«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и кратные интегралы» - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Функции нескольких переменных 1 214.67kb.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных > Метрические... 2 289.53kb.
Учебная программа курса «Математический анализ» 1 348.48kb.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1 21.56kb.
Конспект лекций часть 2 Содержание: Дифференциальное исчисление функций... 4 1079.46kb.
Методические указания по темам «Элементы теории функций. Комплексные... 3 655.63kb.
Вопросы по алгебре (2 семестр) 1 29.14kb.
Функции нескольких переменных. Основные определения и понятия. 1 44.21kb.
«Интегральное исчисление функций одной переменной» 1 103.31kb.
Рабочей программы дисциплины Кратные интегралы и ряды Место дисциплины... 1 28.18kb.
Определение возможных значений нелинейности булевых функций многих... 1 23.38kb.
Теоретические вопросы по математическому анализу (часть II) 1 34.4kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и кратные интегралы» - страница №1/2


РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра Высшей математики и математического моделирования



Методические указания и задания

к контрольным работам студентов

II курса заочного отделения

для ЗРФ

Составители: Ваксман К.Г.

Михайлова А.В.

Москва,


2006 г.

Контрольная работа № 7 для ЗРФ
Тема: «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и

кратные интегралы»
Краткие теоретические сведения.


  1. Частные производные первого порядка. Дана функция .

При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной

(аргумент у – постоянная величина); (аргумент х – постоянная величина)

Например: 1) , ;

2) , (используем формулу ).



Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка.

; ; ; .

2.1. Полным дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции при приращении аргументов и , отличающаяся от полного приращения функции на бесконечно малую величину высшего порядка относительно и .

Пусть дана функция и точка . Полным дифференциалом при приращении и будет .

2.2 Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .

3. Двойной интеграл

3.1 – это двойной интеграл от функции по области , – это элемент площади области. Геометрический смысл двойного интеграла при , при в области – это объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси z, снизу – плоской фигурой на плоскости .

3.2 Если , то двойной интеграл численно равен площади S области .

3.2.1 Двойной интеграл вычисляется сведением к вычислению двух повторных определённых интегралов.

3.2.2 Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат .

а) необходимо построить область интегрирования в плоскости .

б) установить порядок интегрирования.


y

E

d

A С
c В
а b x

в) Пусть область заключена внутри прямоугольника: , , стороны которого касаются границы области в точках . Точками и граница области разбивается на две линии ABC и AEC, каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной оси у в одной точке. Поэтому их уравнения можно записать так: линия ABC: ; линия AEC: . Аналогично, точками В и Е граница разбивается на линии ВАЕ: и ВСЕ: .

.

Сначала вычисляем «внутренний» (в ) интеграл по у, считая х постоянной, а затем вычисляем «внешний» интеграл от полученной функции по х. Можно изменить порядок интегрирования: .

г) Для вычисления площади или при другом порядке интегрирования .

3

B E



C

φ=φ2 A

.2.3 Вычисление площади в полярных координатах . Совместим начало декартовой системы координат с полюсом, а ось ох с полярной осью. Тогда , , .


П
φ=φ1

0
усть область заключена между линиями и , которые касаются границы области в точках А и В, разделяющими границу на две линии. и .

а) Пусть полюс не содержится внутри области интегрирования .

б) Пусть полюс находится внутри или на границе области интегрирования ,

.
Примечание. При вычислении интегралов полезно воспользоваться формулами тригонометрии , а также , , .

4. Тройной интеграл

4.1. – это тройной интеграл от функции по пространственной области , – это элементы объема области .

Физический смысл тройного интеграла 4.1:

при в области – это

масса неоднородного тела в области

с плотностью .
4.2. Если в области , то тройной интеграл численно равен объему тела . .

4.3. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат . .

4.3.1. Необходимо построить или хотя бы схематически представить пространственную область .

4.3.2. Опишем около цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси. Она касается области вдоль линии , которая делит поверхность, ограничивающую область на 2 части: нижнюю и верхнюю .

4.3.3. Этой цилиндрической поверхностью тело спроектируется на плоскость в область D, линия спроектируется на границу области D. Необходимо построить в плоскости область D.

