«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и кратные интегралы» - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Функции нескольких переменных 1 214.67kb.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных > Метрические... 2 289.53kb.
Учебная программа курса «Математический анализ» 1 348.48kb.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1 21.56kb.
Конспект лекций часть 2 Содержание: Дифференциальное исчисление функций... 4 1079.46kb.
Методические указания по темам «Элементы теории функций. Комплексные... 3 655.63kb.
Вопросы по алгебре (2 семестр) 1 29.14kb.
Функции нескольких переменных. Основные определения и понятия. 1 44.21kb.
«Интегральное исчисление функций одной переменной» 1 103.31kb.
Рабочей программы дисциплины Кратные интегралы и ряды Место дисциплины... 1 28.18kb.
Определение возможных значений нелинейности булевых функций многих... 1 23.38kb.
Теоретические вопросы по математическому анализу (часть II) 1 34.4kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и кратные интегралы» - страница №2/2

Тема: «Элементы теории поля»

Краткая теория и методические указания

к выполнению контрольных заданий


  1. Скалярное поле, градиент, производная по направлению.

Задана функция в области D (задано скалярное поле в области D) и точка в области D.

    1. Градиентом функции называется вектор ; – частные производные функции z по x и по y. Направление вектора градиента в точке – это направление наискорейшего возрастания поля в этой точке, а модуль вектора градиента – величина максимальной скорости возрастания. Модуль (длина) градиента . Направляющие косинусы градиента , , где и – углы вектора с осями х и у.

    2. Производная от функции в точке по направлению вектора вычисляется по формуле , где – значения частных производных в точке А; – направляющие косинусы вектора . Модуль вектора . Значение – это скорость изменения поля в направлении вектора , если > 0, то поле возрастает, если < 0, то поле убывает.

2) Криволинейные интегралы вдоль кривой от точки до точки .

2.1) Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода) применяется, в частности, для

вычисления массы или заряда, распределенных по кривой с плотностью

2.2) Криволинейный интеграл по координатам (II рода) применяется, в частности, для

расчета работы силового поля при перемещении мате-

риальной точки по кривой



2.3) Вычисление криволинейных интегралов сводится к вычислению определенных ин-

теграллов.

Дифференциал длины дуги ;

2.3.1) Пусть кривая задана параметрически

Тогда ,







,

где и - значения параметра, соответствующие точкам и линии .

2.3.2) Пусть уравнение линии задано .

Тогда .





,

где и - абсциссы точек и линии .

2.3.3) Криволинейный интеграл по координатам

можно записать в виде криволинейного интеграла по длине дуги, так как



, , где и - косинусы углов вектора, касательно-

го к линии , соответственно с осью и осью (направляющие косинусы).

2.3.4) Криволинейные интегралы от функции 3-х переменных по пространственной линии.

Тогда - плотность массы (заряда) и вектор силового поля



являются функциями трех переменных .

Вычисление криволинейных интегралов сводится к вычислению определенных интег-

ралов.

Если кривая задана параметрическими уравнениями: , то



, ,





,

где и значения параметра , соответствующее начальной и конечной точ-

кам кривой .

3. Поверхностные интегралы.

3.1. Поверхностный интеграл по площади (I рода).

Применяется, в частности, для вычисления суммарных массы или заряда, распреде-

ленных по поверхности с плотностью .



- дифференциал площади поверхности .

3.2. Поверхностный интеграл по выбранной стороне поверхности ( рода)



Применяется, в частности, для вычисления потока жидкости через поверхность ,

если скорость потока



, где - единичный вектор нормали к поверхности ,

, - углы нормали к поверхности с осями

соответственно.

3.3. Вычисление поверхностных интегралов сводится к вычислению двойных интегралов

3.3.1 Если поверхность можно записать в виде , - проекция поверхнос-

ти на плоскость , то или .

Если поверхность можно записать в виде , - проекция поверхнос-

ти на плоскость , то или .

Если поверхность можно записать в виде , - проекция поверх-

ности на плоскость , то или .

Тогда можно вычислить с помощью двойных интегралов.



или

или

Для вычисления поверхностного интеграла рода углы считаются

острыми.

