1. Прежде чем приступать к нашему курсу лекций, оцените свои знания векторной и линейной алгебры - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Рабочая учебная программа по дисциплине 3 651.69kb.
Решение систем линейных уравнений Классы задач линейной алгебры 1 66.12kb.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Элементы векторной... 4 741.35kb.
Программа курса "Линейная алгебра" 1 45.3kb.
Использование байесовского подхода в математическом моделировании... 1 40.76kb.
Курс лекций Красноярск, 2007 Сенашов, В. И 3 992.09kb.
Лабораторная работа 1 Методы решения задач линейной алгебры 1 32.01kb.
Курс лекций по специальному курсу «Компьютерные системы» 8 2194.15kb.
Контрольная работа №1 Элементы векторной алгебры и аналитической... 1 75.32kb.
М. В. Ломоносов видел причину огромных успехов в естествознании,... 1 134.78kb.
Алгебраические системы Операции и алгебры. N 1 194.95kb.
2. Электростатическая теорема Гаусса. Пусть имеется вектор А 1 25.31kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

1. Прежде чем приступать к нашему курсу лекций, оцените свои знания векторной и линейной - страница №2/2

Часть 2. Основы тензорного исчисления.

Лекция 8. Тензорный закон преобразования.

8.1. Преобразования базисов.

В первой части нашего курса мы изучали, в основном, скалярные и векторные поля и только в последних лекциях появилось понятие тензора (ФМТГ). Во второй части курса будут рассмотрены поля более сложной природы - тензорные, как единый класс объединяющий большинство известных в физике полевых понятий. Вспомним описание скаляра и вектора. Для задания скалярной величины достаточно одного числа, т.е. скаляр математически отображается точкой на числовой оси. Вектор, как более сложный объект, удается отобразить с помощью направленного отрезка (геометрическое описание) или набора трех его проекций (координатное представление). В дальнейшем оказалось, что координатное описание вектора является более универсальным, так как направленный отрезок можно построить не всегда (например, на сферической поверхности). При этом возникает сложность, связанная с тем, что в различных системах координат проекции одного и того же вектора имеют различный вид. Этот вопрос становится еще более запутанным при переходе к произвольным КСК, так как базисы их становятся функциями точки. Другими словами, произвольная КСК становится локальной и возникает проблема сравнения компонент вектора в двух бесконечно близких точках. Разрешение этой проблемы связано с определением параллельного переноса вектора. Об этом мы подробнее поговорим позже, а сейчас, чтобы избежать излишних сложностей, положим в основу определения, например, вектора его признак, не зависящий от выбора КСК. Оказалось, что в качестве такого признака разумнее всего выбрать закон преобразования компонент вектора при переходе от одной КСК к другой. Получить этот закон проще всего для базисных векторов.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1. Ковариантным (контравариантным) тензорным законом преобразования компонент тензора (тензорный закон) называется правило, по которому преобразуются ковариантные (контравариантные) базисные вектора при переходе от одной произвольной КСК в другую.

1. Определим тензорный закон для . Пусть заданы две КСК: - старая (условно) и - новая, между которыми существует взаимно однозначное соответствие:

Обратите внимание: старые и новые координаты различаются не индексами, а наличием или отсутствием «колпачка» над символом. По определению ковариантного базиса имеем:

- новый, - старый. (8.1)

Учитывая зависимость радиус-вектора от криволинейных координат, следует рассматривать как сложную вектор-функцию старых координат, тогда, по определению сложной производной от радиус-вектора по старой координате, имеем: или,



(8.2)

Мы получили прямой тензорный закон преобразования ковариантных базисных векторов. Обратный тензорный закон для этих же векторов имеет следующий вид:



или, (8.3)



  1. Определим тензорный закон преобразования для контравариантного базиса. Пусть

-новый базис, старый базис, Разложим вектор в старом и новом базисах. Тогда, по определению компоненты в каждой КСК имеем:

и

Вычислим , используя зависимость между старыми и новыми координатами:



