Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Вопросы (Коллоквиум) 1 10.99kb.
Закон для декартового произведения множеств относительно пересечения. 1 17.44kb.
Основные понятия теории множеств 1 92.49kb.
Вопросы к зачету по дисциплине «Математика» 1 26.7kb.
Лекция Понятия множества и элементы множества. Способы задания множеств 2 351.64kb.
Программа зачета. Понятия множества, подмножества. Примеры множеств... 1 23.25kb.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе 1 190.95kb.
Множества. Пересечение множеств. Объединение множеств 1 60.85kb.
Множество. Подмножество. Пересечение и объединение множеств 1 65.34kb.
Вопросы к экзамену Основные понятия теории множеств. Примеры 1 22.46kb.
Теория нечетких множеств Понятие нечеткого множества. Свойства нечетких... 1 108.27kb.
Лабораторная работа №3 Множества 1 59.3kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества - страница №1/1

Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества.

Понятие множества является одним из неопределенных понятий. По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Число элементов конечного множества называется его объемом (N(A)).

Бесконечные множества делятся на счетные (элементы кот. можно занумеровать натуральными числами) и несчетные (промежутки различного типа).

Способы задания множеств:

1). Перечисление: A={a1,a2,a3,a4,…,an} 2). Формулой: B={bn} n=1,N

Если элементы множества А являются элементами множества В, то говорят, что множество А есть подмножество множества В. ( А с В )

Если А есть подмножество В и В есть подмножество А, то очевидно, что А и В состоят из одинаковых элементов. ( А=В )

Основные числовые множества:

N – множество натуральных чисел

Z – множество целых чисел

Q – множество рациональных чисел

R – множество действительных (вещественных) чисел

C – множество комплексных чисел

Билет №2. Операции над множествами, их свойства: объединение, пересечение, разность.

1.Объединением (суммой) множеств А и В называется такое множество АUB (A+B), состоящие из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из данных множеств

Свойства объединения:

1).AUB=BUA

2).АU(BUC)=(AUB)UC=AUBUC

3).AUØ=A

4).AcB, AUB=B

5).AUA=A

2.Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество AᴖB (А*В), элементы которого входят в оба данных множества.

Свойства пересечения:

1).АᴖВ=ВᴖА – коммутативность

2).Аᴖ(ВᴖС)=(АᴖВ) ᴖС=АᴖВᴖС

3).Аᴖ(ВUC)=(AᴖB)U(AᴖC) – дистрибутивность пересечения относительно объединения

4).АᴖА=А

5).АᴖØ=Ø


6).АсВ, АᴖВ=А

7).АU(BᴖC)=(AUB) ᴖ(AUC) –дистрибутивность объединения относительно пересечения

3.Разностью множеств А и В называется множество А\В (А-В), состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в А, но не входят в В.

Свойства разности:

1).А\(А\В)=АᴖВ

2).А\А=Ø


3).А\Ø=А

4).АсВ, А\В=Ø

5). АсВ, тогда B\A – дополнение множества А до множества В.

Билет №3. Дополнение множества А до Ω, свойства Ā. Алгебра множеств.

Рассмотрим некоторое множество Ω, называемое универсальным множеством, в том смысле, что будем рассматривать все операции над его подмножествами, принадлежащие ему же.

Дополнением любого множества (АсΩ) А до множества Ω называется Ω\А=Ā. Элементами Ā являются те элементы Ω, которые не входят в А.

Свойства:

1).А=А


2).Ω=Ø

3).Ø=Ω


4).АUĀ=Ω

5).AᴖĀ=Ø


6).AUB=AᴖB

7). AᴖB=AUB

Совокупность Ą подмножеств множества Ω называется алгеброй множеств, порожденной множеством Ω, если:


  1. Ω€А 2) А€ Ą, В€ Ą, то АUB= Ą; АᴖB= Ą; А\B= Ą.

То есть Ą – множество, элементами которого являются подмножества множества Ω замкнутые относительно основных множественных операций.

Билет №4. Декартово произведение множеств. Отображение множеств.

n-элементным кортежем называется упорядоченный набор из n-элементов, каждый из которых занимает определенное место в кортеже. (a1,a2,a3,…,an)

Элементы кортежа называют его компонентами или координаты.

