Дифференциальное исчисление функций многих переменных > Метрические пространства. Примеры - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебная программа курса «Математический анализ» 1 348.48kb.
«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и кратные... 2 447.42kb.
Функции нескольких переменных 1 214.67kb.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1 21.56kb.
Конспект лекций часть 2 Содержание: Дифференциальное исчисление функций... 4 1079.46kb.
Методические указания по темам «Элементы теории функций. Комплексные... 3 655.63kb.
Определение возможных значений нелинейности булевых функций многих... 1 23.38kb.
«Интегральное исчисление функций одной переменной» 1 103.31kb.
Программа курса «методы математической физики» 1 23.07kb.
Программа экзамена по курсу линейная алгебра, системы дифференциальных... 1 44.87kb.
Рабочая программа дисциплины дисциплина ен. Ф 5 «Теория функций комплексных... 1 249.11kb.
Учебная программа курса «Математический анализ» 1 348.48kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Дифференциальное исчисление функций многих переменных > Метрические пространства. - страница №1/2

Высшая математика.

Глава 8. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§1.Метрические пространства. Примеры.
Как вы помните, дифференциальное исчисление опирается на теорию пределов, а теория пределов – на понятие ε-окресности, а понятие ε-окресности – на расстояние между точками. В связи с этим, прежде чем обобщать эти понятия, рассмотрим самое общее определение расстояния или метрики.

Определение метрическим пространством называется множество , на котором введена неотрицательная функция двух переменных, которая удовлетворяет следующим свойствам:

1. - обращается в ноль при совпадении двух элементов

2. симметричность

3. неравенство треугольника:

называется метрикой (расстоянием)

Примеры:


10 Если - множество вещественных чисел , то в качестве метрики можно взять или

20 Для ,обычно применяют три основных метрики:



и .

Заметим, что - Евклидова метрика (обычное расстояние).

Данное пространство является основным примером для дальнейших рассмотрений.

30 (множество функций, непрерывных на отрезке [a,b])

На этом множестве обычно вводят одну из следующих трёх метрик: Для

Замечание. Данное определение подходит как для вещественнозначных, так и для комплекснозначных функций.

Упражнение. Проверить выполнение свойств метрики для метрик из 10- 30.
§2.Сходимость в метрическом пространстве.

Введённое в предыдущем параграфе понятие метрики (расстояние) позволяет ввести для любого метрического пространства понятие ε-окресности.

Определение ε-окресность некоторой точки в метрическом пространстве это множество точек этого пространства, удалённых от неё менее чем на ε:

Для иллюстрации данного понятия рассмотрим в пространстве множества с центром в начале координат для каждой метрики из трёх рассмотренных выше.

Для метрики данный «шар» будет определяться неравенством , для метрики - неравенством, а для - неравенством . Эти ε-окресности иллюстрируются следующим рисунком:

group 51


autoshape 53

autoshape 10

Упражнение. Попробуйте нарисовать ε-окресности нуля в относительно каждой из трёх рассмотренных ранее метрик.

Теперь, опираясь на понятие ε-окресности, перейдём к определению предела последовательности.

Первое определение предела последовательности. Говорят, что последовательность в метрическом пространстве сходится к a, если за пределами любой ε-окресности точки a находится только конечное число членов последовательности , при этом пишут

Например:

Второе определение предела последовательности: n>N , т.е. .

Чем данные определения отличаются от приведённых в части 4?

Упражнение. Доказать эквивалентность определений.

Так как в метрическом пространстве у любых двух точек существуют непересекающиеся ε-окресности, предел у сходящейся последовательности единственный.

Действительно, возьмём в пространстве две точки xy , тогда ρ(x, y)>0. Очевидно, можно взять. В силу неравенства треугольника окрестности не пересекаются: если существует : и , то , что противоречит предположению.

Опираясь на данный факт, в точности также как и в одномерном случае, доказывается, что предел у сходящийся последовательности только один.

Пусть последовательность сходится, и к , и к . Если , то у них найдутся непересекающиеся ε-окресности. Так как , то за рамками может находиться только конечное множество элементов последовательности, значит, внутрь попадает тем более конечное множество членов последовательности. Т.е. не может быть пределом, т.к. иначе в попало бы бесконечное множество членов последовательности.

Чем данные рассуждения отличаются от одномерного случая?

Ещё одно эквивалентное определение предела: (по метрике) если

Упражнение. Доказать эквивалентность.
§3. Полнота, неполнота, пополнение (пространств)
Фундаментальной или последовательностью Коши называют такую последовательность , что.Чем дальше номер элемента последовательности, тем ближе они друг к другу.

Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нём любая последовательность Коши имеет предел.

Теорема. Любая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши.