Отсюда следует, что (8.4)

Мы получили прямой тензорный закон преобразования контравариантных базисных векторов. Предлагаем читателю самостоятельно вывести обратный тензорный закон для этого базиса:

(8.5)

Сравним тензорные законы (8.2) и (8.4). Легко доказать, что они взаимно обратны в том смысле, что коэффициенты преобразования базисных векторов образуют взаимно обратные матрицы. В самом деле, при матричном умножении имеем:

Эта закономерность в тензорных законах объясняет принятую терминологию: ковариантные – значит прямо преобразующиеся, контравариантные - обратно преобразующиеся вектора.

Определим тензорный закон преобразования компонент произвольного вектора в ковариантном базисе. Для этого разложим его по формуле (5.10), в которой мы заранее пронумеровали проекции верхними индексами, считая, что они преобразуются по контравариантному закону. Проверим наше предположение, расположив индексы у компонент сначала посредине и сместив их после установления закона преобразования:



Заменим по формуле (8.3):



Из линейной независимости базисных векторов следует, что



. (8.6)

Очевидно, что правило (8.6) соответствует тензорному закону преобразования контравариантных векторов, поэтому индексы в формуле (8.6) следует сместить вверх. Используя этот метод, просто вывести правило преобразования компонент вектора, полученных в контравариантном базисе; не трудно сообразить, что они будут преобразовываться по ковариантному закону. Таким образом,

тензорные законы преобразования базиса и компонент вектора в этом базисе взаимно противоположны, чем и объясняется принятая терминология (см. определения 6.1. и 6.2). Это следует хорошо запомнить и при разложении вектора в КСК индексы у проекций и базисных векторов писать противоположно.

Определим тензорный закон преобразования компонент ФМТГ. По определению 6.3.



- новая КСК, старая КСК. Преобразуем старый базис по формуле (8.2) и подставим в или окончательно

(8.7)

Это и есть искомый тензорный закон преобразования ФМТГ в ковариантной форме. Аналогичным образом легко получить закон преобразования ФМТГ в контравариантной форме. Пусть



- новая КСК, старая КСК, тогда

или, окончательно,

(8.8)

А это - тензорный закон преобразования ФМТГ в контравариантной форме. Рассмотрим ФМТГ в смешанной форме:



- новая КСК, - старая КСК, тогда

или окончательно

(8.9)

Что представляет тензорный закон преобразования ФМТГ в смешанной форме.

Анализ тензорных законов для векторов и тензоров позволяет сделать некоторые общие выводы. Во-первых, необходимо обратить внимание на то, что во всех выражениях, где стоит знак суммы, индекс суммирования встречается дважды. Это обстоятельство дает возможность сформулировать правило Эйнштейна.
ПРАВИЛО ЭЙНШТЕЙНА. Для упрощения записи выражений, где встречается знак суммирования по повторяющимся индексам, подразумевается суммирование без указания символа суммы . Во-вторых, самым важным свойством тензорного закона является то, что его вид

одинаков для любой пары КСК. Это свойство было положено в основу общего определения тензорных величин и называется инвариантностью.



ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА. Пусть задано функций вида в новой КСК, - функций вида - в старой КСК. Если эти функции при переходе от одной КСК к другой преобразуются по следующему тензорному закону

(8.10)

то они образуют - раз ковариантный и - раз контравариантный тензор валентности . Еще раз следует напомнить, что по повторяющимся индексам и подразумевается

суммирование. Иначе говоря, тензор любой валентности всегда можно представить множеством некоторых функций (необходимое условие), которые преобразуются по тензорному закону (8.10.) при переходе от одной КСК к другой (достаточное условие). Это определение оказалось очень плодотворным и позволило объединить большое число физических понятий в единый класс - тензоры. Так, например, если имеется набор, состоящий из одной функции, которая сохраняет свое значение в одной и той же точке пространства в любой КСК, то это тензор нулевой валентности или скаляр (инвариант); вектор - набор, состоящий из трех функций, преобразующихся по ковариантному (8.3) или по контравариантному (8.5) законам, он же тензор первой валентности; ФМТГ представляет собой множество из девяти функций с тензорным законом преобразования (8.8)-(8.9) и называется тензором второй валентности и т.д. Таким образом, тензор - это единый объект, описывающий те или иные физические или математические

свойства системы. Он может быть представлен в различных формах, в зависимости от валентности, набором функций, преобразующихся при переходе от одной КСК к другой по тензорному закону (8.10).



