7 класс Найдите два натуральных числа т и п, если известно, что и тп = 2013. Ответ - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
7 класс Найдите два натуральных числа т и п, если известно, что и тп = 2013. Ответ - страница №1/1

Математическая олимпиада

«Будущие исследователи – будущее науки» 19.01.2013


7 класс
7.1.  Найдите два натуральных числа т и п, если известно, что и тп = 2013.

Ответ: т =33, п = 61.

Решение следует из разложения на простые множители и небольшого перебора делителей числа 2013; всего их 8, причем «кандидатом» на роль числа m являются меньшие делители, а именно четыре числа 1, 3, 11, 33 и из них условию удовлетворяет только m=33 при п = 61.
7.2.  Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, в записи которых нет ни цифры 0, ни цифры 5.

Ответ: 284160. Решение. Будем складывать числа столбиком. Каждая последняя цифра встречается в разряде единиц столько раз, сколько есть трехзначных чисел с этой цифрой на конце. Значит, она встретится раза (т.к. всего используется 8 цифр для разрядов сотен и десятков). Поэтому сумма цифр в последнем разряде равна = 2560. Аналогично, в разряде десятков и сотен получим ту же сумму. В итоге получим .
7.3.  Дан прямоугольник, отличный от квадрата. Известно, что площадь прямоугольника численно равна его периметру. Докажите, что меньшая сторона прямоугольника меньше 4, а большая сторона – больше 4.

Решение. Пусть – стороны прямоугольника. По условию, , отсюда получаем равенство . Если и , то , что противоречит полученному равенству. Аналогичное противоречие получается, когда оба числа а – 2 и b – 2 положительны, но меньше 2. Если оба числа а – 2 и b – 2 отрицательны, то , что также невозможно. Значит, , , т.е. a < 4, b > 4.


    1. На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут (островитяне знают, кто есть кто). Турист, прибывший на остров, встретил компанию островитян из 10 человек и стал спрашивать по очереди каждого: "Кого в вашей компании больше: рыцарей, лжецов или, может быть, поровну"? Пятеро сказали одно и то же: "Лжецов больше". Что сказали остальные пять человек?

Ответ: "Поровну". Решение. Предположим сначала, что в компании больше пяти лжецов. Тогда первые пятеро сказали правду, и значит, они рыцари. Итак, рыцарей по меньшей мере пять, и, значит, наше предположение неверно. Предположим теперь, что в компании больше пяти рыцарей. Тогда среди первой пятерки должен оказаться рыцарь, и он должен был сказать правду, а на самом деле он сказал, что больше лжецов, т.е. опять приходим к противоречию. Значит, в компании 5 лжецов и 5 рыцарей. Поскольку первые пятеро сказали неправду, то они лжецы, а остальные – рыцари, и они сказали: "Поровну".
8 класс
8.1.  Стозначное натуральное число N составлено из единиц и двоек, причем между любыми двумя двойками находится четное количество цифр. Известно, что N делится на 3. Сколько единиц и сколько двоек в записи числа N?

Ответ: две двойки и 98 единиц. Решение. Если в записи числа N больше двух двоек, то рассмотрев любые три двойки, получим противоречие: действительно, между первой и второй двойкой – четное количество цифр, между второй и третьей – четное количество, а вместе с самой второй (т.е. средней) двойкой получится нечетное количество. С другой стороны, в записи числа N должны присутствовать хотя бы две двойки, т.к. иначе сумма цифр равнялась бы 100 (если двоек нет) или 101 (если одна двойка), и. N не делилось бы на 3. В случае двух двоек все условия выполнены, когда между ними четное количество единиц.
8.2.  Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, в записи которых нет ни цифры 0, ни цифры 5.

Ответ: 284160. См. задачу 7.2.
8.3.  На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут (островитяне знают, кто есть кто). Турист, прибывший на остров, встретил компанию островитян из 10 человек и стал спрашивать по очереди каждого: "Кого в вашей компании больше: рыцарей, лжецов или, может быть, поровну"? Пятеро сказали одно и то же: "Лжецов больше". Что сказали остальные пять человек?

Ответ: "Поровну". См. задачу 7.4.
8.4.  В треугольнике АВС биссектриса АМ перпендикулярна медиане ВК. Найдите отношения ВP:PK и AP:PM, где P – точка пересечения биссектрисы и медианы.

