страница 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы
|
7 класс Найдите два натуральных числа т и п, если известно, что и тп = 2013. Ответ - страница №1/1
![]() Математическая олимпиада «Будущие исследователи – будущее науки» 19.01.2013 7 класс 7.1. Найдите два натуральных числа т и п, если известно, что ![]() Ответ: т =33, п = 61. Решение следует из разложения на простые множители ![]() ![]() 7.2. Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, в записи которых нет ни цифры 0, ни цифры 5. Ответ: 284160. Решение. Будем складывать числа столбиком. Каждая последняя цифра встречается в разряде единиц столько раз, сколько есть трехзначных чисел с этой цифрой на конце. Значит, она встретится ![]() ![]() ![]() 7.3. Дан прямоугольник, отличный от квадрата. Известно, что площадь прямоугольника численно равна его периметру. Докажите, что меньшая сторона прямоугольника меньше 4, а большая сторона – больше 4. Решение. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Ответ: "Поровну". Решение. Предположим сначала, что в компании больше пяти лжецов. Тогда первые пятеро сказали правду, и значит, они рыцари. Итак, рыцарей по меньшей мере пять, и, значит, наше предположение неверно. Предположим теперь, что в компании больше пяти рыцарей. Тогда среди первой пятерки должен оказаться рыцарь, и он должен был сказать правду, а на самом деле он сказал, что больше лжецов, т.е. опять приходим к противоречию. Значит, в компании 5 лжецов и 5 рыцарей. Поскольку первые пятеро сказали неправду, то они лжецы, а остальные – рыцари, и они сказали: "Поровну". 8 класс 8.1. Стозначное натуральное число N составлено из единиц и двоек, причем между любыми двумя двойками находится четное количество цифр. Известно, что N делится на 3. Сколько единиц и сколько двоек в записи числа N? Ответ: две двойки и 98 единиц. Решение. Если в записи числа N больше двух двоек, то рассмотрев любые три двойки, получим противоречие: действительно, между первой и второй двойкой – четное количество цифр, между второй и третьей – четное количество, а вместе с самой второй (т.е. средней) двойкой получится нечетное количество. С другой стороны, в записи числа N должны присутствовать хотя бы две двойки, т.к. иначе сумма цифр равнялась бы 100 (если двоек нет) или 101 (если одна двойка), и. N не делилось бы на 3. В случае двух двоек все условия выполнены, когда между ними четное количество единиц. 8.2. Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, в записи которых нет ни цифры 0, ни цифры 5. Ответ: 284160. См. задачу 7.2. 8.3. На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут (островитяне знают, кто есть кто). Турист, прибывший на остров, встретил компанию островитян из 10 человек и стал спрашивать по очереди каждого: "Кого в вашей компании больше: рыцарей, лжецов или, может быть, поровну"? Пятеро сказали одно и то же: "Лжецов больше". Что сказали остальные пять человек? Ответ: "Поровну". См. задачу 7.4. 8.4. В треугольнике АВС биссектриса АМ перпендикулярна медиане ВК. Найдите отношения ВP:PK и AP:PM, где P – точка пересечения биссектрисы и медианы. Ответ: ВP:PK = 1, AP:PM = 3:1. Решение. Треугольники АВР и АКР равны (сторона АР – общая, и прилегающие к ней углы равны по условию). Значит, АВ = АК = КС, ВР = РК. Поэтому треугольники АВМ и АКМ равны (по двум сторонам и углу ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 9 класс 9.1. Стозначное натуральное число N составлено из единиц и двоек, причем между любыми двумя двойками находится четное количество цифр. Известно, что N делится на 3. Сколько единиц и сколько двоек в записи числа N? Ответ: две двойки и 98 единиц. См. задачу 8.1. 9.2. Числа х, у удовлетворяют системе уравнений ![]() Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать произведение ху ? Ответ: Наибольшее значение равно 1/3, наименьшее равно –1. Решение. Имеем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 9.3. Сколько точек на гиперболе ![]() Ответ: 16. Решение. Целочисленные точки в первом квадранте соответствуют натуральным делителям числа ![]() ![]() ![]() 9.4. В треугольнике АВС биссектриса АМ перпендикулярна медиане ВК. Найдите отношения ВP:PK и AP:PM , где P – точка пересечения биссектрисы и медианы. Ответ: ВP:PK = 1, AP:PM = 3:1. См. задачу 8.4. 10 класс 10.1. Числа х, у удовлетворяют системе уравнений ![]() Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать произведение ху ? Ответ: Наибольшее значение равно 1/3, наименьшее равно –1. См. задачу 9.2. 10.2. Сколько точек на гиперболе ![]() Ответ: 16. См. задачу 9.3. 10.3. Существует ли такое число х, для которого оба числа ![]() ![]() Ответ: Не существует. Решение. Предположим, от противного, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Решение. Пусть a, b – стороны прямоугольника. Из условия задачи ![]() ![]() ![]() Сначала проверим, что оба множителя (a – 2) и (b – 2) положительны. Действительно, в противном случае из (*) следует, что a –2 < 0, b –2 < 0. Тогда 11 класс 11.1. Решите уравнение ![]() Ответ: ![]() ![]() Решение. Поскольку ![]() ![]() 11.2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству ![]()
11.3. Сколько на гиперболе ![]() Ответ: 48 точек. Решение. Обозначим k = 2013. Уравнение касательной к гиперболе ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 11.4. Дан прямоугольник, для которого численное значение площади больше периметра. Докажите, что периметр прямоугольника больше 16. Решение. См. задачу 10.4. |