В отличие от элементов множеств, компоненты кортежа могут быть любой природы, могут совпадать. Пример: (1,а,а,2) (а,в,в,в,а) ({1,2},{1},{1},Ø)

Число элементов кортежа называется его длиной.

Два кортежа считаются равными, если равны их длины и соответствующие компоненты.

Пусть X и У. Из эл-тов этих множеств образуем кортежи длиной 2, причем (I)∈X, (II)∈У.

Декартовым произведением множеств Х и У называется множество Х*У, состоящее из всех кортежей длины 2, где первая компонента принадлежит Х, а вторая – У. Пример: Х={a,b,c} У={1,2} Х*У={(a,1) (a,2) (b,1) (b,2) (c,1) (c,2)} Аналогично определяется произведение n множеств. Х1*Х2*…*Хn={(a1, a2, a3, … , an) | aiXi} X1=X2=…=Xn=X, то декартово произведение обозначают Xn и называют n-ной степенью множества X. Если на плоскости введена декартова система координат, то множество точек плоскости эквивалентно R2.

Рассмотрим непустые множества X и У, где по некоторому правилу f x∈X соотносится с y∈Y. При этом говорят, что задано отображение а множества X на множество Y. Элемент у называется образом эл-та х при отображении f; х – прообраз эл-та у. Прообраз может существовать не для всех эл-тов множества У. А если существует, то не обязательно однозначно. Отображение f множества Х в множество У называется отображением Х на У, если каждый элемент из У имеет хотя бы один прообраз. Отображение а множества Х на множество У называется биективным (взаимно однозначное соответствие), если каждый элемент y∈Yимеет ровно один прообраз. Биективное отображение Х на У f порождает биективное отображение У на Х, кот. обозначается f-1.

Билет №5. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Последовательность: Если каждому n (натуральному числу) поставлено в соответствие вещественное число xn, то говорят, что задана бесконечная числовая последовательность. x1,x2, x3,x4,…,xn,… (1-1)

N→R (то есть последовательность есть отображение N на множество R)

Задание числовой последовательности (1-1) как правило, сводится к заданию общего числа, как функции xn=f(n).

Общий член последовательности xn называют еще переменной (величиной)

Число а называется конечным пределом переменной xn (или последовательности 1-1) , если для любого ε>0 существует такой номер N, что для всех n>N: | xn-a|< ε (1-2)

(1-2)  -ε< xn-a<ε  a-ε < xn

limn→∞xn=a

Если в (1-1) все xn=c=const для всех n, то с – предел такой последовательности.

limс=с


Билет №6. Бесконечно малая величина. Связь предела и бесконечно малой величины

Переменная αn, пробегающая последовательность значений (α1,α2) (2-1), называется бесконечно малой, limn→∞αn=0. Переменная αn называется бесконечно малой, если для любого Е>0 существует N, что n>N |αn|<E

Из всех постоянных величин только 0 является бесконечно малым.

1).Алгебраическая сумма конечного числа αn есть величина БМ.

Доказательство:

Дано: αn ,βn,ϒn - БМ, требуется доказать, что αn +βn+ϒn – БМ

Для любого E>0, так как αn - БМ, то по E/3 найдется N1, что n> N1: |αn|< E/3

Аналогично по E/3 найдется N2, что n> N2 |βn|< E/3

Аналогично по E/3 найдется N3, что n> N3 |ϒn|< E/3

Возьмем наибольшее из чисел N1, N2, N3, тогда для

n>N αnE>|αn| +|βn|+|ϒn|≥| αn +βn+ϒn| => αn +βn+ϒn – БМ, ч. и т. д.

2).Произведение БМ на величину ограниченную есть БМ

Доказательство:

Дано: αn – БМ, xn – ограниченная величина.

Доказать, что αn xn – БМ

Так как xn – ограниченная величина, то по определению существует А>0 для любого N |xn|≤A



E>0 – как угодно мало, так как αn – БМ, то по E/A найдется такой номер N, что | αn |< E/А при всех n>N. Тогда: |αn xn |=|αn||xn |< (E/А)*A= E. Итак, |αn xn|< E => αn xn – БМ, чтд.

3). Частное от деления БМ на величину, имеющую предел, отличный от нуля, есть БМ.

Дано: αn – БМ limn→∞xn=a≠0

Доказать, что αn/ xn – БМ

Из определения БМ и предела последовательности следует:

1). Переменная величина, имеющая предел, отличается от своего предела на бесконечно малую.