Ответ: ВP:PK = 1, AP:PM 3:1. Решение. Треугольники АВР и АКР равны (сторона АР – общая, и прилегающие к ней углы равны по условию). Значит, АВ = АК = КС, ВР = РК. Поэтому треугольники АВМ и АКМ равны (по двум сторонам и углу между ними). Тогда SABM = SAKM = SCKM = =, где S = SABC. Далее, . Но (т.к. ), . Отсюда , , т.е. и поэтому АР: РМ = 1: 3.

9 класс
9.1.  Стозначное натуральное число N составлено из единиц и двоек, причем между любыми двумя двойками находится четное количество цифр. Известно, что N делится на 3. Сколько единиц и сколько двоек в записи числа N?

Ответ: две двойки и 98 единиц. См. задачу 8.1.
9.2.  Числа х, у удовлетворяют системе уравнений

.

Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать произведение ху ?



Ответ: Наибольшее значение равно 1/3, наименьшее равно –1.

Решение. Имеем = = , т.е. . Система равносильна исходной (т.к. из нее с помощью указанных выше преобразований получается второе уравнение исходной системы). Решение полученной системы – это корни квадратного уравнения (по обратной теореме Виета). Дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е. . Поэтому .
9.3. Сколько точек на гиперболе имеют целочисленные координаты (х;у)? 

Ответ: 16. Решение. Целочисленные точки в первом квадранте соответствуют натуральным делителям числа . Количество таких делителей равно 8 (можно их выписать непосредственно или воспользоваться формулой для количества натуральных делителей числа .) С учетом симметричных точек в третьем квадранте получаем ответ.

9.4.  В треугольнике АВС биссектриса АМ перпендикулярна медиане ВК. Найдите отношения ВP:PK и AP:PM , где P – точка пересечения биссектрисы и медианы.

Ответ: ВP:PK = 1, AP:PM 3:1. См. задачу 8.4.
10 класс
10.1.  Числа х, у удовлетворяют системе уравнений

.

Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать произведение ху ?



Ответ: Наибольшее значение равно 1/3, наименьшее равно –1. См. задачу 9.2.
10.2.  Сколько точек на гиперболе имеют целочисленные координаты (х;у)?

Ответ: 16. См. задачу 9.3.
10.3.  Существует ли такое число х, для которого оба числа и являются рациональными?

Ответ: Не существует. Решение. Предположим, от противного, что , , где p и q - рациональные числа. Тогда = . Если , то отсюда сразу получаем противоречие (в левой части – рациональное число, в правой – иррациональное). Если , то , что также приводит к противоречию, т.к. , а .


    1. Дан прямоугольник, для которого численное значение площади больше периметра. Докажите, что периметр прямоугольника больше 16.

Решение. Пусть a, b – стороны прямоугольника. Из условия задачи  (*)

Сначала проверим, что оба множителя (a – 2) и (b – 2) положительны. Действительно, в противном случае из (*) следует, что a –2 < 0, b –2 < 0. Тогда , и поэтому , что противоречит (*). Теперь для положительных чисел (a – 2) и (b – 2) можно воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим: ab > 8 P > 16.


11 класс
11.1.  Решите уравнение .

Ответ: , .

Решение. Поскольку , то равенство может выполняться лишь при условии , откуда следует ответ.
11.2.  Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Решение. При x > 0 исходное неравенство запишется в виде , т.е. множество из правой полуплоскости лежит между графиками у = х и у = х2 + х. Легко проверить, что парабола у = х2 + х касается прямой у = х в начале координат (см. рис.). При x < 0 левая часть исходного неравенства отрицательна в области определения, т.е. множество из левой полуплоскости, расположенное выше графика у = х, удовлетворяет нашему неравенству.




11.3.  Сколько на гиперболе точек таких, что касательная в них пересекает обе координатные оси в точках с целочисленными координатами?

Ответ: 48 точек. Решение. Обозначим k = 2013. Уравнение касательной к гиперболе в точке есть , где . Отсюда находим координаты точек пересечения касательной с осями Ох и Оу, а именно , . Значит, – целое число; обозначим его через п. Тогда . Таким образом, п может принимать значения любого делителя числа . Количество натуральных делителей числа N равно (2+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 24 (т.к. любой делитель имеет вид , где , ). С учетом отрицательных делителей (соответствующих касательным в третьей четверти) получаем всего 48 точек.
11.4.  Дан прямоугольник, для которого численное значение площади больше периметра. Докажите, что периметр прямоугольника больше 16.

Решение. См. задачу 10.4.