Алгебраические системы Операции и алгебры. N

Алгебраические системы

Операции и алгебры. N-местные операции. Алгебры. Операция замыкания и подалгебры. Морфизмы: гомоморфизм и изоморфизм. Алгебры с одной бинарной операцией – полугруппы, моноиды, группы. Алгебры с двумя бинарными операциями – кольца и поля. Решетки. Ограниченные решетки. Решетки с дополнением. Частичный порядок в решетке

На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

Пример: 3+2=5 (3,2)→5

Замечание. Вообще говоря, операция, определённая таким образом, называется бинарной, поскольку в ней участвуют два элемента. Но также можно говорить об унарных операциях, в которых участвует только один элемент данного множества, и в соответствие ему однозначным образом поставлен второй элемент этого множества. Таковы, например, операции извлечения корня квадратного или нахождения модуля числа.

Аналогично можно определить тернарную и прочие операции на данном множестве, в зависимости от количества участвующих в них элементов. В общем случае, операцией на множестве М будем называть функцию типа . Число n называется арностью операции.

Пример: двойное векторное произведение [[a, b], c] – тернарная операция, смешанное произведение не является операцией, так как мы попадаем в другое множество.

Операция , отображающая любой элемент множества в себя, называется тождественной операцией.

Тождественной операцией на множестве , например, является умножение на единицу.

Для того чтобы описанные ниже соотношения выглядели бы более привычно, положим результат применения бинарной операции элементам записывать не в функциональном виде , а виде , принятом для записи арифметических операций.

Операция называется коммутативной, если для любых элементов выполняется: .

Операции сложения и умножения чисел коммутативны, а вычитание и деление некоммутативны. Также некоммутативна операция умножения матриц (как известно из курса линейной алгебры).

Операция называется ассоциативной, если для любых элементов выполняется: .

Выполнение условия ассоциативности означает, что скобки в выражении можно не расставлять. Сложение и умножение чисел ассоциативны, что и позволяет не ставить скобки в выражениях типа и . В качестве примера неассоциативной операции можно привести возведение в степень.

Важным примером ассоциативной операции является композиция отображений.

Операция называется дистрибутивной слева относительно операции , если для любых выполняется:

,

и дистрибутивной справа относительно операции , если для любых выполняется:

.

Наличие свойства дистрибутивности позволяет раскрывать скобки. Например, умножение дистрибутивно относительно сложения (и вычитания) и справа, и слева:

.

Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа: , но не слева: . Сложение (и вычитание) чисел недистрибутивно относительно умножения: .

Пусть дано некоторое множество , на котором задана совокупность операций . Структура вида называется алгеброй; множество называется несущим множеством, совокупность операций - сигнатурой, вектор “” операций называется типом.

Таким образом, алгеброй называется множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций. Множество М называется основным (несущим) множеством. Вектор арностей операций называется типом алгебры, множество Ω - сигнатурой (совокупностью операций).

Пример. A={R, +, *}

Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с различными типами (в смысле, определённом в пункте 1), очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется вводимых ниже понятий.

Гомоморфизм и изоморфизм – вводятся для отражения схожести, подобие математических структур.

Пусть даны две алгебры и . Гомоморфизмом алгебры в алгебру называется функция , такая, что для всех выполняется условие:

для любого . (*)
Г: ln x=y

ln (ab)=ln a+ln b

(R₊; φ), (R; φ⁺)

Смысл данного определения состоит в следующем. Независимо от того, выполнена ли сначала операция в алгебре , а потом произведено отображение , либо сначала произведено отображение , а потом в алгебре выполнена соответствующая операция , результат будет одинаков.

Сейчас мы определим некоторые виды гомоморфизма, обладающие дополнительными свойствами.

Гомоморфизм, который является инъекцией, называется мономорфизмом.

Гомоморфизм, который является сюръекцией, называется эпиморфизмом.

Гомоморфизм, который является биекцией, называется изоморфизмом.

