Дайте определение векторной функции и годографа. Дайте определение предела и непрерывности векторной функции - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Дайте определение векторной функции и годографа. Дайте определение предела и непрерывности - страница №1/3


  1. Дайте определение векторной функции и годографа.

  2. Дайте определение предела и непрерывности векторной функции.

  3. Дайте определение производной векторной функции.

  4. Какая вектор-функция называется дифференцируемой?

  5. Что называется дифференциалом векторной функции?

  6. Дайте определение кривой, кривизны и радиуса кривизны кривой.

  7. Дайте определение радиуса, круга и центра кривизны плоской кривой.

  8. Что называется эволютой и эвольвентой плоской кривой?

Формулировки теорем и формулы

  1. Сформулируйте правила нахождения производной постоянной функции, производной суммы и разности функций, производной произведения функций, производной частного функций

  2. Как найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями?

  3. Как найти производную неявной функции?

  4. Какой вид имеет формула Маклорена?

  5. Запишите основные разложения по формуле Маклорена функций , , , , , , .

  6. Какие условия должны выполнятся, чтобы функция: а) возрастала, б) убывала, в) была неубывающей и невозрастающей?

  7. Сформулируйте достаточные условия экстремума.

  8. Как находится глобальный экстремум функции на отрезке?

  9. Перечислите основные этапы исследования функции.

  10. Как найти асимптоты графика функции, заданной параметрическими уравнениями?

  11. Как исследовать и использовать симметрию функции, заданной параметрическими уравнениями?

  12. Сформулируйте необходимое условие локального экстремума функции, заданной параметрическими уравнениями.

  13. Приведите примерную схему исследования функции, заданной параметрическими уравнениями.

  14. Как исследовать функцию, заданную неявно?

  15. Как исследовать функцию, заданную в полярных координатах?

  16. Перечислите свойства предела вектор-функции.

  17. Чему равен дифференциал дуги?

  18. Какое уравнение называется натуральным уравнением гладкой кривой?

  19. Чему равна длина единичного вектора касательной? Какие координаты он имеет?

  20. Как вычисляется кривизна в случаях векторного, параметрического представления кривой?

Доказательство теорем

  1. Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании обратной функции?

  2. Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании сложной функции.

  3. Сформулируйте и докажите теорему Ролля.

  4. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа.

  5. Сформулируйте и докажите теорему Коши.

  6. Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя.

  7. Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом: а) в виде Лагранжа; б) в виде Пеано.

  8. Сформулируйте и докажите необходимое условие локального экстремума.

  9. Сформулируйте и докажите достаточное условие выпуклости и вогнутости.

  10. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условия точки перегиба.

Вопросы и задачи на понимание

  1. При нахождении производных каких функций желательно использовать логарифмическую производную?

  2. В чем состоит геометрический смысл производной?

  3. Какая связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием в этой точке производной?

  4. В чем состоит геометрический смысл дифференциала.

  5. Где используются понятия производной и дифференциала в физике?

  6. Может ли существовать вторая производная , если не существует первая? Приведите пример функции, у которой существует , но не существует .

  7. В чем состоит геометрический и физический смысл теоремы Ролля.

  8. Почему формула Лагранжа называется формулой конечных приращений?

  9. В чем состоит геометрический и физический смысл теоремы Лагранжа?

  10. При раскрытии каких неопределенностей используется правило Лопиталя?

  11. Справедливо ли правило Лопиталя в случае ?

  12. Можно ли применять правило Лопиталя несколько раз?

  13. В чем состоит геометрический и физический смысл производной вектор-функции?

Раздел 4 Интегральное исчисление функции действительной переменной
Тема 1 Первообразная и неопределенный интеграл
1.1 Определение первообразной функции

1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

1.3 Основные свойства неопределенного интеграла

1.4 Таблица неопределенных интегралов


Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции . В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции требуется найти такую функцию , что .

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции по известной производной или дифференциалу этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.

Функция , , называется первообразной для функции на множестве , если она дифференцируема для любого и имеет место соотношение:

или .

Любая непрерывная на множестве функция имеет на этом отрезке первообразную .

Если – некоторая первообразная функции на множестве , то все первообразные этой функции определяются выражением , где – произвольная постоянная.

Операция отыскания первообразной функции называется интегрированием.

Совокупность всех первообразных функции на множестве называется неопределенным интегралом и обозначается

.

Выражение называется подынтегральным выражением, подынтегральной функцией, переменной интегрирования, а постоянной интегрирования.

Неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная – подынтегральной функции.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых ( – параметр), обладающих следующим свойством: все касательные к кривым в точках с абсциссой параллельны между собой:



.

На рисунке 4. 1 изображен неопределенный интеграл от функции :



,

который представляет собой семейство парабол .



Рисунок 4. 1 – Интегральные кривые

Кривые семейства называются интегральными кривыми. Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси .

Неопределенный интеграл обладает свойствами:

– производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

,

;

– неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:



;

– постоянный множитель , , можно выносить за знак неопределенного интеграла:



;

– неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:



;

(инвариантность формул интегрирования) любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:



или ,

где – дифференцируемая функция.



Каждая из нижеследующих формул верна на каждом промежутке, принадлежащем области определения подынтегральной функции:

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. , , .

  8. , , .

  9. .

  10. .

  11. .

  12. .

  13. , .

  14. , .

  15. , , .

  16. , , .

  17. ,

  18. ,

Некоторые из приведенных формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

Если первообразная функция является элементарной функцией, то говорят, что интеграл выражается в элементарных функциях или функция интегрируема в конечном виде. Однако не всякий интеграл от элементарной функции выражается в элементарных функциях. Используя основные правила интегрирования, можно находить интегралы от более сложных функций.

В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении нет общих приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный интеграл к табличному.
Тема 2 Общие методы интегрирования
2.1 Непосредственное интегрирование

2.2 Метод замены переменной (подстановка)

2.3 Метод интегрирования по частям
Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.

Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным.



Теорема (замена переменной) Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве . И пусть – множество значений функции , на котором определена функция . Тогда если на множестве функция имеет первообразную, то на множестве справедлива формула замены переменной:

.

Суть метода замены переменной состоит в том, что в интеграле переменную заменяют переменной по формуле , учитывая .

Очень часто при вычислении интегралов пользуются приемом «подведения» подынтегральной функции под знак дифференциала. По определению дифференциала функции имеем . Переход от левой части этого равенства к правой называют «подведением» множителя под знак дифференциала. Пусть требуется найти интеграл вида

.

Внесем в этом интеграле множитель под знак дифференциала, а затем выполним подстановку



.

Если интеграл – табличный, его вычисляют непосредственным интегрированием.

Вычисление некоторых типов неопределенных интегралов основывается на теореме 2.

Теорема 2(интегрирование по частям) Пусть функции и – две дифференцируемые функции переменной на промежутке . И пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция также имеет производную и справедлива формула интегрирования по частям:

.

С помощью формулы интегрирования по частям отыскание интеграла сводится к вычислению другого интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл более прост для вычисления, чем исходный.

Методом интегрирования по частям вычисляются интегралы:

, , , где – многочлен степени , , . Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить и применить формулу интегрирования по частям раз;

, , , , , где – многочлен степени , . Данные интегралы вычисляются по частям, принимая за функцию, являющуюся множителем при ;

, , где , . Они вычисляются двукратным интегрированием по частям и решением уравнения относительно искомого интеграла.


Тема 3 Интегрирование рациональных функций
3.1 Интегрирование простейших рациональных дробей

3.2 Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби

3.3 Интегрирование рациональных функций
Рациональной дробью называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены:

=, , .

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе (), то дробь называется неправильной. Если степень , то дробь называется правильной.


Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Здесь , , , , , – действительные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, т. е. .

Интегрирование простейших дробей видов 1-3 проводится с помощью несложных преобразований и подстановок. Для вычисления интеграла вида 4 используется рекуррентная формула

=,

где


,

.

Правильную рациональную дробь , где



,

можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:





,

где , , , , , , , , , , , , , , – некоторые действительные числа.

Согласно данному разложению, линейным множителям знаменателя соответствуют простейшие дроби первого и второго типов, а квадратным множителям – третьего и четвертого типов. При этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю (линейному или квадратному), равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби. Формула разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби остается справедливой для любого конечного числа линейных и квадратных множителей, входящих в разложение знаменателя .

Для определения коэффициентов разложения используется метод неопределенных коэффициентов:

– раскладывается правильная рациональная дробь на простейшие дроби;

– простейшие дроби приводятся к общему знаменателю ;

– многочлен, получившийся в числителе, приравнивается к многочлену ;

– приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях переменной в левой и правой частях полученного тождества. В результате получается система линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов ,, …, , , , …, , , , …, , .

