7 класс Найдите два натуральных числа т и п, если известно, что и тп = 2013. Ответ - umotnas.ru o_O
7 класс Найдите два натуральных числа т и п, если известно, что и тп = 2013. Ответ - umotnas.ru o_O
страница 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Похожие работы
|
7 класс Найдите два натуральных числа т и п, если известно, что и тп = 2013. Ответ - страница №1/1
Математическая олимпиада «Будущие исследователи – будущее науки» 19.01.2013 7 класс 7.1. Найдите два натуральных числа т и п, если известно, что  и тп = 2013.
Ответ: т =33, п = 61. Решение следует из разложения на простые множители  и небольшого перебора делителей числа 2013; всего их 8, причем «кандидатом» на роль числа m являются меньшие делители, а именно четыре числа 1, 3, 11, 33 и из них условию удовлетворяет только m=33 при п = 61.
7.2. Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, в записи которых нет ни цифры 0, ни цифры 5. Ответ: 284160. Решение. Будем складывать числа столбиком. Каждая последняя цифра встречается в разряде единиц столько раз, сколько есть трехзначных чисел с этой цифрой на конце. Значит, она встретится  раза (т.к. всего используется 8 цифр для разрядов сотен и десятков). Поэтому сумма цифр в последнем разряде равна  = 2560. Аналогично, в разряде десятков и сотен получим ту же сумму. В итоге получим  .
7.3. Дан прямоугольник, отличный от квадрата. Известно, что площадь прямоугольника численно равна его периметру. Докажите, что меньшая сторона прямоугольника меньше 4, а большая сторона – больше 4. Решение. Пусть  – стороны прямоугольника. По условию,  , отсюда получаем равенство  . Если  и  , то  , что противоречит полученному равенству. Аналогичное противоречие получается, когда оба числа а – 2 и b – 2 положительны, но меньше 2. Если оба числа а – 2 и b – 2 отрицательны, то  , что также невозможно. Значит,  ,  , т.е. a < 4, b > 4.
Ответ: "Поровну". Решение. Предположим сначала, что в компании больше пяти лжецов. Тогда первые пятеро сказали правду, и значит, они рыцари. Итак, рыцарей по меньшей мере пять, и, значит, наше предположение неверно. Предположим теперь, что в компании больше пяти рыцарей. Тогда среди первой пятерки должен оказаться рыцарь, и он должен был сказать правду, а на самом деле он сказал, что больше лжецов, т.е. опять приходим к противоречию. Значит, в компании 5 лжецов и 5 рыцарей. Поскольку первые пятеро сказали неправду, то они лжецы, а остальные – рыцари, и они сказали: "Поровну". 8 класс 8.1. Стозначное натуральное число N составлено из единиц и двоек, причем между любыми двумя двойками находится четное количество цифр. Известно, что N делится на 3. Сколько единиц и сколько двоек в записи числа N? Ответ: две двойки и 98 единиц. Решение. Если в записи числа N больше двух двоек, то рассмотрев любые три двойки, получим противоречие: действительно, между первой и второй двойкой – четное количество цифр, между второй и третьей – четное количество, а вместе с самой второй (т.е. средней) двойкой получится нечетное количество. С другой стороны, в записи числа N должны присутствовать хотя бы две двойки, т.к. иначе сумма цифр равнялась бы 100 (если двоек нет) или 101 (если одна двойка), и. N не делилось бы на 3. В случае двух двоек все условия выполнены, когда между ними четное количество единиц. 8.2. Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, в записи которых нет ни цифры 0, ни цифры 5. Ответ: 284160. См. задачу 7.2. 8.3. На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут (островитяне знают, кто есть кто). Турист, прибывший на остров, встретил компанию островитян из 10 человек и стал спрашивать по очереди каждого: "Кого в вашей компании больше: рыцарей, лжецов или, может быть, поровну"? Пятеро сказали одно и то же: "Лжецов больше". Что сказали остальные пять человек? Ответ: "Поровну". См. задачу 7.4. 8.4. В треугольнике АВС биссектриса АМ перпендикулярна медиане ВК. Найдите отношения ВP:PK и AP:PM, где P – точка пересечения биссектрисы и медианы. Ответ: ВP:PK = 1, AP:PM = 3:1. Решение. Треугольники АВР и АКР равны (сторона АР – общая, и прилегающие к ней углы равны по условию). Значит, АВ = АК = КС, ВР = РК. Поэтому треугольники АВМ и АКМ равны (по двум сторонам и углу  между ними). Тогда SABM = SAKM = SCKM = = , где S = SABC. Далее,  . Но  (т.к.  ),  . Отсюда  ,  , т.е.  и поэтому АР: РМ = 1: 3.