Таким образом, можно сказать, что изоморфизм – это взаимно однозначный гомоморфизм, то есть равенство Г(φ_I, l₁, l₂, …, l_ki) )= Ψ_i(Г(l₁), Г(l₂), …, Г(l_ki)), если соответствия взаимно-однозначно.

Если множества-носители двух данных алгебр равны, то их гомоморфизм называется эндоморфизмом, а изоморфизм – автоморфизмом.

Примеры:

Пусть - множество натуральных чисел, множество натуральных чётных чисел. Алгебры и изоморфны; изоморфизмом является отображение , причём условие здесь имеет вид . Поскольку , то данный изоморфизм есть изоморфизм алгебры в себя.
Рассмотрим алгебры: A=(N,+,*), B(N₇,_, ) N₇ множество классов остатков (вычетов) по модулю 7, N₇={K₀, K₁, …, K₆}. Покажем, что эти алгебры гомоморфные: Г(13)=К₆, Г(28)=К₀, Г(13+28)=Г(41)=К₆, Г(13+28)=Г(13)+Г(28)=К₆+К₀=К₆, Г(13*28)=Г(264)=К₀=Г(13)*Г(28)=К₆*К₀=К₀
Изоморфизмом между алгебрами и является, например, отображение . .
Булевы алгебры, образованные двумя различными множествами одинаковой мощности, изоморфны: операции у них просто одинаковы, а отображением может служить любое взаимно-однозначное соответствие.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр. Эквиваленность=рефлексивность+симметричность+транзитивность.

AA – рефлексивность, ADBA – симметричность, (A∿B) (B C) (AC) – транзитивность.

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Его сущность можно выразить следующим образом. Если две алгебры изоморфны, то элементы и операции любой из них можно переименовать таким образом, что эти алгебры совпадут. Это позволяет, получив некоторое эквивалентное соотношение в данной алгебре, распространять его на любую изоморфную ей алгебру. Распространённое в математике выражение “с точностью до изоморфизма” означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, то есть являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

Таким образом, можно сделать вывод, что следует изучать не отдельные алгебры, а классы изоморфных алгебр.
Полугруппы.

Полугруппой называется алгебра вида с одной ассоциативной бинарной операцией . (a φ b) φ c=a φ (b φ c)=abc

Как правило, в качестве такой операции используется умножение. Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде или , а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде и так далее. Такая запись называется мультипликативной. Полугруппу часто обозначают записью .

Не следует понимать сказанное выше в том смысле, что полугруппа всегда включает в себя именно арифметическую операцию умножения. Термин “умножение” здесь является достаточно условным. Символ “” применяется именно для того, чтобы указать на это. Под символом “” может пониматься и произведение матриц или векторов, и композиция каких-либо преобразований, и даже сложение.

В общем случае, (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна. Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или абелевой полугруппой.

Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент , что для любого выполняется ∀ a ae=ea=a, то этот элемент называется единицей (нейтральным элементом), а такая полугруппа называется моноидом. Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицы и . Тогда и , следовательно .

Пример.

а) Алгебра , где множество чётных чисел является абелевой полугруппой. Однако, очевидно, она не имеет единицы.

б) Алгебра , где множество квадратных матриц одинаковой размерности образует некоммутативную полугруппу. Причём эта полугруппа является моноидом, а роль единицы в ней выполняет единичная матрица .

в) Алгебра является коммутативной полугруппой с единицей.
Если любой элемент полугруппы можно представить в виде произведения конечного числа элементов множества , то множество называется порождающим множеством или системой образующих полугруппы, а его элементы называются образующими.

Например, в полугруппе порождающим множеством служит бесконечное множество простых чисел.

Полугруппа, которая имеет только одну образующую, называется циклической.

Можно показать, что в циклической полугруппе все элементы являются степенями (в смысле имеющейся операции) этой образующей. Например, циклической полугруппой является полугруппа , поскольку любое натуральное число – это сумма некоторого количества единиц.