4.3.4. Вычисление тройного интеграла сведем к повторному интегрированию сначала по направлению оси z от до , а затем по области D.

4.3.5. Для вычисления объема тела:

.

4.3.6. Вычисление объема тела в цилиндрической системе координат . Связь между цилиндрической и декартовой системой координат, если полюс и начало декартовой системы координат совмещены, а полярная ось идет по оси ох: , .

Элемент объема ; .
Примеры решения контрольных заданий
Пример 1. ,

; ; ;

; . .
Пример 2. Дана функция , точка и , . Найти:

2а) полный дифференциал при переходе из точки А в точку В.

2б) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , где .

Решение.

2а) Найдём приращение аргументов ; . ; ; ; ; .



.

2б) ; .



; ; ; .

; .

Уравнение касательной плоскости в точке по 2.2



, т.е. или .
Пример 3. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах .
Решение: Переведем уравнение кривой в полярные координаты , , . Тогда , , , . – это полюс. Уравнение границы области: . Это выражение имеет смысл при ; , (т.к. при , получим , что не имеет смысла). Тогда или , т.е. , т.е. и . . Учтем формулы приведения , и четность функций , , поэтому , где вычисляем при изменении от 0 до . По формуле 3.2.3 б)





.
Пример 4. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями .

I. – плоскость;

II. – параболический цилиндр с образующей, параллельной оси у;

III. – параболический цилиндр с образующей, параллельной оси z;

IV. – параболический цилиндр с образующей, параллельной оси z.

О


.

На плоскости область D:



.



куб. ед.
бласть находится между поверхностями III и IV, снизу ограничена плоскостью (I), сверху накрыта поверхностью II.


у










D


х





1

-1


Задания к контрольной работе № 7 для ЗРФ
Задание 1. Даны две функции и . Для каждой функции проверить равенство смешанных производных второго порядка .

Задание 2. Дана функция , точки и . Найти:

2а) полный дифференциал функции при переходе от точки к точке .



2б) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке на поверхности , где .

Задание 3. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах .

Задание 4. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела (по возможности) и его проекции на плоскость .

Варианты контрольных заданий





вар-та

З а д а н и я

1

1) ;

2) ;

3);

4) .

2

1) ;

2) ;

3);

4) .

3

1) ;

2) ;

3);

4) .

4

1) ;

2) ;

3);

4) .

5

1) ;

2) ;

3);

4) .

6

1) ;

2) ;

3)

4) .

7

1) ;

2) ;

3);

4) .

8

1)

2) ;

3);

4) .

9

1) ;

2) ;

3);

4) .

10

1) ;

2) ;

3);

4) .


Контрольная работа № 8 для ЗРФ

Тема: «Дифференциальные уравнения»


Краткая теория и методические указания для решения:


  1. Дифференциальные уравнения I порядка: или или . Общее решение – это совокупность решений или , зависящих от произвольной постоянной С.

Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений I порядка:

    1. Уравнения с разделяющимися переменными

Алгоритм решения:

а) ; Умножим на обе части уравнения. Получим б) ;

в) Разделим переменные, чтобы слева были функции, зависящие от у, а справа – от х. Для этого разделим обе части уравнения на . Получим ;

г) Произведя интегрирование (слева по , справа по ) получим решение



.

    1. Однородные дифференциальные уравнения I порядка , где имеет вид или может быть приведена в виду , тогда уравнение заменой приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Получаем и уравнение принимает вид , т.е. и . Решив это уравнение, получим t как функцию от х. Подставив , получим решение уравнения в неявном виде.

Примечание. Дроби и приводятся к виду делением числителя и знаменателя на одно и то же выражение: на , на .


    1. Линейные дифференциальные уравнения I порядка ( и у входят в первой степени). Методом Бернулли заменой приводим к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными относительно и затем . . Подставим в уравнение: или (1.2.1) . Определим таким образом: . Решив это уравнение, одно частное решение подставим в (1.2.1) . Получим уравнение относительно : . Определим общее решение . Общее решение уравнения 1.2 есть .

1.4 Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение может быть записано в дифференциальной форме:

1.4.1

Это уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если



, т.е. является полным дифференциалом функ-

ции . При этом, 1.4.2

Для того, чтобы выражение , необходимо и доста-

точно, чтобы выполнялось условие

1.4.3 .