9 класс 9.1. Стозначное натуральное число N составлено из единиц и двоек, причем между любыми двумя двойками находится четное количество цифр. Известно, что N делится на 3. Сколько единиц и сколько двоек в записи числа N? Ответ: две двойки и 98 единиц. См. задачу 8.1. 9.2. Числа х, у удовлетворяют системе уравнений  .
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать произведение ху ? Ответ: Наибольшее значение равно 1/3, наименьшее равно –1. Решение. Имеем  =  =  , т.е.  . Система  равносильна исходной (т.к. из нее с помощью указанных выше преобразований получается второе уравнение исходной системы). Решение полученной системы – это корни квадратного уравнения  (по обратной теореме Виета). Дискриминант этого уравнения  должен быть неотрицательным, т.е.  . Поэтому  .
9.3. Сколько точек на гиперболе  имеют целочисленные координаты (х;у)?
Ответ: 16. Решение. Целочисленные точки в первом квадранте соответствуют натуральным делителям числа . Количество таких делителей равно 8 (можно их выписать непосредственно или воспользоваться формулой  для количества натуральных делителей числа  .) С учетом симметричных точек в третьем квадранте получаем ответ.
9.4. В треугольнике АВС биссектриса АМ перпендикулярна медиане ВК. Найдите отношения ВP:PK и AP:PM , где P – точка пересечения биссектрисы и медианы. Ответ: ВP:PK = 1, AP:PM = 3:1. См. задачу 8.4. 10 класс 10.1. Числа х, у удовлетворяют системе уравнений .
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать произведение ху ? Ответ: Наибольшее значение равно 1/3, наименьшее равно –1. См. задачу 9.2. 10.2. Сколько точек на гиперболе имеют целочисленные координаты (х;у)?
Ответ: 16. См. задачу 9.3. 10.3. Существует ли такое число х, для которого оба числа  и  являются рациональными?
Ответ: Не существует. Решение. Предположим, от противного, что  ,  , где p и q - рациональные числа. Тогда  =  . Если  , то отсюда сразу получаем противоречие (в левой части – рациональное число, в правой – иррациональное). Если  , то  , что также приводит к противоречию, т.к.  , а  .
Решение. Пусть a, b – стороны прямоугольника. Из условия задачи   (*)
Сначала проверим, что оба множителя (a – 2) и (b – 2) положительны. Действительно, в противном случае из (*) следует, что a –2 < 0, b –2 < 0. Тогда 11 класс 11.1. Решите уравнение  .
Ответ:  ,  .
Решение. Поскольку  , то равенство может выполняться лишь при условии  , откуда следует ответ.
11.2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству  .
11.3. Сколько на гиперболе точек таких, что касательная в них пересекает обе координатные оси в точках с целочисленными координатами?
Ответ: 48 точек. Решение. Обозначим k = 2013. Уравнение касательной к гиперболе  в точке  есть  , где  . Отсюда находим координаты точек пересечения касательной с осями Ох и Оу, а именно  ,  . Значит,  – целое число; обозначим его через п. Тогда  . Таким образом, п может принимать значения любого делителя числа  . Количество натуральных делителей числа N равно (2+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 24 (т.к. любой делитель имеет вид  , где  ,  ). С учетом отрицательных делителей (соответствующих касательным в третьей четверти) получаем всего 48 точек.
11.4. Дан прямоугольник, для которого численное значение площади больше периметра. Докажите, что периметр прямоугольника больше 16. Решение. См. задачу 10.4. |
, 
и поэтому 
a + b > 8 
, т.е. множество из правой полуплоскости лежит между графиками у = х и у = х2 + х. Легко проверить, что парабола у = х2 + х касается прямой у = х в начале координат (см. рис.). При x < 0 левая часть исходного неравенства отрицательна в области определения, т.е. множество из левой полуплоскости, расположенное выше графика у = х, удовлетворяет нашему неравенству.