Упражнение 8

1. Используя координатные преобразования Лоренца



,

найти тензорные законы преобразования для тензоров первой и второй валентности.

2. Определить при каких условиях частная производная от компоненты тензора первой валентности по координате будет тензором второй валентности.

3. Составить матрицы координатных преобразований базисных векторов: при переходе от декартовых к сферическим координатам и обратно; при переходе от декартовых к цилиндрическим и обратно.

4. Записать матрицу преобразования компонент вектора: при отражении трех координатных осей при повороте декартовой системы координат вокруг оси на угол .

5. Построить тензор инерции в декартовой системе координат для абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с произвольной угловой скоростью.



Лекция 9. Тензорная алгебра

9.1. Сложение и вычитания тензоров

Рассмотрим алгебраические операции с тензорами. Основное условие, которое должно

выполняться при введении этих операций, состоит в том, чтобы в результате снова получился тензор. Другими словами, алгебраические операции не должны выводить из поля тензоров.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1. Суммой (разностью) двух тензоров, например, и называется тензор, компоненты которого равны

(9.1.)

Свойство. Складывать и вычитать можно тензора только одной структуры.

Докажем, что в результате сложения ( вычитания) снова получаем тензор той же

структуры. По условию и - тензора и для них справедлив тензорный закон:





Суммируя (вычитая) эти выражения, получим:



или, окончательно



(9.2.)

Мы получили тензорный закон преобразования для тензора третей валентности дважды ковариантного и раз контравариантного.



9.2. Тензорное произведение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.2. Умножением тензора на тензор (тензорное произведение) называется тензор, компоненты которого получены путем умножения каждой компоненты одного тензора на все компоненты второго.

(9.3.)

Свойство. Перемножать тензора можно любой структуры. Валентность произведения равна сумме валентностей исходных множителей.


Докажем корректность этой операции. Для исходных тензоров имеем тензорный закон:



Перемножая эти выражения, получим



в конечном итоге имеем



(9.4.)

- тензорный закон преобразования для пятивалентного тензора четырежды ковариантного и раз контравариантного.



9.3. Операция перемещения индексов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.3. Операцией поднятия или опускания индексов называется правило, позволяющее преобразовывать компоненты тензора из одного типа в другой.

Введем эту операцию на примере вектора (тензора первой валентности). Представим в противоположных базисах: . Умножим это равенство скалярно на и воспользуемся определением ФМТГ в ковариантной и смешанной формах, тогда

Сумму вычислим, если воспользуемся свойством .

(9.5.)

Формула (9.5) связывает ковариантные и контравариантные компоненты вектора и называется операцией опускания индекса, т.к. она позволяет вычислить проекции вектора с нижними индексами по проекциям с верхними индексами. Очевидно, что обратная ей операция поднятия индекса будет иметь следующий вид:



(9.6.)

Обобщим эту операцию на многовалентные тензоры, например . Представим, множитель преобразуем по формуле (9.6.), тогда



(9.7.)

Это операция однократного поднятия индекса . Применим ее еще раз для второго индекса. Для

этого представим Преобразуем снова по формуле (9.6.).

(9.8.)

Подставим это вычисление в формулу (9.7) (9.9.)

Так выглядит операция двукратного поднятия индексов.

Общее правило поднятия и опускания любого числа индексов. Чтобы передвинуть некоторое число индексов, необходимо компоненты исходного тензора умножить на компоненты ФМТГ столько раз, сколько индексов преобразуется и каждое произведение просуммировать по повторяющимся противоположным индексам.

