Экзамен по курсу «Дифференциальные уравнения» - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные... 1 204.65kb.
Задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. 1 35.75kb.
Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения» 1 18.76kb.
Вопросы по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения» 1 38.9kb.
Учебно-тематические планы лекционных занятий по курсу «Дифференциальные... 1 30.81kb.
Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов2 курса зик 1 18.36kb.
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» 1 225.73kb.
Шифр специальности: 01. 01. 02 Дифференциальные уравнения, динамические... 7 3314.12kb.
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения, часть ii» 1 278.54kb.
Вырождающиеся эллиптические уравнения и связанные с ними весовые... 1 171.56kb.
Вопрос ы к экзамену по курсаe «ладная синергетика» (2007 г. 1 34.55kb.
Программа вступительного экзамена по специальности 01. 01. 02 1 60.65kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Экзамен по курсу «Дифференциальные уравнения» - страница №1/1

Экзамен по курсу

«Дифференциальные уравнения»

2012-2013 уч. год,

группы ФИЗБ-О-11/1, РФ-О-11/1, МТМ-О-11/1
Общие замечания. 1. В билете будет 5 (пять) заданий. Студент получит отлично, если решит, изложит, защитит все пять заданий, хорошо – четыре задания, удовлетворительно – три, неудовлетворительно – два или меньше. Иногда студент просит другой билет. В таком случае он получит те же отметки, если из десяти заданий двух билетов ответит на 10, 8, 6, 4 соответственно.

2. В спорной ситуации студенту могут быть предложены дополнительные задачи и вопросы (в том числе и нерешённые им на контрольных работах). Их решения склонят чашу весов в сторону той или иной отметки.

3. Возможно повысить качество своего ответа, найдя и проработав самостоятельно опущенные в лекциях доказательства теорем.

4. Если в вопросе указано «примеры», «на примере», то примеры должны быть уникальными, а не повторяющими лекционное изложение.



5. Во всех задачах необходимо определить и назвать типы дифференциальных уравнений.
Вопросы к экзамену по курсу

«Дифференциальные уравнения»
I. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений.

  1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ) – примеры. Составление дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения теории ДУ.

  2. Геометрическая интерпретация обыкновенного ДУ 1-го порядка и его решения. Поле направлений. Метод изоклин. Исследование геометрических свойств решений.

  3. Задача Коши для ДУ 1-го порядка. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для ДУ 1-го порядка.

  4. Общие методы решения ДУ. Метод последовательных приближений Пикара. Разложение в степенные ряды.

  5. Общие методы решения ДУ. Метод изоклин. Численное интегрирование ДУ. Метод ломаных Эйлера.

II. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

  1. Уравнения 1-го порядка – различные виды записи. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

  2. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка и приводящиеся к ним.

  3. Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) 1-го порядка. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.

  4. Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) 1-го порядка. Метод Бернулли.

  5. Уравнения Бернулли. Метод Бернулли. Уравнения Риккати.

  6. Уравнения в полных дифференциалах. Два метода решения – на примерах.

  7. Интегрирующий множитель – на примерах.

  8. Уравнения 1-го порядка, неразрешённые относительно производной. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Интегрирование уравнений, неразрешённых относительно производной.

  9. Интегрирование уравнений, неразрешённых относительно производной. Уравнения Лагранжа. Уравнения Клеро.

  10. Нахождение особых решений ДУ. Особые точки, особые решения, p-дискриминантная и С-дискриминантная кривые. Огибающая однопараметрического семейства.

III. Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения высших порядков.

  1. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши. Понятие о краевых задачах.

  2. Понижение порядка дифференциальных уравнений – на примерах.

  3. Однородные линейные дифференциальные уравнения (ОЛДУ). Сохранение линейности и однородности уравнения.

  4. Свойства решений ОЛДУ.

  5. Линейная зависимость и независимость функций. Примеры. Определитель Вронского и случаи решения однородных линейных дифференциальных уравнений (ОЛДУ).

  6. Фундаментальные системы решений (ФСР) ОЛДУ.

  7. Свойства семейства решений ОЛДУ. Нахождение решений ОЛДУ. Формула Остроградского-Лиувилля.

  8. Интегрирование ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Характеристический многочлен. Случай простых корней.

  9. Интегрирование ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Характеристический многочлен. Случай кратных корней.

  10. Уравнение Эйлера и его интегрирование.

  11. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения (НЛДУ). Общее решение. Принцип суперпозиции.

  12. Метод вариации произвольных постоянных для решения НЛДУ.

  13. Интегрирование НЛДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью в виде многочлена.

  14. Интегрирование НЛДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью в виде квазимногочлена и гармоники.

