Численные методы в теории приближений. Лекция 1 Структура погрешности в численном анализе - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Дополнительные главы теории сеточных методов 1 25.88kb.
Iv. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 1 78.46kb.
Программа кандидатского экзамена по специальности 05. 13. 18 «Математическое... 1 40.75kb.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 05. 1 36.69kb.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 05. 1 34.4kb.
Курсовая работа по курсу «Численные методы» 1 52.24kb.
Лекция 12 Пространственная структура одноцепочечных трнк. Вторичная... 1 98.47kb.
Лекция Экономическая теория. Предмет и методы 1 62.93kb.
Лекция Структура периодической системы Д. И. Менделеева. Группы и... 1 118.7kb.
Программа вступительного экзамена по специальности 05. 13. 18 «Математическое... 1 124.5kb.
Омгупс (Омиит)) 1 101.34kb.
§5 Пространство Lp Пусть e измеримое множество, число p 1 3 613.75kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Численные методы в теории приближений. Лекция 1 Структура погрешности в численном - страница №1/1






Глава 1.

Численные методы в теории приближений.
Лекция 1.

1.1 Структура погрешности в численном анализе.
Основные источники погрешностей:

  1. Погрешности математической модели.

Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности.

  1. Погрешности исходных данных.

Данные могут оказаться неточными.

  1. Погрешности метода решения.

Численные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи.

  1. Погрешности округлений при выполнении арифметических операций.

В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми.

Рассмотрим подробнее пункт 4.

Пусть - приближенное представление числа X, т.е.



,

где - погрешность.



Определение 1.

Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .

Максимально возможное значение , т.е. число , удовлетворяющее неравенству , называется максимальной, или предельной, абсолютной погрешностью (ошибкой).

Определение 2.

Величина, равная , называется относительной ошибкой представления числа X числом .

Если , то число называется максимальной предельной относительной ошибкой.
Округление.

Обычно при вычислении с плавающей запятой число X представляется в нормализованном виде.



,

где f - мантисса числа X,



,

а - основание системы счисления (а=2,8,10 и т.д.), L – порядок числа, .

Кроме того,



,

- цифра в k-ом разряде дробного числа, .

t – порядок числа - число используемых значащих цифр (характеристика вычислительного устройства).

Определение 3.

Пусть число X записано в позиционной системе счисления. Значащими называются все цифры, начиная от первой слева не равной 0.

Если число значащих цифр в представлении X превосходит t, то происходит округление.

Ошибки округления распространяются дальше при выполнении арифметических операций.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1.

Абсолютная погрешность суммы.

Пусть , . Тогда

, где .

Т.к. , то , т.е. предельные абсолютные ошибки складываются.



Пример 2.

То же самое для разности. Предельные максимальные абсолютные погрешности аналогично складываются.



Пример 3.

Относительные погрешности произведения.



, где ,

, где

.

Считаем, что последнее слагаемое имеет второй порядок малости по сравнению с первыми двумя, и им пренебрегаем.



, ,

тогда получаем



, т.е. .

При умножении относительные максимальные ошибки приближенно складываются.



Пример 4.

Деление.


При делении относительные максимальные ошибки также складываются.
Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов.

(Вопрос вычисления функции при наличии ошибки в вычислении ее аргумента)

Рассмотрим для определенности функцию двух переменных f(x,y), дифференцируемую в области G.

Необходимо вычислить значение , где точка .

Пусть , .

По формуле конечных приращений Лагранжа для , имеем

,

где - некоторая точка замкнутого прямоугольника ,



.

Отсюда можно получить



.

Если получены оценки:



, , где ,

то максимальная абсолютная ошибка вычисления функции:



.
1.2. Понятие близости в метрическом пространстве.
Определение 1.

Множество X элементов произвольной природы (не обязательно числовое множество) называется метрическим пространством, если любой паре элементов поставлено в соответствие число , (метрика, или расстояние) в соответствии с аксиомами:

А1. тогда и только тогда, когда x=y.

А2. .

А3. – неравенство треугольника.

Определение 2.

Говорят, что последовательность элементов метрического пространства X сходится к элементу , если .



Определение 3.

Последовательность элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если



.

Определение 4.

Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к некоторому элементу этого пространства.



Замечания.

  1. Не любое метрическое пространство является полным.

Например, множество всех рациональных чисел с метрикой не является полным, т.к., скажем, последовательность - фундаментальная, но - иррациональное число.

  1. Сходимость большинства итерационных процессов удается доказать только в полном метрическом пространстве, следовательно, полнота играет важную роль в числовом анализе.

Определение 5.

Множество X называется нормированным линейным пространством, если



  • оно является линейным пространством, т.е. в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число с известными свойствами.

  • любому элементу поставлено в соответствие число (норма x), удовлетворяющее аксиомам:

А1. ,

А2.

А3. – неравенство треугольника.

Замечание.

Любое нормированное линейное пространство X можно считать метрическим, введя метрику по формуле



. (1)

Если последовательность нормированного пространства X сходится в смысле метрики (1), то говорят о сходимости по норме пространства X.

Нетрудно убедиться, что для метрики (1) выполняются все аксиомы метрики.

Приведем некоторые примеры классов функций и соответствующих линейных пространств.


Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.

Пример 1.

Множество всех функций, заданных на отрезке [a, b] и имеющих на нем непрерывные производные до k -го порядка включительно, называется классом .



Пример 2.

При k=0 получаем класс - множество непрерывных на отрезке [a, b] функций.

Если на ввести норму по формуле

, (2)

то получим линейное нормированное пространство C[a,b] (операции сложения и умножения на число вводятся обычным образом f+g=f(x)+g(x), ).

Аксиомы А1, А2 – очевидно, выполняются.

В справедливости А3 нетрудно также убедиться с помощью свойств модуля и теоремы Вейерштрасса.



Замечания.

  1. Норму в классе можно ввести не единственным образом.

Например,

. (3)

  1. Сходимость последовательности по норме (2) – это равномерная сходимость, т.е. последовательность сходится к f - это то же самое, что

- это равномерная сходимость.

Пространство C[a,b] с нормой (2) является полным в силу теоремы мат. анализа: равномерно сходящаяся последовательность в замкнутой области сходится к непрерывной функции.



Пример 3.

Множество всех функций, p-я степень модуля которых интегрируема на отрезке [a, b], называется линейным нормированным пространством , если на нем введена норма по формуле



. (4)

Сходимость по норме (4) называется сходимостью в среднем (при p=2 - среднеквадратичная сходимость).



Замечание.

Пусть , тогда .



,

.

Отсюда следует, что из сходимости последовательности по норме C следует ее сходимость по норме , но не наоборот.