Пусть полугруппа имеет конечное число образующих . Если в записи опустить обозначение операции (как это обычно делается для умножения), то все элементы полугруппы можно рассматривать как слова в алфавите . Причём некоторые различные слова могут оказаться равными, как элементы (равные элементы записаны различными словами). В коммутативной полугруппе для двух любых элементов выполняется равенство , позволяющее устанавливать равенство элементов, в том числе, записанных различными словами. Подобные равенства называются определяющими соотношениями.

Полугруппа, в которой нет определяющих соотношений, и любые два различных слова обозначают различные элементы группы, называется свободной.

Доказано, что каждую полугруппу можно получить из некоторой свободной полугруппы введением некоторых определяющих соотношений.

Свободный моноид над алфавитом А: А={a, b, c, …} A* - слова, сложенные из А, алгебра. Введем алгебраическую операцию конкатенация, которая состоит в приписывании одному слову другого. Abba*cab=abbacab. Данная полугруппа имеет 1 – пустое слово (моноид), т.к. приписываем его справа (слева), не меняет слово.

Группы

Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента существует элемент , называемый обратным к элементу и удовлетворяющий условию .

Если не использовать в определении понятие полугруппы, то определить понятие группы можно следующим образом.

Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

1) для любых трех элементов a, b, c  A выполняется свойство ассоциативности:

Ассоциативность (всякая группа есть подгруппа) – (g1°g2) °g3=g1°(g2°g3)

2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенство:

Существование единицы - eg gG (e°g=g°e=g - моноид)

3) для любого элемента а существует элемент а-1 из этого же множества такой, что

Существование обратного элемента gg-1 (g°g-1=g-1°g=e)

Различные множества могут образовывать группу относительно какой-либо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов в множестве-носителе называется порядком группы. Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой. Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической. Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: операция обозначается, как сложение, а единица обозначается, как 0.

Существуют конечные и бесконечные группы. Если группа конечная, т.е. |G|=n, то n –порядок группы.

Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.

(a⁻¹)^-1 = a, a^maⁿ = a^m⁺ⁿ, (a^m)ⁿ = a^mn. (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹.

Верны законы сокращения:

, .

Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.

Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».

Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.

Примеры

а) Алгебра является абелевой циклической группой, в которой роль единицы играет 0, а роль элемента, обратного к элементу играет .

б) Алгебра , где множество рациональных чисел без нуля, является абелевой группой. Обратным к элементу является .

в) Множество невырожденных квадратных матриц порядка с определителем, отличным от нуля с операцией умножения является некоммутативной группой.

г) Множество матриц одинакового порядка с операцией сложения образует абелеву группу.

Нахождение элемента, обратного данному, в общем случае, есть унарная операция. Поэтому тип любой группы . Иногда, при записи конкретной группы указывают в скобках кроме бинарной операции ещё и эту унарную операцию, либо (чаще) нейтральный элемент группы. Например, для группы из примера а соответствующая запись имеет вид , а для группы из примера б - .

Пусть M и N – подмножества группы, т.е. MG, NG, тогда введем множество M^-1, множество xG, существует hM, x=h^-1, т.е. M^-1={xG| hM, x=h^-1}, MN={xG| h₁_∈_{M,∃ h2∈N, x=h1*h2}} NM≠MN в силу некоммуникативности.

Пример бесконечной группы: множество несобственных квадратных матриц данного порядка. Матрица несобственная, если определитель ее не равен нулю. Группа таких матриц некоммунитативная, бесконечная, мощностью

Рассмотрим элемент а из группы G: a⁰=e, а^k+1=a^k*a=a*a^k. Порядок элемента а группы G — минимальное натуральное число n такое, что aⁿ = e. В случае, если такого n не существует, считается, что a имеет бесконечный порядок

Подгруппа

Подгруппа ― подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G.

Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

содержит произведение любых двух элементов из H,
содержит вместе со всяким своим элементом h обратный к нему элемент h⁻¹.

Более подробно это означает, что , и .

Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.