Пусть limn→∞xn =a. Обозначим Xn-а=αn, тогда по определению предела (1-2): |αn|=|xn -a|<E (n>N) => αn – БМ.

2). Если разность между переменной xn и постоянным числом a есть БМ, то а является пределом хn. Пусть хn-a= αn – БМ. По определению БМ: |αn|=|xn -a|<E при всех n>N. След-но, по (1-2): limn→∞xn=a.

Билет №7. Бесконечно большие величины. Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин. Признаки существования предела монотонной последовательности.

Переменная xn называется бесконечно большой величиной, если по любому сколь угодно большому положительному числу k найдется такой номер N, что для всех n>N |xn|>k

xn→∞; limn→∞xn=∞.

Если ББ xn сохраняет знак хотя бы при достаточно больших n, то говорят, что xn→∞ , xn→-∞

Связь БМ и ББ

1). Величина αn=1/ xn обратная ББ xn является БМ

Пусть E>0 –как угодно мало, тогда так как xn – ББ, то по k=1/E найдется N n>N |xn|>k=1/E, тогда для таких n: |αn|=| 1/xn|=1/| xn|<E= 1/(1/E) => |αn|<E => αn – БМ, ч.т.д.

2). Величина xn =1/ αn обратная БМ αn является ББ



k>0 –как угодно мало, тогда так как αn – БМ, то по E=1/k найдется N n>N |αn|<E=1/k, тогда для таких N |xn|=| 1/αn|=1/| αn|>k= 1/(1/k) => |αn|<E => xn – ББ, ч.т.д.

Переменная xn, пробегающая последовательность значений x1, x2, x3,…, xn называется возрастающей если x1< x2< x3<…< xn; неубывающей если x1 x2, ≤x3… xn; убывающей если x1> x2> x3>…> xn; невозрастающей если x1 x2 x3… xn

Невозрастающая и неубывающая последовательности называются монотонными.

Теорема (признак Вейерштрасса): Всякая ограниченная монотонная переменная имеет конечный предел.

Теорема (признак Коши): Для того, чтобы переменная xn имела конечный предел необходимо и достаточно, чтобы для любого, как угодно малого E>0 существовал такой номер N, что: для всех n>N и m>N выполнялось неравенство: |xn- xm|<E

Билет№8. Теоремы о единственности предела и о переходе к пределу в неравенстве.

Th1. О единственности предела.

Переменная xn не может иметь двух различных конечных пределов.

Доказательство (от противного): Предположим, что limn→∞xn=a, limn→∞xn=b, a≠b.

Так как переменная отличается от своего предела на бесконечно малую, то

xn=a+ αn, где αn – БМ; xn=b+ βn, где βn – БМ. Составим разность: 0=(a-b)+(αn- βn) => a-b= αn- βn - невозможно, так как никакая const≠0 не может быть БМ => предположение a≠b неверно, то есть a=b.

Th2. О переходе к пределу в неравенстве.

Если для переменных xn и yn всегда выполняется неравенство xn yn и каждая из них имеет конечный предел limn→∞xn=a ; limn→∞yn=b , то и для пределов выполняется неравенство того же смысла ab.

Доказательство (от противного):

Пусть a>b, тогда для любого E>0 N1,что n>N1: |xn-a|<E a-E<xn< a+E; N2,n>N2: σ-E <xn< σ+E. N=max( N1, N2),тогда при всех n>N xn> yn, так как по предположению a>b, что противоречит условию теоремы, => a ≤b, ч.т.д.

Замечание: Из xn< yn, не вытекает строгого неравенства для пределов, а следует



limn→∞xn≤ limn→∞yn; Xn=-1/n; yn=1/n xn< yn; limn→∞-1n=limn→∞1n=0

Билет №9. Теоремы о сжатой переменной и об ограниченности переменной, имеющей конечный предел.

Th3. Теорема о сжатой переменной.

Для переменных xn ,yn, zn при всех xn ynzn и limn→∞xn= limn→∞zn=a, то limn→∞yn=a.

Док-во: По E>0 найдется n>N1 , что xn€(a-E, a+E); пусть n>N2 zn€(a-E, a+E); пусть N=max( N1, N2), тогда при n>N будут выполняться оба условия для xn и zn, а так как по условию теоремы xn ynzn, то yn€(a-E, a+E) => limn→∞yn=a, ч.т.д.

