Доклад на Конгрессе-2006 «Фундаментальные проблемы естествознания и техники»

Область ДЕЙСТВИЯ теории относительности

ОГРАНИЧЕНА КЛАССИЧЕСКОЙ ТОЧЕЧНой ЧАСТИЦеЙ

О неэквивалентности инерциальных систем отсчета

В.П. Олейник

Department of General and Theoretical Physics,

National Technical University of Ukraine "Kiev Polytechnic Institute"

Prospect Pobedy 37, Kiev, 03056, Ukraine; e-mail: kinielolav@ukr.net
Доклад на Конгрессе-2006 «Фундаментальные проблемы естествознания и техники»,

Санкт-Петербург, 14-19 августа 2006. Труды Конгресса-2006 «Фундаментальные проблемы естествознания и техники», Часть 1, Санкт-Петербург, с.277-297, 2006.

Физика сознания и жизни, космология и астрофизика, №2, с.20-42, 2006.
Аннотация. Дан детальный анализ проблемы неэквивалентности движущихся друг относительно друга инерциальных систем отсчета (ИСО) в отношении как классических, так и квантовых физических систем. Суть этой проблемы состоит в том, что времена, входящие в уравнения движения в различных ИСО, могут существенно отличаться от времен, которые входят в преобразования Лоренца, связывающие между собой пространственно-временные координаты систем отсчета. Указанное различие исчезает лишь в случае простейшей физической системы - классической точечной частицы, взаимодействующей с произвольным силовым полем, и по этой причине область применимости специальной теории относительности сводится к классической одночастичной системе. Показано, что из локальных времен, в которые переходит глобальное время при преобразованиях Лоренца, невозможно сконструировать глобальное время в той ИСО, в которую совершается переход. Дано строгое рассмотрение проблемы неэквивалентности ИСО в случае квантовой частицы. Показано, что выводы теории в отношении неэквивалентности ИСО можно проверить опытным путем в экспериментах по испусканию фотонов электронным пучком во внешнем электромагнитном поле. Рассмотрена связь между глобальными временами в движущихся друг относительно друга ИСО в случае классической точечной частицы. Обсуждается явление локальной динамической неоднородности времени, возникающее при движении классической частицы в силовом поле. Отмечается, что в релятивистской механике сила является причиной не только ускорения частицы относительно ИСО, но и причиной изменения хода времени вдоль траектории движения частицы, - в этом состоит физическое содержание динамического принципа, лежащего в основе релятивистской механики. Согласно полученным результатам, в рамках одночастичного подхода лоренцево сокращение длины отрезка следует из преобразований Лоренца лишь в предположении, что классическая точечная частица способна двигаться по траектории со сверхсветовой скоростью. Ключевые слова: неэквивалентность инерциальных систем отсчета, принцип относительности, теория относительности, динамический принцип, глобальное и локальное время, динамическая неоднородность времени, относительный ход времени, управление ходом времени.

Введение

Принято считать, что специальная теория относительности (СТО) [1-4], подобно механике Ньютона, является всеобщей, универсальной физической теорией, которая описывает поведение физических систем в инерциальных системах отсчета (ИСО), движущихся друг относительно друга. Данная работа, завершающая цикл наших исследований [5-7], выполненных по случаю столетнего юбилея СТО, определяет границы применимости СТО.

Согласно результатам работ [6-9], из релятивистской инвариантности уравнений динамики не следует физическая эквивалентность ИСО. Это означает, что физическое содержание принципа относительности оказывается существенно более узким, чем принимается в современной физике. Поскольку принцип относительности лежит в основе СТО, то возникает необходимость в детальном анализе области ее применимости.

Главное содержание настоящей работы состоит в доказательстве того, что принцип относительности, понимаемый как утверждение о физической эквивалентности ИСО, справедлив лишь в отношении классической одночастичной системы. Вследствие этого, областью применимости СТО является лишь классическая точечная частица.

Следует подчеркнуть, что наши выводы касаются лишь той части релятивистской механики и электродинамики, включая квантовую теорию, в которой на основе принципа относительности описываются физические явления и процессы, происходящие в движущихся друг относительно друга ИСО. Как нам представляется, существующая ныне теоретическая схема описания динамики способна правильно описать физические явления и процессы, происходящие в каждой фиксированной ИСО, при условии, что должным образом учтены эффекты самоорганизации материи, т.е. учтены информационные поля, способные передавать возмущение со сверхсветовой скоростью [5, 9-18].

