§5 Пространство Lp Пусть e измеримое множество, число p 1 - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
§5 Пространство Lp Пусть e измеримое множество, число p 1 - страница №1/3

§5 Пространство Lp
Пусть E - измеримое множество, число p 1

Определение 1. Множество всех измеримых на E функций f(x), для которых функции

суммируемы на E, называется пространством Lp(E).
Норма в пространстве Lp(E) вводится по формуле .

Если, то f(x) ~ 0, поэтому в этом пространстве элементы считаются равными, если они эквивалентны. Остается проверить аксиому треугольника для таким образом введенной нормы. В случаи = 1 это очевидно, в случаи p > 1 сначала докажем неравенство Гельдера, а затем неравенство Минковского.

Если p > 1, число q связано с числом p по формуле

, то функция f(x)g(x) суммируема на E и справедливо неравенство Гельдера. .

Для доказательства введем в рассмотрение на множестве x > 0 функцию . Производная функции больше нуля при и меньше нуля при x > 1. Следовательно, функция достигает максимума при x = 1. Запишем неравенство в виде и положим , где . Получим соотношение , справедливо для всех чисел . Если , то ; В результате выведем неравенство Юнга .

В случаях f(x) ~ 0 или g(x) ~ 0 неравенство Гельдера очевидно. Пусть f(x) 0, g(x) 0, положим . В результате неравенство Юнга примет вид .

Правая часть соотношения суммируема на множестве E, поэтому в силу мажорантного признака суммируема на E и левая часть, то есть функция f(x)g(x). Интеграл от функции, стоящий в скобках в правой части, равен единице. В итоге неравенство Гельдера доказано.

Если , то функция суммируема на множестве E и справедливо неравенство Минковского .

Суммируемость функций вытекает из очевидного неравенства , справедливо для любых чисел a и b. Также мы отметили справедливость неравенства Минковского при p = 1. Проведем доказательство для случая p > 1, воспользуемся неравенством Гельдера.

Если , то

Запищим сначала неравенство Гельдера, заменив функцию g(x) на ,



, а затем f(x) на g(x),а g(x) снова на ,

Используя выведенные соотношения в следующей цепочке неравенств





Учитывая равенство , из выведенной оценки получим неравенство Минковского, которое и подтверждает справедливость аксиомы треугольника в пространстве Lp(E)
Последовательность {} элементов нормированного пространства называется фундаментальной, если числовая последовательность стремится к нулю при . Последовательность {} элементов нормированного пространства называется сходящейся, если в этом пространстве существует элемент а такой, что .

Определение 2. Нормированное пространство называется полным(банаховым), ели любая

фундаментальная последовательность в этом пространстве является сходящийся.


Теорема 1. Пространство Lp(E), , является полным(банаховым)

пространством.



Доказательство. Пусть - произвольная фундаментальная последовательность в Lp(E). Для любого натурального числа k существует номер такой, что для всех выполняется неравенство . Можно считать, что , тогда . В силу неравенства Гельдера:

.

Из этого соответствия следует оценка



, которая по теореме 8(Б.Леви) из §4 гарантирует сходимость почти всюду на E ряду и тем более ряда

. Но это означает, что какая то частичная сумма этого ряда, равна сходится почти всюду на E к некоторой функции f(x). Далее, для любы существует номер N такой, что для всех номеров выполняется неравенство , а поскольку последовательность сходится почти всюду на E к функции при , то по теореме 9(Фату) из §4 и выполняется неравенство для всех . Отсюда в силу неравенства Минковского следует принадлежность функции f(x) пространству Lp(E) и сходимость последовательности {(x)} к функции f(x) в метрике Lp(E). Теорема доказана.

Измеримая функция F(x) на измеримом множестве E называется простой, если она принимает f(x) = , если , причем может быть равным . Характеристической функцией множества E называется функция .

Очевидно, что всякая простая функция f(x) имеет вид ,причем в этой сумме при каждом x отличном от нуля лишь одно слагаемое. Ясно, что функция измерима тогда и только тогда, когда множество E-измеримо.

Лемма 1. Для любой на измеримом множестве E неотрицательной f(x) существует неубывающая последовательностьпростых неотрицательных функций таких, что в каждой точке x множества E, причем сходимость равномерная на множестве конечных значений функции f(x).

