Антон Луньов

Донецький національний університет

(науковий напрям: Математика і механіка)
Точные константы в неравенствах для промежуточных производных

Ключевые слова: Соболевское пространство, линейный функционал, теорема Рисса, дифференциальное уравнение, матрица Вандермонда.

1. Вступительная часть

В данной работе рассматривается частный случай одного общего класса экстремальных задач, которым в последние годы уделяется большое внимание. Речь пойдет о неравенствах для производных на прямой или полупрямой. Общая постановка задачи такова. Пусть либо полупрямая , либо вся прямая , целые числа, вещественные числа. Рассмотрим общую экстремальную задачу

(1)

Естественно предполагать, что

Здесь, как обычно, , а  – соболевское пространство, состоящее из всех (комплекснозначных) функций , определенных на , имеющих абсолютно непрерывную производную порядка на любом отрезке и обладающих конечной нормой

(2)

Задачу (1) называют общей задачей о неравенствах для производных. Основной интерес представляет случай так что (1) приобретает вид

(3)

При некотором соотношении между возможны неравенства вида

(4)

Задачу о нахождении наилучшей константы в неравенстве (4) называют задачей о неравенстве типа Колмогорова. Неравенство (4) с наилучшей константой называют точным.

Неравенство типа Колмогорова естественно возникает при исследовании разнообразных задач теории приближений. В особенности это относится к задаче Стечкина о приближении неограниченных операторов.

Точные константы в неравенствах Колмогорова известны в небольшом числе случаев. В пяти случаях (для специальных , и ) они найдены для любых и (см. [10]).

В случае , задача (3) равносильна задаче выпуклого программирования

Которая, в свою очередь, равносильна задаче поиска наилучших, т.е. наименьших возможных, констант в неравенстве

(5)

В случае эти константы найдены для всех и и для прямой, и для полупрямой.

Случай был рассмотрен Л. В. Тайковым [9] (см. также [10]). Он получил простую явную формулу для чисел . А именно

Случай полуоси оказался значительно труднее для исследования. В частности, В. Н. Габушин [1] (см. также [10]) нашел функции (в виде линейных комбинаций убывающих экспонент), экстремальные для неравенств (5). Однако неявно определяемые этим результатом числа не были вычислены эффективно.

Г. А. Калябин исследовал эту задачу в работах [2], [3]. В недавней работе [4] он нашел явные формулы для констант . Именно, он доказал следующий результат.

Теорема 1 [4]. Для каждого наименьшая константа в неравенствах выражается формулой

(6)

Формулы (6) позволяют исследовать многие свойства констант . Например, из них очевидно следует симметричность: и общие свойства констант при фиксированном : они ведут себя так же регулярно, как биномиальные коэффициенты , которые монотонно возрастают по при (см. [4]). Отметим также некоторые асимптотические формулы для этих констант, полученные в [4]:

где и Из них, в частности следует, что

В настоящей работе мы предлагаем элементарное доказательство теоремы 1, базирующееся на другой идее. Именно, наше доказательство существенно опирается на теорему Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве. Мы вычисляем норму функционала , реализуя его в виде и вычисляя норму элемента . Более того, теорема Рисса позволяет заменить квадрат нормы этого элемента значением функционала на нём, то есть вместо интеграла в (2) вычислять -тую производную в нуле . Отметим также, что в результате вычисления этой производной была найдена явная формула для матрицы, обратной к матрице типа Вандермонда (лемма 4).