Впервые на неэквивалентность ИСО, движущихся друг относительно друга, указано в работе [8] (1978 г.). Предсказанный в этой работе эффект относительности квантовых процессов является следствием неэквивалентности ИСО. Эффект состоит в том, что при выполнении некоторых условий результаты экспериментов по рассеянию частиц, полученные независимо в двух ИСО находящимися в них наблюдателями и пересчитанные с помощью лоренцевых преобразований в одну систему отсчета, оказываются различными (при одинаковых начальных состояниях в рассматриваемом процессе рассеяния).

Ввиду того, что понятие инерциальной системы отсчета относится к числу фундаментальных понятий физики, проблема неэквивалентности ИСО, сформулированная в [7,8], заслуживает самого пристального внимания. Суть этой проблемы состоит в том, что времена и , входящие в уравнения движения в инерциальных системах отсчета и , движущихся друг относительно друга (эти времена мы называем глобальными), могут существенно отличаться от времен и , входящих в преобразования Лоренца, связывающие между собой пространственно-временные координаты этих систем отсчета (эти времена мы называем локальными). В системе из нескольких классических точечных частиц при переходе из системы отсчета с глобальным временем в систему отсчета время расщепляется на локальные времена, число которых равно числу частиц в системе. В случае квантовой частицы ситуация становится еще более сложной [7]: при преобразованиях Лоренца каждый момент глобального времени расщепляется на бесконечно большое число локальных времен, относящихся к различным точкам пространства. И только в классической системе, состоящей из одной точечной частицы, как доказано в данной работе, времена и , входящие в уравнения движения, не отличаются от времен, фигурирующих в преобразованиях Лоренца.

Формально физическое состояние системы можно описать и на языке локальных времен отдельных частиц либо отдельных точек пространства. Однако такое описание неудовлетворительно с физической точки зрения, так как оно не позволяет получить аддитивные сохраняющиеся величины, представляющие с точки зрения физики особый интерес. Действительно, перейдя из ИСО с глобальным временем в любую другую ИСО, движущуюся относительно исходной, мы приходим к ситуации, когда каждая частица характеризуется своим локальным временем и начальные условия для различных частиц относятся к различным моментам времени. В этих условиях невозможно определить такие аддитивные величины, как энергию, импульс, момент импульса всей системы и, следовательно, невозможно получить законы сохранения этих величин, содержащие важную физическую информацию о поведении исследуемой системы. Поэтому описание физической системы на языке глобального времени кардинально отличается от описания, использующего локальные времена. Способ описания динамики в терминах локальных времен носит, очевидно, чисто формальный характер и не имеет физического значения.

Перейдя из системы отсчета с глобальным временем в систему отсчета , мы получаем описание состояния физической системы на языке локальных времен . Однако реальный наблюдатель, находящийся в системе отсчета , оперирует не с локальным временем , а с глобальным , на языке которого только и можно описать развитие физической системы в соответствии с уравнениями движения и которое существенно отличается от . Поэтому описание физической системы на языке локальных времен, получающееся в результате преобразований Лоренца, не является физическим и не имеет отношения к реальности. Суть дела состоит в том, что подобное описание отражает “точку зрения” некоторого фиктивного, воображаемого наблюдателя, не существующего в природе, “точку зрения”, которая существенно отличается от точки зрения реального наблюдателя [6].

Неравноправие ИСО, движущихся друг относительно друга, проистекает из-за того, что время в каждой инерциальной системе отсчета играет двоякую роль. С одной стороны, время является параметром, определяющим развитие физической системы согласно уравнениям динамики и не зависящим от пространственных координат, а, с другой, время – это четвертая координата, которая вместе с пространственными координатами образует единое целое – 4-мерное пространство-время с псевдоевклидовой метрикой. Иными словами, возникает коллизия: на языке времени как величины, не зависящей от пространственных координат, реализуется динамический принцип, и вместе с тем время неотделимо от пространства, перепутываясь с пространственными координатами при переходе из одной ИСО в другую. Неэквивалентность ИСО следует из невозможности согласовать динамический принцип и преобразования Лоренца, выражающие собой неразрывную связь пространства и времени, в случае произвольной физической системы. Исключением оказывается лишь самый простой случай – классическая система, состоящая из одной-единственной точечной частицы. Двойственная природа времени, проявляющаяся в коллизии физических и геометрических свойств, приводит к тому, что глобальное время в каждой ИСО выделяет ее среди всех других систем отсчета, движущихся относительно нее равномерно и прямолинейно.

