Антон Луньов Донецький національний університет (науковий напрям: Математика і механіка) - страница №1/1
Антон Луньов
Донецький національний університет
(науковий напрям: Математика і механіка)
Точные константы в неравенствах для промежуточных производных
Ключевые слова: Соболевское пространство, линейный функционал, теорема Рисса, дифференциальное уравнение, матрица Вандермонда.
1. Вступительная часть
В данной работе рассматривается частный случай одного общего класса экстремальных задач, которым в последние годы уделяется большое внимание. Речь пойдет о неравенствах для производных на прямой или полупрямой. Общая постановка задачи такова. Пусть
либо полупрямая
, либо вся прямая
,
целые числа,
вещественные числа. Рассмотрим общую экстремальную задачу

(1)
Естественно предполагать, что
Здесь, как обычно,
, а
– соболевское пространство, состоящее из всех (комплекснозначных) функций
, определенных на
, имеющих абсолютно непрерывную производную
порядка
на любом отрезке
и обладающих конечной нормой
(2)
Задачу (1) называют общей задачей о неравенствах для производных. Основной интерес представляет случай
так что (1) приобретает вид

(3)
При некотором соотношении между
возможны неравенства вида

(4)
Задачу о нахождении наилучшей константы в неравенстве (4) называют задачей о неравенстве типа Колмогорова. Неравенство (4) с наилучшей константой называют точным.
Неравенство типа Колмогорова естественно возникает при исследовании разнообразных задач теории приближений. В особенности это относится к задаче Стечкина о приближении неограниченных операторов.
Точные константы в неравенствах Колмогорова известны в небольшом числе случаев. В пяти случаях (для специальных
,
и
) они найдены для любых
и
(см. [10]).
В случае
,
задача (3) равносильна задаче выпуклого программирования
Которая, в свою очередь, равносильна задаче поиска наилучших, т.е. наименьших возможных, констант в неравенстве

(5)
В случае
эти константы найдены для всех
и
и для прямой, и для полупрямой.
Случай
был рассмотрен Л. В. Тайковым [9] (см. также [10]). Он получил простую явную формулу для чисел
. А именно
Случай полуоси оказался значительно труднее для исследования. В частности, В. Н. Габушин [1] (см. также [10]) нашел функции (в виде линейных комбинаций убывающих экспонент), экстремальные для неравенств (5). Однако неявно определяемые этим результатом числа
не были вычислены эффективно.
Г. А. Калябин исследовал эту задачу в работах [2], [3]. В недавней работе [4] он нашел явные формулы для констант
. Именно, он доказал следующий результат.
Теорема 1 [4]. Для каждого
наименьшая константа
в неравенствах
выражается формулой
(6)
Формулы (6) позволяют исследовать многие свойства констант
. Например, из них очевидно следует симметричность:
и общие свойства констант при фиксированном
: они ведут себя так же регулярно, как биномиальные коэффициенты
, которые монотонно возрастают по
при
(см. [4]). Отметим также некоторые асимптотические формулы для этих констант, полученные в [4]:
где
и
Из них, в частности следует, что
В настоящей работе мы предлагаем элементарное доказательство теоремы 1, базирующееся на другой идее. Именно, наше доказательство существенно опирается на теорему Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве. Мы вычисляем норму функционала
, реализуя его в виде
и вычисляя норму
элемента
. Более того, теорема Рисса позволяет заменить квадрат нормы этого элемента значением функционала на нём, то есть вместо интеграла в (2) вычислять
-тую производную в нуле
. Отметим также, что в результате вычисления этой производной была найдена явная формула для матрицы, обратной к матрице типа Вандермонда (лемма 4).
Автор выражает глубокую благодарность М. М. Маламуду за постановку задачи, а также идею доказательства (использовать теорему Рисса). Автор также признателен М. М. Маламуду и Л. Л. Оридороге за ряд ценных замечаний и внимание к работе.
2. Основная часть – доказательство теоремы
Рассмотрим в
линейный функционал
. Тогда искомая константа
является, очевидно, нормой этого функционала. Как известно,
– гильбертово пространство со скалярным произведением