Доказательство. Введем в рассмотрение множество ,

n = 1,2,…, k =0,1,2,…, . Ясно, что при любом натуральном n множество E представимо в виде объединения попарно не пересекающихся множеств . Определим следующим образом: , если , если на . При переходе от n к (n+1) множество , так как . На множестве выполняется равенство , а на . Кроме этого справедливо соответствие для всех точек . Лемма доказана.



Следствие. Последовательность , в которой функции определяются по формуле обладает свойством: для любой точки , , по равномерной сходимости на может и не быть.

Теорема 2. Пусть E-ограниченное измеримое множество, . Тогда пространство непрерывных на E функций С(E) плотно в Lp(E).

Доказательство. Необходимо доказать, что для любой функции и для любого числа найдется непрерывная на E функция такая, что . Так как , то теорему достаточно доказать для случая . Принадлежность f(x) классу Lp(E) означает, что функция f(x) почти всюду конечна на E и множеством можно пренебречь. В силу следствия к лемме 1 существует неубывающая последовательность простых неотрицательных функций превращающих каждое число значение такое, что . Поэтому согласно теореме 8(Б. Леви) из §4 для любого найдется номер N такой, что для всех выполняется равенство . Таким образом достаточно установить существование функции удовлетворяющий для любого неравенству

, для -произвольная простая функция, принимающая конечное число значений.

Для каждого множества существует, содержащийся в нем замкнутое множества , и такое, что, где -любое положительное число. При этом выполняется соотношение . Обозначим через -функцию расстояния от точкидо множества . Ясно, что функция является непрерывной на E. Характеристическую функцию множества можно представить в виде где . Последовательность не возрастает с номером n, причем справедливо соотношение , и в силу теоремы 8(Б. Леви) из §4 будет выполнятся неравенство , если n - велико. Заметим, что все непрерывны на E и даже во всем .

Далее, определим функцию справедливо цепочка неравенств: , поэтому достаточно выбрать из неравенства . Теорема доказана.

Теорема 3. (Непрерывность в метрике Lp). Пусть E - ограниченное измеримое множеств, . Тогда любая функция непрерывна в метрике Lp, то есть для любого найдется число такое, что справедливо неравенство , ели , а функция f(x) считается продолженной нулем на все пространство .

Доказательство.

Пусть множество E содержится в шаре радиуса R с центром в точке x = 0. обозначим и воспользуемся теоремой 2.Тогда для любого существует и даже по замечанию в тексте доказательства такая, что . Пусть ,тогда при тоже и справедлива цепочка неравенств: . Неравенство при достаточно малых значениях h имеет место в силу равномерной непрерывности непрерывной на функции . Теорема доказана.


§6 Метрические и нормированные пространства.

Определение 1. Множество M называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлены в соответствия неотрицательное число , удовлетворяющее условиям:

1) = 0 тогда и только тогда, когда x = y(аксиома тождества);

2) =(аксиома симметрии);

3) (аксиома треугольника).

Число называется расстоянием между элементами x и y, а перечисленные три условия - аксиомами метрики. Любое множество можно сделать метрическим пространством, если ввести метрику по закону: = 0, если x = y, = 1, если .



Определение 2. последовательность элементов метрического множества M называется фундаментальной, если = 0. Последовательность элементов метрического множества M называется сходящейся, если существует и такой, что = 0. Если последовательность точек множества пространства M сходится к точке , то и любая подпоследовательность последовательности сходится к этой же точке. Фиксируем произвольное число . Ели для , то и для .

Последовательность точек метрического пространства M может сходиться не более, чем к одному пределу. Пусть , . Тогда



при любом для достаточно больших номеров n, но это возможно лишь в случае = 0, то есть x = y.

Если последовательность точек из метрического пространства M сходится к точке , то эта последовательность ограничена в том смысле, что числа ограничены для любой фиксированной точки из M. Действительно, по аксиоме треугольника для любого номера n имеем

,

ибо последовательность ограничена как сходящаяся числовая последовательность и, следовательно, числа не превосходят постоянной a.

Назовем шаром B(a,r) (замкнутым шаром) с центром в точке и радиусом r совокупность точек x метрического пространства M, удовлетворяющих неравенству (). Окрестностью точки x назовем любой шар с центром в этой точке. Множество, лежащее целиком внутри некоторого шара, называется ограниченным.