Перечислим основные результаты, изложенные в последующих разделах работы.

В разделе 2 на примере квантовой частицы показано, что из локальных времен, в которые переходит глобальное время исходной ИСО при преобразованиях Лоренца, невозможно сконструировать глобальное время в той ИСО, в которую совершается переход. Этот результат свидетельствует о том, что движущиеся друг относительно друга ИСО существенно различаются между собой по своим физическим свойствам.

Строгое рассмотрение проблемы неэквивалентности ИСО в случае свободной квантовой частицы содержится в разделе 3. Состояние частицы описывается волновыми функциями и , подчиняющимися уравнению Дирака и заданному начальному условию, в инерциальных системах отсчета и , движущихся друг относительно друга. Дана сравнительная характеристика состояний и , а также состояний и , где состояния и являются отображениями состояний и в системы отсчета и , соответственно. Анализ состояний частицы и их отображений показывает, что между волновыми функциями частицы и их отображениями имеется существенное различие, означающее физическую неэквивалентность систем отсчета и .

В разделе 4 исследованы квантовые переходы частицы под действием внешнего поля. Здесь показано, что неэквивалентность ИСО можно обнаружить опытным путем при исследовании квантовых процессов первого порядка по внешнему полю. Этот вывод существенно дополняет наши результаты, полученные в [8,9], где впервые указывалось на возможность экспериментального изучения неэквивалентности ИСО с помощью эффектов второго порядка. Как явствует из полученных результатов, различие между состоянием частиц и его отображением приводит к различным частотным спектрам фотонов, испускаемых электронным волновым пакетом, взаимодействующим с внешним полем. Предсказания теории можно проверить в экспериментах по излучению фотонов электронным пучком, проведенных в движущихся друг относительно друга ИСО.

Раздел 5 посвящен доказательству того, что в случае классической точечной частицы ИСО физически эквивалентны. Равноправие ИСО в случае классической одночастичной системы обусловлено тем, что в этом случае не происходит расщепления глобального времени при переходе из одной ИСО в другую.

Связь между глобальными временами в движущихся друг относительно друга ИСО в случае классической точечной частицы рассмотрена в разделе 6. Здесь обсуждается явление локальной динамической неоднородности времени [18-23], физическая сущность которого состоит в том, что течение времени вдоль траектории движения частицы в движущихся друг относительно друга ИСО зависит от характера движения частицы под действием силового поля. Физическое содержание динамического принципа, лежащего в основе релятивистской механики, формулируется следующим образом: сила в релятивистской механике является не только причиной ускорения частицы относительно инерциальной системы отсчета, но и причиной изменения хода времени вдоль траектории движения частицы [24]. Отмечается, что существование зависимости хода времени от состояния движения частицы в силовом поле указывает на реальную возможность управления ходом времени с помощью физических полей [23].

В разделе 7 обсуждается лоренцево сокращение длины отрезка. Отмечается, что формулу для лоренцева сокращения длины можно вывести в рамках одночастичного подхода, лишь допустив, что классическая точечная частица может двигаться по траектории со сверхсветовой скоростью.

В Заключении формулируются основные выводы работы и отмечается, что исследования по созданию метода, систем и средств сверхсветовой коммуникации и по изучению физических свойств времени являются стратегически важными с точки зрения общественного развития.

В работе рассматриваются инерциальные системы отсчета и и предполагается, что система отсчета движется относительно системы отсчета со скоростью вдоль оси в ее положительном направлении, декартовы координаты в системах отсчета и ориентированы таким образом, что оси и совпадают, а оси и параллельны осям и . Системы отсчета и связаны между собой преобразованиями Лоренца:

. (1)

2. Можно ли сконструировать глобальное время, исходя из локальных времен?
Как показано в [7], при преобразованиях Лоренца применительно к квантовой частице каждый момент глобального времени исходной ИСО расщепляется на несчетное множество локальных времен в той ИСО, в которую совершается переход. Вследствие этого, СТО не может в принципе описать движение квантовой частицы.