Доказательство. Пусть . По определению предела последовательности, можно найти такой номер , что при всех выполняется неравенство, откуда , что и требовалось доказать.

Обратно не верно. Если последовательность фундаментальна, она не обязательно будет сходиться. Действительно, множество с расстоянием является метрическим пространством, при этом последовательность в нём, где является фундаментальной, но не является сходящейся в .

Упражнение. Убедиться.

В то же время множество с метрикой является полным пространством, то же можно сказать о множестве точек отрезка .

Упражнение. Объяснить, опираясь на результаты из части 4.

Для пространства из сходимости по одной метрике следует сходимость по другой. В этом смысле все три метрики эквивалентны. Доказательство следует из того, что ε-окресность в смысле одной из метрик вкладывается в ε-окресность той же точки в смысле обеих других метрик.

Доказательство. Если , то , откуда для всех , т.е. . При этом , следовательно , при этом может быть сделано сколь угодно малым выбором соответствующего .

Если , то , откуда для всех , т.е. . При этом , следовательно , при этом может быть сделано сколь угодно малым выбором соответствующего .

Если , то для всех , т.е. и . При этом , следовательно , при этом и могут быть сделаны сколь угодно малыми выбором соответствующего .

Для расстояний в пространстве функций это уже не так. Убедимся в этом на примере пространства . Шар с центром в нуле состоит из функций, для которых, а шар - из функций, у которых . Легко видно, что второй шар вкладывается в первый, но не наоборот, так как для любого и выполняется неравенство , но при этом .

Теорема. Пространство является полным относительно любой из трёх метрик.

Доказательство. Проведём доказательство для первой метрики. Рассмотрим последовательность векторов из пространства . Обозначим через - -ю координату вектора . Если последовательность фундаментальна, то для достаточно больших выполняется неравенство , т.е., откуда для всех .

Таким образом, последовательность для каждой координаты является последовательностью Коши, поэтому у неё существует предел . Из определения предела числовой последовательности для любого и любого существует такое , что при всех выполняется

неравенство. Следовательно, для всех выполняется неравенство , откуда , где - вектор с координатами .

Таким образом, пространство - полное относительно первой метрики.

Аналогично проводится доказательство для второй и третьей метрики.

Упражнение. Провести.

Для функциональных пространств это не всегда так.

Теорема. Пространство является полным в смысле метрики.

Доказательство. Пусть - фундаментальная последовательность функций, докажем, что она сходится. Из определения фундаментальной последовательности следует, что для : выполняется неравенство, т.е. для всех выполняется неравенство . При каждом фиксированном последовательность является фундаментальной, следовательно она сходится . Переходя к пределу при , получаем , т.е. последовательность сходится к равномерно на . Так как все функции являются непрерывными на , функция тоже должна быть непрерывной. Теорема доказана.

В смысле метрик и пространство является неполным.

Теорема. Пространство не является полным относительно метрик и .

Доказательство проведём для метрики , для метрики доказательство аналогичное.

Построим в последовательность, которая является фундаментальной и не сходится к непрерывной функции (для произвольного промежутка рассуждения аналогичны. В качестве такой последовательности возьмём


fn(t)

1autoshape 198autoshape 199autoshape 200autoshape 201autoshape 202autoshape 203autoshape 204autoshape 205


1

1/n

1/m

t


Иautoshape 211з графика видно, что , поэтому данная последовательность фундаментальна. Пусть она сходится к непрерывной функции . Докажем, что для . Пусть это не так. Фиксируем . Предположим, что . Тогда найдётся такая окрестность данной точки , что для неё будет выполнено неравенство

autoshape 212autoshape 213autoshape 214freeform 215autoshape 216autoshape 220autoshape 221


autoshape 224

Тогда .

Это противоречит предположению, что , таким образом, должно выполняться условие . Аналогично доказывается, что для .


autoshape 227
1

autoshape 229autoshape 231autoshape 233


-1



-1/n

autoshape 228autoshape 232

1


1/n

-1

autoshape 230


Такая функция не будет непрерывной, следовательно, пространство не является полным относительно данной метрики.

Теорема доказана.

Для того, чтобы пространство сделать полным, применяем процедуру пополнения, которая является обобщением процедуры пополнения из части 4. Опишем эту процедуру кратко.

Пусть пространство с метрикой не является полным. Рассматриваем множество всех последовательностей Коши в нём. Две последовательности считаются эквивалентными, если расстояние между их элементами 0: если .

Класс эквивалентности это множество эквивалентных последовательностей. Из неравенства треугольника следует, что если и то . Действительно, расстояние между и не превосходит суммы расстояний между от до и от до , а они стремятся к о, значит и расстояние между и стремится к 0.

Теперь надо ввести на этом множестве расстояние: =

Надо доказать, что этот предел существует, т.е. что последовательность фундаментальна.