3.3.2 При вычислении поверхностных интегралов II рода различают стороны поверхно-

сти в зависимости от направления нормали к поверхности; , , -

направляющие косинусы нормали, проведенной к той стороне поверхности, по

которой проводится интегрирование

;

Можно записать так:



Обычно вычисление сводится к вычислению суммы двойных интегралов



Обозначение «» означает, что берем знак «+», если нормаль к поверхности

образует острый угол с соответствующей осью, знак «-», если угол больше

( для - с оью , для - с осью , для - с осью ).



4)Элементы векторного анализа.

Даны: векторное поле , поверхность и замкнутый контур .

4.1) Поток вектора через поверхность в направлении нормали к поверхности есть поверхностный интеграл

4.1.1), где – углы нормали с осями . Поверхностный интеграл сводится к вычислению двойных интегралов по областям – проекциям поверхности на плоскости .


4.1.2) . «» означает, что знак «+», если нормаль к образует острый угол с соответствующей осью, знак «–», если угол больше 90º ( - с осью х, - с осью у, - с осью z).

4.2) Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру – это криволинейный интеграл.

4.2.1) . Он вычисляется по правилу 2).

4.2.2) Ротор векторного поля, характеризующий завихрение его силовых линий, вычисляется с помощью определителя: .

4.2.3) Формула Стокса. Поток ротора векторного поля через поверхность равен циркуляции вектора по границе этой поверхности. .

.

Направление обхода контура и направление нормали к поверхности должны быть согласованы так – если идти по контуру в направлении интегрирования так, что область внутри контура остается слева, то направление от ног к голове совпадет с направлением нормали.

4.3) Дивергенция (расходимость) поля есть .

4.3.1) Теорема Гаусса-Остроградского. Поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

4.3.2) .

5)Соленоидальное и потенциальное поля.

Дано векторное поле .

5.1) Если , то поле называется соленоидальным (трубчатым).

5.2) Если , то поле называется потенциальным.

Тогда , - полный дифференциал скалярного поля . Потенциал , (5.3)

г
M



M0

x


z

y
де – фиксированная точка в рассматриваемой области. Формула (5.3) получается в результате вычисления интеграла по ломаной (рис. 1), звенья которой параллельны осям координат.

M2

M1


Примеры к решению контрольных заданий

Пример 1: Дана функция , вектор и точка .

  1. Найдем градиент в точке . Воспользуемся 1.1)

; ; . Значения и в точке А получим, подставив координаты точки А. ; .

, т.е. ; направляющие косинусы градиента ; .


  1. Найдём производную в точке А по направлению вектора . Пользуемся 1.2)

, где и – это направляющие косинусы вектора . ; ; ;

Вывод: По направлению вектора возрастает со скоростью 7,24 (меньше, чем по направлению градиента.
Пример 2.

Дана кривая .



  1. Вычислить массу отрезка кривой от точки до точки , если зада-

на плотность . .

  1. Вычислить работу силы при перемещении точки по

кривой от точки до точки . .

а) - эллипс, заданный пераметрически от точки до точки

. Найдем значение , соответствующее точке ;

Найдем значение , соответствующее точке


на : ,

(по 2.3.1)

  1. Пусть плотность массы ;

;

Подставим вместо и их выражения через и



Для вычисления этого определенного интеграла вспомним формулы:



, ,

Тогда


Сделаем замену переменной . Тогда ,т.е

при ; при ;

Получим


Сделаем замену переменной . Тогда т.е ;

При , при ;

Получаем


. Ответ ;

  1. Найти работу силы

Подставим вместо , их выражения через и



(Использовали формулу: )



Пример 3. Вычислить заряд с плотностью , распределенный по

поверхности , отсекаемой координатами плоскостями.

Решение. Заряд

Представим уравнение поверхности в виде . Тогда частные производные



и .

Подставим вместо его выражение из уравнения поверхности .



- проекция поверхности на плоскость - это треугольник .

Уравнение линии : , т.е. .

Координаты точки : ; ;

=

=

Ответ: суммарный заряд .

Пример 4 : Даны векторное поле и плоскость (р), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Пусть – основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), – контур, ограничивающий , – нормаль к , направленная вне пирамиды .