Возникает следующий вопрос. Применив преобразования Лоренца к ИСО с глобальным временем , мы переходим в ИСО с локальными временами , зависящими от пространственных координат (). Нельзя ли сконструировать непротиворечивым образом, в случае поля квантовой частицы, из величин и такой параметр , который играл бы роль глобального времени в ИСО ?

Исходя из ИСО с глобальным временем , перейдем в ИСО в соответствии с преобразованиями Лоренца (1), которые удобно записать в виде (выписываем формулы только для координат, изменяющихся при преобразованиях):

(2)

Обратные преобразования Лоренца

запишем в виде:

(3)

Из (3) видно, что - локальное время, которое слагается из локальной компоненты, , и глобальной компоненты, (последняя величина является глобальной компонентой времени в силу того, что - глобальное время в системе отсчета ). Величины и , стоящие в правых частях формул (3), будем искать в следующей форме:

(4)

где и - глобальное время и координата в ИСО , и - постоянные, подлежащие определению. Очевидно, что параметр будет глобальным временем в , если выполнится равенство

, (5)

где . С помощью (4) выводим:

Подстановка последнего соотношения в (5) дает:

Это значит, в силу (4), что . Следовательно, глобальное время можно ввести лишь в тривиальном случае: при условии, что система отсчета совпадает с .

Нетрудно проверить, что этот вывод остается справедливым и в отношении системы, состоящей из классических точечных частиц.
3. Неэквивалентность ИСО в случае квантовой частицы^¹
Неэквивалентность инерциальных систем отсчета и , движущихся друг относительно друга, проиллюстрируем на примере свободной квантовой частицы, волновая функция которой подчиняется уравнению Дирака и заданному начальному условию. С этой целью исследуем поведение квантовой частицы с точки зрения независимых друг от друга наблюдателей, находящихся в системах отсчета и . Затем, преобразовав результаты, полученные -наблюдателем, в систему отсчета , сравним эти результаты с теми, которые получены независимо -наблюдателем. Аналогичное сравнение выполним и при преобразовании результатов, полученных -наблюдателем, в систему отсчета .

Обозначим через волновую функцию частицы в системе отсчета . Функция удовлетворяет уравнению Дирака и начальному условию , где - волновая функция, описывающая начальное состояние квантовой частицы в момент глобального времени в системе отсчета . Явное выражение для волновой функции можно получить, используя соотношение

где - перестановочная функция свободного электронного поля [7],

. (6)

В качестве начального состояния частицы используем волновой пакет

(7)

где - биспинор, . Очевидно, что функцию можно представить в виде

. (8)

С помощью преобразований Лоренца , - матрица преобразований Лоренца, перейдем из исходной системы отсчета в систему отсчета . Волновой функции в новой системе отсчета соответствует функция [25]

, (9)

где оператор определяется равенствами . Подстановка (8) в (9) приводит после несложных преобразований к следующей формуле (см. [7]):

, (10)

где - перестановочная функция свободного электронного поля в системе отсчета , ,

. (11)

Функция описывает частицу с точки зрения -наблюдателя при условии, что в системе отсчета состояние частицы описывается волновой функцией . С другой стороны, если -наблюдатель исследует движение свободной квантовой частицы независимо от -наблюдателя, то он описывает частицу волновой функцией , которая удовлетворяет уравнению Дирака в системе отсчета , , и начальному условию в некоторый момент глобального времени . Поскольку речь идет об одном и том же состоянии частицы, описываемом в различных системах отсчета, то -наблюдатель использует следующее начальное условие:

, (12)

где функция определена равенством (11). Волновую функцию можно записать в следующей форме (ср. с (8)):

, (13)

где . Отметим, что равенства (8) и (13) совпадают по форме: если в (13) опустить штрихи, то получится соотношение, в точности совпадающее с соотношением (8), как и должно быть в силу того, что наблюдатели и , находящиеся в различных инерциальных системах отсчета, совершенно равноправны между собой. Следует подчеркнуть, что времена и , входящие в (8) и (13), представляют собой глобальные времена в системах отсчета и , соответственно.

Аналогичным образом волновой функции (13) соответствует в системе отсчета функция , которую можно преобразовать к виду:

. (14)

В соотношениях (10) и (14), которые совпадают между собой по форме, времена и являются локальными в системах отсчета и , соответственно.