Приведем пример операции четырехкратного поднятия индексов.





9.4. Операция понижения валентности тензора.

Операция понижения валентности тензора называется сверткой индексов. Введем эту операции на примере тензора вида. Общее число компонент у этого тензора 81 штука. Выберем среди них те, у которых значения индексов и совпадают, и просуммируем их:



(9.10.)

Тензор называется сверткой тензора .



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.4. Однократой сверткой тензора называется тензор, полученный путем суммирования компонент исходного тензора по двум одинаковым значениям противоположных индексов.

Очевидно, что операцию свертки можно повторить для следующей пары противоположных индексов, т.е. двукратно. Например, для при имеем .

Учитывая формулу (9.10), двукратная свертка выглядит следующим образом



Свойства.

1. В результате однократной свертки валентность тензора понижается на две единицы.

2. Сворачивать тензор (в общем случае) необходимо по противоположным индексам.

3. Если тензор представлен в ковариантной или контравариантной форме, то сначала необходимо перейти к смешанному типу, применяя операцию поднятия или опускания индексов.

3. С помощью достаточного числа сверток тензор четной валентности приводится к инварианту (тензору нулевой валентности), а тензор нечетной валентности – к тензору первой валентности (вектору).

Докажем корректность операции свертки. Для этого предварительно рассмотрим следующую лемму.



Лемма. Пусть в любой КСК заданы числа (9 штук), принимающих следующее значение:

(9.11.)

Тогда совокупность образует смешанный тензор второй валентности - тензор Кронекера.

Докажем необходимое условие. Предположим, что тензор, тогда для него справедлив тензорный закон:

(9.12.)

Используя свойство (9.11), вычислим сумму по в (9.12): .

По формуле сложной производной свернем сумму по :

(9.13)

Таким образом, если - тензор, обладающий свойством (9.11), то его компоненты всегда можно представить в виде (9.13) в любой КСК. Это утверждение становится очевидным, если вспомнить, что координаты линейно независимы между собой. В старой КСК имеем:



(9.14.)

Докажем достаточное условие. Пусть набор чисел (9.11) задается формулами (9.13) и (9.14), определим для него закон преобразования. Из формулы (9.13) следует:



Учитывая зависимость между КСК, по формуле сложной производной запишем:



Окончательно, опуская знак суммы, получим тензорный закон преобразования смешанного тензора второй валентности.

Проверим корректность операции свертки на примере тензора . Тензорный закон для него следующий: . Образуем свертку в новой КСК по индексам и :

.Выделим сумму по и свернем ее (см. лемму):

После подстановки сумма по элементарно просчитывается:

Таким образом, в результате однократной свертки мы получили тензор на две единицы меньшей валентности: (14.5)

В заключение этой лекции еще раз отметить, что не надо пугаться громоздких выражений с многократными суммами. Необходимо преодолеть робость перед ними и запомнить основные правила работы, в чем и заключается залог успеха.



Упражнение 9

1. Показать, что если тензор - симметричный (), а тензор - антисимметричный (), то . Вывести следующие два тождества, справедливые для произвольного тензора :



, и .

2. Доказать, что сумма диагональных компонент тензора второй валентности (шпур тензора ) является инвариантом.

3. Доказать, что тензор второй валентности антисимметричный (симметричный) в одной системе координат, антисимметричный (симметричный) во всех других системах координат.

4. Показать, что если в некоторой системе координат соответствующие компоненты двух векторов пропорциональны, то они пропорциональны в любой другой системе координат.



Лекция 10 Дифференцирование базисных векторов

Вернемся к вопросу о построении произвольной КСК. Ковариантные базисные вектора, по определению, являются функциями точки, т.е.



