Числовые ряды - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов 2 курса гф 1 25.88kb.
«Числовые и функциональные ряды» 1 14.25kb.
Исследовать числовые ряды на сходимость 1 9.75kb.
Определения, теоремы (1 семестр) Глава Числовые множества. Числовые... 1 65.64kb.
Занятие №22. Ряды Тейлора и Маклорена. Контрольные вопросы 1 40.49kb.
1. Введение: зачем все это нужно? Случайные процессы и временные... 1 70.91kb.
Программа дисциплины дпп ф. 09 «числовые системы» Специальность 032100... 1 121.4kb.
Семенова Л. В., Венгерская Л. Ю. – Крайон. Числовые коды 19 6826.56kb.
Семенова Л. В., Венгерская Л. Ю. – Крайон. Числовые коды 19 6829.01kb.
Рабочая программа по учебной дисциплине Числовые системы для студентов 1 115.95kb.
Президент органы правопорядка должны жестко очищать свои ряды от... 2 544.9kb.
Теорема (необходимое условие сходимости числового ряда) 1 213.45kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Числовые ряды - страница №1/1

Числовые ряды
Числовые ряды являются важным аппаратом, применяемым для вычисления и исследований, как в различных разделах самой математики, так и во многих других.
Понятие числового ряда
Основное определение: Пусть дана бесконечная последовательность чисел a1, a2, …, an,… Выражение вида

(1)
называют числовым рядом или просто рядом.

Числа a1, a2, …, an,… называют членами ряда, член an с произвольным номером – общим членом ряда. Сумма конечного числа членов ряда









называют частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм
(2)
Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S

которое в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:
или
Если последовательность частичных сумм (2) не имеет предела, то ряд (1) называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.
Пример1: Покажем что ряд

сходится. Возьмем сумму S, первых n чисел ряда

Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде




Поэтому

Отсюда следует, сто предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единицы:



Таким образом, ряд сходится и его сумма S равна 1.


Основные свойства сходящихся рядов
Если в ряд (1) отбросить конечное число первых членов, например k членов, то получим ряд
(3)
10 . Теорема: Ряд (3) сходится (или расходится ) одновременно с рядом с рядом (1).

Следствие: При исследовании ряда на сходимость можно игнорировать конечное число его первых членов.
20. Теорема: Предел суммы rk k-го остатка сходящегося ряда (1) при k→∞ равна нулю.

30. Теорема: (необходимый признак сходимости ряда). Общий член an сходящегося ряда (1) стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.


(4)
Следствие: Если общий член an ряда (1) при n→∞ не стремится к нулю, то этот ряд расходится.
40. Теорема: Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд
(5)
где c – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS.

Пример 2: Рассмотрим ряд

который называется гармоническим рядом. Поверим, выполняет ли этот ряд необходимое условие сходимости




Предел равен нулю. Значит, необходимое условие сходимости выполняется. Теперь докажем что этот ряд расходится. Если бы этот ряд сходился то, обозначая его сумму через S, мы бы имели

Но

т.е. . Отсюда следует что равенство невозможно, т.е. гармонический ряд расходится.

Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.



Если же для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то теорема 4 позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.

Признак сходимости знакоположительного ряда (признак Жамэ)

Теорема: Знакоположительный ряд (an ≥ 0) сходится, если при n>n0, и расходится, если , при n>n0.