Пусть дано множество X метрического пространства M. Точка называется предельной точкой этого множества, если любая окрестность точке а содержит хотя бы одну точку множества X \ {a}, то есть для любого r. Множество, полученное присоединением к X всех его придельных точек, называется замыканием множества X и обозначается . Множество X называется замкнутым, если X = . Множество Y называется открытым, если его дополнение M \ Y замкнуто. Множество X называется всюду плотным в пространстве M, если = M. Множество X называется нигде не плотным в пространстве M, если каждый шар этого пространства содержит в себе шар, свободный от точек множества X.



Определение 3. Если в метрическом пространстве M каждая фундаментальная последовательность является сходящейся, то пространство M называется полным.

Фиксируем число . Рассмотрим множество числовых последовательностей таких, что . Это множество обозначается . Метрика для элементов и вводится по формуле



Справедливость аксиомы треугольника для таким образом введенного расстояния проверяется по схеме, изложенной в §5 для доказательств неравенств Гельдера и Минковского (здесь фактически имеет место дискретный аналог этих неравенств).

Докажем полноту пространства . Для этого рассмотрим фундаментальную последовательность этого пространства, то есть последовательность, у которой для любого выполняется неравенство

для всех . Отсюда следует, что для любого индекса i имеет место



при . Фиксируем число i. Последовательность фундаментальная, поэтому она сходится к некоторому пределу , или .

Обозначим . Для любого натурального числа k справедливо неравенство



.

Переходя к пределу при , получим



при . В свою очередь, переходя к пределу при , будем иметь



при . Отсюда следует, что . Кроме того, при , и полнота пространства доказана.



Теорема 1(о вложенных шарах). Пусть дана в полном метрическом пространстве M последовательность замкнутых шаров, вложенных друг в друга (то есть таких, что каждый последующий шар содержится внутри предыдущего), радиусы которых стремятся к нулю. Тогда существует и притом единственная точка, принадлежащая всем этим шарам.

Доказательство. Обозначим рассматриваемые шары следующим образом:

.

По условию теоремы



.

Рассмотрим последовательность центров этих шаров:



.

Так как , то . Поэтому . Следовательно, при независимо от номера p, т.е. последовательность центров сфер является фундаментальной.

В силу того, что пространство M - полное, эта последовательность сходится в некоторому пределу . Возьмем любой шар. Тогда точки принадлежат этому шару. В силу замкнутости шара предельная точка а этой последовательности также принадлежит . Таким образом, принадлежит всем шарам.

Допустим, что существует еще одна точка b, принадлежащая всем шарам и отличная от точки a, так, что . Так как a и b , то



,

что невозможно, ибо при . Теорема доказана.



Определение 4. Множество X называется множеством 1-ой категории, если она может быть представлено в виде суммы конечного или счетного числа нигде не плотных множеств. Множество, не являющееся множеством 1-ой категории, называется множеством второй категории.

Теорема 2(Бэра о категориях). Полное метрическое пространство есть множество 2-ой категории.

Доказательство. Предположим противное и допустим, что полное пространство , где множества нигде не плотны. Возьмем шар с центром в произвольной точке a и радиусом, равным единице. Так как нигде не плотно, то внутри шара найдется шар радиуса , не содержащий точек множества . Так как нигде не плотно, то внутри шара найдется шар радиуса , не содержащий точек множества и так далее.

Мы получили последовательность замкнутых шаров



,

каждый из которых вложен в предыдущий и радиусы которых стремятся к нулю. При этом шар не содержит точек множеств . По теореме 1 существует точка , принадлежащая всем шарам. С другой стороны, эта точка не принадлежит ни одному из множеств , поэтому . Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.

Если рассмотреть числовую прямую с обычной евклидовой нормой как метрическое пространство, то множество рациональных точек на представляет собой множество 1-ой категории, а множество иррациональных точек является множеством 2-ой категории.

Теорема 3 (принцип сжатых отображений). Пусть в полном метрическом пространстве M задан оператор A, переводящий элементы пространства M в элементы этого пространства. Пусть, кроме того,

,

где , а x и y - любые элементы M. Тогда существует и притом единственная точка и такая, что . Эта точка называется неподвижной точкой оператора A, который, в свою очередь, называется сжатым (сжимающим) отображением.

Доказательство. Зафиксируем произвольный элемент и положим ,, … , ,… . Покажем, что последовательность является фундаментальной. В связи с этом, заметим


,

…,, … .