Тогда уравнение 1.4.1 имеет вид .

1.4.4 Общее решение этого уравнения (- произвольная постоянная).

1.4.5 Метод нахождения функции .

Интегрируем равенство (1.4.2) по при фиксированном

(при этом произвольная постоянная может зависеть от ). Получим

1.4.6 . По равенству 1.4.2 , тогда

, откуда

Благодаря условию 1.4.3 в правой части этого уравнения будет только функция

от .

Находим интегрированием по , подставляем в 1.4.6 и в 1.4.4.

2. Дифференциальные уравнения II порядка. . Общее решение – это совокупность решений

вида , где и – произвольные постоянные.

2.1 Дифференциальные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. , и – постоянные числа. Если , то уравнение называется однородным, если , то неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения , где – общее решение однородного уравнения, – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка

Составим и решим характеристическое уравнение . Дискриминант .

Могут быть 3 случая:

а) , два разных действительных корня и , ;

б) , два равных действительных корня: = , ;

в) , два комплексных корня: и , – мнимая единица, , – действительная, – мнимая часть комплексного числа; . Если , .

2.1.2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов в зависимости от вида правой части уравнения .

и – корни характеристического уравнения.

2.1.2.1. (а и – данные числа)

а) , , ;

б) , или .

2.1.2.2.

а) , , ;

б) , или .

в) .

2.1.2.3. (а, , – данные числа, а или может быть равно 0).

а) , , ;

б) или .

Коэффициенты M и N находят методом неопределённых коэффициентов. Подставим , , в уравнение 2.1. получим . Приравняем коэффициенты в левой и правой части при одинаковых степенях х, или при , или при , или при , или при , или при , или при и при .

2.1.3. Частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Выпишем общее решение неоднородного уравнения: , найдем . Подставим начальные условия в выражение для и , получим систему двух уравнений относительно и . Найдя и , подставим их значения в решение у.

Примеры


  1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными 1.1.

а) ; б) ; в) ; г) ;

Решение .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения . Это однородное дифференциальное уравнение I порядка.Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения на .

Получим . Пусть ;



.

; . Вычислим

. Подставив , получим решение: .
3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это линейное уравнение I порядка вида 1.3. Замена , , , . Решаем , , , , . Подставляем , т.е. , ; , , , тогда решение .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Здесь , .

Проверим условие (1.4.3)

; .

Условие 1.4.3 выполнено, следовательно, уравнение является уравнением в

полных дифференциалах.

Решение. Интегрируем по при постоянном равенство .

Получим

Далее, по 1.4.2.

То есть .

Или , тогда .

По 1.4.6 .

По 1.4.4 .

5. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Решаем по 2.1).

Решение.

а) Однородное уравнение (2.1.1). Характеристическое уравнение .

б) Частное решение неоднородного уравнения (2.1.2) ; ; .

Ищем ; . Подставим в неоднородное уравнение:





.Приравниваем коэффициенты при и в левой и правой части тождества

. Итак, .

в) Общее решение: .

г) Найдём частное решение при начальных условиях (по 2.1.3): Из в) найдем

. Подставим начальные условия:

. Частное решение: при ; .
Варианты контрольной работы
Контрольная работа содержит 4 задания:


  1. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения I порядка

  2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения I порядка.

3) Найти общее решение дифференциального уравнения порядка, предварительно убе-

дившись, что это есть уравнение в полных дифференциалах.



  1. Найти частное решение дифференциального уравнения II порядка , удовлетворяющее начальным условиям .




.

вар-та

Задания

1

1) ; 2); 3) ;

4)




2

1) ; 2); 3) ;

4)



3

1) ; 2); 3) ;

4)



4

1) ; 2); 3) ;

4)



5

1) ; 2); 3) ;

4)



6

1) ; 2); 3) ;

4)



7

1) ; 2) ; 3) ;

4)



8

1) ; 2) ; 3) ;

4)



9

1) ; 2) ; 3) ;

4)



10

1) ; 2) ; 3) ;

4)




Контрольная работа № 9 для ЗРФ

следующая страница >>