(10.1)

поэтому правомерен вопрос об изменении этих векторов вдоль соответствующих координатных линий КСК. Это означает, что мы должны рассмотреть частную производную от базисного вектора, например, в собственном базисе. Коэффициенты разложения необходимо нумеровать тремя индексами: номер компоненты, номер координаты по которой ведется дифференцирование и номер вектора



(10.2)

Набор функций (27 штук) играет важную роль в теории пространств и называется символами Кристоффеля второго рода. Если задуматься, то станет очевидным, что символы Кристоффеля не могут быть тензорами в общем случае, т.к. они тождественно обращаются в нуль в ДСК, где базисные вектора фиксированы. Чтобы убедится в этом, построим закон преобразования при переходе от одной КСК к другой. Пусть по-прежнему -- новая КСК, -- старая КСК, в которых справедливо разложение (10.2):



- в старой КСК и - в новой КСК (10.3)

Так как базисный вектор, то для него справедлив закон: . Продифференцируем это равенство по координате : и подставим (10.3), получим: . Во втором слагаемом индекс суммирования меняем на , а вектор преобразуем по обратному тензорному закону, тогда



Используя линейную независимость базисных векторов, приравняем коэффициенты при :



(10.4)

Это и есть закон, по которому преобразуются символы Кристоффеля второго рода при переходе от одной КСК к другой. Очевидно, что это преобразование не совпадает с тензорным законом для 3-х валентного тензора дважды ковариантного и раз контравариантного. Таким образом, в общем случае символы Кристоффеля второго рода не образуют тензор. Следует, однако, заметить, что в так называемых аффинных пространствах, где допускаются только линейные координатные преобразования, множество становится тензором, так как вторые смешанные производные в (10.4) тождественно обращаются в ноль. Поэтому принято называть символы Кристоффеля афинным тензором третьей валентности.



Свойство. Символы Кристоффеля второго рода симметричны по нижним индексам. Чтобы доказать это, продифференцируем определение (10.1) по координате .

Учитывая разложение (10.2), делаем вывод о том, что символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам.



(10.5)

10. 1 Связь символов Кристофелля с метрическим тензором

Существование зависимости между и следует из того, что оба множества связаны с выбором базиса КСК. Чтобы получить эту зависимость, воспользуемся формулой (10.2). Домножим это выражение скалярно на и введем соответствующие компоненты ФМТГ.



(10.6)

Равенство (10.6) симметрично по индексам и , меняя их местами, получим еще одно уравнение:



(10.7)

Сложим равенства (10.6) и (10.7) и воспользуемся свойством (10.5):



или окончательно (10.8)



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Символами Кристофелля первого рода называется множество функций вида: (10.9)

Воспользовавшись этим определением, перепишем формулу (10.8)



(10.10)

Нетрудно сообразить, что формула (10.10) задает операцию опускания индекса, поэтому обратная операция будет иметь вид . Следует напомнить еще раз о том, что символы Кристоффеля, как первого, так и второго родов, в общем случае не являются тензорами, несмотря на то, что для них справедливы тензорные операции.

Рассмотрим контравариантный базис. Построим производную от базисного вектора и разложим ее в собственном базисе. По аналогии с формулой (10.2) запишем:

(10.11)

Здесь коэффициенты разложения играют такую же роль, что и символы Кристоффеля. Докажем, что с точностью до знака совпадают с . Для этого воспользуемся свойством и

продифференцируем его компоненты по .

Подставим (10.2) и (10.11)



Преобразуем это выражения, выделяя соответствующие компоненты смешанного ФМТГ.



Сумма по элементарно вычисляется (см. свойство ) тогда, переставляя индексы и у , получим:

Таким образом, нет необходимости вводить коэффициенты разложения т.к. производная от контравариантного базисного вектора в собственном базисе имеет вид:

(10.12)

Формулы (10.2) и (10.12) потребуются нам в дальнейшем, а здесь следует еще раз подчеркнуть - фундаментальный смысл символов Кристоффеля состоит в том, что с их помощью можно сравнивать компоненты вектора в двух бесконечно близких точках пространства. Так для произвольного вектора дифференциал вычисляется следующим образом:



(10.13)

Преобразуем это выражение, используя формулу (10.2) и меняя местами индексы суммирования и :



(10.14)

Здесь -- истинное приращение, - полное приращение,



- приращение компоненты вектора, связанное с выбором КСК и отражающее тот факт, что базис является локальным.