а

1


1

1



С

z


)
вычислить поток векторного поля через поверхность (т.е. АВС) в направлении нормали .



;

По формуле 3.1.1 поток векторного поля


В

А

у

0



х






. Знаки здесь определяются наглядно. Существует формула для единичного нормального вектора к поверхности . .
D

В данном случае ; по условию задачи – внешняя, следовательно и в формуле, определяющей надо взять знак «+». Тогда . . – элемент поверхности АВС. Перейдем в правой части равенства от поверхностного интеграла к двойному: . Заменив z из уравнения поверхности АВС: , получим .


б) Вычислить циркуляцию по замкнутому контуру (формулы 4.2 и 2.3.2). Контур составлен из отрезков АВ, ВС и СА, направление обхода указано стрелками. .

АВ: .

Выразим , .



ВС: .

Выразим , .



СА: .

Выразим , .



Вычислим циркуляцию по формуле Стокса ; S – поверхность АВС: . Находим (мы нашли раньше, что ).



. Перейдем в правой части к двойному интегралу по . ; .

Итак, циркуляция вектора по замкнутому контуру , найденная двумя способами, равна .

в) Определить поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертёж.

Решение: Используем формулы 4.1.1), 4.1.2), 4.3.1).

1


z

0

Dxz

Dyz

n2

n3

1

1

()
) Найдем поток вектора как сумму потоков через грани . Направление внешних нормалей к граням указано стрелками на чертеже. .


y


Dxy

A

n1

1
т.к. направлена в сторону . .


x


;

т.к. направлена в сторону , то

;

(т.к. направлена в сторону ),

; ;

Поток через поверхность АСВ был найден в задаче 3а) .

Поток через полную поверхность пирамиды .

Найдем поток П по теореме Остроградского , где – внешняя нормаль к поверхности. Находим . По формуле 4.3.2) получаем, имея .



Вывод: Поток вектора через полную поверхность , полученный двумя способами, равен .

Пример 5: Дано поле . Является ли оно соленоидальным или потенциальным?

а) , следовательно поле не является соленоидальным.

б)

.

Следовательно, поле потенциальное. Потенциал поля находим по формуле (5.3)





Задания к контрольной работе № 9 для ЗРФ

5 контрольных заданий:

  1. Дана функция, точка и вектор . Найти:

1) в точке ;

2) производную в точке по направлению вектора .

2. Дана кривая . С помощью криволинейных интегралов :

а) вычислить массу отрезка кривой от точки до точки , если

задана плотность .

б) вычислить работу силы при перемещении точки по кри-

вой от точки до точки .

3. На поверхности, отсекаемой координатными плоскостями, распределен электричес-

кий заряд с плотностью . Вычислить суммарный заряд поверхности.

4.Даны векторное поле и плоскость (р), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Пусть – основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), – контур, ограничивающий ; – нормаль к , направленная вне пирамиды . Требуется вычислить:



    1. Поток вектора через поверхность в направлении нормали ;

    2. Циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру непосредственно и применив теорему Стокса к контуру и ограниченной им поверхности с нормалью .

    3. Поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Гаусса-Остроградского. Сделать чертёж.

5.Проверить, является ли векторное поле потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.




вар-та

Задания



1)

2) : окружность . ; от , против часовой стрелки до ;



; .

3) ; .

4) .

5) .





1)

2) : отрезок прямой ; ; ; ;



.

3) ; .

4) .

5) .





1)

2) : отрезок прямой ; , ;



; .

3) ; .

4) .

5) .





1)

2) : парабола ; , ; ; .

3) ; .

4) .

5) .




1)

2) : эллипс , ; от до против часовой стрелки



; .

3) ; .

4) .

5) .





1)

2) : отрезок прямой ; , ; ; .

3) ; .

4) .

5) .




1)

2) : кривая ; , ; ; .

3) ; .

4) .

5) .




1)

2) : отрезок прямой ; , ; ; .

3) ; .

4) .

5) .




1)

2) : отрезок прямой ; , ; ;



.

3) ; .

4) .

5) .





1)

2) : кривая ; , ; ; .

3) ; .

4) .

5) .