(7)
По теореме Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве существует единственная функция
такая, что

(8)
при этом,
. Используя равенство (8), получим

(9)
Реализация функционала
Найдем функцию
, реализующую функционал
по формуле (8). Согласно (8), учитывая определение
и равенство (7), получим:

(10)
Предположим вначале, что
. Интегрируя по частям
раз второе слагаемое в правой части (10) и учитывая, что для
функции из
исчезают на бесконечности вместе со своими производными до порядка
, получим:

(11)
Равенство (11) выполняется для всех функций
тогда и только тогда, когда функция
– решение задачи

(12)

(13)
где
– символ Кронекера.
Общее решение уравнения (12), исчезающее на бесконечности имеет вид
(14)
где
– корни уравнения
, лежащие в левой полуплоскости
:

(15)
Используя (13) и (14), приходим к системе линейных уравнений для
:

(16)
Обозначим
. Ясно, что
– невырожденная матрица Вандермонда. Пусть
. Решая систему (16), получим

(17)
Таким образом, задача (12)-(13) имеет решение. Поэтому найденная функция
реализует функционал
по формуле (8).
Некоторые вспомогательные утверждения.
Введем еще некоторые обозначения:

– элементарный симметрический многочлен степени

от переменных

.
Обобщенный биномиальный коэффициент:
где
,
при
,
,
, а при
и
считаем по определению
.
Нам понадобятся некоторые алгебраические утверждения.
Лемма 1 [6, стр. 72]. Пусть
и
при
. Тогда справедливо равенство
Лемма 2. Пусть
и
при
. Тогда для всех
справедливо равенство
Лемма 3. Пусть
– различные комплексные числа. Тогда матрица
обратима и если
, то
где
, а
Лемма 4. Пусть

и

при

. Тогда матрица

обратима и если обозначить

, то
где
Лемма 5. Пусть

и

. Тогда для любого допустимого

выполняется равенство
Вывод формулы для
.
Используя (9), (17) и (15), получим

(18)
Так как
, то
и
при
. Значит, по лемме 4 получим
Откуда по формуле (18) после очевидных преобразований, получим:
Во внутренней сумме воспользуемся леммой 1 при
и
, а во внешней сумме сделаем замену
. Тогда
Из леммы 2 при
получим, что
. Поэтому
Так как
то
Из леммы 5 при
следует, что
Но
. Поэтому формула (6) доказана.
3. Выводы
Точные константы в неравенствах типа Колгоморова для промежуточных производных имеют применение в различных вопросах математического анализа и теории функций: теоремы вложения, спектральный анализ дифференциальных операторов и т.д.
Представленный метод получения точных констант базируется на теореме Рисса и позволяет существенно упростить технику вычисления: заменить "неподъемный" интеграл
(см. [10, стр. 123]) на вполне вычислимую производную
.
Получена явная формула для обратной матрицы к матрице типа Вандермонда (лемма 4), которая может быть полезна при решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения
-го порядка с постоянными коэффициентами.
Список литературы
-
Габушин В.Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования на полуоси. Математические заметки, 6, №5, 573-582 (1969).
-
Калябин Г. А. Наилучшие операторы продолжения для соболевских пространств на полупрямой. Функциональный анализ и его приложения, 36, вып. 2, 28-37 (2002).
-
Калябин Г. А. О точных константах в неравенствах Колмогорова для пространств Соболева
. Доклады РАН, 388, №2, 159-161 (2003).
-
Калябин Г.А. Точные константы в неравенствах для промежуточных производных. Функциональный анализ и его приложения, 38, вып. 3, 29-38 (2004).
-
Канторович Л. В. и Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. Физматгиз. 1961.
-
Кречмар В.А. Задачник по алгебре. Издание шестое. Наука, М., 1968.
-
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Наука, М., 1978.
-
Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. ЛГУ. 1950.
-
Тайков Л.В. Неравенства колмогоровского типа и наилучшие формулы численного дифференцирования. Математические заметки, 4, №2, 233-238 (1968).
-
Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. Издательство МГУ, М., 1976.