10. 2 Дифференцирование тензоров

В математическом анализе вводится понятие частной производной в ДСК от какой-либо функции, например, от компоненты вектора, как предел следующего вида:



(10.15)

Чтобы построить аналогичную операцию в произвольной КСК, предварительно проверим частную производную (10.15) на корректность. Так как контравариантный тензор первой валентности, то для него справедлив тензорный закон:



Продифференцируем его по :



(10.16)

Если ввести обозначения



,

то для частной производной от компоненты вектора получим закон преобразования



(10.17)

который не совпадает с тензорным. Это означает, что в КСК операция частного дифференцирования не корректна, и необходимо построить дифференциальную операцию от тензора таким образом, чтобы она не выводила из поля тензоров, т.е. снова давала тензор и в ДСК совпадала с обычной частной производной. Чтобы выполнить эту задачу, осмыслим сначала, почему несправедлив тензорный закон для частной производной от компоненты вектора. Дело в том, что приращение содержит в себе не только истинное изменение проекции как полевой величины, но и фиктивное изменение, связанное с локальностью базиса КСК. Вопрос становится еще более запутанным и сложным, если задуматься над тем, каким образом можно сравнить компоненты одного и того же вектора в двух бесконечно близких точках. В ДСК эта задача решается с помощью параллельного переноса вектора из одной точки в другую. Для КСК понятие параллельного переноса становится не тривиальной процедурой и, вообще говоря, определяется не однозначно, так как результат параллельного переноса зависит в общем случае от выбора пути перемещения вектора. К сожалению, мы не готовы обсуждать эту проблему

потому, что она выходит за рамки нашего курса и требует специальных знаний по теории пространств. Здесь мы только констатируем тот факт, что в КСК реальное изменение компонент вектора как функции точки можно получить путем вычитания из полного изменения фиктивное изменения , связанное с локальностью КСК, т.е. или, учитывая (10.14)

(10.18)

Формулу (10.18) можно рассматривать как определение дифференциала от компоненты вектора в КСК, а выражение, стоящее в скобках - обобщением производной на КСК.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.2. Ковариантной производной от контравариантной проекции вектора называется дифференциальная операция вида:

(10.19)

Аналогичные рассуждения позволяют построить ковариантную производную для ковариантной компоненты вектора. Воспользуемся контравариантным базисом КСК и формулами (10.13) и (10.14), тогда





ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.3. Ковариантной производной от ковариантной компоненты вектора называется дифференциальная операция вида:

(10.20)

Обобщим понятие ковариантной производной на тензор любой валентности. При этом потребуем, чтобы правила дифференцирования, известные нам из математического анализа, были справедливы в КСК, что является вполне естественным: они не должны зависеть от выбора системы координат. Рассмотрим и, не ограничивая общности, представим его в виде , вычислим ковариантную производную от произведения.



Для применим формулы (10.19), а для - (10.20):



Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые соответствующим образом.



. Окончательно ковариантная производная от смешанного тензора второй валентности будет вычисляться по следующей формуле:

(10.21)

Очевидно, что для тензоров большей валентности выражение ковариантной производной становится еще более громоздким. Читатель сам в этом может легко убедится, если построит ковариантную производную от тензора третей валентности. Здесь мы приведем только результат этого построения.



(10.22)

Следует еще раз напомнить, что по повторяющимся индексам ведется суммирование.

Обсудим вопрос о системах координат. Нам известно, что в ДСК все , поэтому ковариантная производная переходит в частную производную. Однако в дальнейшем мы увидим, что выбор ДСК не всегда целесообразен, а то и невозможен, в этом случае приходится учитывать локальность КСК и все вытекающие из этого последствия: недиагональность метрики, не тензорный характер частной производной и т.д. Более подробно об этом мы остановимся в последней лекции или же можно прочитать в [6].