Мы это доказываем, пользуясь неравенством треугольника и тем, что последовательности и фундаментальны: , откуда . Аналогично доказывается обратное неравенство , что даёт .

Последовательности и фундаментальны, поэтому для них можно записать требуемое неравенство. Таким образом, последовательность фундаментальна , значит, она имеет предел. Остаётся доказать, что данный предел зависит не от самих последовательностей, а от их классов эквивалентности, т.е., если и , то . Доказывается этот факт с помощью оценок, аналогичных проведённым выше. Также доказывается, что удовлетворяет всем аксиомам метрики.

Аналогичными рассуждениями доказывается, что множество классов эквивалентностей образуют метрическое пространство относительно метрики , причем исходное пространство можно в него вложить, если каждому элементу сопоставить постоянную последовательность

Остаётся доказать, что пространствоявляется полным. Пусть - последовательность фундаментальных последовательностей. Она будет фундаментальна, если для выполняется условие . Последний шаг состоит в доказательстве того, что эта последовательность сходится к последовательности, точнее говоря, доказывается, что она фундаментальна и что исходная последовательность последовательностей к ней сходится в смысле расстояния D.

Упражнение на 5. Восполнить опущенные выше детали.

Обозначение для пополнения: для пополнения в смысле метрики и для пополнения в смысле метрики . Элементы соответствующих функциональных пространств называются функциями, интегрируемыми по Лебегу, а продолжения оператора взятия интеграла на эти пространства – интегралом Лебега. Но данная теория остаётся за рамками курса.


§4. Функции. Принцип сжимающихся отображений
Рассмотрим функции (однозначные отображения из одного метрического пространства в другое): , т.е. каждому элементу из соответствует единственный элемент из .

Можно ввести понятие предела функции.

Определение. , когда для такое, что если то . Напомним, что (проколотая окрестность точки ) это без самой точки .

Чем это определение отличается от одномерного случая?

Определение. Отображение функции называется непрерывным если .

Упражнение. Какие результаты из одномерной теории пределов функций и теории непрерывных функций переносятся на случай отображений метрических пространств?

Для решения уравнений в метрических пространствах и для других разделов, например, для теории дифференциальных уравнений, важной является теорема о сжимающем отображении.

Определение. Отображение из одного метрического пространства в другое называется сжимающим, если существует такое число , что для любых выполняется неравенство .

Определение. Неподвижная точка отображения множества в себя это точка , для которой выполнено равенство.

Теорема. Сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство. Пусть - полное метрическое пространство, - сжимающее отображение. Возьмём . Построим последовательность в с помощью рекуррентного соотношения , т.е.

Надо доказать, что данная последовательность будет сходящейся и что её предел будет неподвижной точкой отображения .

Существование предела докажем, опираясь на полноту пространства, т.е. нужно доказать, что последовательность является фундаментальной. Оценим.

По неравенству треугольника можно записать:



Воспользуемся тем, что отображение сжимающее.



, ,…

,…, откуда

.

Таким образом, для любого существует такое , что для всех выполняется неравенство , т.е. последовательность фундаментальна, поэтому должна сходится к некоторой точке .

Осталось доказать, что это неподвижная точка. Используем неравенство треугольника

. Первое слагаемое стремится к нулю, так как - предел последовательности , второе – так как , а для последнего имеем неравенство , поэтому оно тоже стремиться к нулю. Таким образом, число должно стремиться к 0 при , но оно не зависит от , поэтому должно равняться нулю, откуда , т.е. - неподвижная точка.

Докажем, что эта точка единственная. Предположим, что существуют две неподвижные точки: x и y. Из свойства сжимаемости мы имеем , но , , так как эти точки – неподвижные, поэтому должно выполняться неравенство , откуда , т.е. . Теорема доказана.

Неподвижная точка в практических применениях даёт решение уравнения . Напрмер, если идёт речь о дифференцируемой функции одного переменного, можно записать неравенство . Таким образом, если на некотором промежутке выполняется неравенство , и если отображает этот промежуток в себя,

то существует неподвижная точка y этого отображения, при этом она единственная и может быть найдена методом последовательных приближений.

Пример: Рассмотрим функцию на промежутке . Легко видеть, что данная функция отображает промежуток в себя и на нём , откуда следует, что отображение сжимающее с . Следовательно, применима теорема, т.е. на данном промежутке существует единственное решение уравнения решения , которое может быть сколь угодно приближено с помощью последовательных приближений , , , и т.д.

Упражнение. Оценить точность -го приближения.


§5. Дифференцируемость
Напомним, что дифференцируемость нелинейной функции в одномерном случае заключалась в существовании для неё локального приближения линейной функцией. Хотелось бы получить обобщения этого понятия на случай отображений , рассматривавшихся в предыдущих параграфах.