Th4. Об ограниченности переменной.

Если переменная xn имеет конечный предел limn→∞xn= a, то она ограничена

Доказательство: по E>0 найдем N n>N xn€(a-E, a+E) => вне E-окрестности точки a, при n>N будут находиться все или некоторые из первых N членов x1, x2, x3.



Раздвинем границы так, чтобы между новыми границами m и M содержались все m xnM, то есть xn ограничена, ч.т.д.

Билет №10. Теоремы о пределах алгебраической суммы, произведения, частного.

Th5. О пределах: (xn± yn), (xn* yn), (xn/yn)

Если переменные xn ,yn limn→∞xn=a; limn→∞yn=b; то их сумма(разность), произведение и частное также имеют конечные пределы.

limn→∞(xn± yn)= limn→∞xn ± limn→∞yn = a±b

limn→∞(xn* yn)= limn→∞xn* limn→∞yn = a*b

limn→∞(xn/ yn)= limn→∞xn/limn→∞yn = a/b (b≠0)

Доказательство:

Так как переменная отличается от своего предела на БМ, то

xn=a+αn, yn=b+βn, где (αn,βn) - БМ. Тогда xn± yn=( a+αn)∓(b+βn)= (a±b)+(αn± βn) => переменная (xn± yn) отличается от const (a±b) на БМ (αn±βn) =>

limn→∞(xn± yn)= a±b, ч.т.д.

Так как переменная отличается от своего предела на БМ, то

xn=a+αn; yn=b+βn; (αn,βn) - БМ

Тогда xn± yn=( a+αn)(b+βn)=ab+an+bαn+αnβn => переменная xnyn отличается от const(ab) на БМ.

(aβn-bαn+αnβn) => limn→∞(xnyn)= ab, ч.т.д.

Билет №11. Предел функции. Теоремы о пределах функции.

Пусть ф-ция y=f(x) определена при всех х∈Х, за исключением точки x=a∈X.

Определение (на языке последовательности): Если при любой произвольной последовательности аргументов x1, x2, x3,…, xn (xn≠a) (6-1),имеющей своим пределом а, соответствующая последовательность значений функций f(x1), f(x2), f(x3),…, f(xn)(6-2) имеет своим пределом число А, то А является пределом функции y=f(x), при x→a . limx→af(x)=A

Если при xn →a последовательность (6-2) →0, то fxназывается БМ, при x →a.

Если последовательность (6-2) – ББ, то f(x) называется ББ при x→a.

Определение (на языке ε-δ): Число A называется пределом функции f(x) при x→a, если для любого как угодно малого ε>0 существует такое δ>0, что как только |x-a|< δ => |f(x)-A|< ε.

(x≠a). limx→afx=A.

Если один из символов a и А или оба обозначают бесконечность, то определение предела принимает вид:

1) Число А называется пределом функции f(x) при x→∞, если для любого ε>0 найдется такое k>0, что как только |x|>k, тотчас |f(x)-A|< ε. limx→∞f(x)=A.

2) fx→∞ при x→a(конечно), если по любому как угодно большому k>0 можно указать такое δ>0, что как только |x-a|< δ, => |f(x)|>k. limx→af(x)=∞.

3) fx→∞ при x→∞, если по любому как угодно большому M>0 найдется такое k>0, что как только |x|>k, тотчас |f(x)|>M. limx→∞f(x)=∞.

Замечание: Т.к. определения предела функции равносильны, то все теоремы о пределах последовательностей переносятся на теорию пределов функции. В частности: Если при x→a функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы, то и функции fx±gx;fx∙gx;f(x)/g(x) имеют конечные пределы и при этом:

limx→afx±gx=limx→af(x)±limx→ag(x) ; limx→afx∙gx=limx→af(x)∙limx→ag(x) ; limx→afx/gx=limx→af(x)/limx→ag(x), limx→ag(x)≠0.

Односторонние пределы функции.

Число В называется левым пределом f(x) (пределом слева) в точке а, если по любому как угодно малому ε>0 можно указать такое δ>0, что как только a- δ

Число С называется правым пределом f(x) (пределом справа) в точке а, если для любого ε>0 найдется такое δ>0, что как только a

Если f(x) имеет предел в обычном смысле, т.е. limx→afx=A (двухсторонний предел), то существуют левый и правый пределы в точке а, при этом f(a-0)=f(a+0)=A.