Упражнение 10

1. Доказать, что ковариантная производная от компонент ФМТГ в любой системе координат тождественно равна нулю.

2. Вычислить все символы Кристоффеля первого рода на сфере радиуса (двумерная криволинейная система координат).

3. Для метрики Шварцшильда



записать компоненты ФМТГ и вычислить все символы Кристоффеля первого рода.

4. Доказать следующие тождества:

a) , где

b) , где

c)

d)

5. Доказать, что в координатном репере с диагональным ФМТГ символы Кристоффеля определяются соотношениями:

a) при

b)



Лекция 11. Римановы пространства

11.1. Тензор кривизны Римана - Кристоффеля

Согласно определению тензора необходимым и достаточным его признаком является тензорный закон преобразования компонент при переходе от одной КСК к другой. Однако проверять этот закон каждый раз - это трудоемкая и не простая задача, особенно для многовалентных тензоров. Оказывается, что можно ввести другой тензорный признак по следующей теореме.



ТЕОРЕМА О ЧАСТНОМ (необходимый и достаточный признак тензора).

Пусть в некоторой системе координат задано, например, функций вида . Если при произвольном выборе двух векторов (тензоров первой валентности) и тензорное умножение и последующая свертка вида



(11.1)

дает вектор (тензор) , то множество образует тензор третей валентности дважды ковариантный и раз контравариантный. Докажем достаточное условие. Так как, и тензора, то для них справедливы тензорные законы:



Равенство (11.1) имеет место, как в старой, так и в новой КСК, тогда:



Из этих преобразований следует, что



Домножим это равенство на , свернем по индексу и воспользуемся свойством тензора Кронеккера (9.11).



Таким образом, необходимо сравнить левую и правую части последнего равенства.



Отсюда, в силу произвольности исходных векторов , получаем



(11.2)

тензорный закон преобразования для смешенного тензора третьей валентности дважды ковариантного и раз контравариантного, что и требовалось доказать.

Поставим вопрос о производной второго порядка от контравариантного тензора первой валентности, для этого вычислим:

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:



Поменяем порядок дифференцирования компоненты - вначале по , а потом по и вычтем полученное выражение из предыдущего. Формально это означает, что необходимо поменять местами индексы и , согласовать индексы суммирования (переставить и , где это требуется) и учесть то, что вторая смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования.



В результате получим:



(11.3)

В равенстве (11.3) слева стоит тензор третей валентности (он получен как разность двух тензоров), справа компоненты произвольного тензора умножаются на скобку, в которой по теореме о частном также стоит тензор четвертой валентности трижды ковариантный и раз контравариантный. Этот тензор играет важную роль в теории пространств и называется тензором кривизны Римана-Кристоффеля.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Тензором Римана-Кристоффеля называется тензор четвертой валентности посторинный с помощью символов Кристоффеля, например, по следующему правилу:

(11.4)

Теперь мы уже знаем, что символы Кристоффеля не являются тензорами и может показаться странным, что из нетензорных объектов строится тензор. Однако следует вспомнить, что при определении тензора кривизны используется частная производная которая сама по себе не тензорная операция. Особенность в том, что в ДСК все его компоненты тождественно обращаются в нуль, т.к. . Это означает (см. тензорный закон), что в любой другой КСК тензор кривизны также тождественно равен нулю. В таком случае возникает вопрос, зачем нужен нулевой тензор и какой в этом смысл? Ответ на этот вопрос состоит в том, что построить ДСК возможно только в плоских Евклидовых пространствах, кривизна которых равна нулю. Если пространство имеет кривизну отличную от нуля, то мы не можем построить ДСК и вынужденны пользоваться только КСК. Можно строго доказать [7], что двукратная свертка дает инвариант пропорциональный гауссовой кривизне пространства.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2 Римановыми (искривленными) пространствами называют метрические пространства с отличным от нуля тензором кривизны.