Пример: рассмотрим множество несобственных матриц – линейную группу порядка n. Рассмотрим матрицы, определители которых равны единице. Ln(1)∁ L_n. Det (A₁*A₂)=detA₁*detA₂. Отсюда следует, что определитель произведения двух матриц из Ln(1) равен единице, поэтому Ln(1) подгруппа группы Ln

Пример: пример конечной подгруппы L_n: {E,-E}∁ L_n. Докажем, что это подгруппа. А) замкнутость относительно операций E*E=E, E*-E=-E, -E*-E=E Б) E∈{E,-E}. Если условия выполняются, значит, мы имеем дело с подгруппой.

Каждая группа обладает единичной подгруппой .

Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной (нетривиальной) подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.

Сама группа G и единичная подгруппа называется несобственными (тривиальными) подгруппами группы G, все остальные ― собственными.

Если группы существуют без подгрупп – они пустые.

Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы некоторого непустого множества M, называется подгруппой, порожденной множеством M, и обозначается .

Если M состоит из одного элемента a, то называется циклической подгруппой элемента a.

Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.

Если группа G1 изоморфна некоторой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G1 может быть вложена в группу G.
Поля и кольца.

Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с  R справедливы равенства:

Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную операцию, поэтому его тип - .

Когда группа коммутативна, ее единица называется нулем кольца. Но в кольце может быть единица, т.е. нейтральный элемент по отношению к умножению. Если при этом в кольце R элементы не равны нулю и образуют относительно операции умножения группу, она называется телом. Единица этой группы называется единицей тела.

Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a 0 и любого элемента b существует единственный элемент такой, что ax = b.

Другими словами, для любой пары элементов и уравнение имеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления.

Пример.

а) Алгебра является кольцом и называется кольцом целых чисел. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнение в ней неразрешимо.

б) Алгебра является полем и называется полем рациональных чисел.

Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо, а от деления на простое число — поле.

Деление: остаток меньше модуля m, остаток (0, 1, … , m-1)

{K09, K19,…,K89}=M – остаток при делении на девять.

Построим на этом множестве М алгебру Kl9_Ks9=KP9

Чтобы задать операцию, зададим таблицу Кэли:

Таблица Кэли — в абстрактной алгебре, таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли.
k₃=C’9+3 k₅=C’’9+5 k₃+k₅=(C’+C’’)9+8

_{35 mod 9=8}

_{58 mod 9=4}

_{65 mod 9=2}
_m=5

_{ab mod m=0}
_a _и _{mod 5}

_k₃_=C’5+3

_k₂_=C’’5+2

_k₁_=k₂_k₃_{=C’C’’25+(C’+C’’)5+6}

_{умножение по модулю m}

Решётки.
До сих пор нами рассматривались алгебры, то есть множества, на которых заданы операции. Множества, на которых кроме операций, заданы отношения, называются алгебраическими системами. Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, у которых множество алгебраических отношений пусто. Другим частным случаем алгебраических систем являются модели – множества, на которых заданы только отношения.

Рассмотрим здесь лишь один пример алгебраической системы, который наиболее часто встречается в теоретической алгебре и её приложениях - решётки.

Решёткой называется множество , частично упорядоченное отношением нестрогого порядка , с двумя бинарными операциями и , такое что выполнены следующие условия (аксиомы решётки):

1. (идемподентность);

2. (коммутативность);

3. (ассоциативность);

4. (поглощение).

Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия и .

Если в решётке существует элемент 0, такой что для любого выполняется , то он называется нижней гранью (нулём) решётки.

Если в решётке существует элемент 1, такой что для любого выполняется , то он называется верхней гранью (единицей) решётки.

Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называется ограниченной.

Теорема. Если нижняя (верхняя) грань решётки существует, то она единственная.

В ограниченной решётке элемент называется дополнением элемента , если и .

Пример.

а) Любое полностью упорядоченное множество, например, множество целых чисел, можно превратить в решётку, определив для любых , что и .

б) Определим на множестве натуральных чисел отношение частичного порядка следующим образом: , если является делителем . Тогда есть наименьшее общее кратное этих чисел, а их наибольший общий делитель.

Решётка, в которой пересечение и объединение существуют для любого подмножества её элементов, называется полной. Конечная решётка всегда полна.