Обратно, если ∃f(a-0) и f(a+0) и f(a-0)=f(a+0)=A, то ∃. limx→afx=A.

Билет №12. Первый замечательный предел.

limx→0sinxx=1 [0/0]

Т.к. sin⁡(-x)(-x)=sinxx, то limx→-0sinxx=limx→+0sinxx. Значит, достаточно показать, что limx→+0sinxx=1.

Пусть 0

Из чертежа ясно, что: S(AOB)
0.5R2sinx < 0.5R2x < 0.5R2tgx ; sinx

При x→0: cosx→1, 1→1, след-но (по теореме о сжатой переменной) sinx/x→1.

limx→+0sinxx=1, => limx→-0sinxx=1, limx→0sinxx=1.

Билет №13. Второй замечательный предел.

limx→∞1+1xx=e, [1∞].

xn=1+1nn


x+am=xm+maxm-1 + m(m-1)1∙2a2xm-2 + mm-1(m-2)1∙2∙3a3xm-3+…+mm-1m-2…[m-(k-1)]1∙2∙3∙…∙kakxm-k+…+ mm-1m-2…2∙11∙2∙3∙…∙mam

x=1, a=1/n, m=n, тогда:



xn=(1+1n)n=1+n∙1n+nn-11∙2∙1n2+…+nn-1n-2…[n-(k-1)]1∙2∙3∙…∙k∙1nk+…+nn-1n-2…2∙11∙2∙3∙…∙n∙1nn=1+1+12!1-1n+13!1-1n1-2n+ … + 1k!1-1n1-2n…1-k-1n+1n!1-1n1-2n…1-n-1n

Переходя от xn к xn-1 в правой части появится еще одно слагаемое (положит.), а остальные останутся прежними, след-но, xn-1> xn, след-но, переменная возрастающая, т.е. монотонная.

Заменяя в правой части (…) на 1, правая часть только увеличится, т.е. xn<1+1+12!+13!+…+1n!.

Т.к. 12!=11∙2=121, 13!=11∙2∙3<122, 1n!<12n-1, то заменим на двойки знаменатели: xn<2+122+123+…+12n-1=1+21-12n<3. Значит, xn ограничена.

По т. о существовании предела монотонной огранич. послед-ти предел переменной xn существует и обозначается е.

Переходя к переменной х, получаем: limx→∞1+1xx=e.

Следствие: Пусть x=1z, x→∞:z→0, : limz→01+z1z=e.

Билет 14.

Сравнение бесконечно малых функций (Определение и теорема).

Пусть α(х) и β(х) – БМ ф-ции при ха

Опред.: Если limхаα(х)β(х)= С(const)≠0, то α и β – одного порядка малости

1, то α и β - эквивалентные

0, то α – высшего порядка малости

∞, то α – низшего порядка малости

Th. Если α‘~α, β‘~β, то limхаαβ=limхаα‘β‘

Доказательство: limхаαβ=limхаα‘*α*β‘β‘*α‘*α=limхаαα‘* limхаβ‘β*limхаα‘β‘=limхаα‘β‘ ч.т.д.

Таблица эквивалентности ф-ции.

При х0 sinx~x, tgx~x

еx-1~x

аx-1~xlna

1-cosx~x2/2

Ln(1+x) ~x

(1+x) μ-1~ μx

arcsinx~x , где х – любая БМ ф-ция.


Билет 15.

Непрерывность функций в точке. Односторонняя непрерывность

Пусть x€X; y=f(x)

Опр.: ф-ция наз. Непрерывной в точке (x0) (при х=х0), если limx→x0f(x)=f(x0) (10-1)

limx→x0f(x)=f(limx→x0х) (10-2)

Из (10-2) следует опр.:



  1. Опред.: f(x) наз. непрерывной при х=х0, если предел этой ф-ции при x→x0 равен значению функции от предела ее аргумента.

  2. Опред.: f(x) наз. непрерывной при х=х0 , если по любому как угодно малому Ε>0 можно указать такое δ>0, что как только х-х0 <δ, так fx-f(x0)<Е

(10-1): limx→x0f(x)-fx0=0 limx→x0( f(x)-fx0)=0

Дадим х0 приращение ∆х x0+ ∆х=х , f(х)-f(х0)=f(x0+∆х)-f(х0)=0

(10-3) limx→0∆у=0


  1. Опред.: Ф-ция наз. непрерывной при х=х0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует БМ приращение функции

limx→0∆у=0

Односторонняя непрерывность.