Подчеркнем, что если бы системы отсчета и были физически эквивалентными, то выполнялись бы равенства:

.

Чтобы ответить на вопрос, справедливы ли эти равенства в действительности, сопоставим выражения (8) и (14), (10) и (13).

Вследствие того, что 4-векторы в (10) и в (8) связаны между собой преобразованиями Лоренца, причем - глобальное время в системе отсчета , время в (10) является локальным. Это приводит к тому, что если -наблюдатель рассматривает эволюцию состояния частицы вперед во времени, начиная с момента , , то в системе отсчета это условие имеет вид: и , следовательно, время может течь как в прямом направлении, так и в обратном, в зависимости от интересующей нас области на оси . Более того, если развитие квантового состояния в системе отсчета происходит в интервале глобального времени , где - бесконечно малая величина, то время , отвечающее этому интервалу в соответствии с преобразованиями Лоренца, изменяется на всей числовой оси: . Вместе с тем следует подчеркнуть, что хотя время в формуле (10) является локальным, волновая функция формально подчиняется тому же уравнению Дирака в системе отсчета , что и функция .

В работе [7] отмечалось, что между функциями и , как и между и , имеется существенное физическое различие. Волновая функция описывает реальное, физическое состояние частицы в системе отсчета , т.е. такое состояние, которое -наблюдатель может приготовить и исследовать. А волновая функция , будучи отображением состояния в систему отсчета , описывает виртуальное состояние. Это состояние не может быть приготовлено непосредственно -наблюдателем, но по этому состоянию -наблюдатель судит о том, какие физические процессы протекают в системе отсчета . Аналогично состояние (14) служит отображением состояния (13) в систему отсчета и является виртуальным состоянием в системе отсчета , в отличие от реального состояния . Отметим, что функции и формально подчиняются одному и тому же уравнению Дирака.

Более полную сравнительную характеристику состояний типа и , а также и , могут дать явные выражения для волновых функций этих состояний, полученные для начальных состояний (7) и (11).

Прежде всего, приведем выражение для волновой функции (8). Используя (6) и (7) и выполняя элементарные преобразования, получим:

(15)

где

. (16)

Из (15) следует, что волновая функция подчиняется уравнению Дирака и требуемому начальному условию.

Функцию можно вычислить двумя способами: либо по формуле (9), используя выражение (15), либо непосредственно по формуле (10). Оба способа вычисления дают, как и должно быть, одинаковый результат:

(17)

Здесь использованы преобразования Лоренца (1) и введены обозначения:

(18)

Аналогично вычисляются функции (13) и (14). Приведем окончательные формулы:

(19)

(20)

Сравним между собой приведенные выше выражения для волновых функций.

Как видно из (17) и (19), ввиду того, что выполняются равенства и , функции и подчиняются формально одному и тому же уравнению Дирака: Это обстоятельство позволяет -наблюдателю, не покидая системы отсчета , выяснить, что происходит с квантовой частицей в системе отсчета . Как уже отмечалось нами ранее, -наблюдатель анализирует движение квантовой частицы в системе отсчета не по волновой функции непосредственно, а по ее отображению в системе отсчета , т.е. по функции (9). Но так как обе функции, и , подчиняются одному и тому же динамическому уравнению, то -наблюдатель не имеет возможности отличить время , входящее в , от времени , входящего в . Оба эти времени он рассматривает на равных основаниях – как глобальное время в системе отсчета . Согласно (19), функция подчиняется условию , где - момент глобального времени в системе отсчета . Что же касается функции , то из соотношений (17) видно, что не существует такого момента глобального времени в системе отсчета , чтобы выполнилось начальное условие: . Согласно (17), функция подчиняется начальному условию вида: , которое отвечает моменту локального времени в системе отсчета , определяемому равенством . Функции (15) и (20) также подчиняются одному и тому же динамическому уравнению, но существенно различным начальным условиям.