В теории метрических пространств существует понятие вложения одного пространства в другое. Оказывается, что любое риманово пространство можно вложить в евклидово большей размерности, например, двумерная сфера в трехмерный плоский куб. В общем случае такое вложение возможно, если выполняется ряд условий и размерность плоского и искривленного пространств связаны между собой следующим соотношением: . Отсюда видно, что трехмерное пространство Римана можно вложить в шестимерное пространство Евклида . Основываясь на теории вложения пространств, удается найти взаимно однозначное соответствие между точками плоского и искривленного пространств. Таким образом, с математической точки зрения все процессы можно описывать как в искривленных, так и плоских пространствах разной размерности. Следует, однако, сказать откровенно о том, что мы с вами вторглись в трудно проходимую область теории пространств и еще не обладаем достаточным запасом знаний, чтобы легко и непринужденно по ней двигаться. Поэтому благоразумней, с нашей точки зрения, этим здесь ограничиться и обсудить вопрос о кратчайших расстояниях в пространствах Римана. Для любопытных можем предложить почитать об этом в рекомендуемой литературе [8] и [9].



11.2. Геодезические линии

Из геометрии Евклида мы знаем, что в плоском пространстве кратчайшее расстояние между двумя точками - это прямая линия. Основным признаком прямой линии служит то, что ее длина является минимальной по сравнению с любой кривой, соединяющей те же точки. Оказалось, что в любых метрических пространствах существуют линии, обладающие минимальной длинной. Их принято называть геодезическими линиями.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.3. Линия, соединяющая две точки пространства и имеющая наименьшую длину по сравнению с любой другой, проходящей через эти же точки, называется геодезической.

Вывод дифференциального уравнения, основанного на определении 11.3, требует знаний

вариационного исчисления. Поэтому мы воспользуемся другим свойством геодезической линии: при параллельном переносе единичного касательного вектора вдоль геодезической он остается постоянным, т.е. ковариантная производная от его компонент равна нулю. Правда, откровенно следует сказать, что сам процесс параллельного переноса вектора в пространстве Римана теряет свою наглядность и становится неоднозначным. К сожалению, у нас нет иного выхода, как ограничится этим замечанием в надежде на любознательность читателя.

Рассмотрим в линию, задаваемую параметрическими уравнениями , где - произвольный параметр. Из математического анализа известно, что - вектор касательный к данной линии. Нормируем этот вектор на единицу, вводя новый параметр .



.

Отсюда . Вычислим ковариантную производную от и приравняем ее нулю.



Умножим это равенство на и просуммируем по .



Учитывая зависимость и формулу вычисления сложной производной,



окончательно получим



(11.5)

Формула (11.5) задает дифференциальное уравнение геодезической линии в римановых пространствах. Если пространство Евклида рассматривать как частный случай риманового с кривизной равной нулю, то в нем всегда можно ввести ДСК, где все и уравнение (11.5) принимает вид: . Решением этого уравнения является прямая линия, задаваемая системой параметрических уравнений: .



Упражнение 11

1. Вывести уравнение геодезической линии, пользуясь определением геодезической как кривой экстремальной длины.

2. Найти символы Кристоффеля и компоненты тензора кривизны в 2-мерном пространстве вида:

a) ,

b)

3. Вычислить в ортонормированном базисе тензор кривизны для метрики:



,

где - функции от .

Найти для этой метрики тензор Риччи, скалярную кривизну и тензор Эйнштейна.
Рекомендуемая литература:

1. Пчелин Б. К. Векторный анализ. -- М., 1969.

2. Краснов М. Л. и др. Векторный анализ. -- М., 1978.

3. Фомин А. В., Будак В. Г. Кратные интегралы и ряды. -- М., 1967.

4. Кухлинг Х. Справочник по физике .... -- М., 1982.

5. Кочин К. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.-- М., 1957.

6. Рашевский П. К. Тензорный анализ и риманова геометрия. -- М., 1967

7. Дубровин Б. А. Современная геометрия -- М., 1979.



8. Мак -- Конелл Дж. Введение в тензорный анализ. -- М., 1969.<< предыдущая страница