Опред.: Ф-ция f(x) наз. непрерывной справа в точке х0, если limx→x0+0fx=fx0+0=f(x0) и непрерывной слева в точке х0, если limx→x0-0fx=fx0-0=f(x0)


  1. Опред.: f(x) наз. непрерывной при х=х0, если fx0-0= fx0+0=f(x0) (10-4)

Билет 16


Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций.

Th. Если ф-ции f(x) и g(x) непрерывны при х=х0 , то и ф-ции f(x) ± g(x) f(x) × g(x) fx/ g(x) непрерывны при х=х0 (в случае частного, если g(x)≠0).

Доказательство: т.к. f(x) и g(x) непрерывны при х=х0 , то по (10-1) limx→x0f(x)=f(x0) , limx→x0g(x)=g(x0), то по теореме о пределе алгебраической суммы limx→x0(f(x)±g(x))=limx→x0f(x)±limx→x0g(x)=fx0±g(x0) непрерывна при х=х0.

Непрерывность элементарных функций.

Т.к. у всякой элементарной ф-ции можно переходить к пределу под знаком ф-ции в любой точке её ООФ, то каждая из этих функций является непрерывной у всякой такой точки.

Th. Любая элементарная ф-ция непрерывна в каждой точке её области определения.

Билет 17.

Свойства функций, непрерывность в замкнутом промежутке.

Опред.: f(x)наз. непрерывной в промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Св-ва ф-ций, непрерывных в замкнутом промежутке:



  1. Если f(x) непрерывна в замкнутом [a,b], то она и ограничена в этом промежутке, то есть существует такое число M0, что f(x)≤ M0 для всех x€[a,b]. Это значит, что fx≥-M0 f(x)≤M0 , т.е. f(x)ограничена снизу и сверху, а это значит, что f(x) имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы.

supa,bfx=M- точная верхняя граница (супремум)

inf[a,b]fx=m - точная нижняя граница (инфинум)



  1. Если fx непрерывна в замкнутом [a,b], и m и M соответственно точная нижняя и точная верхняя границы, то в промежутке [a,b], найдутся такие точки x1 и x2, что f(x1)=m, f(x2)=M.

*Рисунок

Очевидно, что числа m и M будут наименьшим и наибольшим значением f(x) в [a,b], поэтому св-ва можно сформулировать так: если fx непрерывна в [a,b], то она принимает в этом промежутке как свое наименьшее, так и наибольшее значение.

Замечание: для ф-ции, непрерывной в открытом или полуоткрытом промежутке или разрывной в замкнутом промежутке указанного св-ва может и не быть. (пример :f(x)=х2 [0,2], при этом sup0,2х2=0, inf[0,2]х2=4)

Однако, в открытом промежутке (0,2) нет таких точек, в которых бы значения ф-ций совпадало бы с этими границами (пример: f(x)=х2, если 0≤х≤1, 1-х, если 1≤х≤2sup=1, но ни при каком значении х не принимает этого значения).



  1. Если f(x) непрерывна в [a,b], и Р- любое число, такое, что P≥mP≤M, то в [a,b] найдется хотя бы одно значение х0, где f(х0)=P.

** Рисунок
Билет 18.

Понятие о разрывах непрерывности. Типы разрывов.

Опред. 4: fx0-0= fx0+0=f(x0)

Опред.: f(х), определенная в точке х0 и некоторой её окрестности наз. разрывной, если в ней не выполняется двойное равенство (опред.4).


Возможны случаи:

  1. Пусть конечные fx0-0 и fx0+0, но fx0-0 ≠ fx0+0. Такая точка х0 наз. точкой разрыва 1 рода. Разность fx0+0- fx0-0 наз. скачком ф-ции f(x) в точке х0. *Рисунок

  2. Не существует конечного либо левого, либо правого пределов в точке х0, либо обоих сразу. Такая точка х0 наз. точкой разрыва второго рода. fx0-0 или fx0+0 или оба ∞ . ** Рисунок

  3. Существуют конечные левые и правые пределы, они равны, но не равны значению ф-ции в этой точке. Точку х0 наз. точкой устраненного разрыва. fx0+0= fx0-0 ≠ fx0. ***Рисунок