Контрольная работа № 10 для ЗРФ

Тема: «Ряды»



Краткая теория.


  1. Числовые ряды

1.0) , Число – общий или n-ый член ряда.

1.1) Сумма ряда. Пусть , . называется n-ой частной суммой. Если существует , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой ряда. Иначе ряд – расходящийся.

1.2); – остаток ряда. Если , то .

1.3) Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд 1.0) сходится, то . Применяется для доказательства расходимости ряда, таким образом:

1.3.1) Если , то ряд расходится.

1.4) Знакоположительные ряды: , .

Достаточные признаки сходимости:

1.4.1) Признаки сравнения.

Даны ряды (1) и (2).

1.4.1.2 – 1.4.1.3) Пусть , начиная с , где N = любое натуральное число.

Если ряд сходится, то ряд сходится.

Если ряд расходится, то ряд расходится.

1.4.1.4.) Если , то ряды и сходятся и расходятся одновременно.

1.4.2) Интегральный признак Коши.

Дан ряд , . Пусть – монотонно убывающая функция, т.е. , тогда если: а) сходится, то сходится; б) расходится, торасходится.

1.4.3) Признак Даламбера.

Дан ряд . Пусть .

При .

1.4.4) Радикальный признак Коши.

Дан ряд . Пусть . При .

1.5) Знакочередующиеся ряды.

1.5.0) Ряд , где .

1.5.1) Признак Лейбница.

Пусть а) , (– монотонно убывают); б) , тогда ряд сходится и его сумма .

1.5.2) Следствие: Остаток ряда . Если ряд сходится, то . Остаток ряда по абсолютной величине меньше первого члена остатка.

1.6) Знакопеременный ряд. , где имеют разные знаки.

1.7) Если ряд из абсолютных величин членов ряда сходится, то ряд сходится абсолютно.

1.8) Если ряд расходится, а ряд сходится, то говорят, что ряд сходится условно.

1.9) Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов, поэтому, если для знакочередующегося ряда ряд из абсолютных величин расходится, то надо применить признак Лейбница, чтобы проверить, сходится ли исходный ряд условно.

2. Степенные ряды

2.1) ; Числа – коэффициенты ряда. При ряд сходится, называется центром сходимости.

2.1.1) При имеем ряд по степеням х: .

Заменой ряд 2.1) приводится к виду 2.1.1)

2.2) Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, что при всех х, таких, что степенной ряд абсолютно сходится, а для всех х, таких, что степенной ряд расходится. Интервал называется интервалом сходимости. При и ряд может сходиться или расходиться. Это необходимо исследовать по признакам 1.3.1), 1.4.1), 1.4.2). Для рядов, расходящихся при всех х, кроме , радиус сходимости , а для рядов, сходящихся при всех х, радиус сходимости .

2.3) План нахождения интервала сходимости и радиуса сходимости .

2.3.0) Дан ряд

2.3.1) Составим ряд из абсолютных величин членов ряда Интервалы сходимости рядов 2.3.0) и 2.3.1) одинаковы.

2.3.2) К ряду 2.3.1), все члены которого положительны, можно применить признак Даламбера или радикальный признак Коши.

Применение признака Даламбера: . В точках х, в которых этот предел меньше 1, ряд сходится, а в которых он больше 1, ряд расходится, значение , при котором это предел равен 1, является значением радиуса сходимости . Вид предела для определения интервала сходимости при применении радикального признака Коши .

2.3.3) Исследуем сходимость числовых рядов на границах интервала сходимости по признакам 1.3.1), 1.4.1) или 1.4.2).
3. Разложение функции в степенные ряды.

3.1) Ряд Тейлора в окрестности





– значение n-ой производной функции в точке . Если , то разложение по степеням х называется рядом Маклорена.

Таблица рядов Маклорена в окрестности , – функция от х,



Ряд

Интервал

сходимости

1





2





3





4





5





6





7





8





9





10







4. Применение рядов Тейлора

4.1) Вычисление определённых интегралов с помощью разложения функции в степенной ряд и затем интегрирования его почленно.

4.2) Решение дифференциальных уравнений.