  15. Интегрирование НЛДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью в виде гармоники. Метод комплексных амплитуд.

IV. Системы дифференциальных уравнений

  1. Понятие о системах ДУ. Типы систем ДУ. Основные определения, связанные с системами.

  2. Нормальная система ДУ. Формулировка начальных условий (задача Коши). Сведение канонических систем к нормальным – на примерах.

  3. Методы решений нормальной системы ДУ (сведение системы ДУ к одному уравнению высшего порядка, нахождение интегрируемых комбинаций).

  4. Методы решений нормальной системы ДУ (метод последовательных приближений Пикара, метод численного интегрирования Эйлера, разложение решения в степенной ряд, метод малого параметра).

  5. Интегрирование однородных линейных систем ДУ с постоянными коэффициентами. Решения однородных систем для различных корней характеристического уравнения.

  6. Автономные системы. Геометрия автономных систем 2-го порядка – фазовая плоскость, особые точки, траектории. Классификация особых точек и траекторий.

  7. Автономные системы 2-го порядка. Нахождение и определение типа особых точек линейных и нелинейных систем.


Темы задач к экзамену по курсу

«Дифференциальные уравнения»


  1. Текстовые задачи на составление дифференциальных уравнений по темам «Уравнения с разделяющимися переменными», «Однородные уравнения», «Линейные уравнения 1-го и 2-го порядков».

  2. Уравнения с разделяющимися переменными.

  3. Построение интегральных кривых методом изоклин.

  4. Исследование геометрических свойств решений.

  5. Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

  6. Однородные уравнения.

  7. Уравнения, сводящиеся к однородным уравнениям.

  8. Уравнения в полных дифференциалах.

  9. Интегрирующий множитель.

  10. Метод вариации произвольной постоянной для НЛДУ 1-го порядка и уравнения Бернулли.

  11. Метод Бернулли для НЛДУ 1-го порядка и уравнения Бернулли.

  12. Уравнение Риккати.

  13. Уравнения, неразрешённые относительно производной – случаи, описанные в лекции.

  14. Нахождение p- и C-дискриминантных кривых.

  15. Нахождение особых решений, в том числе с помощью p- и C-дискриминантных кривых.

  16. Понижение порядка уравнения – случаи, описанные в лекции.

  17. Решение ОЛДУ n-го порядка с помощью известного частного решения.

  18. Решение ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.

  19. Решение НЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

  20. Метод комплексных амплитуд.

  21. Исследование линейной зависимости/независимости функций. Определитель Вронского.

  22. Формула Остроградского-Лиувилля.

  23. Сведение системы ДУ к одному уравнению высшего порядка.

  24. Нахождение интегрируемых комбинаций системы ДУ.

  25. Метод последовательных приближений Пикара.

  26. Разложение решения ДУ или системы ДУ в степенной ряд.

  27. Метод малого параметра.

  28. Интегрирование однородных линейных систем ДУ с постоянными коэффициентами.

  29. Нахождение и определение типа особых точек линейных и нелинейных автономных систем 2-го порядка.


Примеры дополнительных вопросов к экзамену по курсу «Дифференциальные уравнения»
Вопросы первой группы:

Что такое разделение переменных?

В чем состоит задача Коши?

В чем состоит краевая задача?

Записать уравнение в нормальной форме.

Какое решение ДУ называется общим, частным, особым?

Уравнение Бернулли и методы его решения.

Уравнение Риккати и методы его решения.

ДУ в полных дифференциалах и методы его решения.

Что такое интегрирующий множитель?

В чем состоит метод вариации произвольных постоянных?

Записать линейное ДУ n-го порядка.

Уравнение Эйлера и метод его решения.

Характеристическое уравнение для ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Отличия общих, канонической, нормальной, автономной систем ДУ.

Классификация особых точек автономных систем ДУ.



Вопросы второй группы:

Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для ДУ.

Уравнение Лагранжа и методы его решения.

Записать тождество Эйлера для ДУ в полных дифференциалах.

Записать вронскиан для ДУ n-го порядка.

Условия линейной независимости частных решений ДУ n-го порядка.



Что такое фундаментальная система решений?
Литература

  1. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

  2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. – Любое издание.

  3. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. – 368 с.

  4. Пономарёв К. К. Составление дифференциальных уравнений. – Минск: Вышэйшая школа, 1973. – 560 с.

  5. Еругин Н. П. Книга по чтению по общему курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука и техника, 1979. – 744 с.

  6. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Изд-во МГУ, 1984.

  7. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. – М.: Высшая школа, 1989. – 383 с.

  8. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: РХД, 2000. – 176 с.

  9. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчёты). – М.: Высшая школа, 1983. – 175 с.


Составил доцент В. В. Самойлов