Запишем формулу, аналогичную определению дифференцируемости в части 5



При этом отображение должно быть линейным, поэтому и должны быть векторными пространствами (поэтому здесь используются векторные обозначения). Кроме того, для определения необходимо определить малость векторов, для этого необходимо определить их длину. Формально это выражается в требовании, что пространства и должны быть нормируемые.

Определение. Говорят, в векторном пространстве задана норма, когда каждому вектору сопоставлено неотрицательное число , удовлетворяющее следующим свойствам:


  1. .





Понятие нормы позволяет определить, что такое 0 малое: , если .

В нормированном пространстве естественным образом определяется метрика - расстояние между двумя точками . В дальнейшем будем предполагать, что пространство не только нормируемое, но еще и полное. Полное нормируемое пространство называется Банаховым пространством.

Основным примером такого пространства будет - тот факт, что это нормируемое пространство виден из введённых метрик, а полнота была доказана выше.

Упражнение. Выписать нормы, соответствующие , и в пространствах и .

Для функции одной переменной было доказано, что дифференцируемая функция непрерывна. Желание сохранить справедливым этот факт требует, чтобы оператор был ограниченным.

Определение. Линейный оператор называется ограниченным, если существует конечное число . Очевидно .

Примером не ограниченного линейного оператора может служить оператор . Данный оператор действует из пространства непрерывно дифференцируемых функций на промежутке в пространство непрерывных функций на промежутке : . Рассмотрим случай . Тогда , , , поэтому для получаем , но, так как может быть взято сколь угодно большим, , т.е. не существует, другими словами, оператор является неограниченным.

Если оператор является ограниченным, то и , следовательно , т.е. функция является непрерывной в точках дифференцируемости.

Так как основным примером векторных пространств является , особый интерес представляет вычисление нормы оператора через элементы его матрицы в каноническом базисе. Очевидно, данное число зависит от выбранных норм в пространствах и .

Запишем действие оператора через координаты .

Для случая, когда в пространствах и выбрана норма, соответствующая получаем , поэтому . Докажем, что последнее неравенство на самом деле является равенством. Пусть - значение индекса , для которого реализуется . Выберем , а остальные координаты – нулевыми, тогда и , откуда следует, что .

Для случая, когда в пространствах и выбрана норма, соответствующая получаем , поэтому . Докажем, что последнее неравенство на самом деле является равенством. Пусть - значение индекса , для которого реализуется . Выберем , тогда и , откуда следует, что .

Для нормы, соответствующей такого простого результата получить не удаётся, поэтому данный случай мы рассматривать не будем.


§6. Градиент. Производная по направлению. Необходимые условия локального экстремума

Для начала, рассмотрим дифференцируемость скалярной функции векторного аргумента . Данный частный случай рассматривается в большинстве учебников по математическому анализу.

В данном случае, условие дифференцируемости имеет вид , где - линейный функционал . Из части 3 известно, что линейный функционал можно представить в виде . Считая, что вектора в заданы координатами в стандартном базисе , , запишем последнее равенство в координатах .

Для определения смысла фиксируем все координаты вектора кроме . Тогда условие дифференцируемости примет вид , откуда видно, что является производной функции по переменной при фиксированных остальных переменных. Такая производная называется частной и обозначается . При этом вектор называется градиентом функции в точке и обозначается . Координатами этого вектора являются частные производные .

Введём понятие производной по направлению. Пусть , тогда условие дифференцируемости принимает вид . Таким образом . Заметим, что эта производная зависит не только от направления вектора , но и от его длины. Чтобы избавится от зависимости от длины, разделим на неё. В результате получается формула, которая является определением производной по направлению .

Заметим, что частная производная является производной функции по направлению соответствующей координатной оси.

Понятие экстремума практически без изменения переносится на многомерный случай.

Определение. Говорят, что функциядостигает в точке локального экстремума (максимума или минимума), если для всех достаточно малых выполняется одно из неравенств: для максимума и для минимума соответственно.



группа 306

Очевидно, что если функция достигает локального экстремума в данной точке, то она достигает его по любому направлению, исходящему из этой точки, следовательно, в случае, если функция дифференцируема, применяя необходимое условие экстремума, получаем при любом , откуда . Записывая это равенства покоординатно, получаем, что необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю всех частных производных .

Рассмотренная выше координатная запись оператора легко переносится на многомерный случай. Действительно, каждая координата отображения является скалярной функцией и для неё можно записать из определения дифференцируемости . Таким образом, оператору соответствует матрица, элементы которой являются частными производными координат по координатам вектора : , а главная часть приращения может быть записана в матричном виде


следующая страница >>