Обратим внимание на следующую особенность волновых функций: функции и представляют собой суперпозиции экспонент и , соответственно, а функции и - суперпозиции экспонент и , соответственно. Как видно из приведенных экспонент, если функции и обладают сферической симметрией, то функции и - аксиальной симметрией с осью симметрии, направленной вдоль направления относительного движения систем отсчета и . Различие между указанными функциями по свойствам симметрии обусловлено тем, что времена в формуле (10) и в (14) являются локальными, а эти же времена в формулах (8) и (13) – глобальными. Важно также иметь в виду, что 4-векторы и , согласно (16) и (20), отличаются между собой поведением пространственных компонент: но причем . Эта особенность 4-векторов позволяет проверить опытным путем выводы теории относительно неэквивалентности ИСО (см. раздел 4).

Таким образом, хотя функции и формально подчиняются одному и тому же динамическому уравнению, различие между ними весьма существенно: они удовлетворяют различным начальным условиям и обладают различными свойствами симметрии. Это же справедливо и в отношении функций и . Полученные результаты доказывают, что в отношении свободной квантовой частицы движущиеся друг относительно друга ИСО физически неэквивалентны, неравноправны. Очевидно, что этот вывод остается справедливым для любой системы заряженных квантовых частиц, взаимодействующих с электромагнитным полем.

4. Квантовые переходы во внешнем поле
Неэквивалентность инерциальных систем отсчета можно обнаружить в экспериментах по рассеянию частиц. Впервые на возможность экспериментальной проверки неэквивалентности ИСО мы обратили внимание в 1978 г. в работе [8]. Здесь было показано, что неэквивалентность ИСО можно зарегистрировать, исследуя процесс испускания фотона электроном во внешнем поле, деформирующем энергетический спектр электрона. Очевидно, что амплитуда вероятности этого процесса является, строго говоря, величиной второго порядка по внешнему полю, поскольку смещение уровней энергии электрона под действием возмущения – эффект второго порядка по возмущению. В данном разделе показано, что неэквивалентность инерциальных систем отсчета можно обнаружить уже в процессах первого порядка по внешнему полю, если в качестве волновой функции электрона в начальном состоянии использовать волновые пакеты.

Рассмотрим квантовые переходы электрона, происходящие под действием внешнего поля, с точки зрения двух наблюдателей, находящихся в движущихся друг относительно друга ИСО и . Внешнее поле, действующее на частицу, описывается 4-потенциалами в системе отсчета и в системе отсчета , где - матрица лоренцева преобразования:. Обозначим через и волновые функции частицы в системах отсчета и , соответственно. Волновая функция подчиняется уравнению Дирака и начальному условию (- заряд электрона):

. (21)

Аналогично определяется волновая функция :

. (22)

Здесь и - начальные моменты глобального времени в системах отсчета и .

Нас интересует описание движения одной и той же квантовой системы в двух различных ИСО. Поэтому на функции и , определяющие начальные условия, накладываем условие связи (11). Очевидно, что волновые функции и , определенные динамическими уравнениями и начальными условиями (21) и (22) и условием связи (11), описывают одно и то же состояние квантовой системы с точки зрения наблюдателей в системах отсчета и , соответственно.

Рассмотрим отображение волновой функции в систему отсчета , т.е. функцию

. (23)

Если бы системы отсчета и были эквивалентными, то выполнялось бы равенство: . Как видно из результатов предыдущего раздела, это равенство не выполняется уже в отсутствие внешнего поля. В данном разделе мы покажем, что функции и приводят к различным частотным спектрам фотонов, испущенных электроном во внешнем поле

, (24)

где - амплитуда потенциала электромагнитной волны с волновым 4-вектором , множитель учитывает адиабатически медленное включение и выключение внешнего поля. В качестве волновой функции электрона в начальном состоянии используется волновой пакет (7).

Амплитуду вероятности испускания фотона электроном в состоянии в системе отсчета запишем в виде [9]:

(25)

где и - 4-вектор поляризации и волновой 4-вектор фотона, испускаемого электроном; и - моменты времени, отвечающие включению и отключению взаимодействия, вызывающего квантовый переход; в конце расчета выполняется предельный переход: ; - решение уравнения Дирака во внешнем поле , подчиняющееся условию

при , (26)

- волновая функция свободного электрона, - квантовые числа: импульс, спиновый индекс, знак частотности состояния, - биспинор, .

