинейная интегральная сумма.

2) Вычисление КИ1Р: в случаях параметрически заданной кривой и плоской кривой, заданной явной функцией.

3) Свойства КИ1Р, его геометрический и физический смысл.

4) Криволинейный интеграл 2-ого рода. Ориентация кривой. КИ от векторной функции. Физический смысл КИ2Р. Циркуляция.

5) Вычисление КИ2Р. Формула сведения КИ2Р к определенному интегралу для параметрически заданной кривой. Вычисление для явной заданной кривой.

6) Формула Грина.

7) Потенциальные поля. Потенциал. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.



Тема IV.3. Поверхностные интегралы.

1) Поверхностные интегралы 1-ого рода. Способы задания поверхности. Разбиение поверхности. Поверхностная интегральная сумма.

2) Вычисление ПИ1Р.

3) Свойства, геометрический и физический смысл ПИ1Р.

4) Поверхностные интегралы 2-ого рода. Нормаль к поверхности, Ориентация поверхности. Элемент ориентированной поверхности. 5) Вычисление ПИ2Р.

5) Свойства и физический смысл ПИ2Р. Поток векторного поля.

6) Основные формулы векторного анализа. Формула Гаусса-Остроградского. Формула Стокса.

Раздел V. Ряды.

Тема V.1. Числовые ряды.

1) Основные понятия теории рядов. Числовые ряды. Сумма и остаток ряда.

2) Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда.

3) Признаки сравнения. Ряды с положительными членами. Признак сравнения в предельной форме. Эталонные ряды.

4) Признаки Даламбера и Коши.

5) Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.



Тема V.2. Функциональные и степенные ряды.

1) Функциональные ряды. Функциональные последовательности. Равномерная сходимость. Область сходимости.

2) Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда. Формулы Даламбера и Коши.

3) Ряды Тейлора. Формула Тейлора. Свойства рядов Тейлора.

4) Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций.

Тема V.3. Тригонометрические ряды Фурье.

1) Тригонометрическая система функций.

2) Понятие ряда Фурье 2-периодической функции. Сходимость ряда Фурье.

3) Ряды Фурье функции с периодом 2l на интервале [-l,l].

4) Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2l на произвольном интервале.

5) Ряды Фурье четных и нечетных функций.

6) Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

7) Комплексная форма ряда Фурье.



Литература:

  1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука. 1989.

  2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1989.

  3. Баврин И.И. Высшая математика. М.: Высш. Шк. 2001.

  4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.:Наука, 1989.