Если корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны, вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты переменной даются несколько частных значений (последовательно полагают равным каждому из корней знаменателя).

Всякая рациональная функция представима в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби :



, , ,

Поэтому интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.


Тема 4 Интегрирование иррациональностей
4.1 Интегралы вида

4.2 Интегралы вида

4.3 Интеграл от дифференциального бинома

4.4 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции


В интегралах (, , ) подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов , . Через обозначается рациональная функция относительно переменных , т. е. выражение, которое получено из величин , а также действительных чисел с помощью четырех арифметических действий. Для вычисления интегралов вводится замена

,

где – общий знаменатель дробей , , …. При такой замене переменной все отношения , , … являются целыми числами, и имеет место интеграл от рациональной функции переменной :



.

Интегралы вычисляются с помощью замены



,

где – общий знаменатель дробей , , ….

В результате получается интеграл от рациональной функции переменной .

В общем случае интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций подстановками Эйлера:

– если дискриминант трехчлена отрицательный, то используется первая подстановка Эйлера

;

– если дискриминант трехчлена положительный и , то используется вторая подстановка Эйлера



.

Подстановки Эйлера часто приводят к громоздким выкладкам, поэтому в некоторых случаях удобнее применять другие методы интегрирования.

Для вычисления интеграла выделяется полный квадрат под знаком радикала:

и применяется замена , .

Для вычисления интеграла в числителе выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала. Тогда интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

=



,

где – вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла заменой: , .

При вычислении интеграла с помощью тригонометрических подстановок квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата и замены переменной представляется в виде . В результате исходный интеграл приводится к одному из следующих интегралов:



, ,

.

Интеграл заменой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .

Интеграл заменой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .

Интеграл заменой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .


Интегралы вида

(,,, , ). , , )

называются интегралами от дифференциального бинома . Эти интегралы выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:

– если , то используется подстановка , где – общий знаменатель дробей и ;

– если , то используется подстановка , где – знаменатель дроби ;

– если , то используется подстановка , где – знаменатель дроби .

Во всех остальных случаях, как было показано П. Л. Чебышевым, интегралы от дифференциального бинома не выражаются через элементарные функции.

Известно, что любая непрерывная на множестве функция имеет первообразную, т. е. существует такая функция , что . Однако не всякую первообразную можно выразить через конечное число элементарных функций. Ниже приводятся примеры интегралов, которые не выражаются через элементарные функции:

интеграл Пуассона,

интегральный синус,

интегральный косинус,

интегральный логарифм,

, интегралы Френеля,

эллиптический интеграл первого рода,

эллиптический интеграл второго рода.

Каждый из приведенных интегралов представляет собой функцию, не являющуюся элементарной.


Тема 5 Интегрирование трансцендентных функций
5.1 Интегралы вида

5.2 Интегралы вида , ,

5.3 Интегралы вида , ,

5.4 Интегралы вида ,


Вычислить интегралы можно различными методами: преобразованием подынтегрального выражения с помощью тригонометрических формул, применением методов замены переменной или интегрирования по частям.

Существует общая универсальная схема вычисления таких интегралов, основанная на универсальной тригонометрической подстановке . Этой подстановкой интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции переменной , который всегда выражается в элементарных функциях. Функции , и дифференциал выражаются через по формулам:



, ,

, .

С помощью универсальной подстановки удобно вычислять интегралы вида:



.

Хотя универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интегралы вида , однако ее используют сравнительно редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Поэтому в ряде случаев более удобно использовать частные подстановки.

Если подынтегральная функция нечетна относительно :

,

то применяется подстановка .

Если подынтегральная функция нечетна относительно :

,

то используют подстановку .

Если подынтегральная функция четна относительно и :

,

то применяется подстановка .

Если в интеграле , , , , , хотя бы одно из чисел или нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному интегралу. Если же и четные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул:

, , .

Если , , то подстановками или интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Интегралы вида , , , , вычисляются подстановками и соответственно.

Если , то , . Тогда



.

Последний интеграл при является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.

Аналогично если

, то , ,

поэтому


.
Интегралы вида , , , , вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:

,

,

,

и сводятся к табличным.

Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных функций подстановкой . При этом , .

Интегралы всегда можно свести к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки . В этом случае



, , .

Интегралы вида (, , ) в случае, если хотя бы одно из чисел или нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному интегралу. Если же и четные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью формул:



, , .

Если , , то подстановками или интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.


следующая страница >>