Волновые функции и , подчиняющиеся указанным выше условиям, могут быть найдены с помощью запаздывающей функции Грина электрона в поле [9]:

(27)

Волновые функции разложим в ряды теории возмущений по внешнему полю, ограничиваясь лишь членами первого порядка. Соответствующие разложения проще всего получить с помощью интегрального уравнения

где - гриновская функция свободного электрона. Учитывая соотношение

где - перестановочная функция свободного электронного поля (6), после несложных преобразований получаем искомые выражения для волновых функций (27):

(28)

(29)

Опуская несложные выкладки, приведем окончательные формулы для и (выражение для дается формулами (15) и (16) при ):

(30)

(31)

В последних формулах опущены слагаемые, которые при обращаются в нуль из-за наличия множителя в 4-потенциале (24).

Подстановка волновых функций в амплитуду вероятности (25) и последующее интегрирование по координатам и времени приводят после перехода к пределу к следующему закону сохранения энергии и импульса:

. (32)

Для простоты рассмотрим лишь случай и оставим в (32) верхний знак. Возведя обе части последнего равенства в квадрат и исключая из полученного выражения 4-вектор с помощью закона сохранения, получаем соотношение

. (33)

Из (33) вытекает следующая формула для частоты фотона, испущенного электроном (при ):

, (34)

где - угол между волновыми векторами и .

Теперь необходимо вычислить волновую функцию , определенную уравнением и начальным условием (22), и ее отображение в систему отсчета , т.е. функцию , определенную формулой (23), и затем вычислить матричный элемент (25), в котором функция заменена на функцию (обозначим этот матричный элемент через ). Функцию можно записать в виде, аналогичном (28):

.

Указанные вычисления проводятся совершенно аналогично тем, которые были выполнены выше при получении и , и поэтому мы их не приводим. Поскольку нас интересуют лишь законы сохранения энергии и импульса, то имеет значение только зависимость компонент и волновой функции от . Приведем эту зависимость: компонента содержит экспоненту , см.(20), вместо экспоненты , которая содержится в (15); а компонента содержит вместо , содержащейся в (30). Здесь используются обозначения: (см. (19) и (20)).

Отсюда следует, что амплитуда вероятности приводит к закону сохранения (32), в котором нужно выполнить замену , т.е. получается закон сохранения вида

. (35)

Из (35) получается следующее равенство, аналогичное (33):

, (36)

где через обозначен 4-импульс испускаемого фотона, соответствующий амплитуде вероятности .

При вычислении частоты следует учесть, что см. (18), где - 4-вектор, входящий в функцию (7), определяющую начальное состояние электрона. Приведем формулу для при (4-вектор при имеет следующие компоненты: ):

, (37)

где и углы между осью и векторами и , - угол между векторами и . Отметим, что формула (37) совпадает с (34), т.е. , при . При и имеет место равенство

при . (38)

Согласно (34), (37) и (38), различие между волновыми функциями и приводит к различным частотным спектрам фотонов, испущенных электронным волновым пакетом, взаимодействующим с полем электромагнитной волны (24). Разъясним более подробно физический смысл полученных результатов.

Если -наблюдатель ставит в своей системе отсчета эксперимент по испусканию фотонов электронным волновым пакетом во внешнем поле, то его детектор регистрирует фотоны, частоты которых определяются законами сохранения энергии и импульса (32) и даются формулой (34) (при . С другой стороны, если -наблюдатель ставит аналогичный эксперимент, независимо от -наблюдателя, используя в качестве электронного волнового пакета (11), то его детектор зарегистрирует фотоны, частотный спектр которых определится законами сохранения, аналогичными (32):

, (39)

где все штрихованные 4-векторы имеют в системе отсчета тот же смысл, что и нештрихованные в (32). Суть дела состоит в том, что . Это означает, что при переходе из системы отсчета в систему отсчета согласно преобразованиям Лоренца 4-вектор из (39) переходит не в 4-вектор из (32), как должно было бы быть в случае эквивалентности инерциальных систем отсчета, а в 4-вектор , отличающийся от (ср. с [8]). Поэтому законы сохранения (39) переходят в (35), а не в (32), и приводят к частотам фотонов , отличающимся от частот (ср. (34) и (37)).

Различие между частотами и свидетельствует, таким образом, о неэквивалентности инерциальных систем отсчета и . Как видно из представленных результатов, рассмотренное явление можно зарегистрировать на опыте, проведя эксперименты по излучению фотонов электронами в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета. Существенно при этом, что электронные волновые пакеты, отвечающие начальному состоянию электронных пучков, должны подчиняться условию (11).

следующая страница >>