Задано дифференциальное уравнение и начальные условия в точке х = 0. Предположим, что в окрестности х = 0 решение уравнения можно разложить в степенной ряд

а) Этот ряд можно почленно дифференцировать столько, сколько надо, внутри интервала сходимости.

или б) Можно продифференцировать уравнение несколько раз, рассматривая у как функцию от х.



5. Разложение функции в ряд Фурье

5.1) Если задана на , то ряд Фурье для :



, где .

Сумма ряда Фурье периодическая функция с периодом .

5.2) Если – четная функция, то , где .

5.3) Если – нечетная функция, то , где .



Примеры для решения контрольной работы № 10
Контрольная работа содержит 5 контрольных заданий.

Дадим 2 примера контрольного задания №1.

Пример 1: Исследовать сходимость числового ряда

Решение. Применим признак сравнения 1.4.1.4)

. Возьмем , тогда . Рассмотрим ряд . Применим интегральный признак 1.4.2) , – монотонно убывает. . Интеграл сходится, следовательно по 1.4.2), ряд сходится, а, значит, ряд сходится по 1.4.1.4)

Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда .



Решение. Применим признак Даламбера 1.7) ; .

По определению ; ; .





q = 0, q < 1 следовательно, ряд сходится.
Пример контрольного задания № 2. Найти интервал сходимости степенного ряда ;

Решение. Применим план нахождения интервала сходимости 2.3)

  1. Составим ряд из абсолютных величин членов ряда

, .

  1. Применим признак Даламбера к полученному ряду

, .

Ряд сходится при , т.е. , или . Радиус сходимости .



  1. Исследуем сходимость числового ряда на границах интервала при и .

а) Получим числовой ряд . Общий член этого ряда . Применим необходимый признак сходимости 1.3.1).  ряд расходится.

б) . Получим числовой ряд . Это знакочередующийся ряд. Абсолютная величина общего члена ряда . По необходимому признаку сходимости 1.3.1) ряд расходится.

Итак, на границах интервала исходный ряд расходится.

Вывод. Интервал сходимости степенного ряда .


Пример контрольного задания № 3. Вычислить определенный интеграл , , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав почленно.

Решение: Разложим в ряд по таблице 3.2) для .

;

Мы получили знакочередующийся ряд. Если ограничиться четырьмя членами, то по следствию 1.5.2) из признака Лейбница остаток ряда , т.е. точность .

Итак, с точностью .
Пример контрольного задания № 4. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Ищем решение в виде ряда Маклорена в окрестности



Продифференцируем уравнение несколько раз подряд, рассматривая у как функцию от х.

, и т.д. Возьмем в самом уравнении и во всех равенствах и принимая во внимание , найдем , , , подставив эти коэффициенты в ряд Маклорена, получим решение

Пример контрольного задания № 5.

Разложить в ряд Фурье в интервале .



;

;

;

.

Тогда .



Задания к контрольной работе № 10 для ЗРФ

  1. Исследовать сходимость числового ряда .

  2. Найти интервал сходимости степенного ряда .

  3. Вычислить определенный интеграл , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем проинтегрировав его почленно.

  4. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

  5. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .






вар-та

Задания

1

1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)

2

1) ; 2) ; 3) , ; 4); 5)

3

1) ; 2) ; 3) , ; 4); 5)

4

1) ; 2) ; 3) , ; 4); 5)

5

1) ; 2) ; 3) , ; 4); 5)

6

1) ; 2) ; 3) , ; 4); 5)

7

1) ; 2) ; 3), ; 4); 5)

8

1) ; 2) ; 3), ; 4); 5)

9

1) ; 2) ; 3), ; 4) ; 5)

10

1) ; 2) ; 3), ; 4) ; 5)



Литература

  1. Щипачев В.П. Высшая математика. М. Высшая школа. 1982-2003 гг.

  2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. М. Наука. 1975-1992 гг.

  3. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. I часть. Айрис Пресс Рольф. М. 2000 г.

  4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая школа. 1980-2006 гг.

  5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высшая математика. 1964 г.

  6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Наука. 1970-2000 гг.

  7. Методические указания к контрольным работам кафедры ВМ и ММ РГГРУ.

Номер варианта каждой контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного номера студента (номера зачетной книжки).





<< предыдущая страница