Далее,

.

Из этой оценки следует, что , то есть - фундаментальная последовательность. В силу полноты M существует элемент, . Докажем, что . В самом деле,



.

Но при достаточно больших значениях n выполняются неравенства: , , следовательно для произвольного числа. Поэтому или .

Докажем единственность неподвижной точки. Предположим, что существуют два элемента такие, что , . Тогда , а это возможно при только в случае . Теорема доказана.

Рассмотрим пример на применения принципа сжатых отображений из теории интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Пусть K(s,t) - функция, определенная и измеримая на квадрате и такая, что . Пусть, кроме того, . Тогда интегральное уравнение имеет при каждом достаточно малом значении параметра единственное решение .

Введем оператор . Покажем, что этот оператор действует из в . Для этого достаточно доказать выполнение указанного свойства для оператора . Пусть . Тогда согласно неравенству Коши - Буняковского:

.

Следовательно, в силу теоремы Фубини и мажорантного признака, функция



интегрируема на интервале (a,b) , причем

.

Оценим теперь . Имеем:







.

Если , то мы находимся в условиях применения принципа сжатых отображений.



Определение 5. Пусть X - линейное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. X называется линейным нормированным пространством, если каждому его элементу x поставлено в соответствие вещественное число , называемое нормой этого элемента, причем выполнены следующие аксиомы:

1) ,

2) , - число из поля,

3) .

Сходимость последовательности из линейного нормированного пространства отождествляется со сходимостью в метрике , причем полное линейное нормированное пространство называется банаховым.



Примеры:

1) - n мерное евклидово пространство, банохово пространство с нормой , где ;

2) C[0,1] - пространство непрерывных на [0,1] функций с нормой , отвечающий равномерной сходимости, поэтому С[0,1] также банохово пространство:

3) , . , - банохово пространство в силу теоремы 1 из §5;

4) ,,,, - банохово пространство (доказательство в начале этого параграфа) ;

5) - пространство на [0,1] функций, имеющих непрерывную производную порядка m , - банохово пространство.



Определение 6. Линейное многообразие L линейного нормированного пространства X называется подпространством, если множество L замкнуто относительно сходимости по норме.

Отметим, что из при следует , так как в частности, если последовательность - ограниченная числовая последовательность.



Теорема 4 (теорема Рисса). Пусть L - подпространство линейного пространства X, . Тогда для любого существует элемент ,и такой, что для .

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент и обозначим . Тогда d > 0, ибо если d = 0, то и (в силу замкнутости L), что невозможно. Для любого существует такой, что . Положим ; , так как в противном случае , что невозможно, . Далее, . Теорема доказана.
§7. Линейные операторы.

Пусть X и Y – линейные нормированные пространства над полем действительных или полем комплексных чисел.



Определение 1. Отображение A:XY (y = Ax), то есть оператор А, определяемый на X с областью значений в Y, называется линейным оператором, если для любых элементов ,X и любого числа λ справедливы равенства:

а) A(+) = A+ A,

б) А(λ)= λА

Определение 2. Оператор A:XY непрерывен в точке X если для любой последовательности, сходящейся к соответствующая последовательность образов сходится к элементу А, то есть для любого существует и такое, что как только выполняется неравенство будет выполняться неравенство

Теорема 1. Линейный оператор А непрерывен на всем пространстве Х тогда и только тогда, когда А – непрерывен в одной точке X.

Доказательство. Действительно, пусть xX – любая точка и . Тогда

и в виду непрерывности А в точке : А = = , то есть .
Примеры:

1) А=0 или А=I (тождественный оператор) линейные непрерывные операторы.

2) X=C[0,1], ,

Оператор А, действует из Х на числовую прямую R1 по закону Ах(t) = x(0). Рассмотрим непрерывность А в нуле , или при .

Тогда , так как означает равномерную сходимость к нулю по t[0,1]. Следовательно, оператор А – непрерывен.

3)Пусть теперь норма для оператора А из пункта 2) вводится по формуле . Рассмотрим последовательность , которая вычисляется по формуле , t; =0, t. В этом случае , при . Но не стремится к 0, то есть оператор А не является непрерывным.



Определение 3. Оператор А называется ограниченным, если существует постоянная М такая, что оценка выполняется для всех xX.

Ограниченный оператор переводит ограниченное множество пространства X в ограниченное множество пространства Y.



Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывен необходимо и достаточно, чтобы А был ограничен.

Необходимость. Пусть А – непрерывен, предположим А – неограничен. Тогда существует последовательность , для членов которой выполняется неравенство . Положим ,,так как . Но , то есть не стремиться к A0 = 0. Следовательно, оператор А не является непрерывным.

Достаточность. Пусть А – ограничен, то есть . Если , или при , то из неравенства следует , значит А – непрерывен.

Определение 4. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию для линейного ограниченного оператора А называется нормой оператора А и обозначается . Другими словами .

Покажем, что норму линейного ограниченного оператора А можно вычислить по формуле . Действительно, если , то и . Но для любого существует такой, что . Положим , тогда , а так как , то . Из этой оценки в силу произвольности вытекает неравенство .

Совокупность всех линейных ограниченных операторов, отображающих линейное нормированное пространство Х в линейное нормированное пространство Y, образует линейное пространство . Если А и В – линейные ограниченные операторы, то равенство определяет сумму операторов, а - умножение оператора на число. Нулем этого пространства является оператор 0x=0 для любого хХ. В можно ввести норму :

1) если , то для любого хХ, то есть A=0;

2) ;

3)

Таким образом – линейное нормированное пространство.

Если линейный ограниченный оператор действует из линейного нормированного пространства Х на числовую прямую , то такой оператор называется линейным функционалом . Совокупность всех линейных функционалов, действующих из Х называется сопряженным пространством к Х и обозначается . Норма функционала вычисляется по формуле .



Теорема 3. Если Х – линейное нормированное пространство, а Y – банахово пространство (полное линейное нормированное пространство), то пространство также будет полным, то есть банаховым.

Доказательство. Пусть последовательность операторов фундаментальна в L(XY), , n,, следовательно, , n,,а, значит последовательность фундаментальная, то есть ограниченная: для всех номеров n. Отсюда и , что и означает ограниченность оператора А. Докажем формулу в смысле . Действительно, для любого существует такой, что при всех и любом натуральном p для всех хХ, , выполняется неравенство , переходя пределе при , получим для любого и любого хХ, . Но тогда , то есть в смысле сходимости по норме пространства L(XY). Теорема доказана.

Следствие. Пространство , сопряженное к линейному нормированному пространству - банахово, так как - банахово пространство.

Теорема 4 (теорема Банаха-Штейнгауза – принцип равномерной ограниченности). Пусть Х и Y – банаховы пространства. Если и последовательность ограничена для любого, то найдется постоянная С такая, что , то есть числовая последовательность ограничена.

Доказательство. Предположим, что последовательность неограниченна, тогда множество неограниченно на любом замкнутом шаре , ,. В самом деле, если бы неравенство выполнялось для всех номеров и всех , то, взяв, любой элемент , мы получим элемент . Для этого элемента , или , следовательно, и , что противоречит предложению.

Если теперь - любой замкнутый шар, то на нем множество неограниченно. Тогда существуют номер и элемент такие, что . В силу непрерывности оператора неравенство выполняется и в некотором шаре . На множество также неограниченно и существуют номер и элемент такие, что и по непрерывности оператора это неравенство выполнено в некотором замкнутом шаре и так далее. Можно считать, что и . Тогда по теореме о вложенных шарах из §6 существует единственная точка для всех номеров . В этой точке , что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.



Следствие. Пусть Х и Y – банаховы пространства, , существует последовательность такая, что и . Тогда существует , и .

Пусть это не так, то есть для всех , последовательность ограничена. Если то имеет норму и . Значит, последовательность ограниченна для любого и по теореме 4 существует постоянная С такая, что , но и , что противоречит стремлению последовательности к .

Приведем пример применения теоремы 4 в теории рядов Фурье. Мы докажем существование непрерывной периодической функции, для которой ряд Фурье расходиться.

Пусть , , , , .

Преобразуем частичную сумму ряда Фурье

.

Положим х=0 и ; непрерывная на функция, если ее доопределить нулем в точке.



Таким образом, , при . Рассмотрим оператор - линейный оператор из пространства , в пространстве , ставящий с точностью до в соответствие ее частичную сумму ряда Фурье в точке . Пусть , ,



так как интеграл сходится по признаку Дирихле-Абеля. Итак, при и согласно следствию к теореме 4 существует , для которой ряд Фурье расходится в точке .
следующая страница >>