Автор выражает глубокую благодарность М. М. Маламуду за постановку задачи, а также идею доказательства (использовать теорему Рисса). Автор также признателен М. М. Маламуду и Л. Л. Оридороге за ряд ценных замечаний и внимание к работе.
2. Основная часть – доказательство теоремы

Рассмотрим в линейный функционал . Тогда искомая константа является, очевидно, нормой этого функционала. Как известно,  – гильбертово пространство со скалярным произведением

(7)

По теореме Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве существует единственная функция такая, что

(8)

при этом, . Используя равенство (8), получим

(9)

Реализация функционала

Найдем функцию , реализующую функционал по формуле (8). Согласно (8), учитывая определение и равенство (7), получим:

(10)

Предположим вначале, что . Интегрируя по частям раз второе слагаемое в правой части (10) и учитывая, что для функции из исчезают на бесконечности вместе со своими производными до порядка , получим:

(11)

Равенство (11) выполняется для всех функций тогда и только тогда, когда функция  – решение задачи

(12)

(13)

где  – символ Кронекера.

Общее решение уравнения (12), исчезающее на бесконечности имеет вид

(14)

где  – корни уравнения , лежащие в левой полуплоскости :

(15)

Используя (13) и (14), приходим к системе линейных уравнений для :

(16)

Обозначим . Ясно, что  – невырожденная матрица Вандермонда. Пусть . Решая систему (16), получим

(17)

Таким образом, задача (12)-(13) имеет решение. Поэтому найденная функция реализует функционал по формуле (8).

Некоторые вспомогательные утверждения.

Введем еще некоторые обозначения:

 – элементарный симметрический многочлен степени от переменных .

Обобщенный биномиальный коэффициент:

где , при , , , а при и считаем по определению .

Нам понадобятся некоторые алгебраические утверждения.

Лемма 1 [6, стр. 72]. Пусть и при . Тогда справедливо равенство



Лемма 2. Пусть и при . Тогда для всех справедливо равенство



Лемма 3. Пусть  – различные комплексные числа. Тогда матрица обратима и если , то

где , а

Лемма 4. Пусть и при . Тогда матрица обратима и если обозначить , то

где

Лемма 5. Пусть и . Тогда для любого допустимого выполняется равенство



Вывод формулы для .

Используя (9), (17) и (15), получим

(18)

Так как , то и при . Значит, по лемме 4 получим

Откуда по формуле (18) после очевидных преобразований, получим:

Во внутренней сумме воспользуемся леммой 1 при и , а во внешней сумме сделаем замену . Тогда

Из леммы 2 при получим, что . Поэтому

Так как то

Из леммы 5 при следует, что

Но . Поэтому формула (6) доказана.

3. Выводы

Точные константы в неравенствах типа Колгоморова для промежуточных производных имеют применение в различных вопросах математического анализа и теории функций: теоремы вложения, спектральный анализ дифференциальных операторов и т.д.

Представленный метод получения точных констант базируется на теореме Рисса и позволяет существенно упростить технику вычисления: заменить "неподъемный" интеграл (см. [10, стр. 123]) на вполне вычислимую производную .

Получена явная формула для обратной матрицы к матрице типа Вандермонда (лемма 4), которая может быть полезна при решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами.

Список литературы

1. 
   Габушин В.Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования на полуоси. Математические заметки, 6, №5, 573-582 (1969).
   
2. 
   Калябин Г. А. Наилучшие операторы продолжения для соболевских пространств на полупрямой. Функциональный анализ и его приложения, 36, вып. 2, 28-37 (2002).
   
3. 
   Калябин Г. А. О точных константах в неравенствах Колмогорова для пространств Соболева . Доклады РАН, 388, №2, 159-161 (2003).
   
4. 
   Калябин Г.А. Точные константы в неравенствах для промежуточных производных. Функциональный анализ и его приложения, 38, вып. 3, 29-38 (2004).
   
5. 
   Канторович Л. В. и Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. Физматгиз. 1961.
   
6. 
   Кречмар В.А. Задачник по алгебре. Издание шестое. Наука, М., 1968.
   
7. 
   Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Наука, М., 1978.
   
8. 
   Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. ЛГУ. 1950.
   
9. 
   Тайков Л.В. Неравенства колмогоровского типа и наилучшие формулы численного дифференцирования. Математические заметки, 4, №2, 233-238 (1968).
   
10. 
    Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. Издательство МГУ, М., 1976.