1.2
|
1.
|
|
Векторные и матричные нормы. Важнейшие векторные нормы в конечномерном пространстве.
|
1.3
|
2.
|
|
Теорема о свойствах индуцированной матричной нормы. Важнейшие матричные нормы.
|
1.4
|
3.
|
|
Число и степень обусловленности матрицы. Геометрическая интерпретация числа обусловленности.
|
1.5
|
4.
|
|
Теорема об оценивании погрешности решения СЛАУ. Плохо обусловленные системы.
|
2.6
|
5.
|
|
Транспонирование линейных операторов. Симметричные операторы и матрицы. Теорема о свойствах матриц и .
|
2.7
|
6.
|
|
Треугольные матрицы. Решение СЛАУ с треугольными матрицами.
|
3.1
|
7.
|
|
Решение СЛАУ при помощи метода Холецкого (метод квадратного корня). Алгоритм построения разложения .
|
3.3
|
8.
|
|
Метод LU-разложения без выбора ведущего элемента. Алгоритм построения разложения .
|
3.5
|
9.
|
|
Ортогональные операторы и матрицы; их свойства.
|
4.1
|
10.
|
|
Аффинные и евклидовы точечные пространства. Лемма о линейных комбинациях точек аффинного пространства. Сбалансированные и барицентрические комбинации точек.
|
4.2
|
11.
|
|
Аффинные и выпуклые оболочки точечных множеств в аффинных пространствах. Барицентрические координаты. Линейные многообразия и симплексы, их примеры.
|
4.3
|
12.
|
|
Аффинные отображения и их свойства. Барицентрическая матрица аффинного отображения.
|
4.4
|
13.
|
|
Теорема о линейном операторе, ассоциированном с аффинным отображением. Обратимые аффинные отображения. Изометрии.
|
4.5
|
14.
|
|
Системы отсчёта. Конфигурация абсолютно твёрдого тела и её барицентрическая матрица.
|
4.6
|
15.
|
|
Оператор ориентации абсолютно твёрдого тела; формулы для его компонент. Преобразование векторов и операторов с помощью оператора ориентации.
|
4.8
|
16.
|
|
Основная формула геометрии движения. Выражение декартовых координат полюса и компонент оператора ориентации через элементы барицентрической матрицы конфигурации тела.
|
5.2
|
17.
|
|
Простые кинематические цепи. Рекуррентные формулы для конфигураций и операторов ориентации звеньев. Вычисление радиус-вектора точки механизма с простой кинематической цепью.
|
6.1
|
18.
|
|
Антисимметричные линейные операторы и матрицы; их свойства.
|
6.2
|
19.
|
|
Теорема о соответствии между векторами и антисимметричными операторами в трёхмерном евклидовом пространстве. Оператор момента.
|
6.3
|
20.
|
|
Винт как характеристика системы скользящих векторов. Элементы приведения винта.
|
6.4
|
21.
|
|
Плюккеровы базисы и плюккеровы координаты в пространстве винтов. Операции над винтами; лемма о внутреннем произведении винтов. Силовой винт.
|
6.5
|
22.
|
|
Инварианты винта. Классификация винтов.
|
6.6
|
23.
|
|
Решение задачи о разложении вектора на параллельную и ортогональную составляющие.
|
6.7
|
24.
|
|
Ось винта. Теорема о стандартном представлении винта.
|
7.2
|
25.
|
|
Верзор абсолютно твёрдого тела и его блочное представление. Обращение верзора.
|
8.1
|
26.
|
|
Мультипликативная производная линейного оператора и её свойства.
|
8.2
|
27.
|
|
Оператор и вектор угловой скорости абсолютно твёрдого тела. Теорема об антисимметричности оператора угловой скорости.
|
9.1
|
28.
|
|
Кинематический винт и его элементы приведения для подвижного и неподвижного полюса. Инварианты кинематического винта и классификация мгновенных движений твёрдого тела.
|
9.2
|
29.
|
|
Стандартное разложение невырожденного винта и его кинематическая интерпретация. Оператор Клиффорда.
|
9.3
|
30.
|
|
Коммутатор и его свойства. Леммы о коммутаторах антисимметричных линейных операторов.
|
9.4
|
31.
|
|
Винтовые аффиноры. Теорема о блочном представлении винтового аффинора. Формулы преобразования элементов приведения винтового аффинора при смене полюса.
|
9.5
|
32.
|
|
Операторное представление винтов. Теорема о соответствии между винтами и блочно-антисимметричными винтовыми аффинорами.
|
9.7
|
33.
|
|
Кинематический аффинор абсолютно твёрдого тела. Теорема о связи между кинематическим аффинором и кинематическим винтом.
|
11.1
|
34.
|
|
Сравнение методов Гаусса и LU-разложения без выбора ведущего элемента. Элементарные нижние треугольные матрицы. Рекуррентные формулы для матриц и .
|
11.2
|
35.
|
|
Свойства элементарных нижних треугольных матриц.
|
11.5
|
36.
|
|
Пошаговая процедура получения элементов LU-разложения при частичном выборе ведущего элемента.
|
12.1
|
37.
|
|
Представление действительных чисел в ЭВМ. Машинное эпсилон и его свойства.
|
12.2
|
38.
|
|
Моделирование вычислительной погрешности в методе LU-разложения. Неравенство Рида (с выводом). Оценка Рида для элементов матрицы возмущения.
|
13.1
|
39.
|
|
Задача о диагонализации симметричной матрицы 2-го порядка ортогональным преобразованием подобия. Идея метода вращений Якоби.
|
13.3
|
40.
|
|
Теорема о сходимости метода вращений Якоби.
|
На экзамене нужно знать определения линейного оператора, его компонент, ядра и образа, а также определение вектора, изотропного относительно билинейного функционала (2.1–2.4).
Экзаменационные вопросы по курсу «вычислительная механика» - umotnas.ru o_O
